Download Capitulo 10 - Universidad de Guanajuato

11/3/2015
ESTRUCTURA GALÁCTICA
Y
DINÁMICA ESTELAR
Órbitas
Dr. César A. Caretta – Departamento de Astronomía – Universidad de Guanajuato
Calculo vectorial: recordatorio
® operador nabla
® vector
gradiente
divergente
rotacional
Laplaciano
š potencial gravitacional
Definiciones
š fuerza gravitacional
š energía mecánica
š momento angular
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Órbitas bajo potenciales esféricamente simétricos y estáticos
Es también un problema clásico, donde consideramos un potencial que solo
depende de r y no cambia con el t (el caso más sencillo):
ecuación de movimiento
š
L
campo de fuerza central
Torca
0
0
movimiento en un plano
(plano orbital)
Si el movimiento es en un plano, perpendicular
a la dirección del momento angular, podemos
utilizar coordinadas polares:
š
r
š
q
TAREA
Luego:
F(r)
Así:
0
2ª. Ley de Kepler
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Ahora veamos como queda la energía mecánica:
Órbita circular
pericentro
Entonces:
apocentro
y, tomando en cuenta que:
tenemos:
periodo
Potencial Kepleriano
Considerando que:
y:
tenemos:
Ahora, hacemos es siguiente
cambio de variables:
y quedamos con:
es decir:
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Que tiene como solución:
donde C > 0 y q 0 son constantes.
excentricidad
semi-eje mayor
Definiendo:
pericentro
apocentro
semi-eje menor
e<1
e=1
e>1
no ligadas
ligadas
e=0
3ª. Ley de Kepler
e < 1 son casos especiales de órbitas
que son ligadas y cerradas
Órbitas bajo potenciales axi-simétricos y estáticos
Motivado, principalmente, por la forma de nuestra Galaxia…
š
r
z
q
F(R)
F(R)
F(q ) = 0
R
F(z)
F(z)
2ª. Ley de Kepler
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Potencial Efectivo
Movimiento radial y vertical
En principio podemos aproximar las órbitas de
estrellas en discos por órbitas circulares con
pequeñas deviaciones.
Wg
R
Rg
Definiendo:
Rg ® radio circular de referencia*
R ® radio real (Galactocéntrico)
x = R – Rg
Wg = dqg /dt = Lz /Rg2 ® velocidad angular de referencia (2da. Kepler)
Donde Rg es la solución para una órbita circular (Vc ), en el plano orbital (z = 0):
satisfecha para R = Rg
(el valor promedio de R a lo
largo de la órbita)
satisfecha para z = 0
(cualquier parte del plano ecuatorial)
_____________________________________________
*
La “g” es usada en la literatura en inglés para “guiding center”
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frecuencia epicíclica
frecuencia vertical
osciladores armónicos
Y, ahora, expandiendo F en serie de Taylor alrededor de eses puntos:
Donde:
Luego:
Cuyas soluciones son:
Movimiento azimutal
Integrando:
misma frecuencia de
x(t), pero fuera de
fase por 90°
Luego:
movimiento retrogrado
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Epiciclos
• Epiciclo elíptico y retrógrado en relación al
deferente (los epiciclos de Tolomeo eran prógrados)
Deferente (W g)
• Razón axial:
Y0
Epiciclo (k, n )
X0
Epicentro
(R = Rg)
• En lo general, k y Wg son diferentes, lo que
implica que las órbitas no se cierran!
(sin embargo, si observadas del referencial en
rotación en Wg - (1/2) k , las órbitas se convierten
a elipses cerradas, centradas en el epicentro)
• Limite Kepleriano (k = Wg ):
Limite de rotación plana (k = Ö 2 Wg ):
Limite de cuerpo rígido (k = 2Wg ):
• En lo general, W g < k < 2W g
Movimiento epicíclico en la vecindad solar
Es útil expresar las velocidades angulares del deferente y epiciclo en términos de
las constantes de Oort:
TAREA
Como vimos en el tema 2, las mejores estimaciones actualmente (Hipparcos)
para las constantes de Oort son:
A = 14.8 ± 0.8 km s–1 kpc–1
Luego:
B = –12.4 ± 0.6 km s–1 kpc–1
Ω0 = 27.2 km s–1 kpc–1
k0 = 36.7 km s–1 kpc–1
k0/W0 = 1.35 (Tk ~ 170-180 Myr)
Es decir, las estrellas de la vecindad solar cumplen 1.35 epiciclos en una órbita.
La razón axial del epiciclo es k0/2W0 = 0.65.
