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LA MADRE DEL
ÁLGEBRA
MODERNA:
EMMY
NOETHER
Noelia Jiménez Listón
Historia de las Matemáticas
ÍNDICE
PÁGINA
INTRODUCCIÓN -----------------------------------------
2
VIDA -------------------------------------------------------
5
OBRA -------------------------------------------------------
8
TEXTO -----------------------------------------------------
10
LEGADO ----------------------------------------------------
14
CONCLUSIONES ------------------------------------------
15
REFERENCIAS --------------------------------------------
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INTRODUCCIÓN
Puesto que para hablar del Álgebra tendríamos que remontarnos a las
primeras civilizaciones, he decidido centrar mi trabajo en uno de los
personajes que más han contribuido al desarrollo del Álgebra tal y como lo
concebimos en la actualidad, suponiendo su trabajo, además, la base de
otras disciplinas: Emmy Amalie Noether.
El siglo XIX merece ser llamado más que ningún otro periodo anterior
la edad de Oro de la Matemática.
Las particularidades del nuevo periodo se manifiestan ya nada más
comenzar el siglo. En álgebra hay que tener en cuenta los trabajos de Abel y
Galois sobre la resolución de ecuaciones algebraicas en radicales. Ellos
promovieron a un primer lugar en el álgebra una serie de conceptos
generales muy abstractos, entre los cuales merece el primer lugar el
concepto de grupo, dando lugar al nacimiento del Álgebra Moderna.
El Álgebra Moderna es un campo extraordinariamente amplio y
ramificado en el que se recogen un gran número de disciplinas científicas e
independientes cuyo objeto común son las operaciones algebraicas, las
cuales representan abstracciones lejanas de las operaciones del álgebra
elemental. Estudiemos de una manera más detallada estas disciplinas.
Teoría General de las Ecuaciones algebraicas:
Este fue el problema fundamental del álgebra durante el siglo XIX,
entendiéndose como la búsqueda de las raíces de la ecuación con ayuda de
operaciones racionales y la operación de la extracción de la raíz.
En esta época se introdujeron una serie de conceptos, entre ellos el
concepto de grupo, que yacen en la base del álgebra moderna. Tengamos en
cuenta los trabajos de K.F. Gauss, N.H. Abel y E. Galois, relativos a la
demostración de la no resolubilidad en radicales de las ecuaciones de grado
mayor que cinco y la creación de la teoría de Galois.
Karl Friedrich Gauss hizo sus primeros descubrimientos en álgebra
siendo muy joven, advirtiendo ya en 1796 la relación entre la búsqueda de
raíces de la ecuación xn-1=0 y la división de la circunferencia en partes
iguales. Tres años más tarde demostraba el teorema fundamental del
álgebra, dando en 1815, 1816 y 1849 tres nuevas demostraciones.
Recordemos que la primera formulación de este teorema, sin
demostrar, fue la dada por Descartes. Para la demostración de este
teorema necesitó construir los campos de desarrollo de los polinomios.
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Otro de los notables descubrimientos algebraicos de comienzo de
siglo es la demostración de la irresolubilidad en radicales de las ecuaciones
de quinto grado. Por este camino llevó P. Ruffini sus investigaciones a finales
del siglo XVIII, pero el primer éxito real lo obtuvo Niels Henrik Abel. Tras
esto, Abel realizó investigaciones fundamentales en el campo de la teoría de
funciones analíticas, e investigó una serie de funciones especiales como las
elípticas e hiperbólicas. Pero no pudo dar un criterio general de
resolubilidad en radicales de las ecuaciones con coeficientes numéricos.
Sin embargo, la solución a este problema no se hizo esperar
largamente y se debe a Evaristo Galois. El objeto fundamental de sus
investigaciones fue el determinar cuando son resolubles mediante radicales
las ecuaciones polinómicas. El aparato algebraico introducido tuvo, sin
embargo, una significación que salía de los marcos del problema indicado. Su
idea del estudio de la estructura de los campos algebraicos y la comparación
con ellos de la estructura de los grupos de un número finito de
sustituciones, fue la base fructífera del Álgebra Moderna. La teoría actual
de Galois, se ha convertido en una disciplina matemática compleja y
ramificada, que incluye un amplio material sobre las relaciones entre las
propiedades de las ecuaciones, los números algebraicos y los grupos.
