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Algo de Cultura General: Satélites
A menudo nos preguntan dónde está y cómo ha
llegado hasta allí el satélite que transmite la
señal que deseamos captar.
Nuestro satélite artificial es un objeto que gira alrededor de la tierra sin
consumir más energía que la necesaria para:
1.- Mantenerse donde debe.- A lo largo de su vida, siempre que se desvía
de su posición unos cohetes le proporcionan "empujoncitos" para ponerlo
en su sitio.
2.- Electricidad para circuitos y transmisores.- Gracias al lugar que ocupa,
se puede obtener energía solar sin restricciones temporales.
La vida útil de un satélite de este tipo se limita a la
duración del combustible de los cohetes que lo
mantienen en su posición.
¿Cómo mantenemos el artilugio en órbita?
Básicamente se trata de hacerle FLOTAR, y para ello su
peso debe ser CERO.
Para ello, un buen aliado es la altura (h), pues la
gravedad es menor cuanto mayor sea (h).
Pero en contra de la creencia de algunos, esto no se
consigue tan solo "llevándolo muy alto":
En base a la Gravitación Universal podemos utilizar una expresión
que nos proporciona una idea de cuánto pesan las cosas (gh) ahí
arriba:
𝑔ℎ =
𝑔𝑠𝑢𝑒𝑙𝑜
6.371 + ℎ
6.371
2
𝑚
𝑠2
Aunque subamos a 100.000 km, casi un tercio de la
distancia a la Luna, aún existe gravedad:
9,81
𝑔ℎ =
106.371
6.371
2
𝑚
𝑠2
= 0,035 𝑚
𝑠2
Muy poca, pero suficiente para que las cosas se sigan cayendo,
aunque despacio, y aún exista un Arriba y un Abajo
Nuestro segundo
aliado es la ausencia de
atmósfera
Sin esta condición sería
imposible poner en marcha el
mecanismo que proporciona a
fin de cuentas la ingravidez
absoluta.
La fuerza que compensa la gravedad que aún sufre el satélite
es la debida a la Aceleración Centrífuga, que se produce
gracias a la Velocidad Orbital del vehículo.
Cuando un cuerpo gira con velocidad uniforme, su
módulo velocidad ( 𝑣 ) permanece constante, pero
cambia su dirección con un movimiento igualmente
circular.
Podemos expresar la manera como evoluciona la
velocidad con un fasor:
𝑣 𝑡 = 𝑣 × 𝑒 𝑗𝑡
La velocidad angular () está relacionada con la velocidad del
vehículo que gira con un radio (r):
𝑣
𝑣
 = 2π 𝑟. 𝑝. 𝑠. = 2π ×
=
2π𝑟
𝑟
La expresión para la aceleración de este movimiento toma
la archiconocida forma de la Aceleración Centrífuga:
2
𝑑𝑣
𝑣
𝑎=
= 𝑗 𝑣 𝑒 𝑗𝑡 = 𝑗
𝑒 𝑗𝑡
𝑑𝑡
𝑟
Lejos de las discusiones sobre la manera de utilizar el
concepto de "Fuerza Centrífuga", a nosotros nos sirve un
razonamiento tan simple como que:
Cuando el vehículo, circulando paralelo a la superficie terrestre
adquiere una velocidad (v), experimenta una Aceleración Centrífuga
que contrarresta la de la gravedad que le domina, y cuya magnitud es:
𝐹𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟í𝑓𝑢𝑔𝑎
𝑣2
=
𝑟
A 100.000 km de altitud la velocidad de mantenimiento
resulta:
𝑔100.000 𝑘𝑚
2
𝑣
= 0,035 𝑚 2 =
𝑠
106.371 × 103 𝑚
𝒗 = 𝟏. 𝟗𝟏𝟗 𝒎
𝒔
= 𝟔. 𝟗𝟒𝟔 𝒌𝒎
𝒉
Para contrastar: Un avión supersónico a Mach 4 (4 veces
la velocidad del sonido) alcanza "solo" 4.896 km/hora
A semejantes velocidades el mantenimiento de un
satélite en presencia de una mínima atmósfera
supondría:
1.- Un gasto enorme de combustible, que en el mejor de
los casos podría mantenerse tan solo unos segundos.
