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Matemática
1° Medio
UNIDAD 5. Transformaciones isométricas (Segunda parte)
GUÍA N° 5
ROTACIONES Y SIMETRÍA ROTACIONAL
La cuarta transformación isométrica que estudiaremos es la rotación en torno a un punto.
Observemos nuevamente el estudio de los ángeles y demonios de Escher (figura 1). Algunos
ángeles presentan simetría axial, como vimos al estudiar la reflexión. Pero en la figura 2 hemos
destacado cuatro de estos ángeles. Presentan simetría pero no axial.
Fig. 1
Fig. 2
Lo que sucede es que cada ángel está rotado en 90º con respecto al anterior. El punto donde
se tocan las cuatro alas es el centro de esta rotación.
Una rotación es una transformación isométrica que cambia la orientación de la figura original.
Para lograr una rotación se requiere de:
1. Un punto en torno al cual se giran todos los puntos de la figura. Este punto se denomina
centro de rotación.
2. Un ángulo en el cual rotarán los puntos de la figura.
3. Un sentido en el cual se efectuará la rotación. Si el sentido de la rotación es en contra de
las manecillas del reloj (como mostramos en la figura 2), hablamos de sentido positivo;
sentido negativo, en caso contrario.
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
ACTIVIDADES
1. La siguiente secuencia te muestra como rotar un punto P en torno a un centro O en un
ángulo α dado. Rota análogamente los puntos en torno a O en el ángulo indicado.
P’
P
P
P
P
α
O
O
O
O
α = 80º
α = 150º
O
P
O
P
2. a) Rota el triángulo ABC en torno a O en 180º.
C
O
A
B
b) ¿Mediante qué otra transformación isométrica se hubiera logrado la misma imagen?
Formula una oración:
Una rotación en torno a O en 180º equivale a …
3. a) El punto A = (2, 4) rota en 90º, 180º y 270º en torno al origen, obteniendo los
puntos A’, A’’ y A’’’. Construye los cuatro puntos A, A’, A’’ y A’’’. ¿Cuáles son las
coordenadas de A’, A’’ y A’’’?
b) Si un punto (x, y) se rota en torno al origen en 90º, 180º y 270º, ¿cuáles son las
coordenadas de las respectivas imágenes?
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
ACTIVIDADES
Una figura presenta simetría rotacional, si al rotarla en un ángulo entre 0º y
180º (incluyendo el ángulo de 180º) en torno a un punto O, la imagen coincide
con la original. El centro de rotación se llama centro de simetría.
Una figura tiene simetría de orden n, si tiene n ángulos distintos que generan
simetría rotacional. Por ejemplo, la estrella de mar de la figura tiene simetría de
orden 5.
1. Señala qué imágenes presentan simetría rotacional. En caso de haber simetría rotacional,
marca el centro de simetría y señala el orden de la simetría.
Considera sólo la forma, no en qué
dirección queda el número 50.
2. En las figuras ves algunos polígonos regulares: un triángulo equilátero, un cuadrado, un
pentágono regular y un hexágono regular. ¿Cuál es el orden de simetría de cada figura?
Conjetura: ¿Cuál es el orden de simetría de un polígono regular de n lados?
3
FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
GUÍA N° 2
COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
Si observas la obra de Escher, verás que muchas veces mezcla
diferentes transformaciones para lograr su propósito. Por ejemplo, a la
derecha te mostramos un estudio realizado por el artista, en que utiliza
lagartijas blancas y negras. Si comparas dos de las lagartijas negras,
verás que en algunos casos hay una rotación pero también una
traslación.
Ahora analizaremos qué sucede cuando combinamos dos
transformaciones isométricas. ¿Se puede saber de antemano el
resultado? ¿Da lo mismo en qué orden se efectúen las transformaciones?
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
ACTIVIDADES
1. Responde las siguientes preguntas. Para eso analiza algunos ejemplos (prueba con puntos,
segmentos, triángulos, etc.) y compara con tus compañeros.
a) ¿Qué sucede si un objeto se refleja dos veces respecto del mismo eje?
b) ¿Qué sucede si un objeto se refleja dos veces respecto de un mismo punto?
c) ¿A qué transformación equivale rotar un objeto dos veces en torno a un centro O,
primero en un ángulo α y luego en un ángulo β?