Teoría de Grupos.
Galois y Ruffini introdujeron de forma independiente el concepto de
grupo. En la primera mitad del siglo XIX, los resultados de la teoría de
grupo jugaron un papel auxiliar, especialmente en la teoría de las ecuaciones
algebraicas, formándose, predominantemente, la teoría de los grupos
finitos.
Posteriormente, ya en los años 50, en trabajos de Cayley y otros,
comenzaron a aparecer definiciones abstractas más generales de grupo.
Este proceso se aceleró desde el año 1870 con los trabajos de C. Jordan,
quien hizo un resumen de los resultados de la teoría de grupos finitos en su
aplicación a la teoría de números, teoría de funciones y geometría
algebraica.
A finales de siglo, aparecieron las primeras aplicaciones de la teoría
de grupo, resolviéndose, por ejemplo, el problema de la clasificación de
todas las redes cristalinas espaciales gracias a los trabajos de E.S Fiedorov.
Los grupos discretos finitos, a los que pertenecen los grupos de Fiedorov,
obtuvieron extensión en la teoría de los espacios multidimensionales en
relación con la teoría de los poliedros regulares en éstos.
Posteriormente se planteó la investigación de los grupos infinitos,
tanto discretos como continuos y también sobre la creación de un aparato
de cálculo adaptado a las necesidades de la teoría de grupo. los logros
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fundamentales sobre estas cuestiones pertenecen a los discípulos de C.
Jordan, F. Klein y S. Lie.
En la confluencia de los siglos XIX y XX la teoría de grupos se
ramificó desmesuradamente, formando el núcleo del álgebra actual. Ella se
compone de una serie de teorías altamente desarrolladas: los grupos finitos,
los grupos discretos infinitos, los grupos continuos, entre ellos los grupos de
Lie. Los métodos teóricos de grupos penetraron en una serie de disciplinas
matemáticas y sus aplicaciones. Los descubrimientos de De Broglie,
Schrödinger, Dirac y otros, en la mecánica cuántica y en la teoría de la
estructura de la materia mostraron que la física moderna debe apoyarse en
la teoría de los grupos continuos, en particular en la teoría de la
representación de grupos por operadores lineales, la teoría de los
caracteres y otras elaboradas por Cartan, H. Weyl y otros científicos.
Pasó medio siglo desde los trabajos de Gauss, Abel y Galois y el centro de
gravedad en las investigaciones algebraicas se trasladó a la teoría de
grupos, subgrupos, anillos, estructuras. En al álgebra comenzó el periodo de
las matemáticas modernas.
Emmy Noether fue una matemática alemana de origen judío que
realizó sus investigaciones en las primeras décadas del siglo XX. Mediante
su primera especialización sobre invariantes algebraicos consiguió
demostrar dos teoremas esenciales para la teoría de la relatividad que
permitieron resolver el problema de la conservación de la energía. Su
aportación más importante a la investigación matemática fueron sus
resultados sobre la axiomatización y el desarrollo de la teoría algebraica de
anillos, módulos, ideales, grupos con operadores, etc. En este contexto, que
se llamó álgebra moderna, aplicó sus conocimientos sobre invariantes dando
rigor y generalidad a la geometría algebraica. Sus investigaciones en álgebra
no conmutativa destacan, sobre todo, por el carácter unificado y general
que dio a los conocimientos acumulados durante décadas. Sus publicaciones
serían suficientes para valorar su decisiva contribución a las matemáticas,
pero hay que considerar, además, que nunca le interesó mucho publicar y
siempre permitió a sus colegas y a sus estudiantes desarrollar resultados
interesantes a partir de las sugerencias que ella les hacía.
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VIDA
El 23 de marzo de 1882 nació en Erlangen, Baviera,
Emmy Amalie Noether. Su padre, Max Noether (18441921), era profesor de matemáticas en la universidad
de Erlangen y era conocido por sus investigaciones
sobre funciones algebraicas, su madre Ida Kaufmann,
procedía de una familia de Colonia. Ambos eran de
origen judío.