2.- Deterioro físico inmediato debido al rozamiento y que
lo destruiría en cuestión de minutos.
La órbita Geoestacionaria
A título de curiosidad se puede calcular la altitud
necesaria para un satélite de comunicaciones, que debe
mantenerse mirando siempre al mismo lugar de la Tierra.
En la órbita de mantenimiento el satélite debe girar parejo con
la Tierra.
Con ese radio (r) el efecto de la gravedad de la Tierra es:
𝑔𝑟 =
9,81
𝑟
6.371 × 103
14
3,981
×
10
𝑚
𝑚
=
2
2
2
𝑠
𝑠2
𝑟
Y su velocidad (vr) es:
2𝜋𝑟
𝑣𝑟 =
= 𝑟 × 72,72 × 10−6 𝑚 𝑠
24 ℎ × 3.600 𝑠
Igualamos Gravedad y Aceleración Centrífuga:
𝑣𝑟2 3,981 × 1014 𝑚
𝑟 × 72,72 × 10−6 𝑚 𝑠
𝑔𝑟 =
=
2 =
2
𝑠
𝑟
𝑟
𝑟
2
Nos sale un radio (r) de valor un poco mayor que el conocido
popularmente:
𝑟 = 42.227𝑘𝑚
Pero es porque no hemos tenido en cuenta que estamos sobre la
superficie terrestre, así que para obtener la altura (h) del satélite
descontamos el radio (rTierra) de ésta:
ℎ = 𝑟 − 𝑟𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 = 42.227𝑘𝑚 − 6.371𝑘𝑚 = 35.856𝑘𝑚
La estación espacial
Puestos, podemos calcular la velocidad que debe
llevar la estación espacial, que está situada en el
espacio "tan solo" a una altura de 400 km.
La gravedad a 400 km es:
𝑔400𝑘𝑚 =
9,81
6.371 + 400
2
6.371
𝑚
𝑠2
= 8,685 𝑚
𝑠2
Y debe ser neutralizada por la velocidad:
2
𝑣
400𝑘𝑚
8,685 𝑚 2 =
𝑠
6.771 × 103
𝑣400𝑘𝑚 = 7.668 𝑚 𝑠 = 27.606 𝑘𝑚 ℎ
A esta velocidad dar la vuelta a la Tierra solo supone:
2𝜋 × 6.771 × 103 𝑚
= 5.548 𝑠 = 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 32 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
𝑚
7.668
𝑠
De la Tierra a la Luna
Ahora apliquemos nuestro humilde modo de cálculo a
la tarea de ponderar la distancia que media entre la
Luna y nuestra Tierra.
A la distancia que se encuentra la Luna, la gravedad de la Tierra
se nota con una intensidad:
𝑔𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 =
9,81
𝑙
2
6.371 × 103
𝑚
3,981 × 1014 𝑚
=
𝑠2
𝑠2
𝑙2
La Luna da una vuelta alrededor de la tierra cada 27,32 días:
𝑣𝐿𝑢𝑛𝑎 =
2𝜋𝑙
𝑚 = 𝑙 × 2,66 × 10−6 𝑚
𝑠
27,32 × 24 × 3.600 𝑠
Con ello obtenemos una distancia que entra dentro de los valores
que se barajan como distancia media:
3,981 × 1014 𝑚
𝑙 × 2,66 × 10−6 𝑚 𝑠
2 =
2
𝑠
𝑙
𝑙
𝑙 = 383.186.000 𝑚 ≅ 384.000 𝑘𝑚
2
Sin embargo ahora deberíamos incorporar un importante
detalle, que en esta incursión relámpago solo
mencionaremos someramente:
El sistema de dos cuerpos en órbita circular.
Y es que tanto la Luna como los pequeños satélites
artificiales se "apoyan" en la Tierra para orbitar, pero…
¡también la Tierra lo hace sobre ellos!.
