Download Círculo Trigonométrico
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[email protected] abaco.com.ve miprofe.com.ve abrakadabra.com.ve Funciones Trigonométricas de ángulos entre 0 y 360° Generalizaremos las funciones trigonómetricas basándonos en el siguiente ejemplo: C´ C 5 3 6 α A B B´ 4 8 3 . Según el teorema de Thales, los triángulos ABC y AB´C´ son 5 semejantes y además la relación entre los lados del triángulo ABC y los lados AB AC BC correspondientes del triángulo AB´C´ se conserva, es decir que . No = = AB′ AC ′ B′C ′ es por ello extraño que si AB´ fuese 8, entonces B´C´ sería 6 y AC’=10. Para el ángulo α , senα = 3 6 , utilizando el triángulo ABC, es utilizando 5 8 6 3 el triángulo AB´C´. Afortunadamente, el teorema de Thales se cumple ya que = . 8 4 De ahí que el seno de α , calculado como Si utlizamos un círculo de radio r , las funciones trigonométricas de los ángulos α , 0 <α < π , en el primer cuadrante, en donde el ángulo α está expresado en radianes y 2 no en grados y π ≈ 3,1416 , se definen a partir de la figura siguiente, tomando como referencia las coordenadas del punto P(x,y), como se ve en la figura: P(x,y) r 1 y x [email protected] abaco.com.ve miprofe.com.ve abrakadabra.com.ve Siguiendo las ideas del ejemplo anterior, el cual se basó en el teorema de Thales, las funciones trigonométricas podrían calcularse bien utilizando el círculo de radio r, o el círculo de radio 1. En el círculo de radio r tendríamos: senα = y , r cosα = x , r y , x tan α = ctgα = x , y sec α = r r , cscα = y x P(x,y) 1 y x Mas si trasladamos el punto P al círculo de radio 1, vease la figura: (*) senα = y x 1 1 y x = y , cosα = = x , tan α = , ctgα = , secα = , cscα = 1 1 x y x y lo cual simplifica nuestro nuevo acercamiento a las funciones trigonométricas. Por ello, la generalización de las funciones trigonométricas, restringidas antes a ángulos entre 0 y π (en radianes) , ya que no existen ángulos mayores de 90° en los triángulos, ni 2 ángulos negativos en los mismos, se basa en el círculo trigonométrico o círculo de radio 1. Las nuevas definiciones, son las dadas arriba en (*). Como en el círculo trigonométrico x 2 + y 2 = 1 , concluímos que sen 2α + cos 2 α = 1 . He aquí nuestra primera identidad (se cumple para todo valor de α ) trigonométrica . 2 2 1 y La conocida identidad sec α = 1 + tan α , se deriva del hecho = 1 + , puesto x x 2 2 2 y2 x2 + y2 1 1 y que 1 + = 1 + 2 = = 2 = 2 x x x x x 2 Una lista de identidades trigonométricas se puede conseguir en un texto de trigonometría. [email protected] abaco.com.ve miprofe.com.ve abrakadabra.com.ve Funciones trigonométricas ángulos notables Expresando los ángulos en radianes, estudiaremos a partir del círculo trigonométrico las π 3π funciones trigonométricas de los ángulos 0, , π , ,2π . 2 2 (0,1) π rad π/2 rads (-1,0) (1,0) 0 rads rad ≡ radian 3π/2 rad (0,-1) 2π rad A partir de las definiciones dadas en (*) y observando la figura anterior, concluímos: y 0 1 1 = (noexiste) = = 0 , ctg 0 = x 1 tan 0 0 1 1 1 1 sec 0 = = = 1 , csc 0 = = (noexiste) cos 0 1 sen0 0 sen 0 = y = 0 , cos 0 = x = 1 , tan 0 = .......... y 1 π x 0 = (noexiste) , ctg = = = 0 2 2 2 x 0 2 y 1 π 1 1 π 1 1 = =1 sec = = (noexiste) , csc = π π 2 sen 2 cos 0 1 2 2 ....... y 0 x −1 sen π = y = 0 , cos π = x = −1 , tan π = = = 0 , ctgπ = = (noexiste) y 0 x −1 1 1 1 1 secπ = = = −1 , csc π = = (noexiste) cos π − 1 senπ 0 sen π = y = 1 , cos π = x = 0 , tan π = ....... sen 3π 3π 3π y −1 3π x 0 = -1, cos = x = 0 , tan = = (noexiste) , ctg = = =0 2 2 2 x 0 2 y −1 [email protected] abaco.com.ve miprofe.com.ve abrakadabra.com.ve 3π 1 1 3π 1 1 = = (noexiste) , csc = = = −1 3π 3π 2 2 − 0 1 cos sen 2 2 Todas las funciones de 2 π son las mismas que las de 0 radianes, por lo tanto sec sen 2π = 0, cos 2π = 1, tan 2π = 0, ctg 2π (no existe), sec 2π = 1, csc 2π (no existe)