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EXAMEN TRANSVERSAL POR CAMPO DE CONOCIMINETO
PARA EL NIVEL LICENCIATURA-ESTADÍSTICA
• MÓDULO MUESTREO [EXTRA-ES-MUES]
Dirección del Área de los EGEL
ENERO • 2017
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EXAMEN TRANSVERSAL POR CAMPO DE CONOCIMINETO
PARA EL NIVEL LICENCIATURA-ESTADÍSTICA
•MÓDULO MUESTREO [EXTRA-ES-MUES]
Dirección del Área de los EGEL
ENERO • 2017
Este Formulario y tablas estadísticas es un instrumento de apoyo para quienes
sustentarán el Examen Transversal por Campo de Conocimiento para el Nivel
Licenciatura – Estadística – Módulo Muestreo (EXTRA-ES-MUES) y está vigente a partir
de enero de 2016.
El Formulario y tablas estadísticas para el sustentante es un documento cuyo contenido
está sujeto a revisiones periódicas. Las posibles modificaciones atienden a los aportes y
críticas que hagan los miembros de las comunidades académicas de instituciones de
educación superior de nuestro país, los usuarios y, fundamentalmente, las orientaciones
del Consejo Técnico del examen.
El Ceneval y el Consejo Técnico del EXTRA-ES agradecerán todos los comentarios que
puedan enriquecer este material. Sírvase dirigirlos a:
Dirección del Área de los EGEL
Coordinación de los EXDIAL
Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior, A. C.
Av. Camino al Desierto de los Leones núm. 37
Col. San Ángel
Del. Álvaro Obregón
C.P. 01000, Ciudad de México.
Tel: 01 (55) 5322-9200, ext. 5012
http://www.ceneval.edu.mx
Email: [email protected]
D. R.  2017
Centro Nacional de Evaluación
para la Educación Superior, A. C. (Ceneval)
Directorio
Director General
Dr. en Quím. Rafael López Castañares
Dirección del Área de los Exámenes
Generales para el Egreso de la Licenciatura (EGEL)
M. en Ed. Luz María Solís Segura
Coordinación de los Exámenes de Diagnóstico para la Licenciatura
Mtra. Mónica Lorena Ramírez Vallejo
Subcoordinación del Examen Transversal por campo de
Conocimiento para nivel Licenciatura – Estadística
Lic. María de Lourdes González Franco
Contenido
Formulario ................................................................................................................... 1
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE
Notación ........................................................................................................................ 1
Estimador de la media poblacional ................................................................................ 2
Varianza de la media muestral ...................................................................................... 2
Tamaño de muestra para estimar la media de una población infinita ............................ 2
Tamaño de muestra para estimar la media de una población finita ............................... 2
Estimador del total poblacional ...................................................................................... 2
Varianza del estimador del total poblacional.................................................................. 2
Tamaño de muestra para estimar el total de una población infinita ............................... 2
Tamaño de muestra para estimar el total de una población finita .................................. 2
Estimador de una proporción poblacional...................................................................... 2
Varianza del estimador de la proporción poblacional..................................................... 2
Tamaño de muestra para estimar una proporción de una población infinita .................. 2
Tamaño de muestra para estimar una proporción de una población finita ..................... 2
MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO
Notación ........................................................................................................................ 3
Estimador de la media del estrato h .............................................................................. 4
Estimador del total del estrato h .................................................................................... 4
Estimador del total poblacional ...................................................................................... 4
Varianza del estimador del total poblacional.................................................................. 4
Estimador de la media poblacional ................................................................................ 4
Varianza del estimador de la media poblacional............................................................ 4
Estimador de la proporción en el estrato h .................................................................... 4
Estimador de la proporción poblacional ......................................................................... 4
Varianza del estimador de la proporción poblacional..................................................... 4
Tamaño de muestra con un muestreo estratificado con asignación óptima para
minimizar la varianza bajo un costo total fijo o minimizar costo para una varianza fija. . 5
Tamaño de muestra con un muestreo estratificado con asignación óptima con costos
iguales........................................................................................................................... 5
Varianza del estimador de la media con muestreo estratificado con asignación óptima
para minimizar la varianza bajo un costo total fijo o minimizar costo para una varianza
fija. ................................................................................................................................ 5
MUESTREO POR CONGLOMERADOS ....................................................................... 6
Notación ........................................................................................................................ 6
Estimador insesgado del total poblacional en una etapa ............................................... 7
Varianza del estimador insesgado del total poblacional en una etapa ........................... 7
Estimador insesgado de la media poblacional en una etapa ......................................... 7
Estimador de razón para la media poblacional en una etapa ........................................ 7
Varianza del estimador insesgado de la media poblacional en una etapa ..................... 7
Varianza para el estimador de razón para la media poblacional en una etapa .............. 7
Estimador para la proporción poblacional en una etapa ................................................ 7
Varianza del estimador de la proporción poblacional en una etapa ............................... 7
Estimador insesgado del total poblacional en dos etapas.............................................. 8
Varianza del estimador insesgado del total poblacional en dos etapas ......................... 8
Estimador insesgado de la media poblacional en dos etapas........................................ 8
Varianza del estimador insesgado de la media poblacional en dos etapas ................... 8
Estimador para la proporción poblacional en dos etapas .............................................. 8
Varianza del estimador de la proporción poblacional en dos etapas ............................. 8
MUESTREO SISTEMÁTICO ......................................................................................... 9
Estimador de la media poblacional ................................................................................ 9
Tablas estadísticas ................................................................................................... 10
Tabla z ........................................................................................................................ 10
Formulario para el sustentante del
Examen Transversal por Campo de Conocimiento – Estadística – Módulo Muestreo
(EXTRA-ES-MUES)
Coordinación de los Exámenes Diagnósticos para la Licenciatura
Formulario
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE
Notación
N
es el tamaño de la población
n
es el tamaño de la muestra
es la media muestral
es el estimador del total
poblacional
es la proporción poblacional
es el estimador de la proporción
es la varianza poblacional
z /2 es el valor de la normal estándar para una probabilidad acumulada de (1-)
es el error absoluto máximo permisible (o precisión absoluta deseada)
1
Formulario para el sustentante del
Examen Transversal por Campo de Conocimiento – Estadística – Módulo Muestreo
(EXTRA-ES-MUES)
Coordinación de los Exámenes Diagnósticos para la Licenciatura
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE
Estimador de la media poblacional
Tamaño de muestra para estimar la
media de una población infinita
1 n
y   yi
n i 1
s 2 z2 /2
n0  2
e
Varianza de la media muestral
Tamaño de muestra para estimar la
media de una población finita
n  S2

