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Anexo 1 Puente de Wheastone y referencias de tensión y de corriente
Es propósito de este Anexo brindar al lector un resumen de las características generales del circuito
ideado por Sir Charles Wheastone (1802 – 1875) en 1844 con el propósito de medir resistencias
desconocidas a partir de tres resistencias conocidas, una fuente de excitación (tensión o corriente) y
un galvanómetro, así como ofrecer una breve descripción de los circuitos conocidos como
referencias de tensión y de corrientes muy utilizados para la alimentación de puentes de medida y
para las fuentes de referencias de los convertidores D/A y A/D.
A1.1 Puente de Wheastone. Medida por comparación.
La figura A1.1 presenta el circuito conocido como puente de Wheastone que posee cuatro
resistencias conectadas en forma de cuadrilátero y una fuente de excitación, en este caso de tensión.
Si una de sus resistencias (RX) es de valor desconocido, modificando la resistencia conocida del
brazo adyacente (R3) se puede encontrar un valor tal que haga que la tensión entre los puntos de
medida a y b del puente sea nula (Vs = 0). En este equilibrio, la corriente por las resistencias R1 y
R3 es I1 y la que circula por R2 y RX, I2. Así las cosas, pueden plantearse las siguientes ecuaciones:
I1 ⋅ R1 + I1 ⋅ R 3 = I 2 ⋅ R 2 + I 2 ⋅ R X = V
I1 ⋅ R1 = I 2 ⋅ R 2 = Va = Vb
(A1.1)
(A1.2)
+V
En equilibrio: Vs = 0
R1
RTX = R 3 ⋅
R
R2
I1
a
Vs = 0
R2
R1
I2
b
I1
I2
R3
RX
Figura A1.1. Puente de Wheastone alimentado con tensión. Medida por comparación.
Combinando (A1.1) y (A1.2) puede obtenerse que:
RX =
R2 ⋅ R3
R1
(A1.3)
Vemos que el resultado anterior no depende de la tensión de alimentación del puente ni de sus
variaciones. Tampoco depende del tipo de excitación (tensión o corriente), aspecto que el lector
puede comprobar. Pero lograr el equilibrio exacto del puente a tensión de salida cero dependerá de
la resolución de la resistencia variable R3 y, en el caso que el valor de la resistencia desconocida
sea muy pequeño, el efecto de la resistencia de contacto del cursor ajustable de R3 se incorpora
como un error apreciable en la medida.
Para evitar estos errores se suele utilizar el Puente de Kelvin, representado en la figura A1.2.
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+V
En equilibrio: Vs = 0
R1
RX =
R2
R 2 ⋅ (R 3 + RP2 )
R 1 + RP1
donde
RP1
a
RP
V s= 0
RP1 = RP(1- p)
RP2 = RP(p)
b
p
RP2
R3
RX
Figura A1.2. Puente de Kelvin. Medida por comparación.
Entre R1 y R3 se coloca un potenciómetro lineal de pequeño valor y alta resolución. Ahora R1’ es el
resultado de la suma de la resistencia R1 y la parte superior del potenciómetro RP1 = RP·(1 - p).
De igual forma, R3’ = R3 + RP2 donde RP2 = pRP, siendo p la fracción de desplazamiento del cursor
del potenciómetro (0 ≤ p ≤ 1).
Este método nos ofrece un resultado con un alto grado de precisión si las resistencias del puente son
estables y de muy pequeña tolerancia.
A1.2 Puente de Wheastone alimentado por tensión. Medida por deflexión.
Obtener una señal de tensión proporcional al cambio de la resistencia desconocida es muy útil en la
práctica cuando en calidad de resistencia desconocida en el puente se utilizan sensores resistivos.
Un circuito que realiza esta función es el puente de Wheastone de la figura A1.3.
+V
R1
R2
a
Vs
R3
b
RX
Figura A1.3. Puente de Wheatstone. Medida por deflexión
El valor de la tensión de salida del puente Vs será:
Vs = Vb − Va = V ⋅
R3
R3
RX
RX
)
−V⋅
= V.(
−
RX + R2
R1 + R 3
R X + R 2 R1 + R 3
(A1.4)
En el caso particular en que la resistencia desconocida sea un sensor resistivo que cambia su
magnitud linealmente con alguna variable física (por ejemplo, temperatura, fuerza, etc) el valor de
la resistencia puede expresarse en función de esa variable mediante una expresión del tipo
R X = R 0 + ∆R = R 0 ⋅ (1 +
∆R
)
R0
(A1.5)
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donde R0 es el valor de la resistencia desconocida para ∆R = 0 y ∆R/R0 es el cambio en la
resistencia desconocida provocado por la variable física a medir, normalizado al valor R0.
