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Razones, Proporciones, Tasas,
Porcentajes y Variaciones
Matemáticas I
Números racionales expresados como
fracción
Matemáticas I
Dentro de los números reales, encontramos a los
números racionales que se expresan como un
cociente de dos números enteros.
Los enteros son racionales ya que se pueden
representar en forma de fracción.
Los números racionales tienen una gran relación
con las razones, proporciones, tasas, porcentajes y
variaciones, ya que se pueden expresar como una
fracción.
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Razones
Matemáticas I
Una razón es una división entre dos enteros a y b.
La razón de “a” entre “b” también se puede leer
como “a” contra “b” ó “a” respecto a “b” ó “a:b”.
La razón muestra la relación entre a y b.
Ejemplo:
Un coche va a 80km/h y una bicicleta a 20km/h
La razón entre las velocidades es de 4:1, ya que 80 es
4 veces mayor respecto a 20:
80:20 ó 4:1, dado que
80
=4
20
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Proporciones
La proporción es la igualdad de 2 razones:
y
c
=x
d
Matemáticas I
a
=x
b
Entonces, “a” es a “c” como “b” es a “d”
a→c
b→d
a c
=
b d
Los extremos de la proporción son a y d, mientras
b y c son llamados los medios.
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Propiedad fundamental de las
proporciones
El producto de los medios es igual al producto de
los extremos:
Sea:
Entonces: a × d = b × c
Matemáticas I
a c
=
b d
Ejemplo:
3
6
=
5
10
3 × 10 = 6 × 5
30 = 30
5
Porcentaje
Matemáticas I
Porcentaje se refiere a la cantidad de partes que
corresponden proporcionalmente a 100, donde 100
es el todo.
Ejemplo:
1
25
= 0.25 =
=
100
4
" veinticinco por ciento" = 25%
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Ejemplo de porcentajes
En un salón de 30 alumnos, 15 son niñas. ¿Qué
porcentaje representan las niñas respecto al total?
30 → 100
15 → ?
Matemáticas I
30 100
=
15
p
Entonces:
30 × p = 15 ×100
15 ×100
p=
= 50%
30
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Ejemplo de porcentajes: otro enfoque
El ejemplo anterior también se puede expresar de
la siguiente manera:
Matemáticas I
cantidad a evaluar
cantidad total
15
= 0.5
30
Entonces, para saber el porcentaje que representan 15
niñas del total de 30 alumnos, multiplicamos la fracción
por 100:
p = 0.5 ×100 = 50%
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Variaciones
Matemáticas I
Cuando dos variables son interdependientes, los
cambios en el valor de una tendrán un efecto
predecible en la otra.
Las variaciones son el crecimiento o decrecimiento
de una variable “a” con respecto a otra “b”, por una
razón o constante “k”.
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Variaciones directas e inversas
Existen dos tipos de variaciones: directa e inversa.
Variación directa: cuando una variable aumenta
cuando la otra aumenta.
a→c
b→d
a c
=
b d
Matemáticas I
– Se puede expresar como: a = k x b, o bien, k = a / b
– Las relaciones se expresan en la forma normal:
Variación inversa: cuando una variable disminuye
cuando la otra aumenta.
– Se puede expresar como: a = k / b, o bien, k = a b
– Las relaciones se expresan en forma invertida respecto a la
forma normal:
a→c
b→d
a d
=
b c
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Ejemplo de variación directa
Para recorren 50km un coche necesita 2 litros de
gasolina ¿Cuánto necesitara para recorrer 90km?
90 → L
Entonces:
50 × L = 2 × 90
50 2
=
90 L
Matemáticas I
50 → 2
2 × 90
L=
= 3.6 litros
50
Ya que necesita recorrer una distancia más larga,
entonces necesita más gasolina. Esta es una
variación directa.
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Ejemplo de variación inversa
Estos son ejemplos de variaciones inversas
(cuando una variable disminuye cuando la otra
aumenta).
Matemáticas I
Los problemas de variaciones que implican
relaciones de velocidades o relaciones de trabajo
pueden confundir a la gente, como en los ejemplos
de las siguientes láminas.
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Ejemplo de variación inversa
En una casa se utilizaron 4 pintores para pintar una habitación y se
tardaron 3 horas. ¿Cuánto se tardarían 2 pintores en pintar la misma
habitación?
Cuando analizamos el problema, llegamos a la conclusión que se
trata de una relación inversa, en vez de directa, ya que mientras
más pintores tenemos, menos tiempo les tomará el trabajo.
Así, la solución correcta requiere que utilicemos una proporción
inversa, invirtiendo una de las relaciones como sigue:
4→3
2 →T
Entonces:
2 ×T = 4 × 3
Matemáticas I
4 T
=
2 3
T=
4×3
= 6 horas
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Reafirmamos que ésta es una variación inversa, ya que a más
pintores, menos tiempo, y a menos pintores, más tiempo.
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Otro ejemplo de variación inversa
Puesto que I y R varían inversamente, la ecuación para la
relación es I = V/R, o bien, V = R I, donde V es el voltaje
constante. Por tanto, 9 x 4 = V. Además, 6 x I = V.
Las cantidades iguales a una misma constante son iguales
entre sí, de modo que tenemos la siguiente igualdad:
6 × I = 9× 4
I=
Matemáticas I
La corriente que circula por un circuito eléctrico a voltaje
constante varía inversamente a la resistencia del circuito. Si
la corriente I es de 4 amperes, cuando la resistencia R es de
9 ohms, ¿cuál será la corriente cuando la resistencia es de 6
ohms?
36
= 6 amperes
6
Con un voltaje constante V, cuando la resistencia disminuye
de 9 a 6 ohms, la corriente aumenta de 4 a 6 amperes
(variación inversa).
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