V ( y )  1  
 N n
NS 2 z2 /2
n0
n 2

Ne  S 2 z2 /2 1  nN0
Tamaño de muestra para estimar el
total de una población infinita
Estimador del total poblacional
n
tˆ  N
y
i 1
n
i
N 2 S 2 z2 /2
n
e2
 Ny
Tamaño de muestra para estimar el
total de una población finita
Varianza del estimador del total
poblacional
n  S2

V  tˆ   N 2 1  
 N n
n
N 2 S 2 z2 /2
e2  NS 2 z2 /2
Estimador de una proporción
poblacional
Tamaño de muestra para estimar una
proporción de una población infinita
1 n
pˆ   yi
n i 1
1 Si tiene la característica de interés
yi  
0 Si no tiene característica de interés
Varianza del estimador de la proporción
poblacional
 n  n  p 1  p 
V  pˆ   

n
 N 1 
2
n
pˆ 1  pˆ  z2 /2
e2
Tamaño de muestra para estimar una
proporción de una población finita
Npˆ 1  pˆ  z2 /2
n 2
Ne  pˆ 1  pˆ  z2 /2
Formulario para el sustentante del
Examen Transversal por Campo de Conocimiento – Estadística – Módulo Muestreo
(EXTRA-ES-MUES)
Coordinación de los Exámenes Diagnósticos para la Licenciatura
MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO
(Muestreo simple aleatorio en cada estrato)
Notación
Si H es el número de estratos en la población y
h = 1,2…H:
es la observación i del estrato h, para
Nh
N=N1+N2+…+NH
es el tamaño del estrato h
es el tamaño total de la población
nh
n=n1+n2+…+nH
es el tamaño de la muestra del estrato h
es el tamaño de la muestra total
es el estimador del total del estrato h
es el estimador del total poblacional
basado en muestreo estratificado
es la media muestral del estrato h
es el estimador de la media poblacional
basado en muestreo estratificado
es la proporción en el estrato h
es el estimador de la proporción en el
estrato h
es la proporción poblacional
es el estimador de la proporción
poblacional basado en muestreo
estratificado
es la varianza poblacional en el estrato h
z /2 es el valor de la normal estándar para una probabilidad acumulada de (1-)
es el error absoluto máximo permisible (o precisión absoluta deseada)
3
Formulario para el sustentante del
Examen Transversal por Campo de Conocimiento – Estadística – Módulo Muestreo
(EXTRA-ES-MUES)
Coordinación de los Exámenes Diagnósticos para la Licenciatura
MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO
(Muestreo simple aleatorio en cada estrato)
Estimador de la media del estrato h
yh 
donde
1
nh
Estimador del total del estrato h
nh
 yhi
i 1
es la observación i del estrato h
H
h 1
h 1
y
hi
i 1
 N h yh
Varianza del estimador del total
poblacional
Estimador del total poblacional
H
nh
N
tˆh  h
nh
tˆestr   tˆh   N h yh
H
N h2 Sh2
nh
ˆ
V  testr    1  Nh
nh
h 1
Estimador de la media poblacional
Varianza del estimador de la media
poblacional
yestr

tˆestr H tˆh H Nh

  N   N yh
N h1
h 1
H

V  yestr    1 
h 1

nh
Nh
 
Nh
N
2
Sh2
nh
Estimador de la proporción en el estrato h
ˆ  1
Ph
nh
Donde
y
i 1
hi
1 Si tiene la característica de interés
yhi  
0 Si no tiene característica de interés
