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Solución Tarea 6.
1. Demuestra porque lo siguiente es cierto:
Dos triángulos rectángulos ABC y A’B’C’son iguales si solo si alguna de
las siguientes condiciones es válida:
a)Dos de los lados correspondientes son iguales.
b)Un lado y un ángulo son iguales a los correspondientes lado y ángulo.
Sol.
2. Encuentra dos enteros pares consecutivos cuya suma sea 16.
Sol.
Veamos que no existe solución a este problema en los números enteros, ya
que:
Supongamos que los enteros pares consecutivos son a,b. a=2k b=2(k+1),
donde k es un número entero.
Entonces,
a+b=16
2k+2(k+1)=16
2(k+k+1)=16
2k+1=8
Pero 2k+1 es un número impar. Estonces es imposible encontrar un entero
k que cumple con lo que estoy buscando, entonces, no existen dos enteros pares
consecutivos que su suma sea 16.
3. El mayor de dos enteros consecutivos pares es dos veces el menor de ellos
menos cuatro. Encuentra dichos números.
Sol.
Digamos que los números son a, b. Donde a=2k, b=2(k+1), con k entero
positivo. Entonces, b es el entero mayor entre a y b.
El problema dice que el entero mayor es dos veces el entero menor, menos
cuatro.
Así que,
b=2a-4
2(k+1)=2(2k)-4
2(k+1)=4k-4
k+1=2k-2
k-2k=-2-1
-k=-3
k=3
1
Entonces los enteros son a=2k=6, y b=2(k+1)=2(3+1)=8.
4. El menor de dos números enteros consecutivos pares es la mitad del mayor
de ellos mas nueve.
Sol.
Tenemos dos enteros consecutivos pares, a=2k y b=2(k+1), con k entero
positivo.
Así pues, a=(b/2)+9
2k=( 2(k+1)
)+9
2
2k=(k+1)+9
2k=k+1+9
2k-k=10
k=10
Entonces, los enteros son : a=2k=20, b=2(k+1)=2(10+1)=2(11)=22.
5. Para el examen de Historia, Pancho estudió 2 horas más que Luis. Juntos
estudiaron una menos que cuatro veces las horas que estudió Luis. ¿Cuántas
horas estudió cada uno?
Sol.
Digamos que las horas que estudión Pancho son P, las que estudió Luis es L.
Pancho estudia dos mas de las que estudia Luis, P=L+2.
Entre los dos, estudian cuatro veces las que estudió Luis menos una, ésto es:
P+L=4L-1
L+2+L=4L-1
2L+2-4L+1=0
-2L=-2
L=3/2
Con ésto, P= 32 + 2 = 72 : Entonces, Luis estudia una hora y media, y Pancho
tres horas y media.
6. En el momento de escribir éste problema mi edad más el triple de la edad
que tenía hace 14 años es igual al triple de mi edad menos tres. ¿Sabes
cuántos
años tengo?
Supongamos que x es la edad que tengo actualmente.
Sol.
Planteando el problema algebráticamente, tenemos:
2
x+3(x-14)=3x-3
x+3x-42=3x-3
x=42-3
x=39.
Entonces, mi edad actual es 39 años.
p
7.Demuestra que 5 es irracional.
Sol.
p
Procederemos de la
p misma manera como se probó que 2 es irracional.
Supongamos
que 5 es racional. Entonces existen p,q enteros con q6= 0:
p
Tales que, 5 = pq ; :donde p,q son primos relativos.
Elevando al cuadrado de ambos lados, tenemos
2
5= pq2
5q2 = p2
Entonces, 5 divide a p2 : Y esto pasa solo si 5 divide a p. Entonces, p=5k.
Así pues,
5q2 = (5k)2
5q2 = 5 5k 2
q2 = 5k 2
Entonces, 5 divide a q, entonces 5 divide a p, y 5 divide a q, y ésto
p es una
contradicción, ya que dijimos que eran primos relativos. Entonces, 5 no se
puede escribir
p como cociente de dos enteros con denominador distinto de cero.
Entonces, 5 es irracional.
8.Ordena de mayor a menor 2222 ; 2222; 2222 ; 22
22
Sol.
22
Observemos que el menor es 22 = (2)8 ; 212 = 4096 > 2222; y 212 es menor
que 2222 y menor que 2222 ; entonces el segundo numero es 2222. El número
22<32=25 : Entonces, 2222 < (25 )22 < 2222 ; entonces el tercer número es 2222 ;
y el último es 2222 :
9. Los lados AD y BC de un rectángulo ABCD miden 21 cm. Si F y E son
puntos sobre los lados BC y CD, respectivamente, tales que AB=AE, CE=CF
y FB=FE. ¿Cuánto mide AB?
Sol.
Como FB=FE, tenemos que los ángulos <EBF = <FEB son iguales. Análogamente la igualdad AE=AB implica que <BEA = < ABE. Luego,
<ABF = <ABE + <EBF = <BEA + <FEB = <FEA.
Como <ABF = 90 , entonces <FEA = 90 . Además, ya que EC = CF,
tenemos que <CEF = 45 y por lo tanto
3
<AED = 180
<FEA - <CEF = 180 -90
45 = 45
y el triángulo AED es isósceles. Luego, ED=AD=21 cm. Aplicando el teo2
2
rema de Pitágoras en el triángulo rectángulo
p ADE, tenemos que AE = AD
p +
2
2
2
ED = 2AD = 2(21) ; de donde AE=21 2cm:Por lo tanto, AB=AE=21 2cm:
10. Un pueblo está habitado por caballeros, que siempre dicen la verdad, y
por
plebeyos, que siempre mienten. Juan entrevista a 4 habitantes, Luis, Pablo,
Carlo y Darío. Luis dice: "Pablo es un plebeyo"; Pablo: "De entre nosotros,
yo soy el unico caballero"; Carlo: .Al menos uno entre Luis y Darío es plebeyo"; Darío: "Los cuatro somos caballeros". ¿Cuántos son caballeros?
Sol. Supongamos que Luis es un caballero, luego Pablo es un plebeyo y por
eso miente acerca de Luis. También, Darío miente pues no todos son caballeros, luego Carlo es un caballero al decir que al menos uno entre Luis y
Darío es un caballero. En este caso tenemos dos caballeros.
Ahora, si Luis es un plebeyo, también lo es Darío, luego Carlo y Pablo son
caballeros. Esto es imposible ya que Pablo estaría mintiendo . Por lo tanto
hay dos caballeros: Luis y Carlo.
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