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Elementos de Computación
Universidad Nacional del Sur
Sistemas de Numeración
Sistema Numérico Binario ........................................................................................................................ 1
Sistema Numérico Hexadecimal ............................................................................................................... 2
Código BCD ............................................................................................................................................. 4
Aritmética Binaria .................................................................................................................................... 6
Suma Binaria ........................................................................................................................................ 6
Resta Binaria ........................................................................................................................................ 6
Multiplicación Binaria .......................................................................................................................... 6
División Binaria.................................................................................................................................... 7
Reducción de números comunes decimales a números binarios ........................................................... 8
Complemento A1 y complemento A2....................................................................................................... 9
Aritmética binaria utilizando los Complementos A1 y A2 ....................................................................... 9
Unidades de Medida ............................................................................................................................... 10
Los Datos Binarios ................................................................................................................................. 10
Códigos Alfanuméricos .......................................................................................................................... 10
Ejercicios del Apéndice 1: ...................................................................................................................... 12
Sistema Numérico Binario
Las computadoras digitales utilizan números binarios. El sistema de numeración binario, o de base
2, utiliza solamente los dígitos 0 y 1; los dígitos binarios se llaman bits. En los circuitos electrónicos de
las computadoras el bit 0 habitualmente se representa por una tensión BAJA mientras que el bit 1
corresponde a una tensión ALTA.
Las personas estamos acostumbrados a manejarnos con el sistema de numeración decimal, o de
base 10, que tiene 10 dígitos (0-9). Este sistema también tiene la característica de valor por posición; por
ejemplo, el número 1327 es igual a 1 por 1000 más tres por cien más dos por diez mas siete, tal como se
muestra:
103
102
101
100
1.000
100
10
1
1
3
2
7
1.000 + 300 + 20 +
7 = 1327
Potencias de 10
Valor de posición
Dígito
Decimal
El sistema de numeración binario también tiene la característica de valor por posición. El valor
decimal de las cuatro primeras posiciones binarias se muestra es:
Potencias de 2
Valor de posición
Binario
Decimal
MS
B
23
8
1
8 +
22
4
0
0 +
LSB
21
2
0
0 +
20
1
1
1 = 9
Luego el número binario 1001 (se pronuncia uno, cero, cero, uno) se convierte a su equivalente
decimal de 9. El primero y último bits se llaman bit mas significativo (MSB) y bit menos significativo
(LSB) respectivamente.
Los equivalentes binarios de los números decimales entre 0 y 15 se muestran en la figura siguiente.
Para trabajar en nuestra materia deberemos memorizar como mínimo estos números.
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Elementos de Computación
Decimal
10 1
0 0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
1 0
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
Universidad Nacional del Sur
8
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
Binario
4
2
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Si por ejemplo deseamos convertir el número binario 10110110 (se pronuncia uno, cero, uno, uno,
cero, uno, uno, cero) a su equivalente decimal, el procedimiento es por cada bit 1 del número binario se
escribe debajo el valor de la posición decimal y después se suman los decimales (128 + 32 + 16 + 4 + 2 =
182).
La base del número se anota como un subíndice (también se la denomina raíz del número). Luego
tendremos que el número 101101102 es un número binario o en base 2 y el número 182 10 es un número
decimal o en base 10.
Para convertir el número decimal 155 a binario se sigue el procedimiento de divisiones sucesivas
por el número 2 hasta llegar a un resto de uno o cero. El primer resto es el bit menos significativo (LSB) y
el último resto será el bit mas significativo (MSB). Esto se ejemplifica como sigue abajo:
15510
7710
3810
1910
910
410
210
110








2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
=
=
=
=
=
=
77
38
19
9
4
2
1
0
resto de 1
resto de 1
resto de 0
resto de 1
resto de 1
resto de 0
resto de 0
resto de 1
LSB
MSB
luego 15510 = 100110112
Sistema Numérico Hexadecimal
Los datos en los microprocesadores estándares son de 8 bits, y las direcciones de 16 bits. Luego
escribir un dato o una dirección en forma binaria da una larga cadena de ceros y unos que es difícil
recordar y teclear (o escribir), podríamos pasarlo a decimal pero el proceso de conversión es demasiado
largo (aún en caso de contar con una calculadora ya que la misma debería admitir 16 bits y no es común
esto -generalmente son de 8 o 9 dígitos-).