Hasta los 15 años asistió al Höhere Töchter Schule en
Erlangen donde estudió alemán, inglés, francés,
aritmética, piano y danza. Después de esta formación
básica estudió francés e inglés, para ser profesora de idiomas y en 1900
superó los Exámenes de Estado que la cualificaban para enseñar idiomas en
cualquier institución educativa femenina. Después de obtener este título, el
medio matemático en el que se desarrollaba su vida, entre su padre y los
amigos de éste, orientó sus estudios hacia las matemáticas.
El Senado de la Universidad de Erlangen había declarado en 1898 que
la admisión de mujeres estudiantes "destrozaría todo orden académico". Sin
embargo se les autorizaba a asistir a clase con un permiso especial, que no
les daba derecho a examinarse. Fue la única alumna entre 984 estudiantes.
Después de pasar los exámenes en Nuremberg en 1903, fue a
Göttingen donde asistió a cursos impartidos por Hilbert, Klein y Minkowski.
En 1904 regresó a Erlangen, donde habían cambiado los estatutos de la
Universidad, y pudo proseguir sus estudios de doctorado sobre la teoría de
invariantes bajo la influencia de Paul Gordan, quien era conocido como “el
rey de la teoría de invariantes” (entre otras cosas dio una demostración
constructiva de la existencia de formas invariantes en n variables). En 1907
obtuvo el grado de doctora “cum laude” con la memoria titulada: “Sobre los
sistemas completos de invariantes para las formas bicuadráticas ternarias”,
que fue publicada en 1908.
A pesar de que su fama creció rápidamente, su trabajo en la
Universidad de Erlangen consistía en ayudar a su padre pero si salario
ninguno. Durante estos dos años tuvo dos tutores (Emst Fischer y Bernhard
Schmidt) que despertaron su interés por el álgebra abstracta. Con ellos
pasó de la corriente constructivista al pensamiento axiomático conceptual.
En 1915 fue invitado por David Hilbert y Félix Klein a trabajar con
ellos a la Universidad de Göttingen, que en aquel momento era el principal
centro matemático de Alemania y probablemente de Europa. Esta etapa de
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su vida estuvo marcada por una intensa producción científica que determinó
su aportación a las matemáticas y la física. Pese a toda una serie de
importantísimos trabajos sobre invariantes diferenciales y pese a los
apoyos de Hilbert y Klein, el reglamento vigente de la Universidad de
Göttingen indicaba explícitamente que los candidatos debían ser hombres,
por lo que Noether no pudo presentarse a oposiciones como docente
universitario. Hilbert quiso corregir esa injusticia, pero sus esfuerzos no
tuvieron éxito, pues ciertos miembros de la facultad, no matemáticos, se
opusieron. Se cuenta, como anécdota, que Hilbert dijo en un Consejo de la
Universidad de Göttingen, "no veo por qué el sexo de la candidata es un
argumento contra su nombramiento como docente. Después de todo no
somos un establecimiento de baños". Hilbert y Noether encontraron un
sistema para que ella pudiera impartir como docente: las clases se
anunciaban bajo el nombre de Hilbert y ella figuraba como ayudante. Así
pudo probar su competencia y ser mejor conocida.
Emmy, ya con un estilo propio más abstracto y general, escribió sus ideas
sobre conservación de la energía, lo que trajo como consecuencia los
famosos resultados conocidos por los físicos como los Teoremas de
Noether, publicados en dos artículos en 1918.
Finalizada la Primera Guerra Mundial Alemania pasó a ser una
república. Por primera vez las mujeres tuvieron derecho a voto y fue
derogado el anterior reglamento de oposiciones. En 1919 Emmy presentó
como “tesis de habilitación” su trabajo "Invariante Variationsprobleme"
junto con doce artículos ya publicados y dos manuscritos adicionales, en uno
de los cuales había varias ideas importantes que tuvieron un impacto
significativo en el reciente desarrollo del Álgebra Abstracta. En 1922 fue
nombrada “profesor extraordinario y no oficial”. No tenía derecho a sueldo,
pero pudo obtener pequeñas retribuciones, por su grado de experta en
álgebra, que en ese momento le eran imprescindibles, ya que la inflación de
la posguerra estaba acabando con su pequeña herencia.
