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Parte 1: Introducción a la lógica funcional
Parte 2: Introducción a la teoría intuitiva de conjuntos
Material preparado por:
Prof. Ana María Tosetti
Revisado y complementado por:
Ing. Freddy Rabín
Catedrático de Matemática
Material de Conocimientos Previos, tema 1 (Lógica Matemática)
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Parte 1: Introducción a la lógica funcional
Proposición
Llamamos proposición a toda oración declarativa que es falsa o verdadera.
Las proposiciones pueden clasificarse en: primitivas o compuestas.
Por ejemplo una proposición simple o primitiva sería “Luis come arroz” y en cambio una
compuesta podría ser “Luis come arroz o pollo”.
Valor de verdad
Si una proposición ( p ) es verdadera decimos que su valor de verdad es 1 (asociamos el valor 1
al “verdadero”). Notación V( p ) = 1.
Si una proposición ( p ) es falsa decimos que su valor de verdad es 0 (asociamos el valor 0 al
“falso”). Notación V( p ) = 0.
Tablas de verdad y operaciones
Definimos en el conjunto de las proposiciones 5 operaciones básicas llamadas: Negación,
Conjunción, Disyunción, Implicación y Doble implicación (o equivalencia).
Estas definiciones vienen dadas por las tablas siguientes (también podemos ver las notaciones
de cada una) y nos permiten determinar el valor de verdad de una proposición compuesta en
función de los valores de verdad de las proposiciones simples que la forman.
Negación1
p
-p
1
0
0
1
p
1
1
0
0
Conjunción2
q
p∧q
0
0
1
1
0
0
1
0
p
1
1
0
0
Disyunción3
q
p∨q
0
1
1
1
0
0
1
1
La negación se lee comúnmente en el idioma español “no p” y puede encontrarse con la notación ¬ p.
La conjunción se lee comúnmente en el idioma español “p y q”, ambas proposiciones simultáneamente.
3
La disyunción se lee comúnmente en el idioma español “p o q”, alguna de las proposiciones. Este “o” no es
excluyente y muchas veces se menciona como “y/o” para diferenciarlo del “o” excluyente (este no tiene valor de
verdad 0 cuando ambas proposiciones son verdaderas y a veces se lo escribe con tilde “ó”). La disyunción
definida corresponde al significado de “y/o” el lenguaje cotidiano.
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p
1
1
0
0
Implicación4
q
p→q
0
0
1
1
0
1
1
1
Doble Implicación5
p
q
p↔q
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
Observaciones
Tenga mucho cuidado con el idioma español, muchas veces no es del todo preciso y se
confunden los términos y operaciones lógicas.
Las operaciones tienen orden de prioridad, nosotros solo usaremos el hecho de que las
negaciones se realizan primero, otras separaciones las haremos con paréntesis. Por
ejemplo -p ∧ q es lo mismo que (-p) ∧ q.
Es usual que en una implicación p → q, p reciba el nombre de antecedente y q el de
consecuente.
Ejercicio
Realizar la tabla de verdad para cada proposición:
i)
p→(p∨q)
p ∧ ( -p ∧ q )
ii)
iii)
q ∧ ( -r → p )
Definiciones (tautologías, contradicciones y contingencias)
Una proposición es una tautología si y solo si es verdadera para todas las asignaciones de
valores de verdad de sus proposiciones componentes Al conjunto de las proposiciones
tautológicas lo nombraremos T.
Una proposición es una contradicción si y solo si es falsa para todas las asignaciones de valores
de verdad de sus proposiciones componentes. Al conjunto de las proposiciones contradictorias
lo nombraremos C.
Una proposición es una contingencia si solo si es verdadera o falsa según las asignaciones de
valores de verdad de sus proposiciones componentes.
4
La implicación se lee comúnmente en el idioma español “si p , entonces q”. También mencionamos a p como el
que antecede y a q como el consecuente de la implicación.
5
La doble implicación o equivalencia es muchas veces mencionada como el “si y solo si”.
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Ejercicio
Escribir las proposiciones en forma simbólica y determinar su valor de verdad:
1) No es verdad que, si 2 +2= 4 entonces, 3+3 =5 o 1+1 =2.
2) Si 2+2 =4, entonces no es verdad que 2+1 = 5 y 5+5 = 10.
3) Si 2+2 = 4 entonces no es verdad que , 3+3 =7 si 1+1 = 2.
Ejercicio
Escribir las proposiciones del ejercicio anterior como proposiciones compuestas de
proposiciones primitivas indicando cuáles son éstas y los valores de verdad de cada una.