2. En un sistema de coordenadas dibuja el triángulo ABC, con A = (1,1), B = (3, 2) y C = (2, 4).
a) Rota el triángulo en 90º en torno al origen y traslada posteriormente la imagen según el
vector (3, 5).
b) Traslada primero el triángulo ABC según el vector (3, 5) y rota luego la imagen en 90º
en torno al origen.
c) ¿Es lo mismo rotar y luego trasladar que trasladar y luego rotar?
3. Se desea trasladar un objeto según un vector y luego reflejar la imagen respecto de un eje.
¿Da lo mismo en qué orden se efectúen estas transformaciones? Analiza algunos ejemplos,
discute con tus compañeros y formula tu conjetura.
4. El triángulo ABC se refleja respecto del eje L y luego su imagen respecto del eje L’. ¿Qué
transformación isométrica permite lograr la imagen final directamente?
L
L’
C
A
B
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
GUÍA N° 7
CONGRUENCIA DE FIGURAS
Si se realiza una o varias transformaciones isométricas sobre una figura, se obtienen figuras
que son idénticamente iguales unas a otras. Para no tener que decir “idénticamente unos a
otros” se usa el concepto matemático de “congruente”.
Dos figuras F y F’ son congruentes, si existe una transformación isométrica o una composición
de transformaciones isométricas, tales que F’ sea la imagen de F.
Para denotar que F y F’ son congruentes, utilizamos el símbolo ≅, es decir escribimos F ≅ F’.
Por ejemplo, en la figura los paralelogramos ABCD
y A’B’C’D’ son congruentes, ya que existe una
composición de transformaciones de manera que
A’B’C’D’ es la imagen de ABCD.
Nosotros descubrimos que esta composición de
transformaciones consta de:
1. una rotación en 90º en torno a C,
2. una traslación según el vector indicado y
3. finalmente de una reflexión respecto del eje
mostrado.
Esta no es la única manera de lograr que A’B’C’D’
sea la imagen de ABCD, pero el objetivo no es
encontrar todas las maneras posibles ni de encontrar
la más “rápida”, sino de encontrar una que funcione.
Con eso basta para saber que dos figuras son
congruentes.
A
D
B
C
C’
D’
A’
B’
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
ACTIVIDADES
1. Analiza en cada caso si las congruencias señaladas son correctas. En caso que sean
correctas, justifica usando transformaciones isométricas.
C
D
A
B
A
A
H
B
G
B
D
¿∆ABC ≅ ∆ABD?
C
D
C
¿∆ABC ≅ ∆DCB?
E
¿ABCD ≅ EFGH?
F
Demostrar que dos figuras son congruentes determinando una transformación isométrica o una
composición de transformaciones es un método laborioso y a veces difícil. Por lo mismo se
intenta explicar que dos figuras son congruentes mediante características más simples.
2. Analiza las siguientes preguntas. (Haz algunos ejemplos, compara o comenta con tus
compañeros, etc.)
a) Si dos segmentos miden lo mismo, ¿son congruentes?
b) Si dos ángulos tienen la misma medida, ¿son congruentes?
c) Si los radios de dos circunferencias son congruentes, ¿son congruentes las
circunferencias?
d) Si los lados de dos cuadrados son congruentes, ¿son congruentes los cuadrados?
e) Si dos circunferencias tienen el mismo centro, ¿son congruentes?
f) Si dos rectángulos tienen igual área, ¿son congruentes?
g) Si los ángulos de un triángulo son congruentes con los de otro triángulo, ¿son
congruentes los triángulos?
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
GUÍA N° 8
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Analicemos ahora solamente la congruencia de dos triángulos.
C
γ
Si tenemos dos triángulos congruentes, entonces debe existir una
transformación isómetrica entre ambos triángulos.
Esto significa que sus lados correspondientes (también se puede
decir “sus lados homólogos”) son congruentes, así como sus
ángulos correspondientes.
b
a
α
β
A
B
c
C’
En la figura, ∆ABC ≅ ∆A’B’C’. Por lo tanto:
γ'
b’
1. Los lados homólogos deben ser congruentes:
a ≅ a’; b ≅ b’; c ≅ c’.
A’
a'
α'
2. Los ángulos correspondientes deben ser congruentes:
α ≅ α’; β ≅ β’; γ ≅ γ’.
β'
c’
B’
Esto significa que para verificar que dos triángulos son congruentes, es necesario verificar 6
congruencias: tres para los lados y tres para los ángulos.