Es por ello que se utiliza la notación Hexadecimal para simplificar la tarea de recordar y teclear
los números binarios.
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El sistema de numeración hexadecimal o de base 16, utiliza los símbolos del 0 al 9 y luego
continúa con las letras A, B, C, D, E, F. La siguiente tabla muestra los equivalentes Binario, Decimal, y
Hexadecimal para los primeros 16 números.
Decimal
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
Binario
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Hexadecimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
Si prestamos atención veremos que a cada símbolo hexadecimal le corresponde una única
combinación de cuatro bits. Luego el número binario 10011110 puede ser representado como 9E en
hexadecimal. Esto significa la parte 1001 es igual a 9 y la parte 1110 es igual a E. Diremos entonces que
100111102 = 9E16. (Recuerden que el subíndice indica la base del número).
Luego dado un número binario para convertirlo en hexadecimal debemos dividir el número binario
en grupos de 4 bits comenzando por el LSB, luego sustituimos cada grupo de 4 bits por su dígito
hexadecimal correspondiente. En caso de que no se formen grupos exactos se agregan tantos ceros a la
izquierda como sean necesarios. Veamos un ejemplo con el número 111010 2
Binario
Hexadecimal
Grupo de 4 bits
0011
3
Grupo de 4 bits
1010
A
Luego será 1110102 = 0011 10102 = 3A16.
Si deseamos, en cambio convertir un número hexadecimal en binario debemos reemplazar cada
dígito hexadecimal por su equivalente en binario y agruparlos, veamos un ejemplo con el número 7F 16.
Hexadecimal
Binario
7
0111
F
1111
Luego será 7F16 = 0111 11112 = 011111112.
La notación hexadecimal es muy utilizada para representar números binarios. Para facilitar el
proceso debemos memorizar la tabla de conversión vista arriba.
Si deseamos convertir un número hexadecimal en decimal se utiliza un procedimiento similar al
visto para pasar de binario a decimal. Supongamos que deseemos convertir el número hexadecimal 2C6E
el procedimiento se representa en la siguiente tabla:
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163
4096
2
Potencias de 16
Valor de posición
Hexadecimal
Decimal
162
256
C
161
16
6
4096
256
x2
x 12
8192 + 3072
16
x6
+ 96
160
1
E
1
x 14
+ 14 = 11.37410
Si deseamos convertir un número decimal en hexadecimal se utiliza un procedimiento similar al
visto para pasar de decimal a binario. Supongamos que deseemos convertir el número decimal 15.797 el
procedimiento se representa en la siguiente tabla:
15.79710
98710
6110
310




16
16
16
16
=
=
=
=
987
61
3
0
resto de 510
resto de 1110
resto de 1310
resto de 310
= 516
= B16
= D16
= 316
LSD
MSD
luego 1579710 = 3DB516
Código BCD
Los números binarios puros se representan en notación hexadecimal para hacer mas fácil la
conversión. Sin embargo, la conversión binario a decimal es bastante difícil. Donde son frecuentes las
entradas y salidas del usuario en decimal, se utiliza un código especial para representar los números
decimales. Este código se denomina BCD (Decimal Codificado Binario).
Las equivalencias se dan en la tabla siguiente. Técnicamente esta tabla detalla el código BCD8421.
La parte del nombre 8421 da el valor de la posición a los 4 bits del código BCD. También se utilizan
otros códigos BCD como por ejemplo el código BCD5421 y el código exceso 3. Cuando hablamos del
código BCD sin indicar nada mas nos estamos refiriendo al BCD8421.