Varianza del estimador de la proporción
poblacional
Estimador de la proporción poblacional
pˆ estr
nh
H
V  pˆ estr   
H
N
  h pˆ h
h 1 N
h 1
4

N h  nh
N h 1
 
2
N h2
N
2
ph 1 ph 
nh
Formulario para el sustentante del
Examen Transversal por Campo de Conocimiento – Estadística – Módulo Muestreo
(EXTRA-ES-MUES)
Coordinación de los Exámenes Diagnósticos para la Licenciatura
MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO
(Muestreo simple aleatorio en cada estrato)
Tamaño de muestra con un muestreo estratificado con asignación óptima para
minimizar la varianza bajo un costo total fijo o minimizar costo para una varianza
fija.
 H Nh Sh  H

  ch   N h Sh ch 
 h 1

n   h 1
2
H
e
N 2 2   N h Sh2
z /2 h 1
nh 
N h Sh
ch
H

l 1
n
N l Sl
cl
Bajo función de costo:
H
C  co   ch nh
h 1
Donde:
es el costo total
co es un costo fijo
ch es el costo de tomar una observación del estrato h
Tamaño de muestra con un muestreo estratificado con asignación óptima con
costos iguales
2
 H

  N h Sh 
 h 1

n
2
H
e
N 2 2   N h S h2
z /2 h 1
Varianza del estimador de la media con muestreo estratificado con asignación
óptima para minimizar la varianza bajo un costo total fijo o minimizar costo para
una varianza fija.
V y 
1 1 H
  N h Sh  1 L
2

N
S
c
  2  N h Sh

h h
h 

2


N n  h 1
  ch  N h 1
5
Formulario para el sustentante del
Examen Transversal por Campo de Conocimiento – Estadística – Módulo Muestreo
(EXTRA-ES-MUES)
Coordinación de los Exámenes Diagnósticos para la Licenciatura
MUESTREO POR CONGLOMERADOS
Notación
N
es el número de
conglomerados (o unidades
primarias) en la población
n
es el número de
conglomerados (unidades
primarias) en la muestra
Mi
es el número de unidades
secundarias en el
conglomerado (unidad
primaria) i
mi
es el tamaño de la muestra
del conglomerado i
N
K   Mi
yi
yˆins
media muestral del
conglomerado i
es el estimador insesgado
de la media poblacional
ti   yij
tˆi
tˆins
es el total en el
conglomerado i
estimador del total del
conglomerado i
es el estimador insesgado
del total poblacional
p
pˆ i
j 1
es el número total de
unidades secundarias en la
población
Mi
j 1
es la proporción poblacional
estimador de la proporción
en el conglomerado i
pˆ ins
es el estimador insesgado
de la proporción
poblacional
Además:
St2 es la varianza entre los totales poblacionales de los N conglomerados;
Si2 es la varianza poblacional entre las unidades secundarias en el conglomerado i.
z /2 es el valor de la normal estándar para una probabilidad acumulada de (1-)
es el error absoluto máximo permisible (o precisión absoluta deseada)
6
Formulario para el sustentante del
Examen Transversal por Campo de Conocimiento – Estadística – Módulo Muestreo
(EXTRA-ES-MUES)
Coordinación de los Exámenes Diagnósticos para la Licenciatura
MUESTREO POR CONGLOMERADOS EN UNA ETAPA
Varianza del estimador insesgado del total
poblacional
Estimador insesgado del total
poblacional
2
S
n


