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FES. Superconductividad
Introducción
Durante muchos años la superconductividad ha sido considerada como la más misteriosa y
extraordinaria propiedad de los metales. Inicialmente fue una curiosidad de laboratorio y
actualmente su introducción en determinados sectores es incuestionable (máquinas
eléctricas, aceleradores de partículas, equipos médicos, trenes de levitación magnética, etc.)
Aparte de los aspectos prácticos los fundamentos que explican el fenómeno para los
materiales metálicos son conocidos, la teoría de Bardenn, Cooper y Schrieffer (conocida como
teoría BCS) ha sido capaz de explicar el fenómeno.
La superconductividad no es un hecho asilado de algunos metales. Más de 20 elementos
metálicos pueden convertirse en superconductores en determinadas condiciones. Ciertos
semiconductores también pueden presentar este fenómeno, y la lista de aleaciones
estudiadas puede pasar del millar.
Como veremos la propiedades de los metales en el estado superconductor no pueden
entenderse dentro del marco de la aproximación de electrones independientes. Las tres
propiedades mas importantes son:
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1. Un material superconductor parece no tener resistencia eléctrica en un campo eléctrico constante.
Establecida una corriente y en ausencia de campo no ha sido posible detectar un decaimiento de la
misma (por lo menos durante el tiempo que se tuvo la paciencia de observar el fenómeno, el record
parece estar en dos años).
2. Un semiconductor se puede considerar como un material diamagnético perfecto. Una muestra en
equilibro térmico en el seno de un campo magnético no demasiado alto origina en su superficie
corrientes eléctricas que crean un campo magnético opuesto al aplicado y que hace que el campo en
el interior del material sea nulo.
3. Un superconductor se comporta como si tuviera un gap de anchura 2∆ centrada en el nivel de fermi.
Entonces un electrón de energía ε puede ser acomodado ( o extraído ) del estado superconductor si
εF- ε (o ε-εF) excede ∆. La energía gap decrece con la temperatura alcanzando un valor máximo a
bajas temperaturas y un valor nulo en la temperatura de transición Tc.
Las teorías de la superconductividad son general muy especializadas. Como la mayor parte de las teorías
explicadas en este curso están basadas en la aplicación de la mecánica cuántica no relativista aplicada a
electrones y cores. Como ya hemos dicho no se puede estudiar el problema desde la teoría de electrones
independientes. El tratamiento riguroso exige métodos de teoría de campos aunque como iremos viendo
se pueden encontrar explicaciones parciales usando teorías parciales más simples.
Nuestro estudio se centrará en los superconductores de baja temperatura crítica, que son los que pueden
entenderse utilizando la teoría BCS.
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Descubrimiento
La
superconductividad
fue
descubierta por Kammerling Ones
en 1911 (Kammerling Ones fue el
primero que logró licuar el Helio lo
que le permito realizar estos
experimentos) al observar que la
resistencia del mercurio se anulaba
completamente por debajo de los
4.3K. Este fenómeno ocurría en un
intervalo de temperaturas muy corto
de 0.05K..
La resistividad del Hg usado era de 172.7 Ω en estado líquido a 0ºC. En estado sólido a -38,8
ºC era de 39,7 Ω. A 4.3 K había descendido a 0.084 Ω. Al baja más la temperatura el valor
seguía siendo extremadamente bajo.
Como en la mayor parte de los áreas de la ciencia el fenómeno fue descubierto de forma
experimental antes de que se pudiese explicar teóricamente . Pasaron 45 años hasta que se
desarrollo una teoría rigurosa que explicase el fenómeno.
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Como se puede ver en la tabla periódica muchos elementos mono-atómicos son
superconductores. Es este por tanto un fenómeno bastante común.
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Temperatura crítica (Tc)
La temperatura crítica de un superconductor (Tc) es aquella en la que en ausencia de campo
magnético aplicado se produce la transición del estado superconductor al estado normal. En
los elementos conocidos estas temperaturas van desde unas milésimas de kelvin hasta
aproximadamente 20 K (superconductores de baja temperatura que se pueden entender
según la teoría BCS) (ver datos en la diapositiva siguiente). Las correspondientes energías
térmicas asociadas KTc varían entre 10-7 eV hasta las milésimas de eV; energías bastante
pequeñas para las que estamos acostumbrados a manejar en este curso.
¿se harán todos los materiales metálicos superconductores a temperaturas suficientemente
bajas?. No lo sabemos; en la investigación experimental con estos materiales a bajas
temperaturas la mayor dificultad es trabajar con muestras suficientemente puras que no
contengan elementos magnéticos extraños ya que estos pueden reducir la temperatura
crítica de forma drástica.
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Valores experimentales de las temperaturas críticas de superconductores de baja
temperatura crítica
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Propiedades magnéticas. Efecto Meissner
Efecto Meissner en una esfera superconductora en
presencia de un campo magnético constante; al
bajar la temperatura por debajo de la temperatura
de transición las líneas de inducción B son
expulsadas del interior de la esfera. Por tanto el
material se comporta como un diamagnético
perfecto con susceptibilidades muy superiores a las
de los materiales diamagnéticos estándar.
La explicación se basa en que la aparición de corrientes superficiales que originan un campo
que anula el externo en el interior del material.
Este hecho tiene las siguientes consecuencias sobre los valores de la inducción y
magnetización de estos materiales
(CGS)
(SI)
4
0 0 Donde Ba es el
campo externo
aplicado
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Campo magnético crítico Hc
Es posible hacer desaparecer la superconductividad aplicando un campo magnético suficientemente
alto (Hc). Este campo es función de la temperatura tal y como se muestra en la figura. La ley
fenomenológica de variación del campo crítico con la temperatura se ajusta bien a una ecuación de tipo
parabólico:
Hc=H0(1-T2/Tc2)
La parte bajo la curva corresponde al estado superconductor y la parte superior la estado normal
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Curvas experimentales de la evolución
del campo crítico con la temperatura
Relación entre el campo crítico a 0 K y la
temperatura de transición en ausencia
de campo.
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Un aspecto interesante es la independencia de la propiedad de resistividad nula y el
diamagnetismo perfecto de los superconductores.
En la ecuación de Ohm E=ρj, como ρ=0 y j es un valor finito E debería ser 0 y por tanto
teniendo en cuenta la ecuación de Maxwell
!"#
0
Lo que implica que el campo no debería variar cuando se reduce la temperatura por debajo
de la temperatura de transición.
El efecto Meissner contradice esta resultado y sugiere la independencia de los fenómenos
eléctricos y magnéticos. En este sentido es más correcto definir el superconductor como un
material que desde un punto de vista eléctrico tiene resistividad nula y desde el punto de
vista magnético es un diamagnético perfecto.
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Superconductores de Tipo I y de Tipo II
Se clasifica a estos dos materiales en función de como es la curva magnetización-campo.
1.
Aquellos materiales que cumplen con la relación
se denominan superconductores de tipo I o
superconductores blandos. En general los valores de Hc son suficientemente bajos como para que estos
materiales no tengan aplicaciones técnicas útiles en las bobinas de imanes superconductores.
1.
Otros materiales tienen una curva de imanación diferente. Suelen ser aleaciones o metales de transición con
valores elevados de la resistividad eléctrica en el estado normal; es decir el camino libre electrónico en el
estado normal es pequeño. Estos materiales tienen propiedades eléctricas superconductoras hasta un campo
Hc2 , presentando en el rango entre el campo crítico inferior Hc1 y el superior Hc2 un efecto Meissner
incompleto (es decir B≠0 en el interior del material). El valor de Hc2 puede ser 100 veces superior al de Hc. En la
región comprendida entre los dos campos el superconductor está atravesado por líneas de flujo y se dice que
se encuentra en estado vórtice.
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Líneas de flujo en un superconductor de
tipo II cuando el campo aplicado está
entre los campos críticos Hc1 y Hc2
Resultados experimentales para superconductores de tipo II
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Entropía
En todos los superconductores la entropía se reduce marcadamente al enfriar el material
por debajo de Tc. El que la entropía en el estado normal sea superior a la del estado
superconductor índica que el estado superconductor es más «ordenado» que el estado
normal. Por tanto en el paso del estado normal al superconductor hay una modificación del
«orden» en la sistema de electrones del sólido.
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Calor específico y gap de energía
El calor específico para el galio en los estados normal y superconductor se comparan en la
figura adjunta. Como se puede observar hay un enorme cambio en esta propiedad entre lo
que sucede en el estado normal y lo que se tiene en el estado superconductor.
Cuando nos acercamos a la temperatura crítica desde temperaturas más altas, primero el
calor específico crece rápidamente y luego desciende a cero según una ley exponencial
(con 1/T).
Aplicando un campo magnético es posible
comparar los comportamientos normal y
superconductor. En experiencias como las
de la figura se pudo demostrar que la
contribución electrónica AT desaparece y
es sustituida por una ley de tipo
exponencial que pone de manifiesto la
existencia de un gap de energía 2∆ que
superan los electrones al aumentar la
temperatura pasando al estado normal.
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Esta banda prohibida es de naturaleza diferente a la de los aislantes. El argumento de la
exponencial
∆
$& (
'
con ∆≈1.4KBTc
El valor de la banda prohibida es 2∆≈2 (1.4KBTc).
La tabla siguiente muestra los valores de la banda prohibida para algunos materiales.
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Además en la figura de la diapositiva 14 se observa que el paso del estado normal al
superconductor es una transición de fase de segundo orden, donde no hay calor latente pero
si una discontinuidad en el calor específico. Además la banda prohibida de energía decrece
de forma continua cuando se incrementar la temperatura hasta alcanzar la temperatura de
transición.
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Efecto isotópico.
La temperatura de transición Tc se ha observado
que depende de la masa isotópica con una
expresión del tipo
)*
+
Constante
En principio no hay ninguna razón por la que la
temperatura de transición pueda depender del
número de neutrones a parte del hecho ya
estudiado según el cual las vibraciones
reticulares dependen de la masa atómica.
Este resultado fue la clave que llevó a pensar
que las vibraciones de la red estaban implicadas
en la superconductividad y fue la base para
introducir el concepto de par de Cooper.
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Resumen de los resultados experimentales fundamentales
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Estudiaremos algunas de las teorías que han permitido comprender el fenómeno de la
superconductividad de baja temperatura.
Teoría de London de la superconductividad. F.London, H. London, Proc. Ro. Soc. A149, 71 (1935)
La teoría propuesta se basa en la idea de dos fluidos de Gorter y Casimir, modelo que
también se usa el estudio del He-4 y sus propiedades de superfluido.
Suponen que un superconductor puede considerarse compuesto de electrones
«normales» y electrones «superconductores».
De esta forma cuando T<Tc solo una fracción de los electrones ns(T)/n del número total de
electrones n=nn+ns participan en la super-corriente. Aunque la corriente normal y la
super-corriente van a moverse paralelas en presencia de un campo E, London admite que
la primera es despreciable frente a la segunda y la desprecia.
Supongamos que un campo E actúa momentáneamente sobre el material superconductor,
los electrones superconductores serán acelerados libremente, sin disipación de energía,
de forma que su velocidad deberá satisfacer la ecuación:
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,-
#
Y para la densidad de corriente:
.-
/- ,-
Combinando ambas ecuaciones obtenemos la primera ecuación de London
.-
0
/-
E
Tomando rotacionales en esta ecuación y usamos la ley de Faraday para la
inducción magnética
13
(CGS)
!"#
3
!"
.-
/-
03
3
Integrando esta ecuación con respecto al tiempo se lleva a la segunda ecuación de
London
/- 0
!".-
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Uno de los logros de esta teoría es la justificación del efecto Meissner. De nuevo
admitimos que la contribución de los electrones normales es despreciable y además se
admite que las variaciones del campo B son pequeñas (o nulas) evitando la existencia de
corrientes de desplazamiento.
En estas condiciones y partiendo de las ecuaciones de Maxwell
4
!"
.4
Tomando rotacionales y sustituyendo la segunda ecuación de London
!"!"
!
Λ
0
4
!".4
0
4 /-
0
1
Λ0
0
Donde a Λ se le denomina profundidad de penetración de London que para
los superconductores típicos toma valores del orden 102-103 Å
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La solución de la ecuación
! 0
1
Λ0
"
a lo largo de una dirección x
0
$687
Donde B(0) es el campo en la superficie del material. Así vemos que Λ mide la
profundidad de penetración del campo magnético, que al ser muy pequeña, justifica el
hecho de que en el interior del superconductor no existe un campo magnético. Es decir
justifica el efecto Meissner si las dimensiones de la muestra son grandes frente a Λ
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Otra forma de llegar a la segunda ecuación de London es escribiendo directamente la expresión
de la densidad de corriente para el superconductor situado en el seno de un campo magnético
representado por el potencial vector A.
,
1
,-
9
:
9;
Y la densidad de corriente será:
.
/:
/- ,-
/-
0
9;
Si admitimos que en el estado superconductor p=0, tenemos que
.
/-
0
9
Y por tanto
!".-
/-
0
!"9
/-
0
El éxito del concepto de Par de Cooper, que veremos después, es que permite
explicar porque en el estado superconductor p=0.
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Teoría de Ginzburg-Landau (1950)
Estudiaremos la situación que se muestra en la figura adjunta. En el cual un anillo metálico es situado en el
seno de un campo magnético (a). Se reduce la temperatura para pasar al estado superconductor (b). En
esta situación las líneas de campo son expulsadas del material. Por último se elimina el campo externo
aplicado (c), en esta situación las líneas de flujo quedan «atrapadas». El flujo Φ a través del centro no
puede disminuir ya que según la ley de Faraday la 3∅/3 debe ser igual a la circulación de E alrededor del
anillo, que es cero en un superconductor
3Φ
3
?#
0
A medida que removemos el campo
externo se origina una supercorriente que circular alrededor del
anillo y en superficie para conservar
constante el flujo a través del anillo.
Estas corrientes fluirán cerca de la
superficie (hasta una profundidad Λ)
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La densidad de corriente en presencia de un campo magnético caracterizado
por un potencial vector A es:
B=∇xA
∇A=0
p=mv+qA/c
Llamaremos Ψ a la función de onda de la partícula superconductora en el estado de más baja
energía y Ψ Ψ*=constante e igual a la densidad de carga ρ(r). La función de onda se puede
escribir como:
Sustituyendo en la expresión para J se obtiene:
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Como en el interior del cilindro la densidad de corriente es cero las ecuaciones previas nos
permiten llegar a la siguiente identidad.
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@ ? !A
?9
Ahora bien según el teorema de Stokes, se sabe que la circulación de A a través de una
línea cerrada es igual al flujo de B a través de dicha espira.
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@ ? !A
Φ
La circulación de un gradiente desde un punto a otro (digamos del punto 1 al 2) es la
diferencia de los valores de la función en los dos puntos. Es decir
? !A
A0
A
Si escogemos los dos puntos extremos 1 y 2 coincidentes de modo que formen una espira,
podríamos pensar que θ2 y θ1 tomarían el mismo valor y que por tanto la integral sería
nula. Sin embargo el único requisito físico que podemos hacer es el que ya hicimos cuando
establecimos las condiciones cíclicas. Haga lo que haga θ, cuando da una vuelta al anillo, al
llegar al punto de inicio, la función de onda debe ser la misma.
Esto sucederá si la diferencia entre los valores de θ2 y θ1sea 2πn siendo n cualquier numero
entero. Por tanto llegamos a que:
2 /@
B
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La conclusión de este análisis es que el flujo atrapado debe de ser un múltiplo entero de 2π@/q. Si se
considerase el anillo como un objeto clásico conductividad perfecta (es decir, infinita) pensaríamos que
cualquiera que fuse le flujo que tuviésemos inicialmente, este se conservaría. Pero la teoría cuántica de la
superconductividad dice que el flujo puede ser cero o múltiplos enteros de 2π@/q, debe ser múltiplo entero
de la unidad cuántica básica (fluxón).
London predijo que el flujo atrapado por un anillo superconductor estaría cuantizado de acuerdo a las
ecuaciones previas con un valor de q igual a la carga electrónica. Según London la unidad de flujo básica
debería ser 2π@/e que es alrededor de 4x10-7 gauss cm2.
Las experiencias realizadas por Doll-Nabaüer en 1961
permitieron demostrar que la unidad de flujo básica
tenía un valor mitad del predicho por London, es decir
2x10-7 gauss cm2.
Por tanto en la teoría de la superconductividad había
que admitir que q=2e, lo que cuadra perfectamente con
la teoría BCS y el concepto de par de Cooper.