Luego el código BCD8421 o simplemente BCD será:
Decimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
BCD
4 2
0 0
0 0
0 1
0 1
1 0
1 0
1 1
1 1
0 0
0 0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
El procedimiento para convertir un número decimal a su equivalente BCD8421 consiste en traducir
cada dígito decimal a su equivalente BCD de 4 bits. Y a la inversa para convertir de BCD a decimal. Esto
se puede ver en los ejemplos siguientes
Decimal
BCD
3
0011
6
0110
9
1001
1
0001
es decir 369110 = 0011011010010001BCD
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BCD
Decimal
Universidad Nacional del Sur
1000
8
0000
0
0111
7
0010
2
es decir 1000 0000 0111 0010 BCD = 1000000001110010BCD = 807210
El código BCD5421 será:
Decimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Decimal
BCD5421
5
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
BCD
4 2
0 0
0 0
0 1
0 1
1 0
0 0
0 0
0 1
0 1
1 0
3
0011
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
6
1001
9
1100
1
0001
es decir 369110 = 0011100111000001BCD5421
BCD
Decimal
1011
8
0000
0
1010
7
0010
2
es decir 1011 0000 1010 0010 BCD5421 = 1011000010100010 BCD5421 = 807210
El código BCDexceso 3 o simplemente BCDe3 será:
Decimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Decimal
BCDe3
BCD
Exceso 3
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 0 1
0 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 0 1 1
1 1 0 0
3
0110
6
1001
9
1100
1
0100
es decir 369110 = 0110100111000100BCDe3
BCD
Decimal
1011
8
0011
0
1010
7
0101
2
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es decir 1011 0011 1010 0101 BCDe3 = 1011001110100101BCDe3 = 807210
Aritmética Binaria
Sumar, restar, multiplicar o dividir números binarios se realiza de forma similar a la aritmética
decimal. La mayoría de los P tienen instrucciones para sumar o restar, los mas avanzados tienen incluso
instrucciones para multiplicar y dividir, por ejemplo 8086, 8088, 80286, 80.386 y 68.000 (Y obviamente
todos los que les siguen).
Suma Binaria
La mejor forma de explicar la suma es con un ejemplo como sigue, sumar los números binarios
001110112 y 001010102
Arrastres
Primer sumando
Segundo sumando
Suma (resultado)
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
Binario
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
Decimal
1
5
9
4
2
0
1
Resta Binaria
Con respecto a la resta binaria solo podemos decir que es sumamente obvia e idéntica al proceso
realizado en decimal y solo la mostraremos a través del siguiente ejemplo, hacer 01010101 2 menos
001110012:
Se refiere al “pedir prestado”
Arrastres
Minuendo
Sustraendo
Diferencia
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
Binario
10 10
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
Decimal
7
1
8
5
5
7
2
8
1
1
0
Es decir nos queda 010101012 - 001110012 = 000111002 que en decimal es 8510 - 5710 = 2810.
Multiplicación Binaria
Las reglas para la multiplicación binaria son las que siguen a continuación
Multiplicando
Multiplicador
Producto
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
Veamos la multiplicación con un ejemplo, multiplicar los números 1101 2 y 1012.
Multiplicando
Multiplicador
Primer producto parcial
Segundo producto parcial
Tercer producto parcial
Resultado final
1
1
0
0
1
0
Binario
1 1
1
1 1
0 0
0 1
0 0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
Decimal
1 3
5
6
5
Como en la multiplicación decimal, el multiplicando se multiplica primero por el dígito menos
significativo. En el caso del ejemplo tenemos:
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 El bit del 1 del multiplicador es 1 por lo tanto se copia el multiplicando como primer producto
parcial.
 El bit 2 del multiplicador es un cero por lo tanto el segundo producto parcial es cero. Observen
que este se desplaza una posición a la izquierda.