La pregunta es: ¿es necesario verificar las 6 congruencias? ¿No puede ser menos?
Otra forma de plantear este problema es el siguiente: Si deseo construir un triángulo
exactamente igual a otro, ¿qué datos debo saber como mínimo?
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
ACTIVIDADES
1. Juan y Marcos son primos que viven en distintas ciudades
pero siempre hablan por teléfono. Juan cuenta que construyó
una rampa con su papá para andar en skate.
Marcos se entusiasma y decide construir una rampa
idéntica a la de Juan y le pide los datos.
Juan piensa en su rampa (ver figura 1) y le dice
que usó una tabla de 30 cm y otra de 40 cm de ancho.
Dos semanas después vuelven a hablar. Juan cuenta
maravillas de su rampa, pero Marcos le dice que la
encuentra muy fome. “¡Qué raro!”, le dice Juan y le
pide a Marcos que le mande un dibujo de la rampa
por mail. Recibe lo siguiente: (ver figura 2)
C
30 cm
40 cm
A
B
C
30 cm
40 cm
A
B
Discute con tus compañeros:
a) ¿Son congruentes ambos triángulos? ¿Qué hicieron mal?
b) Supón que Juan le dice a Marcos cuánto mide el lado AB. ¿Construiría Marcos una rampa
igual a la de Juan?
c) Supón que Juan le dice a Marcos cuánto mide el ángulo ACB. ¿Construiría Marcos una
rampa igual a la de Juan?
2. Justo cuando Marcos va a construir su rampa, lee en Internet que la mejor rampa debe
tener un ángulo de 34º a un lado y uno de 20º al otro. Se lo comenta a Juan para que
ambos construyan una rampa igual. Juan le dice que si sólo se guían por esos dos datos
van a tener el mismo problema de antes.
Discute con tus compañeros:
a) ¿Tiene razón Juan?
b) ¿Qué dato adicional deberían acordar?
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
Es posible comprobar la congruencia de dos triángulos verificando sólo 3 de las 6 congruencias.
Pero no puede ser tres cualesquiera. Por ejemplo, si dos triángulos tienen los mismos ángulos,
entonces no necesariamente son congruentes. Esto implica que siempre se debe verificar por lo
menos una de las congruencias de los lados.
Las comprobaciones que se deben realizar como mínimo y que garantizan que dos triángulos
son congruentes se conocen como criterios de congruencia.
Propiedad importante:
Una vez que se comprueba que dos triángulos son congruentes, usando alguno de los criterios,
se puede saber con certeza la medida de los lados y de los ángulos de uno de ellos, si se
conoce lo correspondiente del otro.
Existen cuatro criterios de congruencia:
1. Criterio LLL:
Teorema:
Si los tres pares de lados son congruentes,
entonces los triángulos son congruentes.
Simbólicamente: Si a ≅ a’; b ≅ b’; c ≅ c’, entonces ∆ABC ≅ ∆A’B’C’.
En particular, esto significa que los ángulos correspondientes también son congruentes.
2. Criterio LAL:
Teorema:
Si dos de los tres pares de lados son congruentes,
y los ángulos comprendidos entre estos lados también,
entonces los triángulos son congruentes.
(La figura muestra dos lados y su ángulo comprendido).
Ejemplo: Si a ≅ a’; b ≅ b’ y γ ≅ γ’ , entonces ∆ABC ≅ ∆A’B’C’.
ángulo
comprendido
En particular, esto significa además que los lados que no se conocen en
ambos triángulos también son congruentes, así como los ángulos que faltan.
3. Criterio ALA:
Teorema:
Si dos de los tres pares de ángulos son congruentes,
y los lados comprendidos entre estos ángulos también,
entonces los triángulos son congruentes.
Ejemplo: Si α ≅ α’; γ ≅ γ’ y b ≅ b’, entonces ∆ABC ≅ ∆A’B’C’.
Importante: Si el lado no está comprendido entre los ángulos, entonces no es posible
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
garantizar que los triángulos sean congruentes.
En particular, este criterio implica que los dos lados que no se conocen en ambos
triángulos también deben ser congruentes. Lo mismo con el ángulo que falta, lo cual en
realidad por añadidura pues los tres ángulos deben sumar 180º.
4. Criterio LLA:
Teorema:
Si dos triángulos tienen dos lados congruentes,
así como los ángulos opuestos al lado mayor,
entonces los triángulos son congruentes.