______________________________
Recuerda que Tk = 2p/k y TW ~ 240 Myr
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El tamaño físico del epiciclo
(oscilación radial) es dado por:
disco delgado
Simulación de 2.5 “vueltas” del Sol alrededor del
Centro Galáctico. La frecuencia epicíclica fue
tomada como 1.3 veces la frecuencia circular, pero
el epiciclo mismo fue hecho circular (y no elíptico,
con razón axial 0.65, como debería haber sido).
Whittle 2012, http://www.astro.virginia.edu/class/whittle/astr553/Topic06/t6_solar_orbit.html
Y, para la oscilación vertical,
tenemos:
~ 80 Myr
valores actuales
Eso implica que el Sol “cruza” el
disco a cada ~ 35-40 Myr.
Interesantemente, ese periodo
parece coincidir con los picos
en la incidencia de cráteres y
extinciones en masa en la Tierra!
Parece ser que, al cruzar el disco,
la Nube de Oort se ve afectada
(perturbaciones de marea) y hay una
inyección acentuada de cometas
en el Sistema Solar interior.
Oscilación aproximada en la componente W de
la velocidad del Sol (actualmente ~ +7 km/s)
y en su posición en relación al plano
(actualmente ~ +40 pc).
Whittle 2012, http://www.astro.virginia.edu/class/whittle/astr553/Topic06/t6_solar_zmotion.gif
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grandes cráteres
de impacto
flujo teórico de
cometas capturados
por Júpiter
Patrones de rotación
Corresponden a regiones con acentuada densidad estelar en el disco de una galaxia.
Normalmente tienen la forma de brazos espirales o de una barra.
Eses patrones no son estacionarios ni se mueven junto con las estrellas del disco,
pero se mueven con una velocidad angular intermediaria, W p
La interacción entre eses patrones y el movimiento epicíclico de las estrellas puede
producir resonancias*:
W« es la velocidad angular de
referencia de la estrella
Wp velocidad angular del patrón
(frecuencia de forzado)
k es su frecuencia epicíclica
m es un entero
_______________________________
donde:
*
Un comportamiento similar ocurre, por ejemplo, en
los anillos de Saturno (perturbación por satélites del
planeta) y en Cinturón Principal de Asteroides (Júpiter)…
trailing arms
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Resonancia de co-rotación (CR)
Ocurre cuando:
Las estrellas en esas órbitas sienten el potencial gravitacional acentuado a lo largo de
toda su órbita (una perturbación no axi-simétrica y persistente). Como el potencial
es siempre atractivo, eso representa una barrera en el potencial efectivo.
Estrellas en órbitas internas a esta resonancia parecerán progresar en relación al
patrón, mientras estrellas en órbitas externas serán retrógradas en relación a él.
• Las barras rotan con Wp = W (R = CR), y nunca se extienden más allá de CR.
G. Bertin & C.C. Lin 1996, in “Spiral Structure in
Galaxies: A Density Wave Theory”, MIT Press,
Cambridge, USA, p. 79
CR
Resonancias de Lindblad (LR)
B. Lindblad (1927) encontró dos otras regiones de resonancia*, una interna y otra
externa a la CR. Son nombradas ILR (Inner Lindblad Resonance) y OLR
(Outer Lindblad Resonance), correspondiendo, respectivamente, a:
• Se esperan la formación de anillos estelares en CR y OLR
• El gas es conducido en dirección al ILR, tanto externo cuanto interno; luego,
se espera la formación de un anillo/disco de gas (y formación estelar) en ILR
• La ubicación, y la misma existencia, de esas resonancias depende de la curva
de rotación (por ejemplo la existencia de una transición entre una rotación de
cuerpo rígido y una rotación plana) de la galaxia y de su W p. Por ejemplo,
pueden existir 0, 1 o 2 ILR.
__________________________________________________________________
*
Equivalen a las resonancias de Kirkwood (perturbación por Júpiter) en el Cinturón Principal de Asteroides
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• Las ondas de densidad solamente pueden sobrevivir entre ILR y OLR
(en la ILR las ondas de densidad son absorbidas como ondas en una playa)
• Al mismo tiempo que las ondas de densidad pueden generar un patrón de
resonancia, el patrón de resonancia puede generar ondas de densidad
estacionarias (llamadas ondas de densidad cinemáticas).
• El patrón de dos brazos espirales es favorecido (m = 2)
Lindblad, P.O. 1999, A&AR 9, 221
L.S. Sparke & J.S. Gallagher 2000, in “Galaxies in the Universe: An Introduction” Cambridge Univ. Press
Wp ~ 15 km s-1 kpc-1
m=2
ILR (~ 3 kpc)
CR (~ 14 kpc)
OLR (~ 20 kpc)
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