 El bit del 4 del multiplicador es 1, por lo tanto el multiplicando se copia como tercer producto
parcial. Observar que ahora se produce un segundo desplazamiento a la izquierda.
 Luego se suman los productos parciales para tener el resultado del producto parcial.
En resumen 11012 x 1012 = 10000012 o que 1310 x 510 = 6510
División Binaria
Se realiza exactamente igual que en decimal. Debemos tener claro para poder dividir la multiplicación y la
resta. Vemos ejemplos de cómo realizarla
a.- Dividir el número 10112 por el número 1012.
1 0 1 1
1 0 1
1 0
1 0 1
0 0 0 1
El resultado es 102 con un resto de 12
b.- Dividir el número 1101102 por el número 1102.
1 1 0 1 1 0
1 1 0
1 0 0 1
1 1 0
0 0 0 1 1 0
1 1 0
0
El resultado es 10012 con un resto de 02
c.- Dividir el número 0,101102 por el número 1102.
0, 1 0 1 1 0
1 1 0
1 0 1
1 1
1 0
1
1
0,
1
0
0
0 0 1 1 1 0 1 0
0
0
0 0
1 0
1 0 0 0
1 1 0
1 0 0
El resultado es 0,000111010 2. Siendo el 10 un valor periódico.
d.- Dividir el número 101110101102 por el número 11012.
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1 0 1 1 1
1 1 0 1
1 0 1 0
1 1 0
1 1
1 1
Universidad Nacional del Sur
0 1 0 1 1 0
0
1
1 1
0 1
1 0 0 1 1
1 1 0 1
1 1 0 0
1 1 0
1 0 1
1 1
1 0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1 0 0
1 0 1
1 1
. . .
1
1
0
1
1
0
0
1
0, 1
1
1
0
1
.
El resultado es 1110010,111012 con un resto, por lo que habría que continuar con la cuenta, situación que
se indica con los puntos suspensivos. (Dejo esto para Uds.)
Reducción de números comunes decimales a números binarios
Tomemos como ejemplo convertir el valor 18,36 10 podemos reducirlo a binario de dos maneras distintas,
analicemos ambas:
La primera de ellas es por sucesivos cocientes del número 2, lo cual ya fue visto, por lo tanto no lo haré
dejándolo para Uds., luego compararán el resultado con la segunda forma.
La otra es realizando el cociente entre el número 1836 10 expresado en binario con el número 10010
expresado en binario. (18,36 = 1836/100)
183610 = 111001011002
10010 = 11001002
1 1 1 0 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 0 1
1 1 0 0 1
1 0 0
1 1
1
1 0 0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
.
0
1
1
0
0
.
1
0
0
0
0
1
1
0, 0
1
0
1
1
0
1
1
.
El resultado es 10010,010112 con un resto, por lo que habría que continuar con la cuenta, situación que
se indica con los puntos suspensivos. (Dejo esto para Uds.)
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Complemento A1 y complemento A2
El complemento A1 de un número se obtiene de cambiar sus ceros por unos y sus unos por cero
como se ve a continuación
Número original
A1 (10101010)
1 0 1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1 0 1
El complemento A2 de un número se obtiene sumando 1 (uno) al complemento A1 de dicho
número
Número original
A1 (10101010)
A2 (10101010)
0 0 1 0 1 0 1
1 1 0 1 0 1 0
+
1 1 0 1 0 1 1
0
1
1
0
Luego los pasos para realizar la conversión serían:
 Paso 1. Listar el número decimal sin signo.
 Paso 2. Convertir el número decimal a binario.
 Paso 3. Complementar cada bit formando el complemento A1.
 Paso 4. Sumar 1 al número en complemento A1.
 El resultado es el complemento A2 del número original
Para representar números con signos hay muchas formas una, tal vez la mas simple consiste en
reservar el MSB para indicar el signo, si es un cero el número es positivo, si es un uno el número es
negativo, pero dejando al número sin alterar.
