Download Gráficas de funciones trigonométricas

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Versión: Septiembre 2012
Revisor: Patricia Cardona Torres
Gráficas de funciones trigonométricas
por Oliverio Ramírez Juárez
Hasta el momento has estudiado las funciones trigonométricas como una relación entre los lados de un
triángulo.
Sin embargo, recuerda que una función puede representarse como:
•
•
•
•
Una tabla
Pares ordenados
Una gráfica
Una ecuación
Las ecuaciones trigonométricas ya las estudiaste en la lectura anterior, ahora revisarás las gráficas de
las funciones trigonométricas que se obtienen cuando se varía el valor del ángulo (variable
independiente) de cada función y se obtienen diferentes valores de “y” (variable dependiente).
A continuación se muestran las diferentes tablas, pares ordenados y gráficas que se obtienen al dar
valores al ángulo en radianes a las funciones trigonométricas.
Tablas
Gráficas
f ( x) = sen( x)
Función Seno:
A
0
0.25π
0.5π
0.75π
π
1.25π
1.5π
1.75π
2π
f ( x) = sen( x)
0
0.7071
1
0.7071
0
-0.7071
-1
-0.7071
0
1
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.
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f ( x) = cos( x)
Función coseno:
A
0
0.25π
0.5π
0.75π
π
1.25π
1.5π
1.75π
2π
f ( x) = cos( x)
1
0.7071
0
-0.7071
-1
-0.7071
0
0.7071
1
f ( x) = tan( x)
Función tangente:
A
0
0.25π
0.5π
0.75π
π
1.25π
1.5π
1.75π
2π
f ( x) = tan( x)
0
1
∞
-1
0
1
∞
-1
0
f ( x) = cot( x)
Función cotangente:
A
f ( x) = cot( x)
0
∞
0.25π
1
2
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0.5π
0.75π
0
-1
π
∞
1.25π
1.5π
1.75π
1
0
-1
2π
∞
f ( x) = sec( x)
Función secante:
A
0
0.25π
0.5π
0.75π
π
1.25π
1.5π
1.75π
2π
f ( x) = sec( x)
1
1.4142
∞
-1.4142
-1
-1.4142
∞
1.4142
1
f ( x) = csc( x)
Función cosecante:
A
f ( x) = csc( x)
0
∞
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0.25π
0.5π
0.75π
1.4142
1
1.4142
π
∞
1.25π
1.75π
-1.4142
-1
-1.4142
2π
∞
1.5π
Tabla 1. Graficas de las funciones trigonométricas.
Las gráficas de las funciones trigonométricas, que se encuentran en la tabla anterior, pueden ser
modificadas en amplitud y frecuencia, así como experimentar corrimientos de fase o en su posición
vertical.
¿Quieres saber cómo?
Las funciones trigonométricas pueden ser expresadas de la siguiente forma:
Función
Forma matemática
Donde:
Seno
f ( x) = asen(nx − h) + k
a Representa la amplitud que es
Coseno
f ( x) = a cos(nx − h) + k
la distancia del eje de referencia al
punto máximo o al punto mínimo.
Tangente
Cotangente
Secante
Cosecante
f ( x) = a tan( nx − h) + k
f ( x) = a cot( nx − h) + k
f ( x) = a sec(nx − h) + k
f ( x) = a csc(nx − h) + k
h representa el corrimiento de
fase o corrimiento horizontal.
k
representa el corrimiento
vertical.
n representa la frecuencia, es
decir, el número de veces que se
repite la gráfica en un ciclo ( 0 − 2π ).
Las funciones que se graficaron anteriormente tienen los valores de
a = 1, n = 1, h = 0 k = 0 , lo que indica que las gráficas tienen amplitud de 1,
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solamente se presentan en 1 vez en un ciclo de 0 − 2π y no tienen corrimiento
horizontal o vertical.
Tabla 2. Funciones trigonométricas y su forma Matemática.
En la siguiente tabla analizarás cómo afecta la función cada uno de los términos en la función seno.
Gráficas
Observaciones
En la función
f ( x) = sen(x) el
valor de a = 1 , lo que
implica que la
distancia que hay de
la línea de referencia
al punto más alto es
de 1.
En cambio, en la
función
f ( x) = 3sen(x) el
valor de a = 3 , es
decir, la amplitud de
la función es de 3.
En la función
f ( x) = sen(x) el
valor de n = 1 , lo que
implica que en un
ciclo ( 0 − 2π )
aparece la gráfica del
seno una vez.
En cambio, en la
función
f ( x) = sen(4x) el
valor de n = 4 , es
decir, la gráfica del
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seno aparece 4 veces
en un ciclo ( 0 − 2π ).
En la función
f ( x) = sen(x) la
gráfica comienza en
cero y termina en 2π
.
En la función
f ( x) = sen(x + 0.5π )
comienza en − 0.5π
y termina en 1.5π , es
decir, tiene un
corrimiento de fase
hacia la izquierda de
0.5π .
En la función
f ( x) = sen(x − 0.5π )
comienza en 0.5π y
termina en 2.5π , es
decir, tiene un
corrimiento de fase
hacia la derecha de
0.5π .
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En la función
f ( x) = sen(x) la
línea de referencia de
la gráfica se
encuentra en cero.
En la función
f ( x) = sen(x) + 2 la
línea de referencia se
encuentra en 2, es
decir, la función tiene
un desplazamiento
vertical hacia arriba
de 2.
