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RAÍZ RAÍZ ENÉSIMA Definición: Sean a número real, n número natural mayor que 1 y b un número no necesariamente real, entonces: bn = a b es raíz enésima de a Observación: cada número real no nulo tiene n raíces enésimas. El 0 tiene solamente una. Ejemplo: 2 3 = 8 2 es una de las tres raíces cúbicas de 8. RAÍZ ENÉSIMA PRINCIPAL ( O ARITMÉTICA ) Definición: ➢ Si a 0 y n es par, entonces b es su raíz enésima principal si y sólo si: bn Ejemplo: 7 2 = 49 = a b 0 y 7 es la raíz cuadrada principal de 49. ➢ Si a es un número real y n es impar, entonces b es su raíz enésima principal si y sólo si: bn Ejemplo: (–5) 3 = = – 125 a y b es un número real – 5 es la raíz cúbica principal de – 125. Simbología: Si b es raíz enésima principal de a, esto se simboliza de la siguiente forma: b = Ejemplos: 7 –5 = n a 49 = 3 – 125 Observación: si a < 0 y n es par, entonces a no tiene raíz enésima principal real. Apunte 1 Ejercicios 1 Apunte 2 Ejercicios 2 Propiedades Sean a y b números reales positivos, m y n números naturales mayores que 1 y p número entero, entonces 1) ( n a ) n Ejemplo: = a ( 3 17 ) 3 = 17 © NELSON LILLO TERÁN Marzo 2017 http://www.eneayudas.cl [email protected] (2)23169001 – (9)98581588 2) n a > 0 3 Ejemplo: = n –a 3 ) n impar = 3 3 8 < 0 ( – a )n –4 n ( – a )n Ejemplo: ( –5 )3 7) n a ´ n b 3 b = 98 = 2000 3 n ap 2 m n = 3 Ejemplo: 3 3 = 32 = 64 49 ´ 2 = 4 49 ´ n a 64 2 15 mn = 3 = = 2 7 2 3 1000 = 10 15 = 196 = ) 2000 2 3 = a 8 ( = 5 = |a| = 15 196 10 ) = ab 3 3 Ejemplo: 2 5 a2 2 ´ Ejemplos: 9) n m a a a b n = –4 = )2 n = Ejemplos: a 0 –a = = Observación: a R n < 8 ( 3 Ejemplo: 8) –9 = = n 5 ) n impar n 0 a Ejemplo: 6 ) n par > 4 – 729 3 Ejemplo: 4 ) n an 64 14 a = 8 2 p = ( 3 64 ) 2 = 4 2 = 16 © NELSON LILLO TERÁN Marzo 2017 http://www.eneayudas.cl [email protected] (2)23169001 – (9)98581588 POTENCIA DE EXPONENTE RACIONAL Definición: Sean a > 0 , n número natural mayor que 1 y p número entero, entonces: p a n n = ap Propiedades: Las potencias de exponente racional cumplen todas las propiedades de las potencias de exponente entero y además la siguiente: a Ejemplo: 27 2 3 3 = 27 2 ( = 3 p n ) 27 = 2 = ( n 32 a ) = p 9 Observación: Las potencias de base positiva y exponente real, también cumplen todas las propiedades de las potencias de exponente entero. RACIONALIDAD Para determinar si una expresión real es racional o irracional, hay que tener presente lo siguiente: ➢ La suma y el producto de dos números racionales, son racionales. a Q b c Q d Ù ad + bc Q bd Ù ac Q bd ➢ La suma y el producto de un número racional no nulo y un número irracional, son irracionales. 2 + Ejemplo: y 2 3 son irracionales. 3 ➢ La suma y el producto de dos números irracionales, pueden ser racionales o irracionales. Ejemplos: 2 + 3 2 + (– 2 2 ´ 5 = 2 ´ 8 = es irracional, ) = 0 es racional, es irracional, 10 es racional. 4 ➢ Sean n un número natural mayor que 1 y a un entero positivo, entonces: n Ejemplo: 7 a Ï N n a I no es un número natural es irracional. © NELSON LILLO TERÁN Marzo 2017 http://www.eneayudas.cl [email protected] (2)23169001 – (9)98581588 ➢ Sean n un número impar positivo mayor que 1 y a un entero, entonces: n 3 Ejemplo: –2 a Ï Z n a I no es un número entero es irracional. ➢ Sean n un número natural mayor que 1 y a un irracional, entonces: n 3 Ejemplo: a R n a I es un número real es irracional. 9 RACIONALIZACIÓN Ejemplos: 1) 2) 3) 4) 15 5 6 3 12 3 – 7 9 1 + 3 2 15 = = 2 = = = 5 2 ´ 3 12 3 – ´ 7 9 1 + ( 3 2 9 1 – 3 2 2 2 2 6 7 3 + 7 ´ 1 – 3 2 + 3 4 3 3 3 + 3 5 = 3 = 33 4 5 = 1 – 3 15 = 5 3 6 3 5 ´ 2 2 2 + 3 2 + 3 ) = 2 3 = 5 ( 12 3 + 7 ) = 9 – 7 22 ( 9 1 – = 22 ( 3 1 – © NELSON LILLO TERÁN Marzo 2017 http://www.eneayudas.cl [email protected] (2)23169001 – (9)98581588 3 2 + 6 (3 3 3 2 + 1 + 3 23 3 4 ) + 4 7 ) )