Reglas y leyes lógicas
Denominamos reglas lógicas a aquellas implicaciones que son tautológicas y denominamos
leyes lógicas a aquellas dobles implicaciones que son tautológicas.
En Matemática se utilizan tanto reglas como leyes para dar justificación a nuestros
razonamientos6, en el correr del curso veremos ejemplos de lo antedicho.
El símbolo que usamos en el enunciado de una regla es
español) y el que usamos en el enunciado de una ley es
español).
(“si ..., entonces ...” en el lenguaje
(“... si y solo si ...” en el lenguaje
Ejemplos
• (p∧q)
p , se denomina Regla de Simplificación.
• (p∧q)
( q ∧ p ) , se denomina Ley Conmutativa de la conjunción.
Funciones Lógicas y Cuantificadores
Si consideramos en ℜ (conjunto de los números reales), la expresión 3x+1 > 8 no son
proposiciones ya que no son ni verdaderas ni falsas; pero se transforman fácilmente en
proposiciones al sustituir la variable por un número real. Por ejemplo 3 ( 5) +1 >8 es una
proposición verdadera y 3( -2) +1 > 8 es una falsa, a este tipo de expresiones se las denomina
funciones lógicas.
Otra forma de transformar una función lógica en proposición es mediante la cuantificación,
hay dos cuantificadores:
6
Reglas y leyes lógicas son las que usualmente englobamos en teoremas, proposiciones, lemas, etc.
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• Cuantificador Existencial (“Existe”)
Ejemplos:
i)
∃ x, x ∈ Z (conjunto de los números enteros), x > -1 es una proposición
verdadera ya que por ejemplo 3 es un entero que cumple que es mayor que -1.
ii)
∃ x, x ∈ N (conjunto de los números naturales), x < -2 es una proposición falsa
ya que no hay ningún natural menor que -2.
• Cuantificador Universal (“Para todo”)
Ejemplos:
i)
x, x ∈ N, x
es una proposición verdadera ya que todos los naturales son
mayores o iguales que 0.
ii)
x, x ∈ Z , x > -1 es una proposición falsa ya que por ejemplo -2 es un entero
que no es mayor que -1.
Negación de cuantificadores
Muchas veces en el desarrollo de un curso tenemos que negar ciertas proposiciones, para
hacer esto cuando en las proposiciones a parecen cuantificadores se siguen las leyes
siguientes:
• -( ∃ x , P (x))
(∀ x , -P(x) )
P(x) es una función lógica.
Ejemplo:
-(∃ x, x ∈ Z , x > -1)
x, x ∈ Z , x
-1
Dicho en un lenguaje cotidiano:
La negación de que hay un entero mayor que -1 es que todos los enteros son menores
o iguales que –1.
• -(∀ x , P(x) )
( ∃ x , - P (x))
Ejemplo:
-( x, x ∈ N, x
x, x ∈ N, x
Dicho en un lenguaje cotidiano:
La negación de que todos los naturales son mayores o iguales que 0 es que hay algún
natural menor que 0.
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Ejercicio 1
Realizar la tabla de verdad de cada una de las proposiciones siguientes:
1) − p ∧ −q
2) −( p ↔ q )
3) p→ ( -p ∨ q )
4) ( p ∧ q ) → ( -p ∧ q )
Ejercicio 2
Demostrar:
1) p → -q
q → -p
2) p ∧ ( q ∨ r )
(p∧q)∨(p∧r)
Ejercicio 3
a) Determinar el valor de verdad de cada uno de las siguientes proposiciones.
1)
( ∀x ) , x ∈ ℜ,
x = x
3) (∀x ) , x ∈ ℜ, x+3 ≥ x
2) ( ∃x ), x ∈ ℜ, x 2 = x
4) (∃x ) , x ∈ ℜ, x+5= x
5) (∃x ) , x ∈ ℜ, x =0
b) Negar las proposiciones anteriores
Ejercicio 4
Sea A= { x ∈ N / 1 ≤ x ≤ 10} . Determinar el valor de verdad de cada uno de las siguientes
proposiciones.
1) (∀x ∈ A)(∃y ∈ A ), x + y ≤ 14
2) (∀x ∈ A)(∀y ∈ A ), x + y ≤ 14
3) (∃y ∈ A), (∀x ∈ A) x + y ≤ 14
Algunas reglas lógicas
1) [ ( p→ q) ∧ p ]
q Modus Ponens ( M.P.)
2) [ ( p→ q ) ∧ −q ]
3) p
p Identidad
4) ( p ∧ q )
5)
−p Modus Tollens ( M.T. )
p
p Simplificación ( Simp.)
( p∨ q)
Adición ( Ad. )
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6) [ ( p ∨ q) ∧ −p ]
q
Silogismo disyuntivo ( o Modus Tollendo Ponens ) (S.Disy.)
7) [ ( p→ q ) ∧ ( q → r ) ]
( p → r ) Silogismo Hipotético ( S. Hip. )
8) [ ( p → q ) ∧ ( r → s) ∧ ( p ∨ r ) ]
( q∨ s ) Dilema constructivo
9) [ ( p →q ) ∧ ( r → s ) ∧ (−q ∨ − s ) ]
( −p∨ −r ) Dilema destructivo
Algunas leyes lógicas
1) −( p∨ q )
( − p ∧ −q )
Ley de De Morgan
(− p ∨ −q )
Ley de De Morgan
2) − ( p ∧ q )
3) ( p → q )
4) ( p ↔ q )
( −p ∨ q ) Definición del Condicional
[ ( p → q ) ∧ ( q → p ) ] Definición de bicondicional
5) ( p ↔ q )
6) ( p ∧ p )
7) ( p ∨ p )
[ ( p ∧ q ) ∨ ( − p ∧ −q ) ] Definición de bicondicional
p
Idempotencia de la conjunción
p Idempotencia de la disyunción
8) [( p ∧ q ) → r ]
[ p → ( q → r ) ] Exportación
9) ( p → q )
( −q → −p ) Transposición
10) ( p ∧ q )
(q∧p)
Conmutativa de la conjunción
11) ( p ∨ q )
(q∨p)
Conmutativa de la disyunción
12) [ ( p ∧ q ) ∧ r ]
[ p ∧ ( q ∧ r) ] Asociativa de la conjunción
13) [ ( p ∨ q ) ∨ r ]
[ p ∨ ( q ∨ r ) ] Asociativa de la disyunción
14) [ p ∧ ( q ∨ r ) ]
( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) Distributiva de la conjunción respecto de la disyunción .
15) [ p ∨ ( q ∧ r ) ]
( p ∨ q) ∧ ( p∨ r )
16) a) p ∧ ( p ∨ q )
b) p ∨ ( p ∧ q )
17) p∨ −p
p
p
Distributiva de la disyunción respecto de la conjunción.
Leyes de absorción
Tercero Excluido
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Parte 2: Introducción a la teoría intuitiva de conjuntos
Como le dice el título, realizaremos un desarrollo de la teoría intuitiva de conjuntos, por lo
tanto trabajaremos con las nociones intuitivas de los conceptos: conjunto, elemento,
pertenece.
Un cierto conjunto en particular puede definirse de dos maneras estas son:
1) Un conjunto está determinado por extensión cuando se nombran todos y cada uno de
los elementos del conjunto.
2) Un conjunto está determinado por comprensión cuando se enuncia una propiedad que
cumplen todos los elementos de dicho conjunto y solo ellos.
Definición de inclusión
A está incluido en B (o A es subconjunto de B) si y solo si para todo elemento que pertenece
a A este pertenece a B.
Simbólicamente A ⊂ B ⇔ ∀x ( x ∈ A ⇒ x ∈ B )
Nota
Aceptaremos que el conjunto vacío ( φ , conjunto sin elementos) está incluido en todos los
conjuntos.
Simbólicamente ∀A , φ ⊂ A .
Definición de igualdad
A= B⇔ A⊂ B y B⊂ A
Decimos que dos conjuntos A y B son iguales si y solo si todo elemento del primer conjunto
pertenece al segundo y recíprocamente todo elemento del segundo pertenece al primero.
Ejercicios
I ) Dado A = {a , b ,c d, f } Indicar si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones:
a) b ∈ A
b) {b , c } ⊂ A
c) {b , c} ∈ A
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d) f ∉ A
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II ) Dado A = {a , {b , c }, d, f } Indicar si son verdaderas o falsas las siguientes
proposiciones :
a) b ∈ A
b) {a} ∈ A
d) {b ,c } ⊂ A
c) {b, c } ∈ A
e) { {b , c}} ⊂ A
Diagramas de Venn
Es usual representar los conjuntos como óvalos en el plano y en el puntos marcados con
cruces para sus elementos. A esta representación la llamamos representación en diagramas de
Venn (o simplemente diagramas). De acuerdo con la finalidad se puede completar/alterar esta
representación, en ocasiones es beneficioso no indicar los elementos pero sí indicar la
cantidad de ellos de cada conjunto, otras veces se puede tomar óvalos más grandes para
conjuntos más grandes (debe conocerse qué significa ser grande en el contexto que estemos),
etc.
Operaciones con conjuntos
Intersección
Dados A y B conjuntos representados en el diagrama siguiente, la zona sombreada representa
el conjunto A ∩ B ( ∩ significa intersección).
A
O sea, A ∩ B = {
B
}7
En el lenguaje cotidiano: Dados los conjuntos A y B , A intersección B es el conjunto
formado por los elementos en común de A y B.
Puede encontrarse escrito así: A ∩ B = { x ∈ A / x ∈ B } . El símbolo “ / ” (se lee “tal que”) no es un
conectivo lógico, pero es muy usado derivado del idioma español.
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Unión de conjuntos
Dados A y B conjuntos representados en el diagrama siguiente, la zona sombreada representa
el conjunto A ∪ B ( ∪ significa unión).
A
O sea, A ∪ B = {
B
}
En el lenguaje cotidiano: Dados A y B conjuntos, A unión B es el conjunto formado por los
elementos de A o de B (el “o” empleado es un “o” no excluyente, podemos decir es un “y/o”).
Diferencia de conjuntos
Dados A y B conjuntos representados en el diagrama, la zona sombreada representa el
conjunto A – B (– significa diferencia) (también se utiliza la notación A \ B).
A
O sea, A – B = {
B
}
En el lenguaje cotidiano: Dados los conjuntos A y B , A menos B es el conjunto formado por
los elementos de A que no pertenecen a B.
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Algunas demostraciones
I)
Demostrar que
tendremos que probar que todos los elementos de
Para demostrar que
también son elementos de A.
Dado
II)
Para demostrar que una cierta proposición cuantificada universalmente es falsa alcanza
con dar un contraejemplo, o sea encontrar un ejemplo que no cumpla con lo planteado
o lo que es lo mismo un ejemplo de la negación.
Para demostrar que
Si
es falsa construimos un contraejemplo
, entonces
, pues 4 ∈ A ∪ B ∧ 4 ∉ A .
y se cumple que
Ejercicios
{
}
1) Dados A = x ∈ Z / 6 ≤ x 2 − 3 < 33
B = {x ∈ N / 2 < 2 x + 1 < 15}
•


C = x ∈ N / x = 2 y x ≤ 10


1) Determinar A , B y C por extensión y representarlos a través de diagramas de Venn.
2) Determinar por extensión : i) A ∩ B ii) (A ∩ B) ∪ C
iii) (C − B) ∪ (A − B) iv) A ∪ B − (C ∩ B)
3) Determinar todos los conjuntos X tales que X ⊂ (B − A ) y X ∩ C = {2}
2) Se le realizó a un grupo de 43 estudiantes un cuestionario que contenía las siguientes
preguntas: ¿repite? ; ¿tiene previas? ; ¿posee todos los textos recomendados?. Se
obtuvieron los siguientes datos: 1) 12 repiten 2) 15 poseen todos los textos 3) 6 repiten y
tienen los textos 4) 17 respondieron no a las tres preguntas 5) 1 sí a las tres 6) 10
respondieron sí a solo dos preguntas y 7) 15 solo a una i) De los estudiantes que no
repiten ni tienen todos los textos ¿cuántos tienen previas? ii) De todo el grupo, ¿cuántos
tienen previas?.
Sugerencia: Utilice diagramas de Venn indicando en cada conjunto la cantidad de
elementos que lo integran.
3) Un conjunto tiene 8 elementos y otro tiene 5 elementos ¿Cuál es el máximo y cuál es el
mínimo número de elementos que puede tener A ∪ B y A ∩ B ?
4) Indicar con F (falsa) o V (verdadera) cada una de las proposiciones. En el caso de las
proposiciones falsas poner un contraejemplo y modificarlas para que sean verdaderas.
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1) A ∪ A = A
2) A ∪ Φ = Φ
4) A ∩ Φ = Φ
5) A ⊂ A
3) A ∪ B = B ∪ A
6) A ⊂ A ∩ B
7) A ∩ B ⊂ A ∪ B
5) Estudia la validez de los razonamientos siguientes8:
i)
Algunos hombres son virtuosos
Algunos malos son hombres
-------------------------------------------Algunos malos son virtuosos
ii)
Los enciclopedistas son malos filósofos
Algunos enciclopedistas son filósofos franceses
-----------------------------------------------------------------Algunos filósofos franceses son malos filósofos
BIBLIOGRAFÍA:
Teoría intuitiva de Conjuntos de Lia Oubiña
Teoría y problemas de Matemática Finita de Seymour Lipschutz ( colección Schaum)
8
La forma en la que se expresan estos razonamientos puede haberse visto en los cursos de filosofía de liceo, por
ejemplo el razonamiento de la parte i) también puede expresarse: “Si algunos hombres son virtuosos y algunos
malos son hombres, entonces algunos malos son virtuosos”.
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