Download MODULO MATEM+üTICA CICLO VI GRADO UNDECIMO

1
I.E.
CÁRDENAS CENTRO
MÓDULO DE MATEMÁTICA
CICLO VI
GRADO UNDÉCIMO
2
TABLA DE CONTENIDO
pág.
UNIDAD 1
1.
PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
1.1.
PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS
1.2.
PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES
1.2.1. Conectivos lógicos
1.2.2. Las proposiciones se clasifican
1.2.2.1. Negación
1.2.2.2. Conjunción
1.2.2.3. Disyunción
1.2.2.4. Condicional
1.2.2.5. Bicondicional
1.2.2.6. Tautologías, contradicciones y contingencias
1.2.2.7. Implicaciones lógicas
1.2.2.8. Equivalencias lógicas
6
6
6
6
7
8
8
8
9
9
9
12
15
2.
CUANTIFICADORES
18
3.
3.1.
3.1.1.
3.1.2.
3.1.3.
3.1.4.
3.1.5.
3.1.6.
3.1.7.
3.2.
3.2.1.
3.2.2.
3.2.3.
3.2.4.
CONCEPTUALIZACIÓN Y CLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS
CLASES DE CONJUNTOS
Conjunto Universal
Conjunto Infinito
Conjunto Finito
Conjunto Vacío
Conjunto Unitario
Conjuntos Iguales
Conjuntos Disjuntos
OPERACIONES CON CONJUNTOS
La unión de dos conjuntos A y B
La intersección de dos conjuntos A y B
La diferencia de dos conjuntos A y B
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B
18
19
19
19
19
19
20
20
20
21
21
21
21
21
4.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
NÚMEROS REALES
NÚMEROS NATURALES
NÚMEROS ENTEROS
NÚMEROS RACIONALES
NÚMEROS IRRACIONALES
NÚMEROS REALES
OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
22
22
23
23
24
24
24
PRUEBA TIPO ICFES
27
3
UNIDAD 2
1.
1.1.
INTERVALOS Y OPERACIONES CON INTERVALOS
OPERACIONES CON INTERVALOS
32
33
2.
2.1.
2.1.1.
2.2.
2.3.
2.3.1.
2.4.
2.5.
2.5.1.
2.6.
2.6.1.
2.6.2.
2.6.3.
INECUACIONES CON UNA Y DOS VARIABLES DE PRIMERO Y SEGUNDO GRADO
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
Inecuaciones equivalentes
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
Sistemas de inecuaciones
PROBLEMAS SOBRE INECUACIONES
DEFINICIÓN Y GRÁFICA DEL VALOR ABSOLUTO
Tratamiento del valor absoluto utilizando la gráfica de f(x)=|x|
ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Ecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│= c
Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│< c
Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│> c
35
35
35
38
40
41
42
43
44
45
45
45
46
PRUEBA TIPO ICFES
48
UNIDAD 3
1.
DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE RELACIONES Y FUNCIONES
1.1.
DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE RELACIONES
1.2.
DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE FUNCIONES
1.3.
ALGEBRA DE FUNCIONES
1.3.1. Composición de funciones
1.4.
CLASES DE FUNCIONES: POLINÓMICAS, TRASCENDENTES Y ESPECIALES
1.4.1. Funciones polinómicas
1.4.2. Funciones trascendentes
1.4.2.1. La función exponencial
1.4.2.2. La función logarítmica
1.4.3. Funciones especiales
1.4.3.1. Función constante
1.4.3.2. La función identidad
1.4.3.3. La función proyección
1.4.3.4. La función canónica
1.5.
FUNCIÓN INVERSA Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
1.6.
SERIES, SUCESIONES Y PROGRESIONES
52
52
54
55
56
57
57
57
57
58
59
59
59
59
60
60
63
PRUEBA TIPO ICFES
65
UNIDAD 4
1.
1.1.
1.1.1.
1.1.2.
LÍMITE FUNCIONAL
LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
Límite finito de una sucesión
Límite infinito de una sucesión
69
69
70
71
4
2.
2.1.
2.1.1.
2.1.2.
2.1.3.
2.1.4.
2.2.
DEFINICIÓN ANALÍTICA DE LA DERIVADA
TÉCNICAS DE DERIVACIÓN
Tasa de variación media
Tasa de variación instantánea o derivada
Derivadas laterales
Derivabilidad y continuidad
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN OTRAS ASIGNATURAS Y CIENCIAS
73
73
73
74
74
75
75
3.
3.1.
3.1.1.
3.1.2.
3.1.3.
DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
Método de integración por sustitución
Método de integración por partes
Método de integración por cambio de variables
77
78
78
79
80
PRUEBA TIPO ICFES
82
BIBLIOGRAFÍA
87
5
UNIDAD 1
1. PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
si. Se les llama Proposiciones Compuestas o
Moleculares.
Proposición es la oración afirmativa que puede ser
verdadera o falsa, pero no ambas.
En la lógica se distinguen dos tipos de proposiciones,
siendo estas: Simples o atómicas y compuestas o
moleculares.
Ejemplos de proposiciones compuestas:
1. La ballena no es roja
2. Gustavo no es alto
3. Teresa va a la escuela o María es inteligente
4. 4 es menor que 8 o 6 es mayor que 10
5. El 1 es el primer número primo y es mayor que
cero
6. El 7 es mayor que 5 y 7 es menor que 10
7. Si Yolanda es estudiosa entonces pasará el
examen
8. Si corro rápido entonces llegaré temprano
9. Terminaré rápido si y sólo si me doy prisa
10. Aprenderé Matemáticas si y sólo si estudio
mucho
Como ejemplos de proposiciones se dan los
siguientes:
1.
2.
3.
5.
6.
8.
4 es menor que ocho
Carlos es alto
México es un país de América
María es inteligente
El sábado no hay clases
El uno es el primer número natural
Ahora se dan algunas expresiones que no son
proposiciones:
1.
2.
4.
5.
Observación. Se les llama términos de enlace o
conectivos lógicos a las partículas: No, o, y,
si…entonces, si y solo si. Observemos que los
conectivos: o, y, si…entonces, si y solo si, se usan
para enlazar dos proposiciones, pero el conectivo no
actúa sobre una sola proposición.
¿Cómo te llamas?
¿Qué hora es?
El árbol
¡Levanta esa pluma!
Estas expresiones no son proposiciones porque no
afirman nada que sea verdadero o falso, es decir, la
1 y 2 son preguntas, la 3 es una frase y la 5 es una
orden.
1.2.1. Conectivos lógicos: negación, disyunción,
conjunción, condicional y bicondicional.
A continuación se da una tabla en la que se da la
expresión gramatical y el nombre del conectivo que
representa:
1.1. PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS
Las proposiciones simples o atómicas son
proposiciones que ya no pueden descomponerse en
dos expresiones que sean proposiciones.
Ejemplos de proposiciones simples o atómicas:
1. La ballena es roja
2. La raíz cuadrada de 16 es 4
3. Gustavo es alto
4. Teresa va a la escuela
1.2.
PROPOSICIONES
MOLECULARES
COMPUESTAS
O
Para simbolizar cualquier proposición es necesario
saber cómo se simbolizarán las proposiciones
simples y los conectivos. A las proposiciones simples
las simbolizaremos con letras mayúsculas:
Las proposiciones en las que aparecen las partículas
gramaticales como: No, o, y, si…entonces, si y solo
6
5. Si Yolanda es estudiosa entonces pasará el
examen
L=Yolanda es estudiosa M=Yolanda pasará el
examen
La simbolización es: L⇒M
A, B, C, … , X, Y, Z
El nombre y símbolo de los conectivos se da en
la tabla siguiente:
6. Terminaré rápido si y sólo si me doy prisa
P=terminaré rápido
La simbolización es: P⇔Q
Q=me doy prisa
7. Si 3 es mayor que 2 y 2 es mayor que cero
entonces 3 es mayor que cero
A=3 es mayor que 2
B=2 es mayor que cero
C=3 es mayor que cero
La simbolización es: (A∧B) ⇒ C
Ejemplos
Simbolizar las proposiciones que se dan:
1. La ballena no se roja
En este ejemplo la proposición simple es: la ballena
es roja, luego podemos proceder de la forma
siguiente:
8. No ocurre que Alejandro sea alto y sea
chaparro
D=Alejandro es alto
E=Alejandro es chaparro
La simbolización es: ¬ (D ∧E)
A=la ballena es roja
Observación. Siempre que aparezca la expresión “no
ocurre que” indica que en la simbolización la
negación antecede a los paréntesis y dentro de ellos
se debe incluir la simbolización de la proposición
restante.
Y la simbolización para la proposición compuesta, al
utilizar el símbolo correspondiente para el conectivo
no, es:
¬A
Es importante tener presente que la negación
siempre antecede a la proposición simple al dar la
simbolización.
9. Si estudio mucho y asisto a clases entonces
no reprobaré el examen y pasaré la materia
2. Gustavo no es alto
F=estudio mucho
G=asisto a clases
H=reprobaré el examen
I=pasaré la materia
La simbolización es: (F ∧G) ⇒ (¬H ∧I)
B=Gustavo es alto
Luego la simbolización es: ¬B
Con el fin de ahorrar paréntesis es importante
considerar la fuerza o jerarquía de los conectivos. A
continuación se dan los conectivos de menor a
mayor fuerza:
a) ¬ b) ∨ c) ∧ d) ⇒ y e) ⇔
3. Teresa va a la escuela o María es inteligente
C=Gustavo es alto
D=María es inteligente
Luego la simbolización es: C ∨ D
4. El 1 es el primer número natural y es mayor
que cero
G=el 1 es el primer número natural
mayor que cero
La simbolización es: G∧H
Como se observa el más débil de todos es el
conectivo “no” y el más de ellos es el conectivo “si y
sólo si”.
H=el 1 es
1.2.2. Las proposiciones se clasifican de la
siguiente forma: A partir de la fuerza o
predominancia de los conectivos:
7
1.2.2.1. Negación. Dada una proposición p, se
define la negación de p como la proposición p¬ que
es verdadera cuando p es falsa y que es falsa
cuando p es verdadera. Se lee "no p". A partir de una
o varias proposiciones elementales se pueden
efectuar
diversas operaciones
lógicas para
construir nuevas proposiciones; en este caso, se
necesita conocer su valor de verdad o falsedad en
función de los valores de las proposiciones de que se
componen, lo cual se realiza a través de las tablas
de verdad de dichas operaciones. La tabla de
verdad de la negación es la siguiente:
cualquier otro caso. Se escribe p ∧ q, y se lee "p y
q". Así por ejemplo, la proposición compuesta
Palmira tiene montañas y ríos es verdadera
porque cada parte de la conjunción es verdadera. No
ocurre lo mismo con la proposición Palmira tiene
montañas y tiene mar. Esta proposición es falsa
porque Palmira no tiene mar.
Ejemplo: Si p es “algunas aves vuelan” y q es “el
gato es un ave”, entonces p ∧ q expresa “algunas
aves vuelan y el gato es un ave”, que es
obviamente falsa pues los gatos no son aves. Por
otro lado la proposición p ∧ ¬ q que dice “algunas
aves vuelan y el gato no es un ave” es verdadera
pues es la conjunción de las proposiciones
verdaderas.
Ejemplo 1: Si p simboliza la proposición estamos en
la clase de álgebra, entonces ¬p es no estamos en
la clase de álgebra.
Ejemplo 2: Consideremos la proposición p: “10 es
múltiplo de 5”. Entonces el valor de p es (V). Su
negación dese ser una proposición que es falsa
siempre que p sea verdadera, por lo tanto ¬ p debe
expresar exactamente lo contrario a lo que expresa
p.
1.2.2.3. Disyunción. Es aquella proposición que es
verdadera cuando al menos una de las dos p o q es
verdadera, y falsa en caso contrario. Se escribe p v
q, y se lee "p o q". La disyunción de dos
proposiciones puede ser de dos tipos: Exclusiva o
excluyente e inclusiva o incluyente. La exclusiva es
aquella proposición que es verdadera cuando una y
sólo una de las dos p o q es verdadera, y falsa en
cualquier otro caso. Se escribe p ⊻ q, y se lee "p o q
pero no ambas". Se usa muy poco.
Ejemplo 3: Consideremos la proposición q: “Todos
los perros son blancos”. No debe confundirse la
negación con decir algo diferente, por ejemplo… r:
”Algunos perros son blancos”. La proposición r no es
la negación de q, puesto que si q es verdadera
también r lo es. Si decimos s: “Ningún perro es
blanco”, tampoco s es la negación de q, puesto que
si existiera un único perro de color blanco y los
demás fueran marrones, entonces tanto q como s
serían proposiciones falsas.
La disyunción de tipo inclusivo entre dos
proposiciones es falsa sólo si ambas proposiciones
son falsas. En el lenguaje coloquial y en matemática
es más frecuente el uso de la disyunción inclusiva,
también llamada el “ o inclusivo”. A veces el contexto
de una frase indica si la disyunción es excluyente o
incluyente.
La negación de q puede ser enunciada de la
siguiente manera:
¬q: “Algunos perros no son blancos”. Así, si q es
verdadera, claramente ¬q es falsa, mientras que si
¬q es verdadera, resulta ser falsa q.
Ejemplo: “Los alumnos regularizan la materia si
aprueban tres parciales o si aprueban o si aprueban
dos parciales y tienen un 80% de asistencia”.
1.2.2.2. Conjunción. Es aquella proposición que es
verdadera cuando p y q son verdaderas, y falsa en
8
En este caso, los alumnos pueden cumplir cualquiera
de los dos requisitos, o también cumplir los dos. Pero
por ejemplo, si en un restaurante con menú fijo se
nos dice que tenemos como postre “helado o flan”
normalmente no significa que podamos pedir ambos,
siendo en este caso la disyunción exclusiva.
1.2.2.4. Condicional. Es aquella proposición que es falsa únicamente cuando la condición suficiente p es
verdadera y la condición necesaria q es falsa. Se escribe p ⇒ q, y se lee "si p entonces q".
1.2.2.5. Bicondicional. Es aquella proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad, y
falsa en caso contrario. Se escribe p ⇔ q, y se lee "si y sólo si p entonces q".
Ejemplos de proposiciones simbolizadas en
donde se pueden eliminar algunos paréntesis:
1.2.2.6.
