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Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Universidad de la República
Introducción a la Topología
Curso 2016
NOTAS TEÓRICO-PRÁCTICAS 8: CONEXIÓN
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Espacios topológicos conexos
Denición.
Una
separación
de un espacio topológico
no vacíos, disjuntos tal que su unión es
X.
X
es un par
Un espacio topológico
A, B , de conjuntos abiertos,
X es conexo si no existe una
separación.
Observación.
Observar que la propiedad de ser conexo es un invariante topológico, esto es, es
un invariante por homeomorsomos. Esto resulta del simple hecho que una separación en un
espacio induce una separación en cualquier espacio homeomorfo.
Observación.
Diremos que un subconjunto
C
de un espacio topológico
X
es conexo, si lo es
con la topología relativa.
Dado que es más fácil vericar que existe una separación de un espacio, que probar que es
conexo, veamos algunos ejemplos de espacios no conexos.
Ejercicio 1.
Encontrar separaciones para los siguientes subespacios topológicos de
R \ {0}; Q; X = [0, 1) ∪ (1, 2].
R:
Más en general, probar que un espacio de más de un punto con
la topología discreta, no es conexo.
Ejercicio 2.
Probar que el espacio
GL(n, R), de matrices reales n × n invertibles, no es conexo.
(C.f. Ejercicio 11, Práctico 4.)
Ejercicio 3.
Considerar el subespacio
1/x, x > 0}.
Probar que
Ejercicio 4.
X
X
de
R2
dado por la unión
no es conexo.
Probar que el intervalo
[0, 1]
es conexo.
AyB
C := {x ∈ A : x ≤ b, ∀ b ∈ B}.)
(Sugerencia: Suponer que existe una separación
supremo del conjunto
Observación.
R × {0} y {(x, y) ∈ R2 : y =
de
[0, 1].
Suponiendo
Es fácil adaptar la prueba del ejercicio anterior para concluir que
En particular, todo intervalo abierto de la recta es conexo.
Ejercicio 5.
0 ∈ A,
Sea
X
un espacio topológico. Probar que son equivalentes:
1.
X
es conexo.
2.
X
no es la unión de dos conjuntos cerrados disjuntos y no vacíos.
3. Todo subconjunto de
X
que no es
∅
ni
X,
1
tiene frontera no vacía.
R
estudiar el
es conexo.
4. Si un subconjunto
A
de
5. Toda función continua
f :X→R
6. Para toda
Ejercicio 6.
f (X)
X
es abierto y cerrado, entonces
f : X → {0, 1}
A=∅
o
A = X.
es constante.
continua se cumple que
Probar el Teorema de Bolzano: Si
f (X)
es un intervalo.
f :X→Y
es continua y
X
es conexo entonces
es conexo.
Observación.
El Teorema de Bolzano nos permite probar que ciertos espacios son conexos.
S 1 es conexo, por ser imágen de una función continua con dominio R.
Por ejemplo, el círculo
Ejercicio 7.
Probar que la clausura de un conjunto conexo es conexo. Concluir que si
Y ⊂ X,
es conexo, entonce
y
X
Y
es conexo. (Sugerencia: ¾quién es la clausura de
X
X ⊂
como
Y?
subespacio de
Observación. El anterior resultado nos permite probar nuevamente que el cícrulo S 1 es conexo
S1
probando que
menos un punto es homeomorfo a un intervalo abierto. Además nos permite
concluir que los intervalos semi-abierto, semi-cerrados también son conexos.
Ejercicio 8.
dados
Probar que los conexos de
a, b ∈ I ,
Observación.
conexo.
con
a < b,
El gráco
R son
(a, b) ⊂ I .)
entonces
G(f ) ⊂ R2
intervalos. (Decimos que
de la función
I
es un intervalo si
f : R+ → R, f (x) = cos(1/x)
(Esto resulta de que G(f ) es homeomorfo al dominio.)
es un
Observar que la clausura
G(f ) = G(f ) ∪ V , donde V es el segmento vertical {0} × [−1, 1]. Por lo tanto concluimos que
G(f ) es conexo. Sin embargo, resulta poco intuitivo que dado cualquier subjconjunto A ⊂ V
se tiene que G(f ) ∪ A es conexo.
Ejercicio 9.
Probar que la unión de conjuntos conexos que tienen un punto en común es
conexo. Concluir que un espacio
X,
X
es conexo si y sólo sí dados dos puntos arbitrarios
se tiene que existe un subconconjunto
Observación.
Xx,y
x, y
en
conexo que los contiene.
Del resultado anterior podemos concluir que los espacios vectoriales normados
son conexos. Esto resulta de que para cualesquiera dos puntos
t ∈ R} es un conexo que los contiene.
x
e
y,
la recta
{x + t(y − x) :
Resulta entonces que toda bola abierta es conexa por ser
homeomorfa al espacio ambiente, y también toda bola cerrada por ser en este caso la clausura
n
de la bola abierta. En particular R es un espacio topológico conexo, y la bolas también lo son.
n−1
Observar además que esto permite probar que la esfera unidad S
es conexa.
Ejercicio 10.
Probar que:
X
e
Y
son espacios conexos, si y sólo si
X ×Y
es conexo.
(Idea de la ida: Observar que las bras del producto son conexas por ser homeomorfas a uno de
los factores. Por lo tanto la unión de dos bras de distintos factores son homeomorfas. Escribir
el espacio como unión de estos conexos con un punto en común.)
Observación.
El resultado anterior se extiende facilmente pare el caso de productos nitos de
espacios. A continuación extenderemos este resultado a productos arbitrarios.
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Ejercicio 11.