Importante: Si el ángulo no está opuesto al lado mayor, entonces no es posible
garantizar que los triángulos sean congruentes.
En particular, este criterio implica que los lados que no se conocen en ambos triángulos
también son congruentes, así como los ángulos que faltan.
Nota: El orden en que se nombran los vértices de los triángulos es importante. ∆ABC ≅ ∆DEF,
significa que el ángulo en A es el correspondiente al ángulo en D, el ángulo en B es
correspondiente al de E, y el ángulo en C al de F. En este caso estaría equivocado decir por
ejemplo ∆ABC ≅ ∆EDF.
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
ACTIVIDADES
1. En los siguientes pares de triángulos se han marcado lados o ángulos congruentes.
Determina si es posible garantizar la congruencia de los triángulos, con la información dada,
señalando en dicho caso el criterio de congruencia utilizado.
(No te fijes en los dibujos, en el sentido de no midas los lados ni los ángulos. Sólo guíate
por la información dada.)
a
b
d
e
c
f
5 cm
68º
70º
4 cm
8 cm
40º
68º
70º
40º
5 cm
8 cm
4 cm
2. ¿Cuáles de los siguientes triángulos son congruentes entre sí? ¿Qué criterio(s) de
congruencia te permite aseverar eso?
4 cm
60º
4 cm
30º
8 cm
8 cm
60º
30º
30º
30º
60º
8 cm
8 cm
8 cm
4 cm
8 cm
4 cm
60º
4 cm
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
3. ¿Son congruentes los siguientes triángulos? (Se han marcado lados o ángulos
congruentes).
En caso de serlo, establece el criterio de congruencia que lo garantiza y determina el valor
de las incógnitas.
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
GUÍA N° 9
DEMOSTRACIONES DE CONGRUENCIAS
Muchas veces se necesita comprobar que dos segmentos en un dibujo son congruentes, o que
dos ángulos en una figura son congruentes. Utilizando triángulos y criterios de congruencia es
posible comprobar eso, ya que al comprobar que dos triángulos son congruentes, los lados y
los ángulos homólogos deben ser congruentes. Para eso, una forma de proceder es la
siguiente:
1. Determina dos triángulos que tengan que ver con los lados o ángulos que desees
comprobar. Esta es la parte normalmente más difícil del problema, aunque no lo parezca.
2. Comprueba que se cumpla algunos de los criterios de congruencia.
3. Si se cumple algún criterio de congruencia, entonces los dos triángulos deben ser
congruentes, lo cual implica que todos los lados correspondientes son congruentes, así
como los ángulos.
4. Repite lo anterior hasta comprobar lo pedido.
Veamos un par de ejemplos:
D
Ejemplo 1.
5 cm
Supongamos que ∠DAC ≅ ∠BAC, que ∠DCA ≅ ∠ACB
y que AD = 5 cm. (Ver figura).
A
Preguntas: 1. ¿Es cierto que ∆ACD ≅ ∆ACB?
2. ¿Es posible saber la medida de algún lado?
C
B
Solución:
Comparemos los triángulos ACD y ACB:
1. ∠DAC ≅ ∠BAC, por hipótesis. (“Por hipótesis” significa que es un dato que me dieron
en el enunciado del problema).
2. ∠DCA ≅ ∠ACB, por hipótesis.
3. El lado AC pertenece a ambos triángulos. Decimos que es “un lado común a ambos
triángulos”.
Conclusión: Se cumple el criterio de congruencia ALA, por lo tanto los triángulos ACD y
ACB son congruentes.
El lado correspondiente a AD del triángulo ACD, es AB. Como los lados correspondientes
deben ser congruentes, es posible afirmar que AB mide 5 cm. De los otros lados no
disponemos información.
En este ejemplo aplicamos un criterio de congruencia para garantizar que dos triángulos son
congruentes, pero también para poder determinar una medida desconocida.
No siempre tendremos un dibujo tan simple. En el siguiente ejemplo veremos un caso un poco
más complejo.
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
Ejemplo 2.
Supongamos que P es un punto que está a la misma
distancia
de las rectas L1 y L2. (Nota: Para medir la distancia de un
punto a una recta se traza un segmento perpendicular a la
recta.)
O
Pregunta: ¿Es cierto que la recta OP debe ser la bisectriz del
ángulo que forman estas dos rectas?
L1
P
L2
Solución
¿Cómo podemos responder esta pregunta?