Tautologías,
contradicciones
y
contingencias. Haciendo uso de las tablas de
verdad podemos verificar cuando una proposición es
una tautología, cuando es una contingencia y cuando
es una contradicción, para tal efecto se dan las
definiciones siguientes:
1. La proposición condicional (A ∧ B) ⇒ C se puede
expresar como A ∧ B ⇒ C, dado que el conectivo “⇒”
supera al conectivo “∧”.
Definición 1. Una proposición compuesta es una
Tautología si al construir su tabla de verdad el
resultado en cada renglón es verdadero
independientemente de los valores de verdad que
tomen las proposiciones simples que intervienen.
2. La proposición bicondicional (A ∧ C) ⇔ (D ∨ E)
puede expresarse como A ∧ C ⇔ D ∨ E.
3. La proposición disyuntiva (¬A) ∨ (¬B) se puede
escribir como ¬ A ∨ ¬B.
Definición 2. Una proposición compuesta es una
Contradicción si al construir su tabla de verdad el
resultado
en
cada
renglón
es
falso
4. La proposición bicondicional (¬A) ⇒ (¬B) ⇔ (¬C)
∨ D se puede escribir como ¬A ⇒ ¬B ⇔ ¬C ∨ D.
9
Ejemplos
Construir la tabla de verdad de las proposiciones
compuestas que se dan e indicar si se trata de una
tautología, contradicción o contingencia.
independientemente de los valores de verdad que
tomen las proposiciones simples que intervienen.
Definición 3. Una proposición compuesta es una
Contingencia si al construir su tabla de verdad no
resulta tautología o contradicción.
10
Ejercicios
1. Simbolizar las proposiciones que se dan.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Sergio es doctor y Gustavo es Matemático.
El árbol es alto y da mucha sombra.
Si corro entonces no llego tarde.
7-2=5 o 2+3=5
2
16=4 si y sólo si 16=4x4.
No ocurre que el 3 sea número par e impar.
No ocurre que si me levanto temprano entonces no llegue a tiempo.
Si no estudio y no asisto a clases entonces no pasaré el examen.
Si 2>1 y 1>-4 entonces 2>-4.
Un número es primo si y sólo si es divisible por si mismo y por la unidad.
3. Evalúa cada proposición según los valores de verdad p = F. q = V. r = F.
a) p v q
b) ¬ p v ¬ q
c) ¬ p v q
d) p v ¬(q ∧ r)
11
e) ¬(p v q) ∧ (¬ p v r)
4. Escribe la negación de cada una de las siguientes proposiciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
Todos los alumnos del curso son inteligentes.
Todas las mujeres son lindas.
Ninguna mujer es linda.
Hay un banco que está roto.
Hay exactamente un hombre inteligente.
Al menos un hombre es inteligente.
4 es múltiplo de 8.
A veces llueve.
Me gusta estudiar.
Me gusta estudair y tomar mate.
Me gusta estudiar pero no me gusta tomar mate.
No me gusta estudiar ni tomar mate.
7≤8
2 < 3 ≤ 5 (significa: 2 es menor que 3 y 3 es menor o igual a 5)
a ∈ A ⋃ B.
1.2.2.7. Implicaciones lógicas. La noción de implicación lógica es esencial para formalizar los razonamientos
deductivos.
La proposición P implica lógicamente la proposición Q si, y sólo si la proposición condicional P → Q es una
tautología.
Demostración: Veamos que P ⇒ Q sólo si P → Q es una tautología.
En efecto, supongamos que P implica lógicamente Q. Entonces, de acuerdo con la definición, cuando P es verdad,
Q también lo es y cuando Q es falso, P es falso, por tanto, la tabla de verdad de P → Q conteniendo únicamente
estas opciones es:
es decir, P → Q es una tautología.
Recíprocamente, veamos que P ⇒ Q si P → Q es una tautología.
En efecto, si P es verdad y P → Q es una tautología entonces Q ha de ser verdad.
También podríamos haber dicho que si Q es falso y P → Q es una tautología, entonces P ha de ser falso.
Debido a este teorema, los lógicos prefieren adoptar el lenguaje común como el lenguaje de la lógica y leen p → q
como “p implica q”. En este caso, ellos utilizan la palabra implica como el nombre de un conectivo lógico y como el
nombre de una relación paralela entre proposiciones.
Resolvemos ahora el ejemplo anterior viendo que ¬(p∨q) → ¬p es una tautología. Su tabla de verdad es:
12
luego, ¬(p ∨ q) → ¬p es, efectivamente, una tautología.
Implicaciones lógicas más comunes. La tabla siguiente presenta algunas implicaciones l´ogicas con los
nombres que usualmente reciben.
13
14
1.2.2.8. Equivalencias lógicas. La equivalencia permite hacer transformaciones sintácticas de las sentencias sin
perder su semántica.
Las proposiciones
iciones compuestas P y Q son lógicamente
lógicamente equivalentes y se escribe P ≡ Q ó P ⇐⇒ Q cuando ambas
tienen los mismos valores
ores de verdad.
Obsérvese que de esta definición
n se sigue que para probar que dos proposiciones son llógicamente equivalentes
hay que probar
ar que si P es verdad, Q también
también ha de serlo y que si P es falso, Q tiene que ser falso.
Obsérvese también que otra forma
orma de demostrar lo mismo es probar que P es verdad partiendo de que Q lo es y
probar que si Q es falso, entonces P tambié
también lo es.
Equivalencia Lógica y Proposición Bicondicional. La proposición P es lógicamente
gicamente equivalente a la proposición
proposici
Q si, y sólo si la proposición
n bicondicional P ←→ Q es una tautología.
Demostración. Veamos que P ⇐⇒ Q sólo si P ←→ Q es una tautología.
En efecto, si P ⇐⇒ Q, entonces tienen los mismos valores de verdad, es decir P y Q son, ambos, verdaderos o
falsos, de aquí que el valor de verdad de P ←→ Q sea siempre verdadero, es decir es una tautología.
Recíprocamente, probemos que P ⇐⇒ Q si P ←→ Q es una tautología.
Efectivamente, si la proposición
n bicondicional P ←→ Q es siempre verdadera, entonces de acuerdo con su
definición,
n, P y Q son, ambas, falsas o verdaderas, es decir tienen los mismos valores de verdad y, por tanto, P es
lógicamente equivalente a Q.
15
En el ejemplo anterior vimos que ¬(p ∧ q) ⇐⇒ ¬p ∨ ¬q, luego este teorema afirma que la proposición bicondicional
¬(p ∧ q) ←→ ¬p ∨ ¬q es una tautología. Veamos que es cierto. En efecto,
Equivalencias lógicas más comunes. Al igual que en la implicación lógica, veamos una tabla con las
equivalencias lógicas más útiles junto con los nombres que reciben.
16
Ejemplo. Probar que la proposición condicional P → Q es lógicamente equivalente a su contrarrecíproca ¬Q →
¬P.
Solución: Veamos que ambos condicionales tienen los mismos valores de verdad. En efecto, si P → Q es verdad,
entonces P puede ser verdad o falso. Pues bien,
− si P es verdad, q ha de ser verdad, luego ¬P y ¬Q son, ambas, falsas y, consecuentemente, ¬Q → ¬P es
verdad.
− si P es falso, entonces ¬P es verdad y ¬Q −→ ¬P es verdad, cualquiera que sea el valor de verdad de Q.
Por lo tanto, en cualquier caso, ¬Q −→ ¬P es verdad.
Por otra parte, si P → Q es falso, entonces P es verdad y Q es falso, luego ¬Q es verdad y ¬P es falso y, por lo
tanto, ¬Q → ¬P es falso.
También podemos hacerlo escribiendo su tabla de verdad.
Entonces, el bicondicional (P → Q) ←→ (¬Q → ¬P) es una tautología y es una equivalencia lógica.
Ejercicios
a) Verificar si las proposiciones condicionales son equivalencias lógicas o no.
b) Simbolizar los argumentos que se dan y utilice tablas de verdad para verificar si son válidos o no.
1. Si no nos despedimos ahora, entonces no cumpliremos nuestro plan.
No nos despedimos ahora.
Por tanto, no cumpliremos nuestro plan.
2. Si llovió la pasada noche, entonces la pista se ha limpiado.
La pista no se ha limpiado.
Por tanto, no llovió la pasada noche.
17
3. Este hombre es un abogado o un político.
No es un abogado.
Por tanto, no es un político.
4. Si Mr. Lincoln es elegido, entonces los Estados del Sur se separarán con seguridad.
Si los estados del sur se separan, entonces estallará una guerra civil.
Por tanto, Si Mr. Lincoln es elegido, entonces estallara una guerra civil.
5. Si 5>3, entonces 7>3.
Si 7>3, entonces 5>0.
Por tanton, 5>0.
2. CUANTIFICADORES
En lógica, teoría de conjuntos y matemáticas en general, los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar
indica
cuántos o qué tipo de elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Existen muchos tipos de
cuantificadores, entre los más utilizados están:
Cuantificador universal
Para todo x, y...
Cuantificador existencial
Existe al menos un x, y...
Cuantificador existencial único
Existe exactamente un x, y...
Negación del cuantificador existencial
No existe ningún x, y...
3.. CONCEPTUALIZACIÓN Y CLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS
Un conjunto es una colección
n de objetos. Dichos
objetos pueden ser de diferente naturaleza, tanto
objetos “tangibles”
bles” como abstracciones matemáticas.
matemá
Esos objetos que al reunirse forman
rman el conjunto, se
denominarán
n elementos del conjunto.
diversos alfabetos. Lo más
má frecuente (más por
tradición que por norma) es usar letras mayúsculas
para designar a los conjuntos, y reservar las
minúsculas
sculas para designar elementos.
elementos
Como se puede fácilmente
cilmente imaginar, la expresión
expresi del
tipo “x es un elemento del conjunto A” o
equivalentemente “x pertenece al conjunto A”
A es de
Se designa a los conjuntos y a los elementos que los
constituyen por medio de letras pertenecientes
pertenecien
a
18
uso muy frecuente cuando se habla de conjuntos y
elementos. Por ello, es útil recurrir a un símbolo que
nos permita expresar esa idea más brevemente.
Concretamente, “x pertenece al conjunto A” se
representa por x ∈ A, “x no pertenece al conjunto A”
se representa por x /∈ A.
Los conjuntos suelen describirse encerrando sus
elementos entre llaves “{” y “}”. Entre esas llaves
pueden aparecer o bien todos los elementos del
conjunto separados por comas, o bien expresar la
condición que deben cumplir los elementos para
pertenecer a dicho conjunto. Con un ejemplo se
entiende mejor... pretendemos definir el conjunto A
formado por los naturales que están entre 4 y 26
(ambos inclusive). Podemos hacerlo de dos modos,
o bien A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,
16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26}, o también
como: A = {n ∈ N : 4 ≤ n ≤ 26}.
Del mismo modo, usamos símbolos para sintetizar o
acortar las expresiones más frecuentes. Así, el
símbolo “∀” se lee “para todo”, el símbolo “∃” se lee
“existe”, los dos puntos “:” se leen como “tal que”,
etc...
3.1. CLASES DE CONJUNTOS
3.1.1. Conjunto Universal. Es aquel conjunto que contiene a
oros conjuntos. Se simboliza con la letra U. Si observas el
siguiente diagrama de Venn, el conjunto universal U contiene a
los conjuntos A,B,C,
3.1.2. Conjunto Infinito. Es aquel que tiene una cantidad
ilimitada de elementos. Es decir, tiene infinitos elementos.
ℕ = {0,1,2,3,4,5,…} Naturales
ℤ = {…,-2, -1, 0,1,2,3,…} Enteros
3.1.3. Conjunto Finito. Es aquel conjunto que tiene una
cantidad limitada de elementos.
A = {0,1,2,3}
B = {a,e,i,o,u}
3.1.4. Conjunto Vacío. Es aquel conjunto que no tiene elementos. Se le representa por ∅ sin llaves.
A ={ }
19
3.1.5. Conjunto Unitario. Es aquel que tiene un solo
elemento.
conjunto B un elemento
emento 4. El elemento 5 no lo es,
entonces y – 3 = 4. Resolviendo: y – 3 = 4,
obtenemos: y = 7.
A = { 2}
Igualmente, si en el conjunto B, hay un elemento 5,
entonces debe haber en el conjunto A un elemento 5.
El elemento 4 no lo es, entonce, x + 2 = 5.
B = {3,3,3,3} es también unitario. Los elementos
repetidos se consideran una sola vez.
3.1.6. Conjuntos Iguales. Son aquellos conjuntos
que tienen los mismos elementos. Dados los
conjuntos: A={2,3} y B={3,2}, entonces, debido a que
tienen los mismos elementos, afirmamos que A = B.
B
Resolviendo:: x + 2 = 5, obtenemos : x = 3.
Por lo tanto: “x + y” es: 3 + 7 = 10
3.1.7.
.1.7. Conjuntos Disjuntos. Se dice que dos
conjuntos son disjuntos si no tienen ningún
elemento
o en común. Por ejemplo, {1, 2, 3} y {4, 5, 6}
son conjuntos disjuntos.
Ejemplo: Si los siguientes conjuntos son iguales,
hallar “x+y”.
A={x + 2; 4} y B={5; y – 3)
Formalmente, dos conjuntos A y B son disjuntos si
su intersección es el conjunto vacío;
vacío es decir, si
Como los conjuntos A y B son iguales, entonces
deben tener los mimos elementos: Si en el conjunto
A hay un elemento 4, entonces debe haber en el
EJERCICIOS
1)
a)
b)
c)
d)
e)
2)
Cuáles son los elementos de:
El conjunto de los días de la semana
El conjunto de las estaciones del año
Los números
ros impares menores de 11
Los números pares mayor que 10 y menor que 20
Los números primos menores de 15
Colocar V ó F según lo afirmado sean verdadero o falso
( )
a) 6
{ 2, 4, 5, 6, 9 }
( )
b) y
{ o, p, q, x }
c) x
{ o, p, q, y }
d) Perú
{ países de Europa }
( )
e) Amazonas
( )
3)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
( )
{ ríos de América }
¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacios, unitarios, finitos, infinitos?
A = { x / x es día de la semana}
B = { vocales de la palabra vals}
C = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . . .}
D = { x / x es un habitante de la luna}
E={x
N / x < 15}
F={x
Ny5<x<5}
G={x
N y x > 15}
20
h) H = { x
N y x = x}
i) I = { x / x es presidente del Océano Pacífico}
j) J = { x / x es número de cabellos total de los habitantes del Perú }
3.2. OPERACIONES CON CONJUNTOS
3.2.1. La unión de dos conjuntos A Y B, denotada
por A B, es el conjunto cuyos elementos son
exactamente los elementos de A ó B, ó de ambos.
3.2.3. La diferencia de dos conjuntos A Y B,
denotada por A B, es el conjunto que contiene
exactamente aquellos elementos de A que no están
en B.
Ejemplos:
1) Si A = {a, b}, B = {c, d}, entonces A
d}
B = {a, b,c,
Ejemplos:
1) {a, b, c} {a} = {b, c}
2) Si A = {a, b}, B = {a, c}, entonces A
B = {a, b, c}
2) {a, b, c} {a, d} = {b, c}
3) Si A = {a,b}, B = {}, entonces A
3) {a, b, c} {d, e} = {a, b, c}
B = {a, b}
4) Si A = {a, b}, B = {c, {a, b}}, entonces A
c, {a, b}}
B = {a, b,
3.2.2. La intersección de dos conjuntos A Y B,
denotada por A
B, es el conjunto cuyos elementos
son exactamente los elementos que están tanto en A
como en B.
3.2.4. La diferencia simétrica de dos conjuntos A
Y B, denotada por A
B, es el conjunto que
contiene todos los elementos que están en A o en B
pero no en ambos, es decir, A
B = (A
B)
(A
B).
Ejemplos:
1) {a, b}
{a, c} = {a}
Ejemplos:
1) {a, b}
{a, c}={b, c}
2) {a, b}
{c, d} = {}
2) {a, b}
{}= {a, b}
3) {a, b}
{} = {}
3) {a, b}
{a, b}={}
21
EJERCICIOS……
1. Sea A= {a,b,c} y B= {b,c,d,e} entonces A⋃B = (represente con Diagrama de Venn).
2. Sea A= {1,3,5,7,…} y B= {2,4,6,8,…} entonces A⋂B = (represente con Diagrama de Venn).
3. Supongamos que C= {a,e,i,o,u} y D= {e,o,u} entonces C⋂D= (represente con Diagrama de Venn).
4. Sean A= {p,q,r,s} y B= {r,s,k} entonces: A – B= y B – A= (represente con Diagrama de Venn).
5.
4. NÚMEROS REALES
Los números son muy importantes para el hombre
moderno. En estos tiempos en los que se realizan
viajes espaciales y en los que las computadoras son
usadas tanto por amas de casa, así como por
investigadores, los números están presentes en toda
actividad del hombre. Los números afectan a las
actividades más comunes, como la adquisición de
alimentos en el mercado y la consulta de fechas en
el calendario. Resulta claro que sin los números no
existirían instrumentos de medición como el reloj, la
regla y el termómetro.
aplicaciones, se han creado diversas clases de
números.
Los números reales son: Naturales,
Racionales, Irracionales y Reales.
Enteros,
4.1. NÚMEROS NATURALES
Son los que se usan con mayor frecuencia, en
actividades cotidianas; son también los números más
antiguos que se conocen. Este conjunto de números
se denota como: □ y está definido como sigue:
El número es útil en una amplia gama de situaciones
reales. Sin embargo, situaciones reales diferentes
requieren el uso de diferentes clases de números: el
pastor, que desea conocer el número de ovejas de
su rebaño, necesita de los números naturales o
números para contar; el ama de casa, que dispone
de la receta de un guiso para 7 personas y desea
prepararlo para 11, necesita de los números
racionales o números para comparar. Para diversas
□ = {1,2,3,4,5, }
La gráfica de los números naturales sobre la recta
real (siendo ésta la recta horizontal que va de
menos infinito a más infinito) es la siguiente:
22
4.3. NÚMEROS RACIONALES
Observemos que los números naturales al ser
graficados sobre la recta real, son únicamente
puntos aislados sobre ella.
Estos números son útiles cuando es necesario
trabajar con fracciones. Los números racionales se
denotan por: □ y para definirlos se utiliza la notación
constructiva de un conjunto.
4.2. NÚMEROS ENTEROS
Los números naturales no son suficientes para todas
las actividades del hombre. Existen diversas
situaciones en que las cantidades pueden
considerarse en una dirección o en la dirección
opuesta. Por ejemplo, un saldo de quinientos pesos
a favor es muy diferente a un saldo de quinientos
pesos en contra, una temperatura de quince grados
sobre cero es diferente a quince grados bajo cero, no
es lo mismo 100 años antes de cristo que 100 años
después de cristo, etc. En estas situaciones los
números naturales únicamente sirven para describir
una dirección y para describir la dirección contraria,
es necesario usar los números enteros. El conjunto
de números enteros se denota como: □ y se define
por:
Observemos que el cociente formado por números
enteros (siempre y cuando el denominar sea
diferente de cero) es un número racional. Como
ejemplos de números racionales se dan los
siguientes:
Anteriormente se indicó que todo número natural es
un número entero, ocurrirá que todo número entero
también sea un número racional, la respuesta es si y
la forma más simple es dividir a cada número entero
entre uno. De esta forma siguen siendo números
enteros, pero representadas como números
racionales. Luego, se obtiene que los números
enteros sean un subconjunto de los números
racionales, es decir: □ ⊂ □ de manera mas
completa □ ⊂ □ ⊂ □
La gráfica de los números enteros sobre la recta real
es:
El diagrama de Venn es:
En la gráfica se observa que los números enteros
sobre la recta real, continúan siendo puntos aislados,
pero ya también aparecen números negativos.
Además también nos damos cuenta que los números
naturales son un subconjunto de los números
enteros, es decir, todo número natural es un número
entero y se representa como:
□⊂□
Un diagrama de Venn es el siguiente:
La gráfica de algunos números racionales es la
siguiente:
23
4.5. NÚMEROS REALES
Se puede observar que aunque fueron graficados
sólo algunos números racionales, cubren mucho más
espacio sobre la recta real y si nos imaginamos la
gráfica de todos los números racionales, nos
podremos dar cuenta que aún quedan huecos sobre
la recta real y dichos huecos corresponden a los
números irracionales.
Los números reales se denotan por: “□” y lo forman
todos los números racionales y todos los números
irracionales, es decir:
4.4. NÚMEROS IRRACIONALES
Un diagrama de Ven en donde se contemplan a
todos los conjuntos de números que hemos visto es
el siguiente:
Estos números no son representados como números
racionales y si se representan en su expansión
decimal, se distinguen de los números racionales por
que su expansión decimal no es periódica y la
expansión decimal de todo número racional si es
periódica. A continuación se dan ejemplos de
números en su expansión decimal y se indica si es
racional o irracional.
4.6. OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
Para todo número real a, b y c:
Los ejemplos 1, 2, 3 y 4 representan números
irracionales, dado que su expansión decimal no es
periódica y los números de los ejemplos 5, 6 y 7 son
números racionales por que su expansión decimal si
es periódica, para el ejemplo 5 el período es dos,
para el ejemplo 6 el período es tres y para el ejemplo
7 el período es cuatro.
Propiedad Conmutativa: a + b = b + a
a·b=b·a
Ejemplos: 5 + 3 = 3 + 5
2x4=4x2
Propiedad Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
Si ahora sobre la recta real se graficaran todos los
números racionales y todos los números irracionales,
se cubrirían todos los puntos de la recta real, es esta
la razón del por qué a cada punto de la recta real le
corresponde un número real y también el por qué de
dicho nombre. Los números irracionales serán
denotados como: .
Ejemplos: 2 + (3 + 4) = (2 + 3 ) + 4
5 x (1 x 7) = (5 x 1) x 7
Elemento Identidad de la Suma: a + 0 = a
Ejemplos: 8 + 0 = 8; -4 + 0 = -4
Elemento Identidad de la Multiplicación: a · 1 = a
Ejemplos: 9 x 1 = 9; -3 x 1 = -3
24
Inverso Aditivo: a + (-a) = 0
Ejemplos:
Ejemplo: 6 + (-6) = 0
Inverso
Propiedad Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
Multiplicativo:
Ejemplo: 5 · (3 + 4) = 5 · 3 + 5 · 4
25
EJERCICIOS……
Indica a cual o cuales de los siguientes conjuntos pertenecen los números de la izquierda de la tabla con una
marca de cotejo:
Número/Conjunto
numérico
11
-7
0
¾
0.272727…
7.25
2.7985413…
1½
Natural
Cardinal
Entero
Racional
Irracional
Real
Identifica la propiedad en cada enunciado:
1. 7 + 5 = 5 + 7 ___________________________
6. 11 + 0 = 11 ___________________________
2. 3 + (5 + 2) = 3 + (2 + 5) ___________________
7. 9 + -9 = 0 ____________________________
3. (6 x 3) x 1 = 6 x (3 x 1) ____________________
8. 2 x ½ = 1 ____________________________
4. 5(3 + 2) = 5(3) + 5(2) ____________________
5. 7 x 1 = 7 ________________________________
26
PRUEBA TIPO ICFES
CONTESTA LAS PREGUNTAS 1 A 3 DE
ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
de las bases circulares de la lata y multiplicar
dicho valor por la altura.
El gerente de una compañía procesadora de atún
cita
al
fabricante
de
envases
de
lata,
especificaciones sobre algunas de sus posibles
alternativas. El fabricante advierte que el calibre de
las latas con las cuales se fabrican los envases es el
mismo y por lo tanto no incide en la capacidad de los
envases. Además presenta las dos alternativas
siguientes:
b)
Multiplicar el diámetro de una de las bases
circulares por la altura.
altura
c)
sumar a la altura la longitud de la
circunferencia de una de las bases circulares
de la lata.
d) Determinar el área total de la lata y ha dicho
valor restarle el doble del área de una de las
bases circulares de la lata.
3. Para vender atún, las latas
la
se empacan en
cajas sin tapa, como se muestra en las figuras. Si
el gerente se decidió por la lata No.1 y en cada
caja deben ir 6 latas, ¿cuál de las siguientes
cajas no debe usar la compañía, si quiere utilizar
la caja de volumen menor?:
a)
1. Si por conveniencia
ncia financiera, la compañía
requiere la lata en la cual pueda envasar la menor
cantidad de atún, ¿cuál de las dos latas se debe
elegir?:
b)
a) La No. 2 ya que el radio de la No. 1 es el
triple de la No. 2 y en consecuencia, el
volumen de ésta resulta menor.
b) Cualquiera
alquiera de las dos latas, pues ambas
tienen un volumen igual a 108 cm³.
c) La No.1 ya que la No.2 tiene mayor volumen
por tener una altura mayor.
d) Cualquiera de las dos latas, pues, aunque el
radio No.2 es la tercera parte del radio de la
lata No.1, su altura es nueve veces la de la
No.1, lo cual implica que su volumen sea el
mismo.
2. Si al envase se le debe colocar una etiqueta de
papel en el contorno (como lo indica la figura) y
deseamos saber la cantidad de papel requerida
en cada lata; de los siguientes procedimientos
¿cuál será el más conveniente?:
c)
d)
a)
Determinar
la
longitud
de
la
circunferencia de una
27
CONTESTA LAS PREGUNTAS 4 A 6 DE
ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
porcentaje de ratones enfermos entre el tiempo
t y un tiempo (t + 1) es:
6. Luego de resultar infectado con el virus, un
ratón tiene tan solo un 35% de posibilidad de
sobrevivir. Según esto, si hubiera suspendido el
experimento al cabo de la primera hora de
iniciado, el número de ratones vivos, unas horas
más tarde, posiblemente sería 432. Esta
afirmación es:
4. La gráfica que representa mejor el porcentaje
de ratones enfermos es:
a) Falsa,
sa, porque de los 516 ratones morirían
129.
b) Falsa, porque al cabo de esta hora habría
aproximadamente 180 ratones vivos.
c) Verdadera, porque sobrevivirían 65 ratones
de los 387 que se contagiaron con el virus.
d) Verdadera, porque al cabo de esta hora
lograrían
n sobrevivir 45 ratones de los
infectados.
a)
b)
c)
d)
a) 25t
t
Para probar el efecto que tiene una vacuna aplicada
a 516 ratones sanos, se realiza un experimento en
un laboratorio.
ratorio. El experimento consiste en identificar
durante algunas horas la regularidad en el porcentaje
de ratones que se enferman al ser expuestos
posteriormente al virus que ataca la vacuna. Las
siguientes gráficas representan el porcentaje de
ratones enfermos
rmos al cabo de la primera, segunda y
tercera hora de iniciado el experimento.
b) 25 • 2
c)
d)
CONTESTA LAS PREGUNTAS 7 A 9 DE
ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
7. El vendedor del almacén afirma que en el día
se recibió la misma cantidad de dinero por la
venta de baldosas triado que por la venta de
baldosas cuadu. Basándose en la afirmación del
vendedor usted puede deducir que:
a) La cantidad de baldosas cuadu vendidas fue
el 1.6% de la cantidad de baldosas trado.
b) Por cada 8 baldosas triado vendidas, se
vendieron 5 baldosas cuadu.
c) La cantidad de baldosas
baldo
triado vendida fue
1.6 veces la cantidad de baldosas cuadu.
d) El 50% del total de baldosas vendidas fue
triado ya que se recibió la misma cantidad de
dinero por su venta que por la venta de las
baldosas cuadu.
tr
5. Sea t el número de horas transcurridas
después de iniciado el experimento.
La
expresión que representa el incremento en el
28
Tabla 1. Nacimientos en la primera semana
8. Para incentivar la compra de baldosas cuadu,
el dueño del almacén decide unificar el valor por
centímetro cuadrado de baldosas triado y cuadu.
El procedimiento que usted le sugeriría al dueño
para encontrar valores adecuados a sus
propósitos es:
DÍA
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo
a) Sumar y luego dividir entre 2 los cocientes
resultantes de la división entre el precio de
cada baldosa y el área que cubre.
b) Sumar y luego dividir entre 31 los precios de
una baldosa triado y una cuadu.
c) Sumar y luego dividir entre dos los precios
de una baldosa triado y una cuadu.
d) Sumar los cocientes resultantes de la
división entre el precio de cada baldosa y el
doble del área cubierta por ella.
HOMBRES
10
9
7
12
11
6
9
MUJERES
8
13
9
11
8
8
8
Tabla 2. Nacimientos en la segunda semana
DÍA
# TOTAL DE
HOMBRES
NACIMIENTOS
Lunes
20
17
Martes
22
10
Miércoles
20
9
Jueves
18
9
Viernes
22
11
Sábado
16
4
Domingo
17
8
9. Un cliente sea dirigido a la sección de quejas y
reclamos del almacén asegurando que, de los 24
m² que compró en baldosa cuadu, el 25% salió
defectuosa y por tanto exige al almacén la
devolución de $110.000 correspondientes al
precio de las baldosas defectuosas. Usted no
está de acuerdo con el cliente, pues:
10. Con los datos que registraron los estudiantes
desean hacer una comparación entre la cantidad
de hombres nacidos durante las dos semanas.
¿Cuál de las siguientes gráficas representa mejor
esta comparación?
a) No es posible que haya comprado 24 m² en
este tipo de baldosa porque ello implicaría
que le vendieron partes de baldosas.
b) La cantidad de dinero que exige como
devolución
sobrepasa
el
valor
correspondiente al 25% de las baldosas
compradas.
c) La cantidad de dinero exigido como
devolución es inferior al costo de 6 m² de
baldosa cuadu.
d) El precio de seis baldosas cuadu no
corresponde al exigido en devolución.
a)
CONTESTA LAS PREGUNTAS 10 A 12 DE
ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
b)
Algunos estudiantes de una universidad recogieron
información acerca del número de hombres y
mujeres que nacieron en un hospital durante dos
semanas. La información la registraron en las
siguientes tablas:
29
c)
hombres nacidos es igual a la cantidad de
mujeres.
d) No, porque los datos registrados en la tabla
no permiten establecer el porcentaje entre el
nacimiento de hombres y de mujeres durante
las dos semanas.
CONTESTA LAS PREGUNTAS 13 A 15 DE
ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
d)
Un profesor de matemáticas le propone a sus
estudiantes realizar el conteo de dígitos de los
números que hay desde 1 hasta 999, como lo indica
el siguiente ejemplo:
¿Cuántos dígitos hay desde 8 hasta 13?
11. Partiendo de los datos presentados en las
tablas es falso afirmar:
La cantidad de dígitos de los números que hay desde
8 hasta 13 es 10 dígitos.
a) En la primera semana hubo más nacimientos
que en la segunda semana.
b) El nacimiento de hombres en la primera
semana fue menor que el nacimiento de
mujeres.
c) El número de nacimientos de mujeres fue
menor que el nacimiento de hombres
durante las dos semanas.
d) El número de nacimientos
cimientos de mujeres fue
mayor en la segunda semana que en la
primera semana.
El profesor les da como información que la cantidad
de dígitos que hay desde 1 hasta 99 es 189.
13. Para responder a la situación planteada
pl
por el
profesor, cuatro estudiantes presentaron algunos
procedimientos. Si el procedimiento debe ser el
más rápido y confiable, ¿cuál de los presentados
por los estudiantes escogería?
a) Contar de 1 en 1 hasta llegar a 999.
b) Contar de 1 a 9, luego de 10 a 99, por último
de 100 a 999 y sumar la cantidad obtenida
en cada grupo contado.
c) Contar cuántos números hay con 1 dígito,
con 2 dígitos y con 3 dígitos, multiplicar por
1, por 2 y por 3 respectivamente y luego
sumar.
d) Contar cuántos números hay desde 100
1
hasta 999; multiplicar por 3, y finalmente
sumarle la cantidad de dígitos que ahí desde
uno hasta 99.
12. Según los datos recogidos por los
estudiantes durante las dos semanas en el
hospital ¿es posible afirmar que la probabilidad
de que nazca un varón en cualquier día de la
semana es de 1/2.?:
a) Sí, porque el porcentaje de nacimientos de
hombres y mujeres en las dos semanas es
del 50%.
b) No, porque el número de nacimientos de
hombres en la primera semana fue distinto al
número de nacimientos en la segunda
semana.
c) Sí, porque al mirarr el número de nacimientos
al finalizar las dos semanas la cantidad de
14. Daniel, luego de hacer el conteo afirma que
cada dígito se repite la misma cantidad de veces
en los números desde 1 hasta 999, pero uno de
30
sus compañeros
mpañeros comenta que esa afirmación es
falsa, porque:
las siguientes láminas, ¿cuál considera que
Germán Camilo debe elegir para cortar las tablas
tabla
para la repisa?:
a) Los números de 1 a 999 tienen un orden
pero sus dígitos no pueden repetirse la
misma cantidad de veces.
b) El conteo se hace desde 1 y no desde cero,
teniendo al cero mínimo una vez menos.
c) La cantidad de números que tienen 2 dígitos
es distinta a la cantidad de números que
tienen sólo 1 dígito.
d) La cantidad de veces que se repite el cero
no es la misma con la que se repiten los
demás dígitos.
15. Un estudiante le pregunta al profesor si es
posible saber cuántos
uántos dígitos hay desde – 999
hasta – 1, conociendo la cantidad que hay desde
1 a 999, sin contar de 1 en 1. Si usted fuera el
profesor, le respondería a este estudiante que:
a) No, porque el conteo sólo es posible hacerlo
de manera ascendente, es decir, desde
des
1
hasta 999.
b) Sí, porque aunque esté antecedido por el
signo menos no afecta el conteo de dígitos.
c) Sí, porque el orden y el signo no son
involucrados en el conteo, siendo así el
mismo número de dígitos el conjunto
anterior.
d) No, porque los dígitos son siempre
sie
positivos,
entonces -1
1 no es un dígito.
17. Germán Camilo requiere enviar 25 repisas a
Bogotá, pero como fueron selladas con un
pegante especial y para que no se dañen, hay
que transportarlas de pie y como máximo colocar
una repisa sobre la otra. El furgón que
contrataron para el transporte tiene un
contenedor con capacidad de 2,4 m de largo, 1.2
m de ancho y 1.8 m de alto. ¿Este furgón servirá
para llevar todas las repisas en un solo viaje?:
a) Sí, porque cada repisa solamente ocupa un
área de menos de ¼ de metro cuadrado y
además se pueden colocar dos hileras.
b) No, porque se requieren tres viajes del
furgón.
c) Sí, porque como el volumen del furgón es de
5,184 metros cúbicos y el de cada repisa
0,192 metros cúbicos, necesariamente
caben 27 repisas.
d) No, porque solamente se puede llevar en
este furgón 24 repisas.
CONTESTA LAS PREGUNTAS 16 A 18 DE
ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
Una biblioteca mandó a construir el siguiente tipo de
repisa para colocar los libros y textos escolares:
18. El dueño de la biblioteca requiere de otro tipo de
repisa cuyas tablas tengan el doble del área de las
tablas de la repisa inicial. Para ello Germán Camilo
analiza posibles cambios en las dimensiones de las
tablas de la repisa inicial. ¿Cuál de los siguientes
cambios le conviene más a Germán Camilo?
16. Las tres tablas que tiene
la repisa son rectángulos de
madera completos. Germán
Camilo es el encargado de
cortar estas tablas, pero lo
debe hacer de una misma
lámina para cada repisa. De
a) Cuadruplicar el largo y dejar el ancho de las
tablas.
b) Cuadruplicar el ancho y dejar la mitad del
largo de las tablas.
c) Triplicar el largo de las tablas.
d) Triplicar el largo de las tablas y dejar la mitad
del ancho de las tablas.
31
UNIDAD 2
1.
INTERVALOS
INTERVALOS
Y
OPERACIONES
CON
Supongamos que se tienen los conjuntos:
Al conjunto A3 se le llama intervalo cerradoabierto, contiene todos los valores que están entre 0
y 3, contiene el 0 y no contiene el 3. Su notación es:
Observemos que difieren entre sí, dado que por
ejemplo en el primero se incluyen los extremos que
son el 0 y el 3, y en segundo conjunto ya no se
incluyen los extremos, es decir, en unos conjuntos se
consideran los extremos y en otros no.
Al conjunto A4 se le llama intervalo abiertocerrado, contiene todos los valores que están entre
0 y 3, no contiene el 0 y contiene el 3. Su notación
es:
Gráfica, nombre y notación para cada uno de los
conjuntos indicados
Observemos que cuando el extremo se considera
geométricamente se representa por “ • ” y cuando
no se considera se gráfica representa por “o”.
Intervalos infinitos. Analicemos los conjuntos:
Al conjunto A1 se le llama intervalo cerrado, es
decir, contiene todos los números que están entre 0
y 3. También contiene los extremos, siendo estos el
0 y el 3. Su notación es:
La gráfica para cada intervalo es:
Al conjunto A2 se le llama intervalo abierto,
contiene todos los números que están entre 0 y 3, no
contiene los extremos. Su notación es:
32
Observemos que la flecha hacia la derecha indica
que el intervalo tiende a infinito y la flecha hacia la
izquierda indica que el intervalo tiende hacia menos
infinito.
1.1. OPERACIONES CON INTERVALOS
Las operaciones con las que trabajaremos son:
unión, intersección y resta o diferencia. A
continuación se recuerdan las definiciones de estas
operaciones y para tal efecto, se utiliza la notación
constructiva de conjuntos.
33
34
EJERCICIOS……
Realizar la unión, la intersección y la resta en ambos sentidos y construir las gráficas para cada pareja de
intervalos que se dan:
2. INECUACIONES CON UNA Y DOS VARIABLES DE PRIMERO Y SEGUNDO GRADO
2.1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
Una desigualdad es cualquier expresión en la que se utilice alguno de los siguientes símbolos:
< (menor que), > (mayor que) ≤ (menor o igual que), ≥ (mayor o igual que)
Por ejemplo:
2<3 (dos es menor que 3)
7>π (siete es mayor que pi)
x≤5 (x es menor o igual que 5)
Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas. Aquí estudiamos sólo las de primer grado.
2.1.1. Inecuaciones equivalentes. El proceso de resolución de
inecuaciones se basa (igual que en el caso de las ecuaciones) en la
transformación de la inecuación inicial en otra equivalente más sencilla.
35
36
EJERCICIOS…..
En cada caso indica cuál de las inecuaciones, I, II, III, IV es equivalente a la dada:
1. Dada la inecuación −4 x ≤
I) − x ≥ −5
II) x ≤ −5
2. Dada la inecuación
I) x ≥ −
6
9
I)
x≥−
−9 x ≤ 6 , indica cuál de las siguientes inecuaciones es equivalente a ella:
II) x ≤ −
3. Dada la inecuación
50
6
−3 x − 5 , indica cuál de las siguientes inecuaciones es equivalente a ella:
III) x ≤ 5
IV) − x ≤ −5
6
9
−6 x − 5
≤ 5 , indica cuál de las siguientes inecuaciones es equivalente a ella:
9
50
II) x ≤ −
6
37
2.2. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA
38
39
2.3. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
En este caso, las soluciones no son conjuntos de números, sino
conjuntos de parejas de números, por lo que no pueden representarse
sobre una línea recta: deben representarse como subconjuntos del
plano.
Resolución gráfica
Una solución de una inecuación de dos variables es una pareja de
números (x0,y0), tales que al sustituir sus valores en las incógnitas de la
inecuación, hacen que la desigualdad sea cierta. Cada pareja de
números reales se puede representar como un punto del plano.
Por tanto, resolver la inecuación equivale a obtener todos los puntos del
plano cuyas coordenadas hacen que se verifique la desigualdad.
Para ello se procede de la siguiente forma: se dibuja la recta, se elige un
punto que no pertenezca a la misma y se comprueba si las coordenadas
del punto cumplen la desigualdad o no, si la cumplen la zona en la que
está el punto elegido es la solución de la inecuación, si no la cumplen la
solución es la otra zona.
40
2.3.1. Sistemas de inecuaciones
41
EJERCICIOS……
INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA
2
Resuelve la inecuación siguiente en forma gráfica: x –5x>0
INECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS
Averigua si el punto P(-1,-2) es una solución de la inecuación -2x + 3y ≤ 1 y dibuja el semiplano solución,
indicando si incluye o no a la recta -2x + 3y = 1
2.4. PROBLEMAS SOBRE INECUACIONES
42
EJERCICIOS……
1.
2.
2.5.. DEFINICIÓN Y GRÁFICA DEL VALOR ABSOLUTO
Dado un número real cualquiera, a,, se define su valor absoluto como:
Este valor se conoce también como módulo de a y representa la distancia del origen de la recta real al punto que
representa al número a.
Si a, b ∊ ℝ y k ≥ 0 se verifican las siguientes propiedades:
43
2.5.1. Tratamiento del valor absoluto utilizando la gráfica de f(x)=|x|. El registro gráfico es muy útil para
resolver ecuaciones del tipo , |x−3| = 3 si tenemos en cuenta el “efecto gráfico” de la aplicación del valor absoluto
a funciones lineales.
Para resolver |x−3| = 3, bastará graficar y=x-3, aplicar la reflexión con respecto del eje x de la parte negativa de la
gráfica, obteniendo la gráfica de y=|x-3|, procediendo posteriormente a hallar la intersección con la recta y=3.
En ejemplos como el dado quizá no queda clara la eficacia de este método. Sin embargo, debemos poner énfasis
en su aplicación, aún en ecuaciones e inecuaciones sencillas, por constituir la base conceptual y procedimental
para avanzar en el estudio de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto más complejas.
Es aquí donde la potencia del uso del registro gráfico se pone de manifiesto al resolver ecuaciones e
inecuaciones como: |||x|-1|-1|=5 ; |x+2| < 3x+4 ; |x2-3x+2| > 4x+7.
ACTIVIDADES……
Actividad 1: ¿Cómo opera el valor absoluto sobre la función y=x?. Observa con detenimiento las siguientes
gráficas:
44
¿Puedes obtener alguna conclusión?
El objetivo de esta actividad - claramente del tipo “mirar y ver”- indaga la capacidad de inferencia de los alumnos, a
través de una secuencia en registro gráfico, sobre el “efecto” del valor absoluto sobre la gráfica de f(x)=x.
Actividad 2: Utilizando lo anterior, graficar y= |x+1|
Actividad 3: A partir del gráfico de la Actividad (2) determinar la solución de:
a) |x-1|=0
b) |x-1|=3
c) |x-1|= -5
2.6. ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
2.6.1. Ecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│= c
El valor absoluto de un número real es la distancia entre ese número y el cero en la recta numérica, esto es,
│a│=│-a│.Usamos este argumento para resolver ecuaciones con valor absoluto. Por ejemplo, si │x│= 3, entonces
x = 3 ó x = -3. Por lo tanto, la solución de la ecuación │x│= 3 es -3 y 3.
Las soluciones de una ecuación de la forma │ax + b│= c, donde a ≠ 0 y c es un número positivo,
son aquellos valores que satisfacen: ax + b = c ó ax + b = -c.
Ejemplos para discusión:
1) │3x - 4│ = 5
EJERCICIOS……
1) │3x - 4│= 23
2) │2x + 1│ + 3 = 8
4) │x - 6│ = │5x + 8│
2.6.2. Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│< c
¿Qué significa │x│< 2 ? Significa que x es un número menor que 2 unidades desde cero a la recta numérica. La
recta numérica nos ayuda a visualizar la situación. Dibuja en el espacio provisto la recta numérica.
45
Observa que los valores que satisfacen la expresión │x│<2 están entre -2 y 2. Es decir, que estos valores están
en el intervalo entre -2 y 2, esto es, -2 < x < 2.
Propiedad: Si a es un número real positivo y │x│< a, entonces –a < x < a.
Ejemplos para discusión:
1) │x│< 3
2) │x + 5│ ≤ 10
3) │3x - 2│≤ 8
EJERCICIOS……
Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones:
1) │x│≤ 5
2) │x - 6│ < 15
3) │2 + 3(x – 1)│< 20
2.6.3. Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│> c
¿Qué significa │x│> 2 ? Significa que x es un número mayor que 2 unidades desde cero en la recta numérica.
Esto ocurre cuando x está a la izquierda de -2 en la recta numérica, esto es, cuando x < -2. También ocurre
cuando x está a la derecha de 2 en la recta numérica, esto es, cuando x > 2. Dibuja la recta numérica en el
espacio provisto para que puedas visualizarlo.
46
De manera que la solución de │x│> 2 es x < -2 ó x > 2.
Propiedad: Si a es un número real positivo y │x│> a, entonces x < -a ó x > a.
Ejemplos para discusión:
1) │x│≥ 3
2) │x - 4│> 5
3) │2x - 3│> 5
EJERCICIOS……
Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones.
1) │x│> 5
2) │x + 6│> 2
3) │-5x - 2│>13
47
PRUEBA TIPO ICFES
MEDICIÓN
c)
Responda las preguntas 1 y 4 con la siguiente
información:
En una fábrica de congeladores construyen neveras
como la representada
presentada en el dibujo. En el manual de
instrucciones de esta nevera se menciona, entre
otras cosas, sus medidas y el volumen en litros por
compartimiento, el cual es de 44 litros para el
congelador y 176 litros para el conservador.
d)
2. En el manual de instrucciones de la nevera se
menciona que la proporción entre el volumen del
congelador y del conservador es de 1 a 4,
respectivamente. Esto significa que:
a) Por cada litro de volumen del congelador hay
4 litros de volumen en el conservador.
b) La diferencia entre volúmenes en litros
apenas es tres veces el volumen del
congelador.
c) El volumen del congelador es ¼
en
comparación al volumen del conservador.
d) Por 4 litros de volumen en el congelador hay
1 litro de volumen en el conservador.
n a los consumidores se
1. Para información
grafica la distribución del volumen total de la
nevera. La gráfica más adecuada sería:
a)
3. La empresa decidió construir un nuevo modelo
de nevera, manteniendo el volumen total de
d la
anterior y en el que la proporción entre el
volumen del congelador y el conservador sea de
1 a 3 respectivamente. Analizando esta
proporción se puede afirmar que en el nuevo
modelo.
a) El volumen del conservador y el del
congelador aumentan respecto a la nevera
inicial.
b)
48
Se ha colocado x en las dimensiones de cada
pieza, ya que pueden
eden variar de acuerdo con las
necesidades de los compradores. Para que el
fabricante de estas piezas logre construir la pieza
2, debe:
a) A una pieza de dimensiones (2x+5).2x.3x
quitarle un pedazo de dimensiones
x.x(2x+5).
b) Ensamblar 5 piezas iguales de dimensiones
dimen
x.x(2x+5)
c) Ensamblar tres piezas, dos de dimensiones
iguales de 2x.(2x+5) y otra de dimensiones
x.x. (2x+5).
d) Ensamblar tres piezas, dos de éstas iguales
cuyas dimensiones corresponden a 2x.x y la
otra de 3x.2x(2x+5)
b) El volumen del congelador aumenta y el
volumen del conservador disminuye, en
comparación con la nevera inicial.
c) El volumen del congelador representa un
tercio y el del conservador representa dos
tercios del volumen total.
d) El volumen del congelador
ngelador representa la
cuarta parte y el del conservador representa
las tres cuartas partes del volumen total.
4. El espacio para colocar la nevera en el
apartamento de don Felipe tiene un área
rectangular de 3.900 cm2. Él podría colocar allí
una nevera como
omo la representada en el dibujo
inicial, si:
a) La medida de las dos dimensiones del área
rectangular es la misma (Aprox. 62
62-45).
b) La medida de una de las dimensiones del
rectángulo es 80 cm.
c) La medida de un lado del rectángulo es 52
cm.
didas de cada una de las
d) Al multiplicar las medidas
dimensiones del rectángulo no excede a
3.900 cm2.
RESPONDA LAS PREGUNTAS 6 Y 7 DE
ACUERDO
CUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
En un club deportivo tienen 3 cubos numerados del 1
al 3, como se muestra en la figura, que se utilizan en
el momento de entregar las medallas de oro, plata y
bronce, a los ganadores de cada competencia.
5. Las siguientes piezas son utilizadas en la
industria de la ornamentación como piezas de
seguridad.
6. Si se gasta
sta un galón de pintura para pintar el
cubo 3. ¿De qué manera se puede determinar el
número de galones de pintura que se necesita
para pintar los cubos 1 y 2?.
a) Contando el número de cuadrados de área
2
x
un cara
 4  que se necesita para formar una
 
del cubo 1 y una cada del cubo 2.
b) Contando el número de cubos de volumen
3
x
  que se necesita para formar los cubos
4
1 y 2.
49
c) Sumando los valores de t que solucionan las
ecuaciones
1
x
6 
4
2
=
t
x
6 
4
2
y
1
x
6 
4
2
=
9. Es posible quitar triángulos equiláteros de las
esquinas del triángulo ABC, buscando que el polígono
que se forma en el interior sea siempre de 6 lados, sólo
si el lado de cada uno de estos triángulos:
a) Es mayor o igual a 0 pero menor que la mitad de
la longitud del lado del triángulo ABC.
b) Es mayor que 0 pero menor o igual que la mitad
de la longitud del lado del triángulo.
c) Es mayor que 0 pero menor que la mitad de la
longitud del lado del triángulo ABC.
d) Está entre o y la mitad de la longitud del lado del
triángulo ABC.
t
6x 2
d) Sumando los valores de t que solucionan las
ecuaciones
1
x
 
4
3
=
t
x
 
4
3
y
1
x
 
4
3
=
t
x2
10. Suponga que la longitud de los lados de los
triángulos, en las esquinas del triángulo ABC, es
exactamente la mitad de la longitud del lado de dicho
triángulo, entonces, es cierto afirmar que:
a) El polígono interior es congruente con cualquiera
de los triángulos de las esquinas.
b) El perímetro del polígono interior es la tercera
parte del perímetro del triángulo ABC.
c) El polígono que se forma en el interior no altera el
perímetro del triángulo ABC.
d) El área del polígono interior es la tercera parte del
área del triángulo ABC.
7. Si se cambian los cubos 2 y 3 por cajas de base
rectangular que tienen el mismo ancho y alto que los
cubos 2 y 3 respectivamente, pero cada una con largo
igual a la arista del cubo 1, y las numeramos 4 y 5
respectivamente, podemos decir que:
a) Las cajas 4 y 5 tienen el mismo volumen, y éste
es el doble del volumen del cubo 2.
b) El área total de la caja 5 es tres veces el área
total del cubo 3, y el área total de la caja 4 es
menor que el doble del área total del cubo 2.
c) El volumen de la caja 4 es el doble del volumen
del cubo 2, y el volumen de la caja 5 es cuatro
veces el volumen del cubo 3.
d) El área total de las cajas 4 y 5 es la misma y ésta
es cuatro veces el área total del cubo 3.
RESPONDA LAS PREGUNTAS 11 A 13 DE
ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
En los frascos de pintura de cierta marca, se
especifica que para disminuir la tonalidad de la
pintura en un 5%, se debe agregar x/2 cm3 de
pintura blanca por cada x cm3 de pintura de color.
RESPONDA LAS PREGUNTAS 8 A 10 DE ACUERDO
CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
A un triángulo equilátero de 75 cm de perímetro se le
quitan tres triángulos también equiláteros de 5 cm de lado,
como se muestra en la figura.
11. Un estudiante de publicidad, cuenta con 40
cm3 de pintura roja, pero para su trabajo requiere
mínimo 50 cm3 de la misma. El asegura que
puede mezclarla con 10 cm3 de pintura blanca
siempre y cuando la tonalidad no disminuya más
de un 25%. Respecto a agregar los 10 cm3 de
pintura blanca, el estudiante debe tomar la
decisión de:
a) Agregarlos ya que la tonalidad disminuiría
tan solo en 2,5%.
b) Agregarlos ya que la tonalidad disminuiría
tan sólo un 10%
c) No agregarlos ya que la tonalidad disminuiría
en 50%.
d) No agregarlos ya que la tonalidad disminuiría
un 60%.
8. El perímetro de la zona sombreada puede ser
calculado así:
a) A 75 cm le restamos el perímetro de cada uno de
los triángulos de 5 cm de lado.
b) A 75 cm le restamos el perímetro de uno de los
triángulos de 5 cm de lado.
c) Calculamos la medida de cada uno de los lados
de la figura sombreada y luego sumamos estos
valores.
d) A cada lado del triángulo ABC le restamos 10 cm
y luego multiplicamos ese valor por 3.
12. Un artista ha tomado cierta cantidad de pintura
verde y por equivocación la ha mezclado con pintura
50
blanca, que equivale en cantidad a la tercera parte de
la inicial. Ante la equivocación, el artista decide
agregar la misma cantidad de pintura verde inicial para
recobrar la tonalidad. El resultado que el artista
obtiene luego de las mezclas indicadas no es el que él
espera, porque:
a) Para recobrar la tonalidad debió agregar tanta
pintura verde, como la que agregó por
equivocación.
b) La
tonalidad
de
la
cintura
disminuyó
aproximadamente en 1,66%.
dad debió agregar, en
c) Para recobrar la tonalidad
pintura verde, cinco veces la cantidad de pintura
que agregó por equivocación.
d) La
tonalidad
de
la
pintura
disminuyó
aproximadamente en 3,33%.
14. Por disposiciones generales, debe pintarse un
molde tipo I de tal forma que la mitad de él sea en
color blanco. Para construir un diseño ajustado lo
pedido, puede recurrirse a:
a) Indicar, dentro del molde, una circunferencia de
radio X/4 y pintar ssu interior de blanco.
b) Trazar dos diámetros perpendiculares y unir sus
extremos formando un cuadrilátero. El interior del
cuadrilátero será la región en blanco.
c) Trazar dos pares de diámetros perpendiculares y
unir sus extremos formando un octágono. El
interior
ior del octágono será la región en blanco.
d) Indicar, dentro del molde una circunferencia de
diámetro igual a la distancia entre los puntos
sobre la circunferencia del modelo, determinados
por dos radios perpendiculares.
13. Un estudiante necesita mezclar cierta cantidad de
pintura verde con otra blanca. Luego de analizar cuál
recipiente era el más adecuado para guardar la mezcla,
ha escogido uno que tiene capacidad para seis veces
la cantidad de pintura verde inicial, asegurando que
los llenará completamente. De acuerdo con esto, el
objetivo del estudiante, al realizar la mezcla era:
a) Obtener pintura verde con una tonalidad 6%
menor a la inicial.
b) Disminuir la tonalidad de la pintura verde en un
60%.
c) Obtener pintura verde con una tonalidad 10%
menor a la inicial.
d) Disminuir la tonalidad de la pintura verde en un
50%.
15. La persona encargada de recortar los moldes, debe
cumplir con un pedido de dos moldes tipo I y tres de
tipo II, pero al no saber cuál de las dos láminas
disponibles debe escoger pide la opinión del ingeniero
a quien le presentó las dos láminas:
Una respuesta acertada por parte del ingeniero
ing
es:
a) Dado que el área total de los moldes del
pedido es menor al área de cualquiera de las
dos láminas disponibles, puede escoger
cualquiera de las dos.
b) Aunque los dos láminas tienen la misma
área, es más apropiada la 1 pues, por su
forma, se despreciaría
desprec
menos material.
c) Aunque las dos láminas tienen la misma
área, es más apropiada la 2 pues, es posible
superponer todos los moldes del pedido
sobre ella.
d) El área de los moldes del pedido es menor al
área de cualquiera de las dos láminas
disponibles sin embargo tendría que usar las
dos para cumplir con el pedido.
RESPONDA LAS PREGUNTAS 14 Y 15 DE ACUERDO
CON LA SIGUEINTE INFORMACIÓN
Para la señalización de las diferentes vías de transporte,
se recorta de láminas de aluminio de variados tamaños y
formas, dos tipos de moldes, con las siguientes
características:
51
UNIDAD 3
1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE RELACIONES Y FUNCIONES
1.1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE RELACIONES Relación de A en B:
Dados dos conjuntos A y B, llamaremos relación de A en B a cualquier subconjunto de AxB.
Llamaremos relación binaria en A, a cualquier subconjunto de AxA.
Propiedades de Relaciones de A en A
Para ejemplificar las propiedades de las relaciones utilizaremos el conjunto A={1,2,3,4}.
52
53
1.2. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE FUNCIONES
54
1.3. ALGEBRA DE FUNCIONES
Si dos funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces es posible hacer operaciones
numéricas reales como la suma, resta,multiplicación y división (cociente) con f(x) y g(x).
Definición: La suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g son las funciones definidas por:
Cada función está en la intersección de los dominios de f y g, excepto que los valores de x donde g(x)
se deben excluir del dominio de la función cociente.
55
=
0
EJERCICIOS……
1) Sea f(x) = x2 y g(x) = x – 1. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g.
Señala el dominio para cada una de ellas.
2) Sea:
Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones. Indica cuál es el dominio para cada una de ellas.
3) Sea f(x) = 3x y g(x) = x + 2. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones. ¿Cuál es el
dominio en cada una de ellas?
1.3.1. Composición de funciones
Definición: Dadas las funciones f y g, la composición de f y g, se define por:
donde g(x) es el dominio de f. La composición de g y f se define por:
EJERCICIOS……
Halla f(g(x)) y g(f(x)) para cada par de funciones y su dominio.
Notas:
1) El dominio f(g(x)) es subconjunto del dominio de g y el recorrido de f(g(x)) es subconjunto de recorrido de f.
2) Si las funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces también su composición f(g(x)
está definida.
56
1.4.. CLASES DE FUNCIONES: POLINÓMICAS, TRASCENDENTES Y ESPECIALES
1.4.1. Funciones polinómicas. Una función se dice
algebraica si en su formulación solo intervienen las
operaciones algebraicas de suma, diferencia,
multiplicación,
ltiplicación, división y potenciación, si una función
no es algebraica es trascendente.
1.4.2.
.2. Funciones trascendentes. Una función es
ALGEBRAICA, si las operaciones de la expresión
son algebraicas, caso contrario se llaman
TRASCENDENTES (trascienden el campo del
álgebra).
Las funciones algebraicas incluyen a las:
1.4.2.1. La función exponencial.
exponencial Se llama función
exponencial a la función:
Funciones polinómicas que son las funciones P(x),
donde P es un polinomio en x,, es decir una
combinación finita de sumas y productos entre
escalares (números) y la variable x. Usualmente, los
escalares son números reales,
les, pero en ciertos
contextos, los coeficientes pueden ser elementos de
un campo o
un anillo arbitrario
(por
ejemplo,
fracciones, o números complejos)
a>0 ⋀ a ≠1
Dada las condiciones anteriormente mencionadas,
tenemos dos casos posibles:
x
1. Que a>1, por ejemplo f(x)=2 , cuya gráfica es la
siguiente:
Como casos particulares de funciones polinómicas
se tienen:
Función constante: f(x)= a
Función lineal:: f(x)= ax + b es un binomio del primer
grado.
Función cuadrática:: F(x)= ax² + bx + c es un trinomio
del segundo grado.
57
La característica
ica de esta función es que
es creciente,, corta a las ordenadas en 1 y el eje de
las abscisas es asíntota a la curva. El dominio son
los reales, y la imagen los reales
es positivos.
Con esta idea, y partiendo de la función exponencial
se tiene:
2.
O sea que la función logarítmica está dada por:
Cuando 0<a<1, por ejemplo:
Cuya gráfica es:
Como
o esta función es la inversa de la exponencial y
la base a es también la base de la exponencial,
entonces se dan los siguientes casos:
Para a>1, por ejemplo: f(x)=log2 x tiene la siguiente
gráfica:
La función es decreciente,, corta al eje de las
ordenadas en 1, el eje de las abscisas es asíntota
as
a
la curva, el Dominio son los reales y la Imagen lo
reales positivos.
Observamos que la gráfica es creciente, corta a las
abscisas en 1 y el eje de las ordenadas es asíntota
de la curva. Por otro lado el dominio son los reales
positivos y la imagen todos los reales.
Si clasificamos la función exponencial observamos
que bajo las condiciones planteadas ésta
es biyectiva ya que es inyectiva porque para valores
distintos de los reales, la función tiene imágenes
distintas; y es sobreyectiva por que todos los
elementos del conjunto de llegada, o sea los reales
positivos, tienen preimágenes.
Probemos para el caso de que 0<a<1, por ejemplo:
La gráfica de esta función es:
1.4.2.2. La función logarítmica.. Como la función
exponencial es biyectiva,, entonces admite inversa.
Recordemos primero qué es el logaritmo de un
número:
Lo que significa que calcular el logaritmo en base “a”
de un número “b”, es encontrar
ontrar el exponente “c” a la
que hay que elevar la base para obtener el
argumento “b”.
4
Así por ejemplo, log3 81= 4, ya que 3 =81.
58
La función es decreciente, corta al eje de las
abscisas en 1, y el eje de las ordenadas es asíntota
de la curva. Por otro lado, el dominio son los reales
positivos y la imagen todos los reales.
Esta se lee “identidad de x”
O sea que si a∊A⟹i (a) a, y así para todos los
valores de A. En diagrama de Venn será:
A
Para el caso de que a=1 (base 1), no queda definida
la función logarítmica.
1.4.3. Funciones especiales.
1.4.3.1. Función constante. La función f:A ⟶ B se
llama constante si para todo elemento del dominio, le
hace corresponder como imagen un único elemento
“K” del codominio.
O sea que:
Su gráfica será una recta que corta a las ordenadas
en k y siempre paralela al eje de las abscisas. O sea:
Haciendo un estudio de esta función se tiene que:
- La función es inyectiva ya que cada uno de los
elementos del dominio es imagen de sí mismo,
y ellos son distintos.
- La función es sobreyectiva ya que todos los
elementos del dominio también son imagen.
- Como conclusión podemos decir que esta
función es biyectiva.
1.4.3.3. La función proyección. Sea el conjunto R,
sean los conjuntos A⊂R y B⊂R. Sea el producto
cartesiano AxB, en donde un punto cualquiera P(a,b)
pueden determinarse dos funciones llamadas
proyecciones de la siguiente manera:
Trabajando con los números reales observamos que
elementos distintos del conjunto de partida o dominio
tienen siempre la misma imagen k, por lo tanto no es
inyectiva. Por otro lado, de todos los elementos del
codominio, solamente k tiene preimagen, por lo tanto
no es sobreyectiva.
Gráficamente:
Ahora, esta función puede tener otra forma, por
ejemplo x=k, su gráfica cortará al eje de las abscisa
en k y será paralela a las ordenadas.1.4.3.2. La función identidad. La función identidad
es aquella a la que a todo elemento del dominio le
hace corresponder como imagen ese mismo
elemento, o sea:
59
1.4.3.4. La función canónica. Sea una relación de
equivalencia “~” definida en un conjunto A, por
supuesto a partir de ella se generan las clases de
equivalencias y el conjunto cociente.
cociente
Esta función es sobreyectiva,
sobreyectiva ya que todos los
elementos del conjunto cociente (clases de
equivalencias), tienen algún antecedente en el
conjunto A, pero no es inyectiva ya que varios
elementos de A tienen la misma imagen en el
conjunto cociente.
Se llama función canónica a aquella definida desde
el conjunto
to A hasta el conjunto cociente, de tal
manera que a cada elemento del conjunto A le hace
corresponder la clase a la que pertenece. O sea:
1.5. FUNCIÓN INVERSA Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Sea f una función que asocia a un punto x de su dominio la imagen y=f(x). Supongamos que f es tal que diferentes
x son transformados siempre en diferentes y. Así, cada y en el rango de f es la imagen de a lo más un valor
val x.
Puede asociarse con cada y en el rango de f el valor x que es su preimagen. De esta manera, se define una
función g cuyo dominio es el rango de f y que al aplicarse a una imagen y=f(x), reproduce el valor original x, esto
es, g(f(x))=x.
g se denomina la inversa de f y se denota f-1.
f 1. Esta función g se halla al despejar la x en función de y.
f también es la inversa de g, de modo que también f(g(y))=y.
60
61
TEOREMA
62
1.6.. SERIES, SUCESIONES Y PROGRESIONES
Sin embargo, no todas las sucesiones tienen término
general. Por ejemplo,
mplo, en la importante sucesión de
los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...
no hay ninguna fórmula que exprese el término
general.
Una sucesión de números reales
es es un conjunto
ordenado de infinitos números reales a1, a2, a3, a4,
a5,..., an,... Cada uno de los números reales se llama
término de la sucesión.
Consideremos la sucesión de término general an = 3n
+ 2; 5, 8, 11, 14, 17, 20,...
Dada una sucesión { an }, se llama serie a la
sucesión que forman los siguientes términos: a1, a1+
a2, a1+ a2+ a3, a1+ a2+ a3+ a4, …
Observamos que cada término
térmi
de la sucesión es
igual que el anterior más 3. Se dice que la sucesión
an es una progresión aritmética y que d = 3 es la
diferencia de la progresión.
El conjunto ordenado de números impares 3, 5, 7, 9,
11, 13,... es una sucesión de números reales.
Al término: an = 3 + 2(n-1) se le llama término
general.
Una progresión aritmética es una sucesión de
números tales que cada uno de ellos (salvo el
63
primero) es
s igual al anterior más un número fijo
llamado diferencia que se representa por d.
Son progresiones aritméticas:
-
En la progresión anterior a1 = 5, a2 = 8 y d = 8 - 5 =
3.
-
En ocasiones nos referimos a la progresión formada
por los n primeros términos de la progresión; en este
caso se trata de una progresión aritmética limitada.
Los múltiplos de 2 o números pares: 2, 4, 6, 8,
10... La diferencia es d = 2.
Los múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15... La diferencia
es d = 3.
Los múltiplos de a: a, 2a, 3a, 4a,
4
5a... La
diferencia es d = a.
EJERCICIOS……
1- Calcular el
polinómicas:
dominio
de
las
funciones
2. Calcular
racionales:
dominio
de
las
funciones
el
4. Determinar la función inversa de cada de las
siguientes funciones
3. Calcular
radicales:
el
dominio
de
las
funciones
64
PRUEBA TIPO ICFES
RESPONDA LAS PREGUNTAS 1 A 4 DE ACUERDO
CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
b)
c)
Observe los siguientes dibujos. Se tomó una forma
rectangular a la que se le ha ido aumentando una
unidad de longitud y una unidad de área por cada lado,
conservando la misma forma rectangular.
d)
4. Si alguna forma rectangular en la misma posición
de la inicial de dimensiones 5 x 4 se le añaden dos
unidades de área de dimensiones 2 x 1, el perímetro
de la nueva forma rectangular será mayor dos
unidades de longitud debido a que:
a) Sólo aporta al perímetro el valor de un
una
dimensión.
b) Sólo incrementa al perímetro el largo de la
figura, y cada lado aporta la mitad de este
incremento.
c) Incrementa el perímetro el valor del largo y
ancho de la figura.
d) Cada unidad de área aporta dos unidades más
de longitud al perímetro.
1. La relación que se puede establecer entre las
respectivas áreas al variar en una unidad las
dimensiones, corresponde al siguiente arreglo
numérico:
a)
2 6 12 20 30 42
, , , , , ........
6 12 20 30 42 56
b)
6 10 14 18 22 26
, , , , , ........
10 14 18 22 26 30
c)
6, 12, 20, 30, 42, 56, 72 ……..
d)
6, 12, 20, 30, 48, 64, 81………
En cuatro unidades de área porque para
conocer el área se multiplican largo por ancho.
Agregándole al área anterior un número par en
forma consecutiva.
Agregándole al área anterior el doble de cada
número natural en forma consecutiva.
RESPONDA
A LAS PREGUNTAS 5 Y 6 DE ACUERDO
CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
Un estudiante de 11A recoge datos con las edades de
sus 25 compañeros de curso y organiza en filas de la
siguiente manera:
17
17
16
16
16
2. Al aumentar las dimensiones del rectángulo en
una unidad de longitud, el perímetro de la nueva
forma rectangular obtenida:
a) Aumenta en cuatro unidades porque el número
de lados
dos de esta figura es cuatro.
b) Se duplica porque cada dimensión que en
todos lados con igual longitud.
c) Se aumenta en dos unidades porque en cada
dimensión se aumenta una unidad.
d) Se aumenta en cuatro unidades porque cada
uno de los lados del rectángulo adiciona
adici
una
unidad al perímetro.
15
16
16
17
15
17
15
15
16
15
15
17
17
15
17
16
17
17
17
16
5. ¿Con cuál de las siguientes opciones se podría
diferenciar la información recogida por el
estudiante?:
3. Al agregar por cada lado una unidad de área, la
nueva forma rectangular obtenida con respecto a la
inmediatamente anterior aumenta cada vez:
a) En dos unidades de área debido a que en cada
dimensión aumenta una unidad de área.
65
6. El estudiante concluye que 2/5 de los estudiantes
tienen 17 años, esto significa que:
a) 3/5 de los estudiantes son menores de 17
años.
b) Por cada fila de cinco personas hay dos
estudiantes de 17 años.
c) De las cinco filas por lo menos 2 son de
estudiantes de 17 años.
d) El 40% de los estudiantes tienen 17 años.
d)
No, porque la inclinación de las rectas depende
solamente la altura de cada tanque.
9. Dado que a los 30 minutos cada tanque se llena.
Se puede concluir que:
a) La capacidad de los dos tanques es la misma.
b) El área de la base de tanque uno es mayor que
el área de la base de tanque dos.
c) El nivel del agua es directamente proporcional
al área de la base de los tanques.
d) La altura del tanque dos varia frente a la altura
del tanque uno.
7. Un estudiante de 11B observa que su curso
guarda las mismas proporciones
nes de número de
estudiantes por edad. Si en 11B hay 12 alumnos
cuya edad es de 17 años se puede afirmar que:
a) El número de estudiantes de 11B es 25.
b) El número de estudiantes menores de 16 años
es 18.
c) El número de estudiantes de 15 años está
entre 8y10.
d) El número de estudiantes de 11B es mayor que
25.
10. ¿La forma lineal de las gráficas depende
solamente de la forma cilíndrica de cada tanque?:
a) Sí, porque el nivel del agua crece longitudes
iguales en tiempos iguales.
b) No, porque también depende del flujo de agua
que entra por minuto a cada tanque.
c) No, porque además de la forma, también
influye la medida del radio de cada tanque.
d) Sí, porque en un instante de tiempo, la altura
en un tanque cilíndrico es igual en cualquier
punto.
RESPONDA LAS PREGUNTAS 11 A 14 DE
ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÖN
RESPONDA LAS PREGUNTAS 8 A 10 DE ACUERDO
CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
Dos tanques de forma cilíndrica están siendo llenados
de tal manera que a cada tanque entra la misma
cantidad de agua minuto. Las gráficas
gráfic
uno y dos
muestran la variación del nivel de agua de cada tanque:
Cada figura se forma a partir de un cierto número de
cubos, que tendrán la arista la mitad de longitud de la
lista de los cubos que componen la figura anterior,
como se ilustra a continuación:
11. Se puede afirmar de la superficie total de la
figura tres en relación con la superficie total de la
figura uno que:
a)
8. ¿La inclinación de cada gráfica depende de la
medida del radio de cada tanque?:
a) No, porque al utilizar un tanque de radio mayor
el nivel del agua crece más rápidamente.
b) Sí, porque al utilizar un tanque de radio menor,
el nivel de agua crece más rápidamente.
c) Sí, porque la inclinación de las rectas depende
también del flujo constante de agua.
b)
c)
66
La suma de la superficie de los 64 cubos de 1
cm de arista es 4 veces la superficie del cubo
de 4 cm de arista.
La superficie
erficie de la figura 3 está en razón de 1 a
4 con respecto a la superficie de la figura 1.
La superficie total de la figura 3 es mayor que
la superficie de la figura 1 por estar compuesta
por un mayor número de cubitos.
d)
La superficie total de las dos figuras
figur
es la
misma, pues la arista del cubo de la figura 1 es
equivalente a la suma de las aristas de 4 cubos
de la figura 3.
12. A medida que va aumentando el número de
cubitos en cada nueva figura, resultan cubos más
pequeños; de éstos cubos podemos afirmar que:
a) Sus superficies se conservan.
b) Sus volúmenes van disminuyendo a medida
que disminuyen sus superficies.
c) La superficie de cada uno de los cubos
aumenta al igual que la cantidad de cubos
resultantes en cada nueva figura.
d) Sus superficies disminuyen, aunque
aunqu
la
superficie total de la figura aumenta.
15. Se puede determinar la medida de la base de
cualquier triángulo n de la sucesión, teniendo en
cuenta que:
a)
13. El volumen en cada nueva figura:
a) Aumenta, dado que se van dispersando más
los cubos resultantes en cada figura.
b) Crece, pues es directamente proporcional al
número de cubos resultantes en cada figura.
c) Se conserva
erva invariante, pues si se encajan
cada uno de los cubos de cada figura formando
uno solo, las aristas de estos nuevos cubos
quedarían de igual longitud.
d) No varía, puesto que la suma de los volúmenes
de los cubos que componen cada figura,
siempre es constante.
b)
c)
d)
16. Si se quiere modificar la sucesión de triángulos
para que la medida de los ángulos θ1, θ2, θ3, …, sea
siempre la misma, se podría:
14. En la figura 2 se puede afirmar que el número de
vértices:
a) Es múltiplo del número de cubos que
conforman la figura.
b) Es inversamente proporcional al número de
cubos que conforman la figura.
c) Es equivalente al número de cubos que
conforman la figura
a elevada al cuadrado.
d) Excede en ocho el número de cubos que
conforman la figura.
RESPONDA LAS PREGUNTAS 15 A 17
ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
La medida de la base de cualquier triángulo de
la sucesión siempre mide 1 m más que la
medida de la base del primer triángulo.
triángu
La medida de la base del triángulo 1 es 2 m;
que hay (n – 1) triángulos entre el triángulo 1 y
el triángulo n y que la diferencia entre la
medida de las base de dos triángulos
consecutivos es 1 m.
La medida de la base de cualquier triángulo n
puede obtenerse
enerse sumándole al número que
representa su posición 1 m.
Entre las medidas de los lados de cualquier
triángulo n de la sucesión, la diferencia es 1 m.
a)
b)
c)
DE
d)
Observe la siguiente sucesión de triángulos. Los puntos
suspensivos significan que la sucesión de triángulos
tri
continúa.
No modificar la medida de la base de cada
triángulo de la sucesión y hacer que todas las
alturas de los triángulos miran 5 m.
Modificar la medida de la altura de cada
triángulo de la sucesión y hacer que todas las
bases de
e los triángulos miran 6 m.
Por cada aumento de una unidad en la altura,
duplicar la base.
No modificar la medida actual de las bases de
los triángulos de la sucesión y aumentar la
longitud del cateto opuesto a 0n, en 1 m, para
obtener triángulos rectángul
rectángulos isósceles.
17. Se puede inferir que los ángulos θ1, θ2, θ3, …,
de los triángulos de la sucesión NO MIDEN lo
mismo porque:
a)
b)
67
Los triángulos de la sucesión son semejantes.
Las medidas de los catetos de los triángulos
son proporcionales.
c)
d)
18. Para ubicar la posición exacta de un equipo en
el río, respecto del puesto de arranque, se requiere
conocer:
Los triángulos de la sucesión no cumplen con
criterios de semejanza de triángulos.
La razón entre las medidas de los catetos del
triángulo 1 es θ y de ninguno de los otros
triángulos puede obtenerse la misma razón,
pues la razón entre dos números naturales
consecutivos mayores
res que 2 nunca es θ.
RESPONDA LAS PREGUNTAS 18 Y 19
ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
a)
DE
b)
El Campeonato Mundial de deportes de río de 1998,
tuvo como sede un país latinoamericano y contó con la
participación de 23 equipos de los cinco continentes. La
prueba principal – canotaje - se desarrolló en el río
Amarillo que corre de norte a sur. Al oriente del río se
encuentra una autopista desde la cual se puede
apreciar el recorrido de la competencia. La gráfica
muestra el mapa de la competencia por el río Amarillo,
que toma como referencia el puesto de arranque. Entre
el puesto de arranque y la meta se han dispuesto tres
bases. Cuando un equipo pasa por una base se registra
el tiempo que ese equipo tardó en alcanzar esa base
desde el inicio.
c)
d)
19. Se puede afirmar que toda posición en el mapa,
con coordenada mayor de 600 m Oriente, se
encuentra más al Oriente que todo punto que
pertenece al recorrido
ecorrido del río Amarillo, porque:
a)
La tabla muestra
ra el registro de tiempo (en minutos y
segundos) de siete equipos, en la base.
b)
c)
d)
Equipo
Japón
Suecia
Rusia
Canadá
Argentina
USA
Brasil
Tiempo promedio
La medida del segmento de recta que une el
puesto de arranque con ese punto del recorrido
y el ángulo que forma ese segmento de recta
respecto a la recta que representa la dirección
Norte — Sur.
La distancia desde cualquier punto de la recta
que representa la dirección Norte — Sur , hasta
ese punto del recorrido.
Las coordenadas de ese punto que indican su
dirección Norte
te—Sur y su dirección oriente—
occidente .
Si ese punto del recorrido está entre la base 1
y la base 2.
Base 3
23 min 40 seg
25 min 38 seg
27 min 02 seg
25 min 15 seg
26 min 38 seg
27 min 29 seg
26 min 18 seg
26 min
68
La posición que se ubica más al oriente y
pertenece al recorrido del río Amarillo, es la
meta.
La coordenada en la dirección oriente
oriente—
occidente, de todo punto que pertenece al
recorrido del río Amarillo, está entre los 300
30 m
occidente y los 600 m oriente.
Todo punto del recorrido del río Amarillo está
más al oriente que el puesto de arranque.
El punto más al oriente que pertenece al
recorrido del río Amarillo tiene coordenadas
1500 m sur y 600 m oriente.
UNIDAD 4
1. LÍMITE FUNCIONAL
1.1. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los
l términos de la
sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto , si existe, para valores grandes de . Esta
definición es muy parecida a la definición del
de límite de una función cuando
tiende a
.
Formalmente, se dice que la sucesión
se denota como:
tiende hasta su límite
69
, o que converge o es convergente (a
), y
si y sólo si para todo valor real ε>0
>0 se puede encontrar un número natural
tal que todos los términos de la
sucesión, a partir de un cierto valor natural
mayor que
converjan a
cuando
crezca sin cota.
Escrito en un lenguaje formal,, y de manera compacta:
Este límite,
e, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún
punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.
1.1.1. Límite finito de una sucesión. Una sucesión a n tiene por límite L si y sólo si para
par cualquiera número
positivo ε que tomemos, existe un término a k , a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen
que |a n −L| < ε.
La sucesión an = 1/n tiene por límite 0.
Se puede determinar a partir de qué término de la sucesión, su
su distancia a 0 es menor que un número positivo (ε),
(
por pequeño que éste sea.
Como k>10 a partir del a 1 1 se cumplirá
cumplir á que su distancia a 0 es menor que 0.1.
Vamos a determinar a partir de qué término la distancia a 0 es menor que 0.001.
70
A part ir del a 1 0 0 1 se cumplirá que su distancia a 0 es menor que 0.001.
También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos:
Una sucesión a n tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que
sea su radio ε, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho
entorno.
1.1.2. Límite infinito de una sucesión. Una sucesión a n tiene por límite +∞ cuando para toda M>0 existe un
término a k , a partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que a n > M.
2
El límite de la sucesión an= n es +∞.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
Si M es igual a 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a101 superará a 10 000.
2
a101= 101 = 10 201
Una sucesión a n tiene por límite −∞ cuando para toda N >0 existe un término a k , a partir del cual todos los
términos de an, siguientes a ak cumplen que a n < −N.
2
Vamos a comprobar que el límite de la sucesión a n = −n es −∞.
−1, −4, −9, −16, −25, −36, −49, ...
Si N = 10 000, su raíz cuadrada es 100, por tanto a partir de a 1 0 1 superará a −10 000.
a101= −1012 = −10 201
71
Ejemplo:
Demuestra que la sucesión
0.1.
tiene límite 2. Averigua los términos cuya distancia a 2 es menor que
A part ir de a 4 1 la distancia a 2 será menor que una decima.
EJERCICIOS……
1. Probar que la sucesión
tiene por limite 4 y averiguar cuántos términos de
la sucesión están fuera del entorno (4 - 0.001, 4 + 0.001).
2. Demuestra que la sucesión
tiene por limite 1 y averiguar cuántos términos
de la sucesión están fuera del E (1 , 0.001).
3. Probar que
que 0.01.
. Averigua los términos cuya distancia al límite es menor
4. Demuestra que la sucesión
tiene por limite +∞. Y calcula cuántos términos
de la sucesión son menores que un millón.
2
5. Demuestra que la sucesión a n = −n tiene por limite −∞. Y calcula a partir de qué términ o
la sucesión toma valores menores que -10 000.
72
2. DEFINICIÓN ANALÍTICA DE LA DERIVADA
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha
función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es
decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el
intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor
de la derivada de una cierta función en un punto dado.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con
respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de
4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar
viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las
15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a
las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores
alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde
con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la
gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede
generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta
derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función
se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida
como cálculo.
2.1. TÉCNICAS DE DERIVACIÓN
2.1.1. Tasa de variación media
73
2.1.2. Tasa de variación instantánea o derivada
2.1.3. Derivadas laterales
74
2.1.4. Derivabilidad y continuidad
2.2.
.2. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN OTRAS ASIGNATURAS Y CIENCIAS
El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal.
infinitesimal El otro concepto es la
«antiderivada» o integral;; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo.
cálculo A su vez, los dos
conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas,
como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la
a derivada es el concepto más
importante del Cálculo Infinitesimal.
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde
don
es necesario
medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo
fundamental en los estudios de Física, Química y Biología,, o en ciencias sociales como la Economía y
la Sociología.. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como
la pendiente de la recta tangente del gráfico
g
en el punto . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente
como ellímite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir,
se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas
propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.
convexidad
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene
derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso.
Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica
es una curva suave,, por lo que es susceptible
sus
de derivación.
Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.
75
EJERCICIOS……
1. Las gráficas 1, 2 y 3 corresponden, en otro orden, a las funciones derivadas de las gráficas a), b) y c).
¿Cuál es la derivada de cuál? Razona tu respuesta:
2. Obtén el valor de f '(3), utilizando la definición de derivada, para la función:
3. Halla la derivada de la función f (x), en x0 = - 1, utilizando la definición de derivada:
4.
5.
76
3. DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL
La integración es un concepto fund
fundamental de las
matemáticas
avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis
matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos
sumandos, infinitamente pequeños que están bajo la curva.
El cálculo integral,, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama
de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es
muy común en la ingeniería y en la matemática en general; se utiliza
principalmente para el cálculo
lculo de áreas y volúmenes de regiones y
sólidos de revolución.
Dada una función
la recta real, la integral
de una variable real
es igual al área de la región del plano
el eje , y las líneas verticales
las áreas por debajo del eje .
y
y un intervalo
de
limitada entre la gráfica de ,
, donde son negativas
La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva:: una función F, cuya derivada es la
función dada . En este caso se denomina integral indefinida,, mientras que las integrales tratadas en este artículo
a
son las integrales definidas.. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.
Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través
del teorema fundamental del cálculo
cálculo,, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta
con la derivación,, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una
antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas
aplicaciones en ciencia e ingeniería.
Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se
basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a
base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos
del siglo XIX,, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de
la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y
los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral
curvilínea se define para funciones de dos o tres variables, y el
intervalo de integración [a,b]] se sustituye por una cierta curva que
conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de
superficie,, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el
espacio tridimensional.
Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel
fundamental
en
la geometría
diferencial moderna.
Estas
generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las
necesidades de la física,, y tienen un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por
ejemplo, las del electromagnetismo.
electromagnetismo Los conceptos
os modernos de integración se basan en la teoría matemática
abstracta conocida como integral de Lebesgue
Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.
Lebesgue
77
3.1.
.1. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
3.1.1. Método de integración por sustitución
El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de
variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En
muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar
fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.
Ejemplo #1
Suponiendo que la integral a resolver es:
En la integral se reemplaza
con (
):
(1)
Ahora se necesita sustituir también
Se tiene que
Se despeja
para que la integral quede sólo en función de
:
por tanto derivando se o
obtiene
y se agrega donde corresponde en (1):
Simplificando:
Hay que considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las
cosas. Luego de adquirir práctica en esta operación, se puede
puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una
manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.
Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow con la primitiva, hay que modificar los límites
límit de integración.
Sustituyendo x por el límite de integración, se obtiene uno nuevo.
En este caso, como se hizo
:
(límite inferior)
(límite superior)
Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:
78
Ejemplo #2
Suponiendo ahora que la integral a resolver es:
Cuando las integrales son de tipo racional e involucra funciones trigonométricas, dígase:
sustitución conveniente resulta ser
y
:
,
Entonces (por Teorema de la suma y la resta)
por otra parte
o
la integral queda después de dicha sustitución:
3.1.2. Método de integración por partes
El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema:
Eligiendo adecuadamente los valores de
y
, puede simplificarse mucho
cho la resolución de la integral.
.
Existen diversos dichos mnemotécnicos para recordar la integración por partes, la cual dice así:
79
la
"Sentado (
) un día vi, un valiente
aliente soldado (
) vestido de uniforme" .
"Un día vi un viejo sin bastón vestido
estido de uniforme".
"un viejo soldado (-integral) vestido de uniforme" .
"Unamuno dice verdades: una verdad menos integra verdaderas dudas universales" .
Eligiendo adecuadamente los valores de
Para elegir la función
y
, puede simplificarse
mplificarse mucho la resolución de la integral.
se puede usar una de las siguiente
siguientes reglas mnemotécnicas:
1. Arcoseno, arcocoseno..., Logarítmicas,
ogarítmicas, Polinómicas, Exponenciales, Seno,
eno, coseno, tangente... ⇒ A L P E S.
Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ALPES.
2. Inversas trigonométricas, Logarítmicas,
ogarítmicas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenciales.
xponenciales. ⇒ I L A T E.
Nota: Elegimos
os siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra ILATE.
3. Inversas trigonométricas, Logarítmicas,
ogarítmicas, Potenciales, Exponenciales, Trigonométricas
rigonométricas ⇒ I L P E T
Nota: Elegimos siempre "u" como la función situada más a la izquierda de la palabra
palabra ILPET.
3.1.3. Método de integración por cambio de variables
El cambio de variables es uno de los métodos más usados en la integración. Permite expresar la integral inicial
mediante un nuevo integrando y un nuevo dominio siendo la integral equivalen
equivalente
te a la primera. Para integrales
simples de una sola variable si es la variable original y
es una función invertible, se tiene:
80
EJERCICIOS……
Método de integración por sustitución
1.
2.
3.
Método de integración por partes
1.
2.
3.
Método de integración por cambio de variables
1.
2.
3.
81
PRUEBA TIPO ICFES
RESPONDA LAS PREGUNTAS 1 A 5 DE ACUERDO CON
LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
I= Internet
PB= Pago en banco
PP= Punto de pago.
CE= Cajero Electrónico
En una ciudad se realiza un estudio para determinar cómo
prefieren pagar las personas las facturas
turas correspondientes
a algunos servicios públicos. La siguiente tabla muestra los
resultados del estudio.
Servicio
Forma
pago
Bancos
p.
de
pago
Cajero
electrón
internet
Teléfono
Agua
Gas
natural
Luz
TV
cable
11%
14%
10%
15%
23%
15%
5%
25%
53%
26%
20%
63%
37%
40%
0%
55%
12%
25%
30%
21%
3. Si en el estudio se entrevistaron 300 personas, para
determinar el número de personas que pagan el agua
utilizando Internet se debe:
a) Multiplicar 55 × 300, ya que el 55% de las
personas prefieren utilizar Internet para parar el
agua.
b) Explicar 300 × 0,12 ya que el 12% de las
personas pagan el agua utilizando Internet.
c) Dividir 300 entre 15, puest
puesto que el 15% de las
personas utilizan Internet para pagar el agua.
d) Dividir 300 entre 12, puesto que el 12% de las
personas prefieren pagar el agua utilizando
Internet.
1. De acuerdo con la información de la tabla, se puede
afirmar que:
a) La forma de pago preferida por las personas para
pagar el teléfono es el cajero electrónico.
b) Las personas prefieren pagar el agua utilizando
Internet.
c) La mayoría de las personas prefiere pagar el
servicio de luz utilizando los cajeros electrónicos.
d) La mayoría de personas que tienen tv cable
prefieren pagarlo utilizando el cajero electrónico.
4. Se puede decir que de 300 personas, la cantidad de
ellas que prefieren utilizar In
Internet para pagar el agua
es:
a) 36
c) 15
b) 278
d) 360
5. De la expresión "ninguna persona prefiere pagar tv
cable utilizando el cajero electrónico" se puede afirmar
que:
a) Es falsa puesto que el 20% de las personas paga
el servicio utilizando el cajero electrónico.
b) Es cierta puesto que 0% de las personas utilizan
cajero para pagar el servicio.
c) Es falsa puesto que todas las personas utilizan el
cajero para pagar el servicio.
d) Es cierta ya que todas las personas utilizan
Internet
net para pagar el servicio.
2. La gráfica que representa, cómo pagan las personas
el gas natural es:
a)
b)
PARA RESPONDER LAS PREGUNTAS 6 A 10 TENGA
EN CUENTA LO SIGUIENTE
El diagrama de barras, el cual representa el consumo de
luz de una familia durante los últimos siete meses del año
c)
d)
82
6. El mes en el cual se presenta el mayor consumo es:
a) Noviembre.
c) Junio.
b) Julio.
d) Diciembre.
7. El promedio del consumo de luz durante los últimos
tres meses es:
c) 180.
a) 204.
b) 157.
d) 200.
8. Para determinar el porcentaje de luz que se
consumió en diciembre teniendo en cuenta el
e total de
luz consumido en los siete meses se puede:
a) Encontrar el total de luz que se consumió en los 7
meses y el resultado de dividirlo entre 180 que es
el consumo de luz en diciembre y el resultado de
vivirlo entre 100 para expresarlo como porcentaje.
b) Dividir 1500 que es el total de luz consumido en
los 7 meses entre 180 que corresponde a la
cantidad de luz consumida en diciembre y el
resultado multiplicarlo por 100 para escribirlo
como porcentaje.
c) Multiplicar 180 que corresponde a la cantidad de
luz consumida
nsumida en diciembre por 1500 que es el
total de luz consumida en los 7 meses.
d) Dividir 180 (consumo de diciembre) entre 1500
que es el total de luz que se consumió en los 7
meses y el resultado multiplicarlo por 100 para
expresarlo como porcentaje.
12. La cantidad de hombres y de mujeres que trabajan
en la empresa es respectivamente:
a) 40 y 60.
c) 40 y 40.
b) 60 y 40.
d) 40 y 80.
13. Para determinar la probabilidad de que al
seleccionar un profesor sea escogida una mujer que
trabaje en la sección de primaria se debe:
a) dividir 7/20 puesto que en primaria de los 20
profesores 7 son mujeres.
b) Dividir 7/80 puesto que en primaria hay 7 mujeres
del total de 80 profesores del colegio.
c) Dividir 20/80 puesto que de los 80 profesores del
colegio 20 trabajan en primaria.
d) Dividir 7/60 puesto que hay 7 profesoras en
primaria y 60 profesores que no pertenecen a
dicha sección.
9. El porcentaje de luz que se consumió en diciembre
con respecto al total de luz consumido en los 7 meses
es:
a) 12%.
b) 18%
c) 15%.
d) 22%
14. Si el Comité de admisiones en el colegio está
conformado por 6 profesores sele
seleccionados de las tres
secciones, el número de maneras en que se puede
nombrar un presidente, un vicepresidente y un
secretario es:
a) 210.
c) 18.
b) 20.
d) 120.
10. De la gráfica presentada se puede afirmar que los
tres meses en los cuales se presentaron los mayores
consumos de luz son:
a) Junio, octubre y diciembre.
b) Junio, agosto y noviembre.
c) Junio, agosto y septiembre.
d) Diciembre, julio y octubre.
15. Si a un curso de capacitación se inscriben 16
profesores y deben conformar grupos de tres
personas
rsonas para elaborar un trabajo, el número de
maneras en las cuales pueden organizar los
profesores que están en el curso es:
a) 3360.
c) 560.
b) 650.
d) 3630.
RESPONDA LAS PREGUNTAS 11 A 15 TENIENDO EN
CUENTA LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
El esquema muestra las secciones que hay un colegio y el
número de profesores y profesoras que trabajan en cada
sección.
PARA RESPONDER LAS PREGUNTAS 16 A 19 TENGA
EN CUENTA LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
11. Si se desea escoger un representante de todos los
profesores (hombres y mujeres) para que los
represente ante el Consejo directivo del colegio, la
probabilidad de que la persona seleccio
seleccionada sea
hombre es:
a) 1 / 2
c) 80 / 40
b) 4 / 80
d) 4 / 10
Estos son los resultados
ltados de un estudio que se realizó en
un colegio con el fin de determinar qué pensaban hacer los
estudiantes de grado 11º una vez terminado el bachillerato.
Según los resultados del estudio el 60% pensaba ingresar
a la universidad, el 30% pensaba trabajar y el 10%
pensaba estudiar en la Universidad y trabajar para poderse
pagar sus estudios.
83
16. Si se escoge un estudiante del colegio, la
probabilidad de que cuando salga del colegio se
dedique solamente a trabajar es:
a) 10%.
c) 30%.
b) 20%.
d) 50%.
a)
b)
a)
75
b) 100
c) 200
d) 225
Responde las preguntas 23, 24 y 25 de acuerdo con la
siguiente información.
18. La probabilidad de que un estudiante del colegio
piense únicamente en ingresar a la universidad
corresponde a:
a) 60% puesto que el 30% piensa trabajar y el 20%
no han pensado que hacer.
b) 50% puesto que el otro 50% corresponde a los
que han pensado trabajar o han pensado trabajar
y estudiar.
c) 50% puesto que del 60% de los estudiantes que
han pensado ingresar en la Universidad, el 10%
también ha pensado trabajar al mismo tiempo
para pagarse sus estudios.
d) 20% puesto que del 30% de estudiantes que han
pensado trabajar, el 10% también ha pensado en
estudiar.
Un banco abre sus puertas a las 9:30 a.m. y entran 14
personas. A partir de este momento cada 9 minutos sale
una persona y cada 6 minutos entra una, durante todo el
día.
23. A las 11:00 a.m. hay en el banco:
a)
b)
c)
d)
5 personas más que a las 9:30 a.m.
4 personas menos que a las 9:30 a.m.
5 personas menos que a las 9:30 a.m.
Igual número de personas que a las 9:30 a.m.
24. ¿En qué4 momento hay en el banco 24 personas?
a)
b)
c)
d)
19. Si el colegio había en total 50 estudiantes en grado
11º, el número de estudiantes que pensaban ingresar
la universidad es:
a) 30 estudiantes.
b) 25 estudiantes.
c) 15 estudiantes.
d) 10 estudiantes.
A medio día
Tres horas más tarde después de abrir.
A las 11:30 a.m.
En un mismo día no puede haber 24 personas en
el banco.
25. ¿Será posible que en algún momento haya en el
banco 33 personas, si se cierra a las 3:30 p.m.?
a)
Responde las preguntas 20, 21 y 22 de acuerdo con la
siguiente información.
b)
En Colombia hay 2,5 millones de niños trabajadores. Se
considera que en Bogotá, una cuarta parte de los niños es
población económicamente activa (trabajadores) y de
estos, uno de cada tres está obligado a trabajar.
c)
d)
20. En Colombia hay aproximadamente 40 millones de
habitantes.
Los niños trabajadores representan
aproximadamente:
c)
d)
c) 1.350.000
d) 1.800.000
22. De un grupo de 300 niños trabajadores que vive en
Bogotá, el número de niños obligados a trabajar es de:
17. La probabilidad de que un estudiante no haya
pensado que hacer al terminar el bachillerato es:
a) 20%.
c) 10%.
b) 30%.
d) 0%.
a)
b)
150.000
300.000
Sí, porque siempre el número de personas va
aumentando.
Sí, hay exactamente 33 personas en el banco
antes de que entre la última.
No es posible, porque el número de personas
dentro del banco salta de 32 a 34.
No, porque el máximo de personas en el banco es
de 29.
26. ¿En cuál de las siguientes figuras se
representa un ángulo de 270º?
El 25% de los habitantes de Colombia.
Entre el 2,5% y 4% de los habitantes de
Colombia.
El 6,2% de los habitantes de Colombia.
Entre el 1% y 3% de los habitantes de Colombia.
a)
21. Si en Bogotá hay aproximadamente 450.000 niños
trabajadores, el número aproximado de niños que vive
en Bogotá es:
84
b)
c)
a)
d)
b)
Responde las preguntas 27, 28, 29 y 30 de acuerdo
con la siguiente información.
c)
d)
30. ¿Cuál fue, en promedio, la producción anual de
café en Colombia entre 1995 y 2000?
a)
b)
c)
d)
27. Con base en la gráfica anterior, se puede
afirmar que la producción de café, a nivel
nacional fue de:
a)
b)
c)
d)
350 millones de toneladas en el año 1996
750 millones de toneladas en el año 1995
1250 millones de toneladas en el año 1998
1600 millones de toneladas en el año 1999
Responde las preguntas 31, 32, 33 y 34 de acuerdo con la
siguiente información:
Observa la siguiente secuencia de circunferencias
28. En el año 2000 se exportó el 83% del café
producido en Colombia. ¿Cuántas toneladas
quedaron para abastecer de café a todo el país?
a) 269 millones
b) 269,5 millones
1.125 millones de toneladas
1.250 millones de toneladas
1.750 millones de toneladas
1.997,5 millones de toneladas
c) 279,5 millones
d) 297,5 millones
29. Si se proyecta que la producción de café
aumenta al mismo ritmo que el presentado en la
gráfica durante los siguientes cinco años, la
producción en millones de toneladas desde el
año 2000 al 2005, estará representada por la
gráfica:
85
33. La expresión que representa el radio de la
circunferencia de una figura n cualquiera es:
b) 2r
c)
1
b)
c)
d)
a)
b)
d) 5r
32. Se puede observar en la secuencia, que la longitud
de una circunferencia (2 r) cualquiera se incrementa
con respecto a la longitud de la anterior. Dicho
incremento es:
a)
b)
34. El radio de una circunferencia de la secuencia está
dado por la expresión 10r, dicha circunferencia se
encuentra en:
31. El radio de la figura 4 es:
a)
a)
c) r
d)
r
86
La figura 5
La figura 9
c) La figura 19
d) La figu7ra 20
BIBLIOGRAFÍA
http://www.sepi.upiicsa.ipn.mx/sab/rfinsab_jtz.pdf
http://es.wikipedia.org/wiki/Cuantificador
http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad4/u4reate30.pdf
http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/inecuaciones/impresos/quincena5.pdf
http://www.uccor.edu.ar/paginas/REDUC/cerizola.pdf
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http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Funciones_matem%C3%A1ticas
http://www.x.edu.uy/inet/RELACIONES_FUNCIONES.pdf
http://algebramoderna.webatu.com/Unidad_4/Unidad4.htm
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http://uah-ade-matematicas-1.wikispaces.com/file/view/tema+7+sucesiones+y+series.pdf
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http://www.vitutor.com/al/sucesiones/suc1_Contenidos.html
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87