El periodo de Göttingen sólo fue interrumpido por dos breves
estancias como profesor invitado en Moscú (1928/29) y en Frankfurt Am
Main (1930). En septiembre de 1932 fue invitada al Congreso Internacional
de Matemáticos de Zurich y ese mismo año recibió con Artin, el Alfred
Ackermann-Teubner Memorial, premio al Avance del Conocimiento
Matemático.
A pesar del reconocimiento obtenido por este éxito, los cambios
políticos y la llegada de Hitler al poder le obligaron a reorientar su carrera.
Ser una intelectual, pacifista, judía y liberal le obligó a abandonar Alemania.
En abril de 1933 se le retiró su derecho a ejercer como docente por ser
judía y las leyes raciales la empujaron al exilio. A finales de ese año se
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marchó a los Estados Unidos como profesora invitada durante un año a una
universidad femenina, el Bryn Mawr College (Pennsylvania). En febrero de
1934 comenzó a trabajar en Princeton, New Jersey, en el Instituto de
Estudios Avanzados, donde también se encontraba Albert Einstein. En
verano volvió por última vez a Alemania para ver a su hermano Fritz, visitar
viejos amigos y cerrar su casa. Murió el 14 de abril de 1935 como
consecuencia de una operación. Tenía 53 años y estaba en el apogeo de su
fuerza creadora.
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OBRA
En la obra de Emmy pueden distinguirse tres claros periodos: en
Erlangen (1882-1915), en Göttinger (1915-1932) y en Estados Unidos
(1933-1935).
Como ya hemos mencionado, en un primer momento y bajo la tutela de
Paul Gordan, el trabajo de Emmy consistía en extender los resultados de
Gordan y enlistó 331 formas covariantes en su tesis doctoral. Trabajo
importante, laborioso y minucioso de gran magnitud aunque tal vez no el más
trascendente.
Sin lugar a dudas su periodo más productivo es el de Göttingen, donde
fue invitada trabajar en el equipo de Hilbert, formado por excelentes
matemáticos y físicos. Es el propio Hilbert el que desde ese momento se
convirtió en su mentor. Así Emmy, en los años siguientes a su doctorado,
trabajo animada por su grupo sobre problemas relacionados con la física,
cuyas aportaciones en este rumbo consistieron en dar el marco matemático
para establecer los principios de conservación de la energía dentro de la
relatividad general propuesta por Albert Einstein. En su trabajo Invariante
Variationsprobleme(1918) incluía dos resultados importantes, esenciales en
la teoría de relatividad general y en el estudio de las partículas elementales
ya que relacionaban las simetrías con las leyes de conservación de la
energía. De esta manera, ella construyó para los matemáticos con una
conexión muy importante entre dos áreas: el álgebra y el análisis. Para la
física del siglo XX, su enorme contribución es presentar las ecuaciones de
campo en una versión generalizada de teoría de grupos.
En la década de los años veinte inició una serie de investigaciones que
modificaron el Álgebra desde sus fundamentos. Publicó una docena de
artículos. Los más importantes fueron dos memorias sobre la teoría de
ideales: Teoría de ideales en anillos (1921) y Construcción abstracta de la
teoría de ideales en el dominio del cuerpo de los números algebraicos
(1924). Dedekind había introducido los ideales como un conjunto de números
enteros en un cuerpo numérico, así como la descomposición de estos ideales
como producto de ideales primos. Emmy, en su primera memoria, convirtió
los ideales de números enteros en ideales, es decir, subconjuntos definidos
axiomáticamente en cualquier conjunto con estructura de anillo y estableció
que en un anillo conmutativo que verifique el celebre axioma de la cadena
ascendente de ideales, (ahora llamado anillo noetheriano), todo ideal tiene
una descomposición minimal finita como intersección de ideales primarios.
