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CEROS
DE POLINOMIOS
DISTRIBUCIONALES
Comunicación efectuada
por el Académico Titular Dr. Julio H. G. Olivera
en la Academia Nacional de Ciencias de Buenos Aires,
sesión plenaria del 26 de mayo de 2009
Resumen
Contemplando el espacio de distribuciones o funciones generalizadas
como álgebra topológica con la multiplicación inducida por el isomorfismo
de Komura, se demuestra aquí que todo polinomio complejo sin término
constante, definido sobre el álgebra de distribuciones mediante el sistema
asociado de homomorfismos complejos, se anula sobre un ideal cerrado de
dimensión infinita.
Abstract
Zeros of distributional polynomials. Viewing the space of distributions or generalized functions as a topological algebra with the multiplication induced by Komura’s isomorphism, we show here that every complex
polynomial without constant term, defined on the distributions algebra
through the associated system of complex homomorphisms, vanishes on a
closed infinite-dimensional ideal.
1. Intoducción
Presentamos aquí una reformulación de [3] que incorpora los
nuevos resultados obtenidos en [4] y [5]. La diferencia más importante con la versión originaria es de índole técnica: en lugar de la topología de Tietze (‘‘box topology’’) empleamos la topología habitual de
los productos de espacios (topología de Tychonoff).
El glosario, por lo demás, se mantiene sin modificaciones; en
particular,
1) si X es un álgebra topológica con elemento identidad e, se denomina subálgebra generada por Y ⊂ X la subálgebra cerrada más
pequeña Z ⊂ X tal que {Y, e} ⊂ Z;
2) dada una familia H de funciones complejas (resp. reales) definidas sobre un conjunto X, se dice que una función definida sobre X es
un polinomio sin término constante con relación a H si es de la forma
x → g(f1(x), f2(x), …, fn(x)),
donde g denota un polinomio sin término constante con coeficientes
complejos (resp. reales) en n indeterminadas (n arbitrario) y las fi
(1 ≤ i ≤ n) son funciones pertenecientes a H.
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Del mismo modo que en [3], [4] y [5], se asigna al espacio de distribuciones la estructura algebraica completa inducida por el isomorfismo
de Komura [2].
2. Proposiciones
TEOREMA 1. Sea X1 el espacio de distribuciones considerado como
álgebra topológica; F1, el conjunto de homomorfismos de X1 en el
cuerpo de números complejos. Todo polinomio sin término constante con relación a F1 se anula sobre un ideal cerrado de dimensión
infinita.
En efecto, como se demuestra en [5], X1 es un álgebra funcionalmente continua. Esto implica que F1 coincide con el conjunto de
homomorfismos complejos continuos de X1. El núcleo de cada elemento de F1 es por consiguiente un ideal cerrado de X1, de codimensión
compleja 1; y, en consecuencia, de dimensión infinita puesto que X1
posee dimensión infinita. La intersección de n espacios con tales atributos es un ideal cerrado de dimensión infinita.
TEOREMA 2. Sea X2 el espacio de distribuciones reales considerado
como álgebra topológica; F2, el conjunto de homomorfismos de X2 en el
cuerpo de números reales. Todo polinomio sin término constante con
relación a F2 se anula sobre un ideal cerrado de dimensión infinita.
Dado que X2 es un álgebra funcionalmente continua ([5]), el razonamiento que prueba este enunciado es idéntico en esencia al de
la demostración precedente.
TEOREMA 3. Sea B un conjunto acotado de distribuciones complejas o reales; X3, la subálgebra generada por B; F3, el conjunto de los
homomorfismos de X3 en el cuerpo de coeficientes. Si B es de dimensión infinita, todo polinomio sin término constante con relación a F3
se anula sobre un ideal cerrado, metrizable y separable, de dimensión
infinita.
Según se demuestra en [4], X3 es funcionalmente continua y su
topología es metrizable y separable. Todo elemento de F3 resulta así
automáticamente continuo y se anula sobre un ideal cerrado, metrizable y separable, que tiene dimensión infinita por la hipótesis concerniente a la dimensión de B. La demostración concluye notando
que la intersección de n conjuntos cerrados, metrizables y separables,
de dimensión infinita, posee tales atributos.
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TEOREMA 4. Los teoremas anteriores valen igualmente para las
distribuciones con soporte compacto y las distribuciones temperadas.
En efecto, los argumentos de los párrafos precedentes pueden
transferirse sin alteración a los dos espacios referidos.
3. Observaciones
I) Aunque los espacios de distribuciones no son normables, el
teorema 1 tiene afinidad con la siguiente proposición: Si E es un espacio de Banach complejo de dimensión infinita y P: E → C es un
polinomio homogéneo, existe un subespacio de dimensión infinita sobre
el cual P se anula (ver [7] y [1]).
II) La existencia de conjuntos acotados de dimensión infinita contenidos en el espacio de distribuciones, hipótesis del teorema 3, se infiere de una proposición clásica de L. Schwartz ([6], página 86,
teorema XXII).
III) El teorema 4 se extiende asimismo a los espacios de distribuciones D’Lp, definidos en [6] y relacionados con los espacios de
Sobolev Wm, p.
Referencias
[1] R. Aron, D. García, M. Mestre, Linearity in non-linear problems,
RACSAM, Rev. R. Acad. Cien., Serie A. Mat. 95 (1) (2001) 7-12.
[2] T. Komura, Y. Komura, Ueber die Einbettung der nuclearen Raeume,
Math. Ann. 102 (1966) 284-288.
[3] J. H. G. Olivera, Polinomios distribucionales, An. Acad. Ciencias Econ.,
48 (2003) 39-42.
[4] J. H. G. Olivera, Álgebras y polinomios distribucionales, An. Acad.
Ciencias Bs. Aires, 50 (2006) 105-109.
[5] J. H. G. Olivera, Álgebras distribucionales funcionalmente continuas,
An. Acad. Ciencias de Bs. Aires, 52 (2008) 109-114.
[6] L. Schwartz, Théorie des distributions, nouvelle édition, Paris, 1966.
[7] I. Zalduendo, Ceros de polinomios sobre espacios de Banach, An. Acad.
Ciencias Bs. Aires, 33 (1999) 439-447.
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