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Los pares de Cooper (1950)
Cooper postula que existe una «nueva entidad en la estructura electrónica» que se forma por una
interacción atractiva entre dos electrones y que se produce por la deformación de la red.
La idea esquemática es la siguiente: cuando un electrón viaja a través de la estructura cristalina
debido a su carga negativa va dejando una deformación que debe afectar a los cores cargados
positivamente. Esta «estela» que está asociada a una concentración de carga positiva puede atraer a
un segundo electrón. Es decir el efecto final es una atracción entre electrones a través de la
deformación de la red.
La distancia entre los dos electrones se puede estimar a partir de: la velocidad de los electrones (vF) es
de 10 cm/s y la frecuencia de vibración de los átomos es ωD. La red tiene su máxima deformación en
un tiempo τ=2π/ωD=10-13 s tras el paso del electrón, durante ese tiempo el electrón se ha desplazado
una distancia de Λ= vF τ= 1000Å. Por tanto los electrones del par están separados distancias lo
suficientemente grandes como para que la repulsión electrostática esté completamente apantallada.
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La modelización de la interacción previa se puede realizar a través de los esquemas que
siguen de interacción e-fonón.
Donde lo que tenemos es que un electrón en el estado k1 emite un fonón virtual q,
pasando al estado k1´= k1-q. Otro electrón en el estado k2 absorbe dicho fonón
pasando al estado k2´= k2+q . Este proceso trae consigo la aparición de la interacción
electrón-electrón citada.
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En la interacción previamente descrita se debe conservar el momento por lo que:
k1+ k2= k1´+ k2´=K
Como la interacción está restringida a una capa esférica con un espesor de @ωD por encima
de la energía de fermi, los posibles estados estarán en las zonas más oscuras de la figura
adjunta. Esta área y como consecuencia el numero de fonones que reducen la energía es
máximo para K=0, por tanto el caso más probable es en el que k1=- k2
Por otra parte otra de las características fundamentales del Par de Cooper es que los
espines de los electrones son opuestos y que el par de Cooper se comporta como una
partícula bosónica (no como una par de Fermiones).
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Por tanto el par de Cooper tiene la siguientes características fundamentales:
• Está formado por 2 electrones que interactúan de forma atractiva a través de un
fonón
• No tiene momento (p=0) porque k1=- k2
• No tiene spin, y es un bosón. Por tanto no obedece el principio de exclusión de Pauli y
estas partículas tienden a coexistir en un mismo nivel cuántico y por ello se dice que
tienen un comportamiento coherente con ausencia de colisiones.
• Al tener estas partículas un comportamiento idéntico pueden ser descritas por una
función de onda a un partícula, es decir una función de onda de una sola variable,
como en la teoría de Ginzburg-Landau.
• A temperaturas por debajo de Tc no se dispone de la energía necesaria para
«romper» los pares de Cooper a menos que exista un campo magnético superior a Hc.
• Existe un gap de energía asociado a la energía de ligadura del par de Cooper.
• La masa de los iones influye en el comportamiento del par de Cooper (efecto
isotópico) porque la interacción se produce a través de un fonón y la relación de
dispersión de fonones depende de dicha masa.
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El Hamiltoniano BCS
La teoría BCS toma el concepto de par de Cooper como base para explicar la
superconductividad. Para poder encontrar el comportamiento del sistema se parte de un
Hamiltoniano que tiene en cuanta las interacciones electrón-fonón.
D
E
HFJ
F
$F
G
F
HGF,J
G
H,J
Para poder encontrar las propiedades de este tipo de sistemas.
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Superconductividad de alta temperatura crítica
Un gran descubrimiento fueron los superconductores de alta Tc:
Aplicaciones reales de la superconductividad
Los superconductores de alta temperatura crítica son cerámicos (no son metales) y
no cumplen la teoría BCS. A día de hoy todavía se está trabajando en desarrollar una
teoría que consiga justificar la superconductividad de este tipo de materiales
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Nobel
A día de hoy no existe aún una teoría aceptada universalmente que explique el fenómeno de la
supercondutividad de alta temperatura crítica
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Los superconductores de alta temperatura han abierto la posibilidad de usar
estos materiales en aplicaciones industriales en distintos sectores.
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