En la segunda determinó los axiomas para poder establecer, en un anillo, la
descomposición de un ideal como producto de ideales primos.
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En 1927 colaboró con Helmut Hasse (1898-1972) y Richard Brauer
(1901-1977) en trabajos sobre álgebra no conmutativa. A partir de entonces
centró su estudio en este campo. Sus investigaciones sobre los sistemas
hypercomplejos, la teoría de la representación y, de forma general, el
álgebra no conmutativa se caracterizan por la importancia que tienen las
nociones de módulo, ideal, automorfismo y por la generalidad de los
resultados que son válidos en cualquier cuerpo. Por teorías como la del
producto cruzado, desarrolladas por ella o en colaboración con Helmut
Hasse y Richard Brauer, Emmy Noether consiguió unos resultados muy
importantes aplicando brillantemente los métodos hipercomplejos a difíciles
problemas de la teoría de cuerpos cociente. Uno de sus trabajos más
importantes, Álgebras no conmutativas, publicado en 1933, proporciona una
visión global de dicha teoría.
A través de sus discípulos, procedentes de todo el mundo y conocidos
como los chicos de Noether o satélites, la concepción de álgebra moderna
llegó a casi todas las universidades alemanas y a los centros de investigación
matemática de Francia, Unión Soviética, Japón y Estados Unidos.
El útimo periodo de su vida lo pasó en E.E.U.U., donde coincidió con
Albert Einstein y trabajo con él sobre la teoría de relatividad general.
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TEXTO
El texto sobre el que voy a tratar es un fragmento de su artículo
Nichtkommutative Álgebra (Álgebras no conmutativas), publicado el la
revista “Mathematische Zeitschrift” en el año 1933.
1.
Multiplikative Abbildung. Assoziativgesetz. Sei vorerst G eine Gruppe
ohne Operatoren, U ihn absoluter Automorphismenbereich, d. h. das System aller
Homomorphisken von G in sich. U ist multiplikativ abgeschlossen, da das Produkt
σг durch
(1)
g(σг) = (gσ) г mit g in G und σ, г in U definiert ist und offenbar dem
Assoziativgesetz genügt.
G wird bekanntlich zu einer Gruppe mit Operatoren, wenn eine Menge B von
Symbolen θ, H, … gegeben ist derart, daβ die Verknüpfungen gθ, gH, … zu
eindeutig definierten Elementen aus G führen und Automorphismen (
Homomorphismen in sich) von G erzeugen
-(g.h)θ = gθ.hθ-; es existiert also eine eindeutige ( im allgemeinen nicht umkehrbar
einedeutige) Abbildung von B auf eine Untermenge
B des absoluten Automorphismenbereichs U. Die oben erwähnte Schluβweise
lautet hier so:
Ist der Operatorenbereich B multiplikativ abgeschlossen, so ist die eindeutige
Abbildung von B auf B deann und nur dann eine multiplikativ-homomorphe, wenn
die (1) entsprechende Assoziativrelation
(1a) g(θH) = (gθ) H für g in G und θ, H in B erfüllt ist.
Entsprechend ist reziproker Homomorphismus definiert, wenn es sich um
Linksoperatoren handelt.
Denn die Abbildung von B auf B ist gegeben durch gθ = gσ für alle g aus G, also
auch durch (gθ) H = (gσ) г = g(σг), so daβ (1a) notwendig und hinreichend für
multiplikative Homomorphie wird. Daβ Linksoperatoren reziproken
Homomorphismus erzeugen, kommt daher, daβ die links geschriebenen
Automorphismen σ*g, г*σ* g von rechts nach links zu lesen sind: г*σ*g = g σ г,
Operatoren dagegen immer von links nach rechts.
En este texto Emmy nos dice que si B es el dominio de un operador cerrado
respecto del producto y tenemos una función que va de B en B y es un
homomorfismo multiplicativo si y sólo si (1) cumple la asociativa.
(1a) g(θH) = (gθ) H für g in G und θ, H in B erfüllt ist.
El reciproco define un homomorfismo si se opera por la izquierda.