Nombramos los puntos de intersección como A y B y los dos
ángulos los llamamos α y β.
L1
A
Primero trazamos la recta OP y las distancias de P a cada recta.
O
α
β
Queremos comprobar que estos dos ángulos miden lo mismo,
es decir que son congruentes.
P
B
1. Analizamos dos triángulos:
Fijémonos en los triángulos OPA y OPB.
a) Ambos tienen un ángulo recto, puesto que las distancias siempre se trazan
mediante alturas.
Nos fijamos además que este es el mayor de los ángulos en cada triángulo.
b) Ambos triángulos tienen como lado al segmento OP, que es el lado mayor de cada
triángulo. ¿Cómo sabemos que es el mayor? Pues porque es la hipotenusa de cada
triángulo.
c) Las distancias PA y PB miden lo mismo, porque dicen que “P está a la misma
distancia de las rectas”.
2. Se cumple el criterio de congruencia LLA, por lo tanto ∆OPA ≅ ∆OPB.
3. Como los triángulos son congruentes, los ángulos α y β también deben ser
congruentes, lo cual implica que OP debe ser la bisectriz de las rectas L1 y L2.
El segundo ejemplo no es fácil. Pero este ejemplo, así como el primero te puede permitir
extraer conclusiones importantes, por ejemplo en cómo organizar tus ideas, cómo redactar,
etc. Por ejemplo, te puede ser de mucha utilidad ir numerando tus ideas. También puedes usar
colores para destacar segmentos congruentes o ángulos congruentes.
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
L2
ACTIVIDADES
A
1. En el cuadrilátero ABCD se dibujó una de sus diagonales.
Al medir los ángulos, se verificó que casualmente
∠ABD ≅ ∠BDC y que ∠CBD ≅ ∠ADB.
D
B
a) ¿Es cierto que AB ≅ DC?
b) ¿Es cierto que AD ≅ BC?
c) ¿Es cierto que ABCD es un rectángulo?
C
D
C
2. En la figura de la derecha, DA ⊥ AB, CB ⊥ AB y BD ≅ AC.
a) ¿Es cierto que ∆ABD ≅ ∆BAC?
b) ¿Es cierto que los puntos A y C están a la misma distancia
respecto de AB?
A
3. En la figura de la derecha se sabe que el ángulo DAB es
congruente con el ángulo BCE. Además el segmento BC
mide lo mismo que el segmento AB.
B
C
D
B
a) ¿Es cierto que BE ≅ BD?
b) ¿Es cierto que EC ≅ DA?
E
A
4. Desde el punto medio M de un segmento AB se levanta una
perpendicular. Sea P un punto cualquiera sobre esta perpendicular.
¿Es cierto que P está a la misma distancia de A que de B?
P
A
B
M
5. Dibuja un triángulo ABC cualquiera y sea M el punto medio del lado AB.
¿Es cierto que A y B están a la misma distancia de MC?
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
ACTIVIDADES
Los criterios de congruencias permiten también demostrar características
de ciertas figuras geométricas especiales. Veremos tres de ellas: el
triángulo isósceles, el paralelogramo y el rombo.
C
1. Triángulo isósceles
El triángulo ABC de la figura es isósceles de base AB.
M es el punto medio del lado AB.
a) Demuestra que los dos ángulos basales BAC y CBA son congruentes.
b) Demuestra que la transversal CM es también una bisectriz del
ángulo en C.
c) Demuestra que CM, además de transversal y bisectriz, es altura de AB.
B
M
A
2. Paralelogramo
D
En la figura vemos un paralelogramo ABCD.
C
a) Demuestra que ∠BAD ≅ ∠DCB.
Esto significa que los ángulos opuestos en un
paralelogramo son congruentes.
b) Demuestra que ∠DBA ≅ ∠BDC y que ∠BAD ≅ ∠DCB.
c) Traza la diagonal AC. Sea M el punto de intersección de
ambas diagonales.
Demuestra que AM ≅ MC y que DM ≅ MB.
B
A
Esto significa que las diagonales de un paralelogramo se dimidian.
D
3. Rombo
Sea ABCD un rombo en el que se han trazado sus dos diagonales (ver figura).
a) Demuestra que los cuatro triángulos pequeños que se forman
son todos congruentes.
b) Demuestra que las diagonales son perpendiculares.
c) Demuestra que las diagonales son a su vez bisectrices de los
respectivos ángulos.
A
C
B
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO