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Unidad Didáctica 9
Proporción y
Estructuras Modulares
1.- Proporcionalidad
Para poder comparar dos cantidades se halla la razón o cociente
entre ellas. La razón se puede expresar de distintas maneras. Por ejemplo,
la razón entre dos segmentos de 5 y 10 centímetros se puede expresar así:
- Mediante dos puntos: 5 : 10
- Mediante la preposición a: 5 a 10
- Mediante una fracción: 5/10
- Mediante una fracción equivalente: 1/2
- Con el resultado del cociente: 0,5
- En forma de porcentaje: 50%
Todas estas formas explican que en el segmento de mayor tamaño
[10 cm] está contenido dos veces el segmento pequeño [5 cm].
1.- Proporcionalidad
En el caso de que dos figuras tengan la misma forma se dice que la
razón entre sus medidas es siempre la misma: es constante
a
f
a'
b
b'
c
e d
c'
f’
e'
d'
Así, en el ejemplo, la razón entre los lados a y a' es la misma que
entre los lados b y b'. e y e', etc. Podemos establecer, pues la siguiente
expresión: a/a' = b/b’ = c/c'= d/d' = e/e' = f/f’ = constante.
La igualdad de dos razones recibe el nombre de proporción.
1.- Proporcionalidad
Teorema de Tales
El teorema de Tales afirma que los segmentos (a, b, c, d, e, f)
determinados por un haz de rectas paralelas equidistantes entre sí (t, u, v),
sobre otras dos rectas que se cortan (s, r). Son proporcionales.
El teorema de Tales se
representa gráficamente como se
observa en el dibujo, el haz de
rectas paralelas está formado por
las rectas t, u y v. Las rectas que se
corta r y s . Según Tales
a/b=c/d=e/f
1.- Proporcionalidad
Teorema de Tales: división de un
segmento en partes iguales
Una de las principales aplicaciones del teorema de Tales es la
división de un segmento en partes iguales.
1. Por uno de los extremos A se
traza una recta cualquiera s
2. Sobre la recta s se llevan
tantos segmentos iguales, de
longitud arbitraria, como número
de partes se quiera dividir el
segmento
3. Se traza la recta t uniendo el
último punto con el extremo B del
segmento dado
4. Se trazan paralelas a t por los
puntos 1, 2, 3, ... de la recta s.
1.- Proporcionalidad
Teorema de la altura
El teorema de la altura de Euclides afirma que en un triángulo
rectángulo se verifica la siguiente relación de proporcionalidad:
a/x = x/b, o bien a * b = x2
Se dice, que la altura (x) es la media
proporcional de los dos segmentos [a, b) en
que se divide de la hipotenusa.
Empleando este teorema, por tanto,
podemos determinar gráficamente la media
proporcional de dos segmentos.
Dados dos segmentos de longitudes a y b, la
media proporcional de ambos (x), es el
segmento
que
cumple
la
relación
a/x = x/b, o a * b = x2
1.- Proporcionalidad
Teorema de la altura: determinación
de la media proporcional
En todo triángulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa es media
proporcional entre los segmentos en que queda dividida la hipotenusa
a
x
=
x
b
A
a
B
C
b
1. Sobre la recta r se trasladan los
segmentos a=AB y b=CD, trazando una
semicircunferencia de diámetro la suma
de ambos AD
D
F
x
A
E
a
B-C
D
b
r
2. Por el punto B-C se traza recta
perpendicular a r hasta cortar a la
semicircunferencia en el punto F.
El segmento x = AF es la media media
proporcional buscada
1.- Proporcionalidad
Sección Áurea
Se denomina Sección Aurea de dicho
segmento a la división que le produce un
punto B de forma que:
Dados un segmento b = AC
C
A
a
x
x= b
b
a
x
A
B
C
La proporción entre la parte más
pequeña a y la más grande x es igual a
la existente entre la parte más grande
x y el todo b
1.- Proporcionalidad
Trazado Sección Áurea de un Segmento
1.- Se traza el segmento AB y se halla
un punto intermedio O. Por el extremo
B se levanta una perpendicular. Con
centro en B y radio OB, se traza un
arco que corte a la perpendicular en el
punto C, y se une C con A
2.- Con radio CB, se traza desde C un
arco que corte a AC en el punto D. Con
centro en A y con radio AD se traza un
arco que corte a AB en E. Este es el
punto que divide al segmento AB de
forma que AE es su sección Aurea.
2.-Relaciones de proporcionalidad
entre figuras: Igualdad
Entre dos figuras se puede establecer una serie de relaciones
proporcionales
A’
A
F
F’
E’
E
D
D’
B
C
B’
C’
La igualdad es una de estas relaciones, cuya proporción es 1 :1.
Decimos que dos figuras son iguales cuando al superponerlas coinciden
todos sus lados y ángulos.
Para construir una figura igual a otra se pueden seguir diferentes
procedimientos: traslación, giro, triangulación, transporte de ángulos y
reproducción de coordenadas.
2.-Relaciones de proporcionalidad
entre figuras: Igualdad
Ahora veremos las siguientes construcciones…
TRASLACIÓN
COORDENADAS
A’
A
TRIANGULACIÓN
A
C
F
C’
F’
D
E’
E
B
D
B
D’
B’
D
D’
E’
E
B
B’
A
C
A’
C’
C
GIRO
COPIA DE ÁNGULOS
A’
B
C
D
A’
C’
B’
B’
B
B’
C
D’
C’
D’
E
A
E’
A’
D
D’
O’
A
C’
O
C entro de g iro
F
F’
2.-Relaciones de proporcionalidad
entre figuras: Igualdad
Igualdad por Traslación
Trasladar una figura consiste en desplazar todos sus vértices en
sentido recto a una misma distancia.
Dada la figura ABCDEF se traza una
paralela por cada uno de sus vértices.
Sobre la recta que contiene al vértice
A, se fija a una distancia el punto A’.
Se transporta esa misma distancia
sobre
cada
una
de
las
paralelas, de modo que queden fijados
los vértices de la nueva figura igual,
A’B'C’D’E'F'.
Los lados correspondientes permanecen
paralelos e iguales a los de la figura
inicial,
2.-Relaciones de proporcionalidad
entre figuras: Igualdad
Igualdad por Giro
Girar una figura consiste en desplazar todos sus vértices en sentido
circular y con la misma amplitud. Como centro de giro se elige un punto
cualquiera, O.
1.-A partir de O, se traza un arco por cada uno
de los vértices.
2.-Sobre el arco que contiene al punto A, se fija
una cierta amplitud de ángulo y se determina
el vértice A’.
3.-Con esa misma amplitud se transportan el
resto de los vértices.
4.-Con este procedimiento, la figura rota
alrededor del centro de giro, permaneciendo
constante la distancia de cada uno de sus
vértices al mismo. En este caso, OA= OA’.
OB= OB', y el ángulo AOA' = ángulo BOB' =
ángulo COC’
2.-Relaciones de proporcionalidad
entre figuras: Igualdad
Igualdad por Triangulación
Triangular una figura consiste en descomponer su superficie en
triángulos y trazar copias de los mismos. Esto es posible porque el
triángulo es el polígono más simple y se puede copiar de manera sencilla.
1.- Dada una figura ABCDE, se trazan diagonales
desde un vértice, por ejemplo el A, de modo que
esta quede dividida en triángulos con un vértice
común.
2.-Para construir la figura igual a la primera, se
traza el lado AB', paralelo a AB.
3.-A continuación, se trasladan con el compás las
medidas del lado BC y AC, en cuya intersección
estará el punto C'. De esta manera se obtiene el
triángulo A’B'C', igual al ABC.
4.-Se trasladan las medidas del lado CD y AD,
reproduciendo
sucesivamente
todos
los
triángulos de la figura inicial y completando la
figura AB'C‘D'E'.
2.-Relaciones de proporcionalidad
entre figuras: Igualdad
Igualdad por Transporte de ángulos
Este procedimiento consiste en transportar cada ángulo de la figura
dada para construir una figura igual.
Dado el polígono ABCDE
1. Sobre una recta r se dibuja A’B’ =
AB
2. Con centro en B’ se traza un ángulo
igual al B. (con el compás)
3. Se transporta el segmento B’C’ = BC.
(con el compás)
4. Se repite la operación con todos los
vértices
2.-Relaciones de proporcionalidad
entre figuras: Igualdad
Igualdad por coordenadas
Los ejes de coordenadas son dos rectas perpendiculares A que
permiten asignar a cada punto del plano dos coordenadas.
Este
procedimiento consiste en reproducir las coordenadas de la figura inicial
sobre otros ejes
1.-Dada una figura ABCD, se dibujan dos ejes
de
coordenadas
y
se
trazan
perpendiculares a los mismos desde todos
los vértices de la figura.
2.-De este modo, se averiguan
coordenadas de cada uno de ellos.
las
3.-Para dibujar la figura igual a la dada, se
trasladan los ejes y se reproducen las
mismas coordenadas, estos puntos serán
los nuevos vértices de la figura AB'C‘D'
2.-Relaciones de proporcionalidad
entre figuras: Igualdad
Manifestaciones artísticas de la igualdad
Algunas composiciones artísticas están basadas en la repetición de
figuras iguales, siendo también un recurso muy utilizado en la
ornamentación, el diseño gráfico y la arquitectura.
Observa la sucesión de
figuras iguales en esta
composición pictórica, La
finalidad
de
este
recurso
estructural
es
producir un
efecto de
homogeneidad visual.
3.-Relaciones de proporcionalidad
entre figuras: Simetría y Semejanza
Para que exista una relación de proporcionalidad entre dos figuras,
estas deben tener la misma forma; Si estas figuras tienen una orientación en el
espacio contrapuesta, son simétricas y, si tienen distinto tamaño, son
semejantes.
3.-Relaciones de proporcionalidad
entre figuras: Simetría y Semejanza
Simetría
La simetría es una relación entre dos figuras, en la que cada punto
de la primera se corresponde con otro de la segunda, de modo que ambos
equidistan de un eje, de un centro o de un plano de simetría.
3.-Relaciones de proporcionalidad
entre figuras: Simetría y Semejanza
Simetría Central
La simetría central o respecto a un punto dispone que, dos puntos
simétricos A y A' que están situados sobre una línea recta que pasa por un
punto, llamado centro de simetría, equidistan de él y están contrapuestos.
1.- Dada la figura ABCDE, se trazan
rectas desde cada vértice al centro de
simetría O y se prolongan.
2.- Sobre estas rectas se transportan
medidas,
de
modo
que
las
distancias de los vértices A, B, C, D y
E al punto O sean iguales a las
distancias del punto O a los vértices A',
B', C', D' y E', respectivamente.
3.- Uniendo los vértices obtenidos se
construye la figura
3.-Relaciones de proporcionalidad
entre figuras: Simetría y Semejanza
Semejanza
La semejanza es una relación entre figuras en la que los ángulos
correspondientes de las mismas son iguales, y sus lados correspondientes,
proporcionales.
Se pueden obtener figuras semejantes utilizando los siguientes
procedimientos.
3.-Relaciones de proporcionalidad
entre figuras: Simetría y Semejanza
Semejanza por Radiación
1.-Se elige un punto O exterior a la figura
y desde él se trazan rectas que pasen por
los vértices de esta.
2.-Sobre la prolongación de una recta, la
que pasa por el punto A. se marca el punto
A. Por A se traza un segmento AB' paralelo
al lado AB.
3.-Repitiendo la misma operación con todos
los lados se obtendrá la figura semejante.
Observa que se establece la proporción:
AB/AB' = BC/B'C‘ = CD/C‘D‘= …
3.-Relaciones de proporcionalidad
entre figuras: Simetría y Semejanza
Semejanza por radiación: (Desde un vértice)
1.-Dada una figura ABCDE, se elige el
vértice A. y desde él se trazan rectas que
pasen por los demás vértices
2.-Se sitúa un punto B' en la prolongación
del lado AB, Por el punto B' se traza una
paralela al lado BC, hasta cortar a la
prolongación de AC en C’
3.-A partir de él, se repite la misma
operación hasta completar la figura
semejante.
Comprueba que se establece la proporción
entre los lados:
AB/A’B‘= BC/B’C‘=CD/C’D’=DE/D’E’=…
3.-Relaciones de proporcionalidad
entre figuras: Simetría y Semejanza
Aplicaciones en la expresión plástica
Como ocurre con la igualdad, la simetría y la semejanza se pueden
utilizar como recursos para realizar obras artísticas y estructuras
arquitectónicas, ornamentales y de diseño
Esta fotografía se basa en un juego de formas
circulares semejantes que producen una ligera
sensación de movimiento.
Este anuncio publicitario de papel presenta una
estructura simétrica que simplifica el recorrido
visual del observador.
4.-Redes Modulares
Las redes modulares son estructuras, generalmente
geométricas, que permiten relacionar figuras iguales o semejantes,
llamadas módulos, en una misma superficie.
La red modular debe compactar el plano,
es decir, cubrirlo por completo sin dejar
superficies vacías
EJEMPLOS:
Las formadas por Triángulos y Cuadrados
o derivados de estos.
SI
NO
4.-Redes Modulares
Redes modulares simples
Las redes modulares simples están formadas por la repetición de
una sola figura.
Además de las redes triangulares y cuadradas básicas, existen
otras con distintas peculiaridades: rectangulares, quebradas, romboides,
etc.
4.-Redes Modulares
Redes modulares compuestas
Las redes modulares compuestas se forman por la yuxtaposición de
varias figuras geométricas regulares o por la superposición de dos o más
redes simples.
5.- El módulo
El módulo es la figura básica que se repite en las estructuras
modulares.
La combinación proporcionada de varios módulos sobre una red o
trama da lugar a la composición modular.
Cuando se combinan varios módulos básicos para formar una figura
más compleja aparece un supermódulo
5.- El módulo
Movimientos del módulo
Un módulo se puede colocar y combinar en distintas posiciones.
Entre los movimientos más usuales destacan el giro y el desplazamiento, y
aplicando el giro se puede llegar a situar los módulos en contraposición, es
decir formando una simetría
5.- El módulo
La circunferencia en la composición modular
La circunferencia es una figura que no puede compactar el espacio,
al igual que el pentágono, por lo que no hay redes modulares circulares. Sin
embargo, inscribiéndola en cuadrados, se utiliza como estructura para
diseñar módulos, dejando los espacios libres como formas de apoyo
5.- El módulo
Efectos tridimensionales
Como en cualquier expresión visual, en la composición modular se
pueden crear sensaciones de espacio tridimensional utilizando diferentes
recursos gráficos: