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DISTRIBUCIÓN DE POISSON Los experimentos que resultan en valores numéricos de una variable aleatoria X, misma que representa el número de resultados durante un intervalo de tiempo dado o en una región especifica, frecuentemente se llaman experimentos de Poisson. El intervalo de tiempo dado puede ser de cualquier duración por ejemplo 1 minuto, una semana 1 mes o inclusive 1 año, de aquí que un experimento de Poisson puede generar observaciones para la variable aleatoria X que represente el numero de llamadas telefónicas por hora que se reciben en una oficina, el numero de días en que la escuela se cierra durante el invierno debido a la nieve, o el numero de juegos pospuestos debido a la lluvia durante la temporada de béisbol. La región especificada podría ser un segmento de una línea, una área o un volumen o tal vez el numero de ratas de campo por acre, el numero de bacterias en un determinado cultivo, etc. La distribución de Poisson es utilizada para determinar las probabilidades de ocurrencia de eventos poco probables esto es cuando p es un valor cercano a 0 y q es muy cercana a 1, con un tamaño de muestra grande (mayor a 50). Esta observación de la distribución de Poisson a partir de la distribución binomial nos permite entender mejor el planteamiento teórico del proceso de Poisson. Un proceso de Poisson tiene como propiedades las siguientes: 1.‐ El numero de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o región específicos es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo disjunto de tiempo o región del espacio desjunto. De esta manera se dice que el proceso de Poisson no tiene memoria. 2.‐ La probabilidad de que un resultado sencillo ocurra en un intervalo de tiempo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región y no depende del número de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región. 3.‐ La probabilidad de que más de un resultado ocurra en ese intervalo de tiempo tan corto o en esa región tan pequeña es despreciable. El numero X de resultados que ocurren en un experimento se le llama variable aleatoria de Poisson y su distribución de probabilidad recibe el nombre de distribución de Poisson. El número promedio de resultados se calcula con λ t, donde t es el tiempo o región específicos de interés. Dado que sus probabilidades dependen de λ , la tasa de ocurrencia de resultados se representa por la expresión p (x; λ t). La distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson X, que representa el número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo dado o en una región especifica indicada por t, es: ‐ λ t x e ( λ t) p (x ; λ t) ) = ____________ , x = 0, 1,2,..., x ! Donde λ (lambda) es el numero promedio de resultados por unidad de tiempo o región y e es una constante que tiene un valor de 2.71828 Ejemplo 1: El número promedio de partículas radioactivas que pasan a través de un contador durante un milisegundo en un experimento de laboratorio es igual a 4. ¿Cual es la probabilidad de que entren 6 partículas al contador en un milisegundo determinado? Si se utiliza la distribución de Poisson con x igual a 6 y ( λ t ) = 4 tendremos: (2.71828)‐ 4 4 6 4096 4096 p (6; 4 ) = ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ = ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ = ‐‐‐‐‐‐‐‐ = 0.1042 6! (54.6) (720) 39,312 Por tanto la probabilidad de que entren 6 partículas en un milisegundo determinado es de 10.42%. Para la Distribución de probabilidad de Poisson la media aritmética y la desviación estándar se calculan a partir de los siguientes modelos matemáticos: µ = λ t σ = √ λ t Si consideramos los datos del ejemplo anterior tenemos: µ = 4 σ = √ 4 = 2 Ejemplo 2: La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, ¿Cual es la probabilidad de tener 3 accidentes? (2.71828)‐ 6 6 3 216 216 p (3; 6 ) = ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ = ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ = ‐‐‐‐‐‐‐‐ = 0.0892 = 8.9 % 3! (403.4) ( 6 ) 2420.4 Ejemplo 2: El numero de solicitudes de préstamo que un banco recibe por día es una variable aleatoria que tiene una distribución poisson con λ = 7.5 ¿Calcule las probabilidades de que en cualquier día el banco reciba exactamente 6 solicitudes. Datos λ t = 7.5 X = 6 p (6; 7.5) = (2.71828)‐ 7.5(7.5)3 / 6! = (7.5)3/ (2.71828)7.5 (6!) = = 421,875/ (1808.033293) (720) = 421,875 / 1´301,783.98 = 0.3240 = 32.4 %