Download 3.11 Elementos de una órbita Sabemos que para determinar

3.11 Elementos de una órbita
Sabemos que para determinar completamente la solución del problema de los dos
cuerpos necesitamos seis constantes de integración y, además, un dato: la masa del
secundario que nos permite conocer µ. Por tanto, para definir la posición de un astro en
una cierta época, en general, es necesario conocer siete cantidades denominadas
elementos de la órbita, si bien en algunos casos particulares son suficientes seis
elementos (caso de los satélites artificiales y de los pequeños planetas, en que su masa
es despreciable frente a la del primario), o, aún, cinco elementos (caso de los cometas de
órbita parabólica, en que además, e=1). Dichos elementos orbitales no tienen porque
coincidir con las constantes de integración originales c, e, T, puesto que pueden
sustituirse por un mismo número de expresiones independientes entre sí que involucren
a dichas constantes.
3.11.1 Angulos de Euler
La posición de la órbita con respecto a un triedro fundamental de referencia X, Y,
Z, queda determinada por medio de tres de dichos elementos, los ángulos de Euler Ω, i,
ω (Fig.10.3). La intersección del plano de la órbita con el plano fundamental de
referencia X, Y recibe el nombre de línea de los nodos. Hay un nodo ascendente, N,
extremo en el que el astro pasa de la región de las Z negativas a la de las Z positivas, y
otro diametralmente opuesto o nodo descendente.
FIG 10.3
Ω es el argumento del nodo o ángulo formado por el eje X y la dirección del nodo
ascendente.
i es la inclinación de la órbita, o ángulo formado por los planos de la órbita y
fundamental.
Si 0º ≤i<90° el movimiento se llama directo, y si 90° ≤i< 180° retrógrado.
ω es el argumento del periastro ángulo que forman la línea de los nodos y la
dirección del periastro, contado en el sentido del movimiento a partir del nodo
ascendente: 0º ≤.ω≤ 360º.
Cabe destacar dos casos particulares importantes:
a) Si el primario es el Sol y el secundario un planeta o un cometa, el plano
fundamental es el plano de la eclíptica media y la dirección del eje X la dirección del
Aries medio, Ω se denomina longitud del nodo ascendente y ω argumento de latitud del
perihelio.
b) Si el primario es un planeta y el secundario un satélite, natural o artificial, del
mismo, el plano fundamental es el plano del ecuador del planeta y el eje X viene
definido por la intersección del plano orbital del planeta en su traslación alrededor del
Sol con el plano del ecuador. En el caso de la Tierra, la dirección del eje X coincide con
la dirección de Aries. Ω se denomina ascensión recta del nodo ascendente y ω
argumento de declinación del perigeo.
Algunas veces se trabaja con el ángulo
ω = Ω +ω
llamado longitud del periastro; se cuenta primero sobre el plano fundamental (eclíptica
o ecuador) y después sobre el plano de la órbita en la dirección del periastro.
3.11.2 Los restantes elementos
Los tres elementos que acabamos de estudiar determinan la orientación del plano
de la órbita. Son necesarios, en general, otros dos elementos para determinar la
magnitud y forma de la órbita. Suelen ser el semieje mayor a y la excentricidad e. En
algunos casos estos dos elementos se sustituyen por la distancia del periastro:
q = a (1- e) y la distancia del apoastro: q ' = a (1 + e) .
Si se trata de una órbita parabólica basta con un solo elemento, la distancia del
periastro q = p/2.
Finalmente, para definir la posición del astro en una determinada época, aún son
necesarios otros dos elementos: el periodo de revolución, P, o el movimiento medio
n=2π/P y la época de paso por el periastro, T, o la anomalía media, MO, en una época
tO.
P es necesario si no se conoce µ; en caso contrario, la tercera ley de Kepler nos
suministra fácilmente el valor de n y, por tanto, de P. Tal es el caso de un satélite
artificial o de un pequeño planeta.