Si la resistencia desconocida es una RTD, ∆R/R0 = αt, donde t es la temperatura de la resistencia en
grados centígrados, α es el coeficiente térmico de la RTD y R0 es el valor de la resistencia de la
RTD a 0ºC. Si la resistencia desconocida es una galga extensométrica, ∆R/R0 = K·∆l/l0, donde K es
el factor de la galga, ∆l/l0 es el cambio de longitud que experimenta la galga al aplicarse una fuerza
normalizado a su longitud l0 (cuando no se le aplica fuerza alguna), que representa una medida de la
fuerza aplicada a la galga y R0 es la resistencia de la galga en reposo.
Para hacer mas compactas las ecuaciones, hagamos ∆R/R0 = δ0 con lo que la ecuación (A1.4) queda
como
Vs = Vb − Va = V ⋅
R 0 (1 + δ0 )
R3
−V⋅
R 0 (1 + δ0 ) + R 2
R1 + R 3
(A1.6)
En la mayoría de las aplicaciones de puentes con sensores resistivos es deseable que la tensión de
salida del puente sea nula (Vs = 0V) cuando el valor de la resistencia del sensor es R0 (para δ0 = 0).
Para esa condición, entonces de (A1.6) se obtiene:
R0
R3
=
R 0 + R 2 R1 + R 3
(A1.7)
además es habitual hacer que R3 = R0 y que R1 = R2 = rR0, con lo que el puente en equilibrio (RX =
R0) presenta una simetría perfecta y las corrientes por sus ramas son iguales (I1 = I2). Si hacemos
estas sustituciones en (A1.6) ésta quedaría como:
Vs = V ⋅
r ⋅ δ0
(r + 1) ⋅ (r + 1 + δ0 )
(A1.8)
El factor r podemos interpretarlo como la razón característica de las resistencias del puente y
generalmente es igual o mayor que la unidad.
Hemos obtenido una señal eléctrica de tensión proporcional al cambio de RX, aunque dependiente
de la igualdad entre las resistencias R1 y R2; R3 y R0 y del valor y la estabilidad de V.
A2.1 Linealidad.
Como puede observarse de (A1.8), la dependencia de la tensión de salida del puente con la
variación normalizada a R0 de la resistencia desconocida no es lineal.
Pero si consideramos que (r + 1) >> δ0 (para la mayoría de las aplicaciones con sensores | δ0| no
suele ser mayor de 0,5), entonces la expresión (A1.8) puede aproximarse al siguiente modelo lineal:
Vs L = V ⋅
r ⋅ δ0
(r + 1) 2
(A1.9)
Las figuras A1.4 y 5 presentan el valor de Vs normalizado al valor de la alimentación V (Vs/V) en
función de δ0, para r = 1 (R1=R2=R3=R0, caso muy habitual en los puentes de galgas
extensométricas) y r = 10, respectivamente, para los modelos real y lineal. Obsérvese que el error
de linealidad disminuye al aumentar r, pero al propio tiempo la salida normalizada y la sensibilidad
del puente son menores.
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Vs /V
0,3
0,2
0,1
-1
-0,8
-0,6
-0,4
0
-0,2
0,2
0,4
0,6
0,8
1
d0
-0,1
Lineal r = 1
-0,2
Real r = 1
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
Figura A1.4. Salida normalizada del puente de Wheastone para r = 1.
Vs/V
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
-0,02
0,4
0,6
0,8
1
d0
Lineal r = 10
Real r = 10
-0,04
-0,06
-0,08
-0,1
Figura A1.5. Salida normalizada del puente de Wheastone para r = 10.
La expresión del error de linealidad (εL) relativo al valor real para cualquier valor de la variación
normalizada de la resistencia del sensor δ0 será:
%ε L =
Vs − Vs L
Vs
=−
δ0
⋅ 100%
r +1
(A1.10)
La figura A1.6 presenta la variación del error relativo de linealidad con δ0 para diferentes valores de
r. El signo de εrL indicará si la aproximación lineal realizada tiene un error por exceso (+) o por
defecto (-). Puede observarse que el error es directamente proporcional a la magnitud del cambio
normalizado a R0 de la resistencia del sensor, es decir de la variable física a medir, por lo que si se
necesita lograr un pequeño error de linealidad, entonces es necesario trabajar el puente con un alto
valor de la razón característica de resistencias r.