t
V  tˆins   N 1  
 N n
2
n
N
tˆins 
n
t
i 1
i
Donde St2 es la varianza entre los totales de los
N conglomerados y puede ser estimado por la
varianza entre los totales en la muestra de
conglomerados.
Varianza del estimador insesgado de la
media poblacional
 
Estimador insesgado de la media
poblacional
V yˆins 
V  tˆins 
K2
tˆ
yˆins  ins
K
1  2
n  st2 
ˆ
V yins  2  N 1   
K   N n
Estimador de razón para la media
poblacional
Varianza para el estimador de razón para la
media poblacional
 
  t  yˆ M 
n
n
yˆ r 
t
n 1

V yˆ r  1  
2
 N  nM U
 
i
i 1
n
M
i 1
Estimador para la proporción
poblacional
pˆ 
i 1
n
i 1
n 1
 M  y  yˆ 
2
i
i 1
i
2
r
n 1
Varianza del estimador de la proporción
poblacional
n
i
M
2
i
n
 
n
r
Ó
i
n 1

V yˆ r  1  
2
 N  nM U
a
i 1
i
V  pˆ  
i
ˆ 
a  pM
 N  n  
i 1
NnM
2
1
2
i
 n  1
Donde ai es el número de unidades Donde ai es el número de unidades secundarias
secundarias en la muestra del en la muestra del conglomerado i que poseen la
conglomerado i que poseen la característica de interés y M  K / N .
característica de interés
7
Formulario para el sustentante del
Examen Transversal por Campo de Conocimiento – Estadística – Módulo Muestreo
(EXTRA-ES-MUES)
Coordinación de los Exámenes Diagnósticos para la Licenciatura
MUESTREO POR CONGLOMERADOS EN DOS ETAPAS
Varianza del estimador insesgado del total
poblacional
Estimador insesgado del total
poblacional
N
tˆins 
n
n
 tˆ
i 1
i
Donde
mi  2 si2
n  st2 N N 
2
ˆ
V  tins   N 1     1 
 Mi
mi
 N  n n i 1  M i 
Donde St2 es la varianza entre los totales de los N
conglomerados y puede ser estimado por la varianza
entre los totales en la muestra de conglomerados.
Y St2 es la varianza entre las unidades secundarias
en el conglomerado i .
Estimador insesgado de la
media poblacional
ˆ
ˆyins  tins
K
Estimador para la proporción
poblacional
n
pˆ 
 M pˆ
i 1
n
i
M
i 1
i
Varianza del estimador insesgado de la media
poblacional
 
V yˆins 
V  tˆins 
K2
S2 
1  
n  S2 N N
m
V yˆins  2  N 2 1   t   1  Mii M i2 i 
K   N  n n i 1
mi 

 