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En este artículo Emmy introduce conceptos que después han llevado su
nombre, tales como “anillos de Noether” o “cadena ascendente”.
En su trabajo Invariante Variationsprobleme describe los grupos de
simetrías y establece la relación entre cada un de ellos y las leyes de
conservación de la energia en el sistema correspondiente. A continuación
muestro un fragmento de dicho trajaro, tenemos que tener en cuenta que
ella misma calificaba a su tesis como “fungla de formulas”.
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LEGADO
Cuando en 1904 Noether entra en contacto con el mundo matemático
alemán, la situación había cambiado radicalmente, y era precisamente en
Alemania donde la actividad matemática europea estaba siendo más
creativa. Basta repasar la lista de algunos de los matemáticos que Alemania
produjo entre 1800 y 1900: el propio Gauss, Paul Gordan, J.W. Dedekind,
David Hilbert, Christian Felix Klein, August Ferninand Möbius, Max
Noether, Georg Friedrich Bernhard Riemann, Karl Weierstrass.
A Emmy nunca le preocupó especialmente publicar, sin embargo
siempre ayudó sus estudiantes y colegas a desarrollar resultados
interesantes a partir de las observaciones, sugerencias o comentarios que
ella les hacia. Un ejemplo es la introducción del concepto de nilradical por
Koethe en 1931. Otro es el caso de Van der Waerden, que en 1924 fue a
Göttingen un año para estudiar con Emmy, y al volver a Amsterdam escribió
su libro Álgebra Moderna en dos volúmenes. La mayor parte del segundo
volumen es el trabajo de Emmy, clarificado y ordenado por él.
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CONCLUSIÓN
Emmy Noether fue una mujer fuerte e intensa, con un gran carácter;
de ideas claras y decisiones firmes. Logró sus metas y no hay duda de que
obtuvo el reconocimiento que merecía. Sufrió discriminaciones y
persecuciones, sin embargo, defendió sus ideas, su trabajo y sus posiciones
políticas. Siempre ha sido recodada como tranquila, calida y generosa.
Cuentan además, que era una gran amiga.
En la Sociedad Matemática de Moscú, su amigo Pavel Sergeevich
Aleksandrov (1896-1982) la recordaba con este tributo:
Emmy Noether fue la más grande de las mujeres matemáticas, una gran
científica, magnífica profesora y una inolvidable persona
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REFERENCIAS
Bibliografía
[1] Auguste Dick (1981): Emmy Noether, 1882-1935. Birkhauser, Boston.
[2] David Blanco Laserna (2005): Emmy Noether Matemática ideal.Nivola
libros y ediciones, S.L.
[3] Hans Wussing (1989): Biografías de grandes matemáticos, Universidad.
Artículos
[1] Pilar Carrasco (2004): Emmy Noether y el inicio del Álgebra Abstracta.
“La Gaceta de la RSME”, Vol. 7.2, Págs. 331–346
[2] Capi Corrales Rodrigáñez (2003): Matemáticas y matemáticas: vida y
obra de Emmy Noether. Matemáticas y Matemáticos, J. Ferreirós, A.
Durán, eds. Universidad de Sevilla.
[3] Claudia Gómez Wulschner: Emmy, Mujer de Ideales. Departamento de
Matemáticas, ITAM
[4] Emmy Noether (diciembre 1933): Nichtkommutative Algebra.
Mathematiche Zeitschrift, Vol. 37, nº1, págs. 514 - 541
Páginas Web:
[1] www.divulgamat.com
[2]Emmy Noether (1918): Invariante Variationsprobleme. Nachr. v. d. Ges.
d. Wiss. Zu Götingen, Págs. 235-257.
http://cwp.library.ucla.edu/articles/noether.trans/german/emmy235.html
[3] http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/algebra.html
Agradecimientos:
A Elena Aguirre por facilitarme el artículo : Nichtkommutative Algebra.
Mathematiche Zeitschrift, sin el cual no me hubiera sido posible trabajar
sobre uno de sus textos originales y a mis compañeros Erasmus por
ayudarme a “traducir” dicho texto.
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