G G G
3.11.3 Constantes vectoriales P , Q , R
Los tres ángulos de Euler se sustituyen frecuentemente por tres constantes
G G G
vectoriales, P , Q , R , tres vectores unitarios ligados a la órbita y definidos como sigue:
G
R perpendicular al plano de la órbita.
G
P en el plano de la órbita y en el sentido del periastro.
G G G
G
G
Q en el plano de la órbita y perpendicular a P , de modo que: Q = R ∧ P
Los vectores así definidos (Fig. 10.3) son ortogonales dos a dos
G G G G G G
( P·Q = P·R = Q·R = 0 ) y como además son unitarios (P2=Q2=R2=1), de las nueve
constantes escalares que originan sólo tres son independientes, como era de esperar.
Consideremos un sistema de coordenadas rectangulares cuyos ejes coincidan con
G G G
las direcciones de los vectores P , Q , R , ejes que designaremos con estos mismos
nombres, y veamos cual es la matriz de cambio de base para pasar del sistema P,Q,R, al
sistema X,Y,Z. Efectuaremos en primer lugar un giro de ángulo (-ω) alrededor del eje R
que vendrá definido por la matriz
⎡ cos ω
R3 (−ω ) = ⎢⎢sen ω
⎢⎣ 0
−sen ω
cos ω
0
0⎤
0 ⎥⎥
1 ⎥⎦
Con ello el eje P pasa a ocupar la posición de la línea de los nodos, el eje Q sigue
en el plano de la órbita perpendicular a P y el eje R queda en la misma posición. A
continuación efectuaremos un giro de ángulo (-i) alrededor de la línea de los nodos, giro
que vendrá definido por la matriz
0
0 ⎤
⎡1
⎢
R1 (−i ) = ⎢0 cos i − sen i ⎥⎥
⎢⎣0 sen i cos i ⎥⎦
Con ello abatimos el plano de la órbita sobre el plano fundamental X, Y. El eje P
queda sobre la línea de los nodos y el Q, perpendicular a ella sobre el plano
fundamental; el eje R toma la posición del Z. Finalmente, giraremos alrededor de Z=R
un ángulo (-Ω), siendo la matriz correspondiente
⎡ cos Ω −sen Ω 0 ⎤
R3 (−Ω) = ⎢⎢sen Ω cos Ω 0 ⎥⎥
⎢⎣ 0
0
1 ⎥⎦
con lo cual llevamos a coincidir P con X y Q con Y.
Efectuando el producto de las tres matrices tendremos la matriz de cambio de base
buscada:
M = R3 (−Ω) R1 (−i ) R3 (−ω )
(68.3)
G
y observando, que si aplicamos esta matriz M al vector P
G
G
obtenemos dicho vector en la base X,Y,Z, y análogamente aplicándola a Q y R ,
podremos escribir:
⎡ Px ⎤
⎡1 ⎤
⎢ P ⎥ = M ⎢0⎥ ,
⎢ y⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ Pz ⎥⎦
⎢⎣0⎥⎦
⎡ Qx ⎤
⎡0⎤
⎢Q ⎥ = M ⎢ 1 ⎥ ,
⎢ y⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ Qz ⎥⎦
⎢⎣0⎥⎦
⎡ Rx ⎤
⎡ 0⎤
⎢ R ⎥ = M ⎢ 0⎥
⎢ y⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ Rz ⎥⎦
⎢⎣1⎥⎦
Es decir:
⎡ Px
M = ⎢⎢ Py
⎢⎣ Pz
Qx
Qy
Qz
Rx ⎤
Ry ⎥⎥
Rz ⎥⎦
(69.3)
de donde, identificando con el resultado obtenido de (68.3) obtenemos:
⎡ cos Ω cos ω − sen Ω cos i sen ω ⎤
G ⎢
P = ⎢ sen Ω cos ω + cos Ω cos isen ω ⎥⎥
⎢⎣
⎥⎦ X ,Y , Z
sen i sen ω
⎡ − cos Ω sen ω − sen Ω cos i cos ω ⎤
G ⎢
Q = ⎢ −sen Ω sen ω + cos Ω cos i cos ω ⎥⎥
⎢⎣
⎥⎦ X ,Y , Z
sen i cos ω
(70.3)
⎡ sen Ω sen i ⎤
G ⎢
R = ⎢ − cos Ω sen i ⎥⎥
⎢⎣
⎥⎦ X ,Y , Z
cos i
En virtud de la forma (69.3) que presenta la matriz M y las propiedades
G G G
mencionadas de los vectores P , Q , R , resulta que M es ortogonal. Además, por ser los
triedros P,Q,R y X,Y,Z de igual orientación el determinante de M es |M|=1. Observamos
G G G
también que las constantes P , Q , R dependen únicamente de los ángulos de Euler.
G G G
Los elementos P , Q , R , a, e pueden ser sustituidos también por c y e. En efecto,
sabemos que p = c2/µ, y en el caso de una elipse p= b2/a =a(1-e2), por lo que:
c2
a=
µ (1 − e2 )
(71.3)
G G G
y, por otra parte, al ser unitarios los vectores P , Q , R ,
G
G
e =e P
G
G
c =c R
(72.3)
G
G
lo cual nos dice que los ángulos de Euler están relacionados con c y e y, en
consecuencia, podemos determinar completamente la trayectoria del secundario con
cualquiera de los sistemas de siete constantes mencionados.
G G
3.11.4 Determinación de los elementos orbitales a partir de r y v
Un importante proceso en el problema de la determinación de órbitas es el cálculo
de los elementos cuando se conocen la posición y la velocidad en el mismo instante.
G
G G
Supongamos, en efecto, que se conocen µ , r0 y v0 en un cierto instante to. En el
problema de los dos cuerpos la integral de las áreas nos da
G G G
c = r0 ∧ v0
pudiéndose expresar esta relación, según la segunda de (72.3), teniendo en cuenta las
G
componentes de R , en función de Ω e i (incógnitas).
Por otra parte, en el mismo problema, se obtiene
G
G 1G G r
e = v0 ∧ c − 0
r0
µ
G
y teniendo en cuenta la primera de (72.3) y las componentes de P podemos expresar
en función de Ω, i, ω.
Si suponemos el movimiento elíptico, tenemos
⎛ 2 1⎞
v02 = µ ⎜ − ⎟
⎝ r0 a ⎠
de donde:
a=
r0 µ
2µ − r0 v02
De la relación
n2 a3 = µ
una vez determinada a deducimos n:
n=
µ
a3
Todavía de la expresión (38.3) que nos da el radio vector en función de a, e y E
podemos deducir Eo:
1⎛ r ⎞
cos E0 = ⎜1 − 0 ⎟
e⎝ a ⎠
y llevando el valor de e y de Eo a la ecuación de Kepler (44.3), obtenemos el valor de
Mo:
Mo= Eo -e sen Eo
que con n y to nos permite determinar la época T de paso por el periastro a partir de la
relación
M 0 = n (to - T )
Es decir:
T = t0 −
M0
n
G
Si el movimiento es parabólico, c se halla análogamente y la fórmula p=c2/µ nos
da, p=2q.
De
r = q (1 + s 2 )
obtenemos
s0 = tan
V0
2
valor que llevado a (62.3) nos dará:
µ
2q
3
( t0 − T ) = s0 +
1 3
s0
3
que nos permitirá hallar T.
Si el movimiento es hiperbólico se aplica
r = a (e Ch F -1)
fórmula de la cual deducimos el valor de F que se sustituye en la ecuación
µ
a3
( t0 − T ) = e Sh F − F
de la que se obtiene T.
ANTERIOR
ÍNDICE
SIGUIENTE