Sin embargo suele usarse el complemento A2 para representar números negativos por su
simplicidad para efectuar restas como si fueran sumas
Aritmética binaria utilizando los Complementos A1 y A2
Un microprocesador puede utilizar números en complemento A2 porque puede complementar,
incrementar y sumar números binarios. Los P no tienen circuitería para restar, en su lugar utilizan un
sumador y números en complemento A2.
Repitamos el ejemplo visto para la resta, donde debíamos hallar el resultado de hacer 01010101 2
menos 001110012:
Se refiere al “pedir prestado”
Arrastres
Minuendo
Sustraendo
0
0
Minuendo
A2 (Sustraendo)
Suma
0
1
0
1
0
1
0
1
Binario
10 10
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
Decimal
7
1
8
5
5
7
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
8
-5
2
0
0
1
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Es decir nos queda 010101012 - 001110012 = 010101012 + 110001112 = 000111002.
Unidades de Medida
Un dígito binario se llama BIT (BInary DigiT). Cuatro bits agrupados se denomina nibble. Ocho
bits agrupados se denominan byte.
Los datos en los microprocesadores estándares tiene buses de datos que son de 8 bits esto es un
byte, y los buses de direcciones son de 16 bits, es decir dos bytes. Sin embargo, en general podemos decir
que los P tienen longitudes de palabras de 4, 8, 16, y 32 bits. Palabra es un grupo de bits que es
procesada como un simple número o instrucción por el P.
Las otras unidades de medida que se manejan en computación son Kbyte (Kb), Mega byte (Mb),
Giga byte (Gb), relacionadas como sigue:
1 Byte
1 Kb
1 Mb
1 Gb
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Los Datos Binarios
En general el contenido binario de la memoria perteneciente a un P, puede representar:







Un número binario.
Un número binario con signo.
Un número BCD.
Un carácter (una letra del alfabeto, …).
Una instrucción.
Una dirección de memoria.
Una dirección de un puerto de entrada o salida.
Es importante observar que en los P los bits se agrupan en palabras. Estas palabras de la memoria
son interpretadas, de a una por vez. Es importante conocer como el P realiza las secuencias e interpreta
los datos.
Cada P tiene su propio código, único, de instrucciones, sin embargo todos realizan el
secuenciamiento de las posiciones de memoria de forma similar.
Códigos Alfanuméricos
Son necesarios códigos que contiene caracteres alfabéticos y numéricos para la comunicación entre
el P y el resto de los dispositivos (monitor TRC -tubo de rayos catódicos-, impresora, etc.). De ahí que a
estos códigos se los llame Alfanuméricos.
El más popular de todos es el código ASCII (se pronuncia aski), que es el American Standard
Code for Information Interchange (Código Americano Estándar para el Intercambio de Información).
La tabla que se da a continuación contiene un resumen del código ASCII, el cual en forma
completa contiene un código de 7 bits para números, letras mayúsculas, caracteres de puntuación, letras
minúsculas y caracteres de control.
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Elementos de Computación
Caracter
Espacio
!
“
#
$
%

‘
(
)
*
+
,
.
/
0
1
2
3
4
5
6
7
8
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Universidad Nacional del Sur
ASCII
010 0000
010 0001
010 0010
010 0011
010 0100
010 0101
010 0110
010 0111
010 1000
010 1001
010 1010
010 1011
010 1100
010 1101
010 1110
010 1111
011 0000
011 0001
011 0010
011 0011
011 0100
011 0101
011 0110
011 0111
011 1000
011 1001
Caracter
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
ASCII
100 0001
100 0010
100 0011
100 0100
100 0101
100 0110
100 0111
100 1000
100 1001
100 1010
100 1011
100 1100
100 1101
100 1110
100 1111
100 0000
101 0001
101 0010
101 0011
101 0100
101 0101
101 0110
101 0111
101 1000
101 1001
101 1010
Otro código también usado pero no tan popular (es decir no utilizado en las PC’s) es el EBCDIC
(Extended Binary Code Decimal Interchange Code) el cual se trabaja en las computadoras grandes de
IBM (Main Frame).