Varianza del estimador de la proporción
poblacional
n
 M  m  pˆ qˆ 
 N n   1  2
1
s 
 M 2  i i  i i 
V pˆ  
 
r
2
i

 M  m 1 
2
 N   nM 
nNM i 1
i  i 

 
donde
i
n
 M  pˆ  pˆ 
2
i
i
2
Donde pˆ i es el número de
y qˆi  1  pˆ i
sr2  i 1
n 1
unidades secundarias en la
muestra del conglomerado i
que poseen la característica de Donde ai es el número de unidades secundarias en la
muestra del conglomerado i que poseen la
interés
característica de interés y M  K / N
8
Formulario para el sustentante del
Examen Transversal por Campo de Conocimiento – Estadística – Módulo Muestreo
(EXTRA-ES-MUES)
Coordinación de los Exámenes Diagnósticos para la Licenciatura
MUESTREO SISTEMÁTICO
Estimador de la media poblacional
1 n
y   yi
n i 1
9
Formulario para el sustentante del
Examen Transversal por Campo de Conocimiento – Estadística – Módulo Muestreo
(EXTRA-ES-MUES)
Coordinación de los Exámenes Diagnósticos para la Licenciatura
Tablas estadísticas
Tabla z
Probabilidades acumuladas de la distribución normal estándar
La tabla da el área a la izquierda de un valor de Z o sea,
10
z
 
1
2
t 2
2
e dt  P  Z  z 
Formulario para el sustentante del
Examen Transversal por Campo de Conocimiento – Estadística – Módulo Muestreo
(EXTRA-ES-MUES)
Coordinación de los Exámenes Diagnósticos para la Licenciatura
Fuente: Said Infante Gil y Guillermo P. Zárate. Métodos estadísticos. Un enfoque interdisciplinario. 2a. ed., 3a. reimpr.,
Trillas, México, 1996.
11
Ceneval, A.C.
Camino al Desierto de los Leones (Altavista) 19,
Col. San Ángel, Del. Álvaro Obregón, C.P. 01000, Ciudad de México.
www.ceneval.edu.mx
El Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior es una asociación civil sin
fines de lucro que quedó formalmente constituida el 28 de abril de 1994, como consta en
la escritura pública número 87036 pasada ante la fe del notario 49 del Distrito Federal.
Sus órganos de gobierno son la Asamblea General, el Consejo Directivo y la Dirección
General. Su máxima autoridad es la Asamblea General, cuya integración se presenta a
continuación, según el sector al que pertenecen los asociados, así como los porcentajes
que les corresponden en la toma de decisiones:
Asociaciones e instituciones educativas (40%):
Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Educación Superior, A.C.
(ANUIES); Federación de Instituciones Mexicanas Particulares de Educación Superior,
A.C. (FIMPES); Instituto Politécnico Nacional (IPN); Instituto Tecnológico y de Estudios
Superiores de Monterrey (ITESM); Universidad Autónoma del Estado de México (UAEM);
Universidad Autónoma de San Luis Potosí (UASLP); Universidad Autónoma de Yucatán
(UADY); Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM); Universidad Popular
Autónoma del Estado de Puebla (UPAEP); Universidad Tecnológica de México (UNITEC).
Asociaciones y colegios de profesionales (20%):
Barra Mexicana Colegio de Abogados, A.C.; Colegio Nacional de Actuarios, A.C.; Colegio
Nacional de Psicólogos, A.C.; Federación de Colegios y Asociaciones de Médicos
Veterinarios y Zootecnistas de México, A.C.; Instituto Mexicano de Contadores Públicos, A.C.
Organizaciones productivas y sociales (20%):
Academia de Ingeniería, A.C.; Academia Mexicana de Ciencias, A.C.; Academia Nacional
de Medicina, A.C.; Fundación ICA, A.C.
Autoridades educativas gubernamentales (20%):
Secretaría de Educación Pública.
• Ceneval, A.C.®, EXANI-I®, EXANI-II® son marcas registradas ante la Secretaría de
Comercio y Fomento Industrial con el número 478968 del 29 de julio de 1994. EGEL®,
con el número 628837 del 1 de julio de 1999, y EXANI-III®, con el número 628839 del 1
de julio de 1999.
• Inscrito en el Registro Nacional de Instituciones Científicas y Tecnológicas del Consejo
Nacional de Ciencia y Tecnología con el número 506 desde el 10 de marzo de 1995.
• Organismo Certificador acreditado por el Consejo de Normalización y Certificación de
Competencia Laboral (CONOCER) (1998).
• Miembro de la International Association for Educational Assessment.
• Miembro de la European Association of Institutional Research.
• Miembro del Consortium for North American Higher Education Collaboration.
• Miembro del Institutional Management for Higher Education de la OCDE.
Dirección del Área de los EGEL
ENERO • 2017