El producto arbitrarios de espacios, es conexo, si y sólo sí, sus factores son
conexos.
b = {bα }α∈I ∈
Q
α∈I Xα := X . Para
α1 , . . . , αn ∈ I sean X(α1 , . . . , αn ) el subespacio del producto formado por todos los x tal
que πβ (x) = bβ , para todo β 6= αi , (i = 1, . . . , n). Entonces X(α1 , . . . , αn ) es conexo por ser
homeomorfo al producto Xα1 × · · · × Xαn . Sea Y = ∪X(α1 , . . . , αn ), donde la unión se toma en
las partes nitas de subíndice de I . Es fácil ver que Y es conexo, pero además es denso en X .)
(Idea de la prueba: Consideremos un punto jo base
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Componentes Conexas
Cuando estamos en la presencia de un espacio que no es conexo, es natural preguntarse cuántas
piezas o componentes tiene el espacio. Esta pregunta es de suma importancia en algunos
contextos como la topología algebraica y la topología diferencial. A modo de ejemplo considere
1
1
1
el espacio C(S ) de funciones continuas de S en S . ¾Cuáles son las componentes conexas de
este espacio?
Sea
X
X
C
un espacio topológico, llamemos
al conjunto de todos los subconjuntos conexos de
(conexos como subespacios). Consideremos a
Ejercicio 12.
Denición.
Probar que
C
Ejercicio 13.
X
ordenado por la inclusión.
tiene elementos maximales. Sugerencia: usar lema de Zorn.
Los elementos maximales de
componentes conexas de
C
C
componentes conexas
totalmente disconexo.
se denominan
son puntos diremos que
X
es
Probar que las componentes conexas son cerradas.
de
X.
Si las
Encontrar un ejemplo en
el cual no sean abiertas (Sugerencia: pensar en un espacio totalmente disconexo que no sea
discreto).
El siguiente ejercicio nos da una denición alternativa de componente conexa.
Ejercicio 14.
Probar que las componentes conexas de un espacio
alencia por la relación:
x ∼ y
X
son las clases de equiv-
si y sólo si ambos pertenecen a un subespacio conexo de
X.
Concluir que las componenentes conexas son conexos, cerrados, disjuntos, tal que su unión es
todo el espacio.
Ejercicio 15.
Hallar las componentes conexas de
Ejercicio 16.
Consideramos en un espacio
X
Q,
y del conjunto de Cantor.
dos topologías
τ1
y
τ2
con la primera mas na
que la segunda.
1. Probar que un conjunto conexo en
τ1
lo es en
τ2 .
Muestre con un ejemplo que no vale el
recíproco.
2. Probar que las componentes conexas respecto
conexas respecto a
Ejercicio 17.
τ1
son mas chicas que las componentes
τ2 .
Probar que un espacio métrico conexo con más de un punto es no numerable.
(Sug: considerar la función distancia a un punto.)
3
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Conexión Local
Denición.
Un espacio topológico se dice
localmente conexo
si para todo punto existe una
base de entornos conexos.
Ejemplos.
X
Consideremos
X = R × {0} ∪ Q × R ⊂ R2
con la topología relativa. Observar que
es conexo pero no localmente conexo. Un espacio vectorial normado es localmente conexo.
Ejercicio 18.
Mostrar ejemplos de espacios que cumplen que son conexos pero no localmente
conexos, y viceversa.
Ejercicio 19. Probar que si un espacio es localmente conexo entonces sus componentes conexas
son abiertas.
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Conexión por Caminos
Denición.
Un espacio topológico
par de puntos
Ejercicio 20.
(i)
Rn ;
(ii)
x, y ∈ X
X
se dice
conexo por caminos
α : [0, 1] → X tal
existe una curva continua
o
arcoconexo
α(0) = x
que
si para todo
y
α(1) = y .
Probar que los siguientes ejemplos son espacios conexos por caminos:
n−1
(iii) S
⊂ Rn−1 ; (iv) el subconjunto de R2 de pares con al menos
Rn \ {0};
una coordenada irracional,
Ejercicio 21.
Probar que la imagen, por una función continua, de un conjunto conexo por
caminos es conexo por caminos.
De esta manera la conexión por caminos resulta ser un invariante topológico. Por ejemplo
es fácil ver que el intervalo
(a, b]
no es homeomorfo a un intervalo cerrado o abierto.
Ejercicio 22. Probar que la unión de conjuntos arcoconexos, con al menos un punto en común,
es arcoconexo. ¾Es el producto cartesiano de arcoconexos, arcoconexo?
Ejercicio 23.
Ejercicio 24.
Probar que si
Sea
X
X
es conexo por caminos entonces es conexo.
f : (0, +∞) → R, f (x) = cos( x1 ). Probar que X
(Sugerencia: probar que si α : [0, 1] → X es continua,
la clausura el gráco de
es conexo pero no conexo por caminos.
α−1 ({0} × [−1, 1]) es abierto y cerrado.)
entonces
Observar que del ejercicio anterior resulta que la clausura de un conjunto conexo por caminos
no tiene por qué ser conexo por caminos.
Denición.
localmente arcoconexo si para todo punto existe una
componentes arcoconexas de un espacio topológico
relación: x ∼ y si existe una curva continua que los une.
Un espacio topológico se dice
base de entornos arcoconexos. Denimos las
como las clases de equivalencia de la
Ejercicio 25.
La componente arcoconexa de
x∈X
es el conjunto arcoconexo maximal que lo
contiene.
Ejercicio 26.
Probar que en un espacio localmente arcoconexo, las componentes arcoconexas
coinciden con las componentes conexas.
En particular los abiertos conexos de
Rn
son conexos por caminos.
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