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eL ,%
50
40
r=1
r=5
r = 10
30
20
10
x
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
d0
-10
-20
-30
-40
-50
Figura A1.6. Error relativo de linealidad del puente de Wheastone.
A2.2 Sensibilidad.
La sensibilidad del Puente alimentado con fuente de tensión es la razón de cambio de la salida del
puente Vs respecto al cambio de la resistencia RX. Si derivamos la expresión A1.4 respecto a RX y
hacemos las sustituciones correspondientes para obtener una expresión general en función de la
razón característica de resistencias del puente y la variación normalizada a R0 de la resistencia RX,
se obtiene:
SP =
dVs
V
r
, [V.Ohm-1]
=
⋅
dR X R 0 (r + 1) ⋅ (r + 1 + δ0 )
(A1.11)
Puede observarse que la dependencia de la sensibilidad del puente con los cambios en la resistencia
RX no es lineal, aunque en la medida que la razón de resistencias del puente sea mayor, se hace más
independiente de dichos cambios, pero a su vez la sensibilidad es menor.
Si podemos considerar el puente lineal, a partir de (A1.11) podemos obtener:
SPL =
V
r
⋅
, [V.Ohm-1]
2
R 0 (r + 1)
(A1.12)
La sensibilidad es independiente de los cambios en la resistencia RX, sólo depende de la razón
característica de las resistencias del puente. La Figura A1.7 presenta la sensibilidad normalizada del
puente linealizado (SPL/V/R0) en función de la razón característica de las resistencias del puente r.
Podemos observar que la sensibilidad normalizada es máxima para r = 1 e igual a 0,25, pero
sabemos que para r = 1 en el puente realmente se produce un importante error de linealidad por lo
que en el uso del puente de Wheastone como acondicionador de sensores hay que buscar un
compromiso entre linealidad y sensibilidad.
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SPL
V/R0
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0,01
0,1
1
10
100
r
Figura A1.7. Sensibilidad normalizada del puente linealizado excitado con tensión en función de r.
A2.3. Alimentación del puente con referencias de tensión.
Hemos visto hasta ahora que la tensión de salida del puente (Vs) y la sensibilidad (SP, SPL)
dependen directamente del valor y estabilidad de la fuente de alimentación de tensión V. La tensión
de salida del puente Vs tendrá las mismas variaciones en el tiempo que V si consideramos todas las
resistencias del puente de valor constante. Es por ello que para aplicaciones de alta precisión
resulta imprescindible alimentar el puente con circuitos integrados denominados referencias de
tensión capaces de entregar, a partir de una tensión de excitación DC no estable, una salida de
tensión muy estable y con una capacidad de corriente por lo general de hasta 20mA. Aunque existen
comercialmente algunos circuitos de tensión de salida variable o ajustable, la mayoría ofrecen
tensiones fijas. La figura A1.8 presenta la estructura interna de algunas referencias de tensión muy
utilizadas en instrumentación [A1.1][A1.3][A1.4].
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+V = 5V
LM336-2,5
R
Vref = 2,5V
+V (desde +7,5V hasta
+40V)
MC1404
± 2 mV
Precisión inicial :
Coeficiente térmico: 10 ppm/ºC
-
6
Vref (ajustable en ± 6 %)
+
R
+V (desde +12V
hasta +40V)
AD581L
Vref = 10V
Precisión inicial : ±5mV
Coeficiente térmico:
5 ppm/ºC
5k
R (k Ω )
5 TRIM
100k
Vref (V)
3,75
5
5,0
6,25
8,75
10
1,25k
4
GND
Figura A1.8. Estructura interna de algunas referencias de tensión comerciales.
Desde el punto de vista de su calidad, la Tabla A1.1 ofrece los márgenes de valores de sus derivas.
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Derivas
Alimentación, (ppm/V)
Carga, (ppm/mA)
Temporal, (ppm/103horas)
Térmica (ppm/ºC)
Ruido (0,1-10Hz), µVp-p)
Margen de valores
4...100
1...50
2...20
0,1...5
2...30
Tabla A1.1. Margen de las derivas de las referencias de tensión comerciales
Existen aplicaciones en que los puentes demandan corrientes mayores que la que pueden ofrecer las
referencias de tensión (puentes en los que r ≤ 4 y R0 ≤ 100). En tales casos la alimentación del
puente con alta estabilidad hay que lograrla mediante el uso adicional de amplificadores
operacionales. La figura A1.9 presenta un circuito que utiliza una resistencia RS y una fuente no
estabilizada +V1, en conjunción con la referencia de tensión Vref.
+V 1
RS
REF. DE
TENSIÓN
Vref
I - Iref
I ref
I
r.R0
a
R0
r.R0
Vs
b
RX
Figura A1.9. Alimentación combinada del puente de Wheastone.
La fuente +V1 entregará la mayor parte de la corriente que demanda el puente, que es máxima
cuando RX sea mínima. Debe cuidarse al seleccionar RS que no se excedan los límites de corriente
máxima y mínima por la referencia Vref al variar la resistencia objeto de medición en la aplicación
particular.
Si por las características del proceso en el que se utiliza el puente de medida éste se encuentra a una
gran distancia de la alimentación, resulta necesario utilizar cables largos. Si la corriente que
demanda el puente es alta, entonces la caída de tensión en los cables puede ser considerable e
introducir errores en la medida sus variaciones temporales y térmicas. Para medidas de precisión el
circuito de la figura A1.10 ofrece un buen resultado.
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RW1
RW2
R1
R2
a
Vs
+V
b
A1
-
+
R3
A2
+
RX
Vref
RW3
RW4
Figura A1.10. Excitación del puente remoto para medidas de gran precisión.
Se utiliza la técnica de 4 hilos, dos para la alimentación del puente y los otros dos (por los que no
circula corriente debido a la gran resistencia de entrada del amplificador A1) para medir la tensión
V. La salida de A1 es comparada con la referencia de tensión Vref en A2 y éste se encarga de
mantener estable la alimentación en el puente en el valor deseado, con independencia de la caída de
tensión que exista en los cables.
A1.3 Puente de Wheastone alimentado por corriente. Medida por deflexión.
Si en el puente de la Figura A1.1 y por las consideraciones hechas anteriormente hacemos R1 = R2
= rR0; R3 = R0 y lo alimentamos con una fuente de corriente de valor I = V/Req, donde Req es la
resistencia equivalente conectada a la fuente de tensión V que puede evaluarse como la
combinación paralelo – serie de las resistencias de las ramas mediante la expresión:
R eq =
R 0 ⋅ (r + 1) ⋅ (r + 1 + δ0 )
,
2r + 2 + δ0
entonces la expresión (A1.8) puede transformarse en:
VsI = I ⋅ R 0 ⋅
r ⋅ δ0
2 ⋅ (r + 1) + δ0
(A1.13)
y si en la aplicación particular se cumple que 2(r + 1) >> δ0, entonces (A1.13) quedará como
Vs LI = I ⋅ R 0 ⋅
r
⋅ δ0
2 ⋅ (r + 1)
(A1.14)
A3.1 Linealidad.
Las figuras A1.11 y 12 presentan las tensiones de salida del puente (VsI, VsLI) normalizadas al
producto IR0 en función de la variación normalizada de la resistencia desconocida δ0 para valores
de la razón característica de resistencias del puente r = 1 y r = 10, respectivamente.
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Si se comparan estas figuras con las A1.4 y A1.5, respectivamente, nos damos cuenta que el puente
ofrece un mejor comportamiento al ser excitado con corriente que con tensión, tanto en
magnitud de la salida de tensión como en linealidad. Lo último puede cuantificarse si evaluamos el
error relativo de linealidad al excitar con corriente εLI mediante la expresión
%ε LI =
VsI − Vs LI
VsI
=−
δ0
⋅ 100%
2r + 2
(A1.15)
Si se compara (A1.15) con (A1.10) puede verse fácilmente que para iguales variación de la
resistencia RX y razón característica de resistencias del puente, el error de linealidad es la mitad
cuando se excita el puente con corriente que cuando se excita con tensión.
VsI
I.R0
0,3
0,2
0,1
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
-0,1
0,6
0,8
d0
1
Lineal r = 1
Real r = 1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
Figura A1.11. Salida VsI normalizada a IR0 para r = 1
VsI
I.R0
0,6
0,4
0,2
0
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,2
0,4
0,6
0,8
1
d0
-0,2
-0,4
Real r = 10
Lineal r = 10
-0,6
Figura A1.12. Salida VsI normalizada a IR0 para r = 10.
A3.2 Sensibilidad.
Aplicando el mismo procedimiento que cuando se excita con tensión, la sensibilidad del puente
excitado con corriente (SPI) viene dada por:
SPI = I ⋅
r
2r + 2 + δ 0
(A1.16)
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Puede observarse que la dependencia de la sensibilidad del puente excitado con corriente con los
cambios en la resistencia RX (δ0 = ∆RX/R0) no es lineal; en la medida que la razón de resistencias
del puente sea mayor se hace más independiente de dichos cambios (de manera similar al puente
excitado con tensión) mas excitando con corriente la sensibilidad es mayor. Pero aumentar la razón
característica de resistencias del puente tiene el límite impuesto por la resistencia máxima de carga
que puede tener la fuente de corriente I.
Si consideramos el puente lineal, a partir de (A1.14) puede obtenerse:
SPLI = I ⋅
r
2r + 2
(A1.17)
La sensibilidad queda independiente de los cambios en RX siempre que éstos satisfagan las
condiciones impuestas para la expresión lineal. La figura A1.13 nos presenta la sensibilidad del
puente linealizado normalizada al valor de la corriente de excitación I en función de la razón
característica de resistencias del puente.
SPLI
I
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,01
0,1
1
10
100
r
Figura A1.13. Sensibilidad normalizada del puente linealizado excitado con corriente en
función de r.
Obsérvese que a diferencia del puente alimentado con tensión, ahora la sensibilidad normalizada
aumenta con r, teniendo SPLI/I = 0,5 como valor de tendencia cuando r se hace muy grande. Para
valores de r superiores a 20 ya no se logran importantes incrementos de la sensibilidad.
A3.3 Alimentación del puente. Referencias de corriente.
Si bien hemos visto las ventajas que ofrece alimentar el puente con corriente no es ésta la forma
más habitual de hacerlo, debido a que resulta muy difícil lograr una fuente de corriente de
apreciable capacidad con alta precisión. No obstante, para aplicaciones en que la corriente por el
puente sea pequeña existen algunas referencias de corriente monolíticas, así como fuentes de
corriente controladas por tensión mediante circuitos con amplificadores operacionales y referencias
de tensión que pueden ser utilizadas en los casos en que las referencias de corriente integradas no
satisfagan la demanda de corriente del puente.
La figura A1.14a ofrece la estructura interna de la referencia de corriente REF200 de Burr-Brown
[A1.2] que consiste de dos fuentes de corriente de 100µA independientes pero muy parecidas con
una precisión inicial de 0,5% y un coeficiente térmico de 25ppm/ºC. La figura A1.14b ilustra uno
de los esquemas mas utilizados para una buena aproximación a una fuente de corriente a partir de
una referencia de tensión para alimentar un puente de Wheastone.
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+V
REF 200
I1= I2= 100uA
I1H
8
I2H
7
6
Mirror In
5
REF. DE
TENSIÓN
Vref
+
-
I
R1
1
I1L
2
I2L
3
4
Mirror Mirror Out
Common
R2
Vs
a
Precisión inicial : 0,5%
Coeficiente térmico: 25 ppm/ºC
b
RX
R3
(a)
I=
Vref
R
R
(b)
Figura A1.14. a) Referencia de corriente doble REF200 de Burr-Brown. b) Alimentación de puente
por deflexión con corriente constante. Puente no referido a masa.
La corriente I que excita al puente es forzada a permanecer constante si la resistencia R es una
resistencia de gran estabilidad, mas obliga a levantar de masa el extremo inferior del puente con el
consiguiente aumento de la tensión de modo común en un valor igual a Vref en los terminales a y b,
lo que en algunas aplicaciones puede no resultar apropiado. El circuito de la figura A1.15 ofrece
una solución al respecto.
+V
REF. DE
TENSIÓN
V ref
R6
R4
V1
R5
I
+
-
R2
R1
a
R3
Vs
b
RX
Figura A1.15. Alimentación del puente por deflexión con corriente constante. Puente referido a
masa.
La corriente del puente I estará determinada por Vref, los valores de las resistencias R4, R5 y R6 y
por la estabilidad temporal y térmica de estos componentes. En este circuito, considerando ideales
sus componentes, se tiene:
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V ⋅R
V − V1
V1 = ref 5 e I = ref
R 4 + R5
R6
Existen otras alternativas para solucionar la alimentación del puente tales como los amplificadores
de instrumentación y otros acondicionadores que ofrecen salidas de tensión o corrientes para excitar
sensores o puentes, mas deben ser evaluadas cuidadosamente ya que por lo general estas “fuentes”
no tienen las características de estabilidad temporal y térmica que las referencias de tensión y de
corriente ofrecen.
Referencias
[A1.1] Analog Devices; High Precision 10V IC Reference AD581L, Analog Devices Inc., 2000.
[A1.2] Burr-Brown; Dual Current Source REF200, Burr-Brown PDS-851D, October 1993.
[A1.3] Motorola; Voltage Reference Family MC1404, Motorola Inc., 1996.
[A1.4] National Semiconductor; Reference Diode LM336-5,0V, National Semiconductor Corp.,
DS005716, June 1999.
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