En la función
f ( x) = sen(x)− 2 la
línea de referencia se
encuentra en -2, es
decir, la función tiene
un desplazamiento
vertical hacia abajo
de 2.
Tabla 3. Gráficas función seno.
Como puedes darte cuenta, una función trigonométrica puede estar afectada por varios factores, los
cuales indicarán qué está ocurriendo en la gráfica.
Observa algunos ejemplos.
Ejemplo 1
Grafica la siguiente función trigonométrica y determina la amplitud y la frecuencia.
f ( x) = −3 cos(2x)
Solución:
Realizando el análisis de la ecuación, el valor de a = −3 indica que va a tener una amplitud de 3, pero
como es negativa, la función comenzará a partir de -3 y el valor de n = 2 indica que la frecuencia es
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igual a 2, es decir, que el número de veces que aparece la gráfica de la ecuación en un ciclo de 0 − 2π ,
es de 2.
Realizando la gráfica
f ( x) = −3 cos(2x)y comparando con la grafica de f ( x) = cos(x)
Figura 1. Gráfica de Coseno.
Ejemplo 2
Grafica la siguiente función trigonométrica y determina el corrimiento de fase.
f ( x) = tan(x − 0.5π )
Solución:
Realizando el análisis de la ecuación:
El valor de h = −0.5π indica que va a tener un corrimiento de fase de − 0.5π , es decir, la gráfica tendrá
un corrimiento de fase hacia la derecha con un valor de 0.5π .
Realizando la gráfica
f ( x) = tan(x − 0.5π ) y comparando con la gráfica de f ( x) = tan(x)
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Figura 2. Gráfica de Tangente.
Ejemplo 3
De acuerdo a la gráfica, indica cuál de las siguientes funciones corresponde a la gráfica.
a)
f ( x) = sen(x − 1) + 3
b)
f ( x) = 3sen(x) − 1
c)
f ( x) = sen(3x) − 1
d)
f ( x) = sen(x) − 1
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Solución:
Comienza por analizar la gráfica, observa que el punto máximo de la función se encuentra en cero, y el
punto mínimo en -2, de esta forma se puede definir que la línea de referencia es -1, por lo que puedes
deducir que la función tiene un corrimiento vertical hacia abajo de una unidad, es decir, el término
k = −1 .
La gráfica de la función seno tiene la forma, donde la
gráfica completa se encuentra entre 0 − 2π , en la
gráfica que tenemos la figura se repite en 3 ocasiones,
es decir, la frecuencia es de 3 y el valor que nos indica
la frecuencia es el valor de n = 3
Por lo tanto, analizando la forma general de la ecuación seno f ( x) = asen(nx − h) + k ,
La amplitud es: a = 1
La frecuencia es: n = 3
No hay corrimiento de fase.
Hay un corrimiento vertical hacia debajo de: k = −1
De esta forma el inciso c)
f ( x) = sen(3x) − 1 es la expresión que cumple con la gráfica.
Es importante conocer las gráficas de las funciones trigonométricas, ya que el comportamiento de
algunos de los fenómenos físicos se describe por medio de estas gráficas, por ejemplo: las ondas del
sonido, el corazón humano y la corriente eléctrica. El poder realizar una interpretación de estas
gráficas, y la modelación de las mismas, te puede ayudar a resolver diversos problemas.
Te invito a que practiques la identificación de las gráficas, con sus respectivas ecuaciones, en los
ejercicios que se encuentran en la clase virtual.
Referencias Ayres, F.; Moyer, R. E. (1991). Trigonometría. (María Concepción Ruiz Sánchez.
Trad.) Segunda Edición. México: McGraw Hill.
Ramírez Galarza, A. I.; Sienra Loera, G. (2003). Invitación a las geometrías no
euclidianas. [Versión Electrónica]. Recuperado el 23 de febrero de 2010 del sitio Google
libros:http://books.google.com.mx/books?id=_bQVowSNHE4C&pg=PA129&dq=en+todo+tri
%C3%A1ngulo+la+suma+de+sus+%C3%A1ngulos+internos+es&lr=&cd=88#v=onepage&q=
&f=false
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Sullivan, J.; Hernández Garciadiego, C. (2006). Álgebra y trigonometría. [Versión
Electrónica]. Recuperado el 16 de febrero de 2010 del sitio Google libros:
http://books.google.com.mx/books?id=44YnoUhxOoC&printsec=frontcover&source=gbs_v2_summary_r&cad=0#v=onepage&q=&f=fal
se
Sullivan, M. (1998). Trigonometría y geometría analítica. [Versión Electrónica].
Recuperado el 23 de febrero de 2010 del sitio Google libros:
http://books.google.com.mx/books?id=nt64q3HX_T0C&printsec=frontcover&source=gbs_v2_
summary_r&cad=0#v=onepage&q=&f=false
Stewart, J.; Redlin, L. (2007). Precálculo, matemáticas para el cálculo. [Versión
Electrónica] Recuperado el 23 de febrero de 2010 del sitio Google libros:
http://books.google.com.mx/books?id=CiHF4fJ_ezwC&pg=PA486&dq=angulo+de+elevacion
+y+depresion&cd=2#v=onepage&q=&f=false
Swokowski, E. W. & Cole, J. A. (2002). Álgebra y trigonometría con geometría
analítica (H. Villagómez. Trad; 10a. ed). México: Thomson Learning.
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