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Universidad Nacional del Sur
Ejercicios Propuestos:
1. Convertir los siguientes números binarios en sus equivalentes decimales
a) 10012
b) 11002
c) 11012
d) 11112
e) 100000002
f) 000100002
g) 001100112
h) 011001002
i) 000111112
j) 111111112
k) 0111111102
l) 10110110001110012
m) 11011101001100112
2. Convertir los siguientes números decimales en sus equivalentes binarios
a) 73410
b) 12310
c) 34510
d) 3456
e) 9812310
f) 3465710
g) 9934510
h) 8365210
3. Armar una tabla de conversión Decimal - Binario - Hexadecimal que vaya desde el cero hasta el 40
decimal.
4. Convertir los siguientes números binarios en sus equivalentes hexadecimales
a) 10012
b) 11002
c) 11012
d) 11112
e) 100000002
f) 0111111102
g) 10110110001110012
h) 11011101001100112
5. Convertir los siguientes números hexadecimales en sus equivalentes binarios
a) 7E16
b) DB16
c) 34516
d) 3FF16
e) 12A316
f) 34CF16
g) C34516
h) E3FF16
6. Convertir los siguientes números decimales en sus equivalentes BCD8421:
a) 3910
b) 6510
c) 4010
d) 1710
e) 8210
f) 9910
7. Convertir los siguientes números BCD8421 en sus equivalentes decimales:
a) 1000 0000BCD
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Universidad Nacional del Sur
b) 0000 0001BCD
c) 1001 0010BCD
d) 0111 0110BCD
e) 0100 0011BCD
f) 0101 0101BCD
Resolver las siguientes sumas binarias
a) 10102 + 01012
b) 11012 + 01012
c) 010110112 + 000011112
d) 001111112 + 000111112
Resolver las siguientes restas binarias
a) 10102 - 10002
b) 10102 - 01012
c) 011001102 - 000110102
d) 011110002 - 001111112
Resolver las siguientes multiplicaciones binarias
a) 10012 x 112
b) 11012 x 10012
c) 11112 x 1012
d) 11102 x 11102
e) 010110112 x 000011112
f) 001111112 x 000111112
g) 011001102 x 000110102
h) 011110002 x 001111112
Resolver las siguientes divisiones binarias
a) 10012 / 112
b) 11012 / 10012
c) 11112 / 1012
d) 11102 / 11102
e) 010110112 / 000011112
f) 001111112 / 000111112
g) 011001102 / 000110102
h) 011110002 / 001111112
i) 0101110,0010112 / 0110112
j) 110011,10101012 / 01101112
k) 110110,1101101102 / 1010102
l) 1010101,010101012 / 1111112
Dar la notación en complemento A2 de los siguientes números decimales
a) +110
b) +510
c) +12710
d) -110
e) -210
f) -12810
Hallar el complemento A1 y A2 de los resultados de todos los incisos de los problemas 7, 8 y 9.
Si consideramos que los resultados de todos los incisos de los problemas 7, 8 y 9 son los
complementos A2 de algún número, hallar en cada caso este número.
Resolver las siguientes restas como sumas binarias del complemento A2 del número a restar.
Comparar los resultados con los del problema 8.
a) 10102 + (10002)
b) 10102 + (01012)
c) 011001102 + (000110102)
d) 011110002 + (001111112)
Resolver las siguientes sumas algebraicas en notación binaria
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a)
b)
c)
d)
e)
f)
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12310 + 3F516 - 2416 - 110011011012
- 110011011012 + 0010001012 - 9110 + FD516 + 216 - 10001012
33310 + A3E16 - 2416 - 111111000012
152,310 + 3F516 – 2B416 – 11001101,1012
– 11001101,1012 + 00100,01012 - 9110 + FD516 + F3216 – 10110,01012
393,9310 + A3E16 - 2416 – 11111,1000012
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