El centro de masas alrededor del que giran ambos se
encuentra en la perpendicular que los une:
𝒎𝟏 𝒓𝟏 = 𝒎𝟐 𝒓𝟐
Este detalle lo estábamos obviando porque la masa de los
satélites artificiales es despreciable comparada con la de
la Tierra, pero para ser rigurosos habría que tenerlo en
cuenta.
Y las cosas se complican aún más porque llega el
momento de contar también con la importante influencia
del Sol, y puestos, con los planetas más próximos…
Caso Luna - Tierra
Dos cuerpos de la misma masa.
La orbita de transferencia de Hohmann
Como remate, vamos a ver, de una forma muy somera, el
proceso de transferencia de un satélite desde la órbita de la
estación espacial, a 400 km de altura, hasta la de mantenimiento,
a 35.586 km
Nuestro hipotético trabajo empieza con el lanzamiento desde la
tierra, que "aparca" al satélite en la órbita (h1), a 400 km de
altura, donde se realizan los primeros ajustes antes de llevarlo a
su lugar de residencia.
La velocidad en estos momentos es de 7.668 m/s y hasta llegar a
los 35.000 km se prevé un viaje que, de ser en forma de espiral
consumiría demasiado tiempo y combustible.
Pero Walter Hohmann (1.880-1945) ideó en 1.925 una manera
muy sencilla y eficaz de proceder a esta maniobra gastando
mucho menos combustible y tiempo.
Básicamente consiste en propinar al vehículo un empujón en la
dirección y sentido de su órbita, corto y brusco, y dejarlo a
merced de su inercia: La naturaleza se encarga del resto.
Como está en presencia de la gravedad de la Tierra, el sistema
traza una trayectoria elíptica que se inicia en el Perigeo a la
velocidad de lanzamiento (v1) y que se prevé que culmine en el
Apogeo con velocidad (v2), lamiendo la órbita de destino.
Para calcular la magnitud del "empujón" nos basamos en dos
premisas:
1.- La energía transferida al inicio de la maniobra se mantiene
constante desde la salida de la órbita antigua hasta la entrada en
la nueva.
2.- Los momentos angulares (v x h) en los puntos inicial y final
son iguales.
Ello significa que la nave sale "despedida" a la velocidad de
lanzamiento (v1), y va frenándose en aras de la ganancia de
altura, llegando bastante más lenta al apogeo, con velocidad (v2)
De no mediar más maniobras el satélite quedaría en órbita
elíptica, como algunos que están en servicios destinados a
comunicaciones por radio
En nuestro caso, que es mantenerlo en órbita circular
geoestacionaria, una vez en ella se le acelera hasta que alcanza la
velocidad de mantenimiento, de unos 3.000 m/s
La energía que acumula la nave en cualquier momento se puede
expresar como la suma de la Cinética:
1
2
𝑚 × 𝑣𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎
2
Y Potencial:
− 𝑚 × 𝑔ℎ𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎 × ℎ𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎 = −𝑚 ×
9,81 𝑚
ℎ𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎
𝑠2
𝑟𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎
2
× ℎ𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎
3,981 × 1014
= −𝑚 ×
ℎ𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡𝑎
Las energías tanto al inicio como al final de la maniobra, son iguales:
14
14
1
3,981
×
10
1
3,981
×
10
𝑚 × 𝑣12 −𝑚 ×
= 𝑚 × 𝑣22 −𝑚 ×
2
3.771𝑘𝑚
2
42.000𝑘𝑚
Y los momentos angulares también:
𝑣1 × 3771𝑘𝑚 = 𝑣2 × 42.000𝑘𝑚
De las dos ecuaciones obtenemos las dos velocidades:
𝑣1 = 10.063 𝑚 𝑠
𝑣2 = 1.622 𝑚 𝑠
Cuando se alcance el destino, a 1.622 m/s hay que acelerar
hasta los aprox 3.000 m/s que exige el mantenimiento en la
nueva órbita.
Algunas fotografías se han obtenido gracias a la cortesía de
Google y a la aportación de libre uso que ofrece Wikipedia. Todas
ellas conservan la referencia al link web de donde proceden.
Bibliografía: www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/celeste