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Problema 6
Escribimos los números enteros positivos en orden de modo que el 1 aparece una
vez, el 2 dos veces, el 3 tres veces y así sucesivamente. El comienzo de la sucesión es:
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,... ¿Cuántas veces aparece el dígito 9 entre los 1.998
primeros términos de la sucesión?
Solución 6:
Lo primero que tenemos que ver es hasta que número hemos usado para llegar al
término de lugar 1998. Para ello observamos que para contar los términos nos podemos
ayudar de las sucesiones:
a1 = 1, usando sólo el uno tenemos 01 término
a2 = 2, usando además el dos tenemos 03 términos
a3 = 3, usando además el tres tenemos 06 términos
a4 = 4, usando además el cuatro tenemos 10 términos
El número que buscamos será la solución de igualar 1998 a la suma de la
progresión aritmética an = n.
1 n
 n , donde n es el número que buscamos.
2
Resolviendo la ecuación que nos sale obtenemos que la solución positiva de esta
es n = 62,71. Pero como n debe de ser un número natural, el número que buscamos es el
63.
1998 
Es decir el término de lugar 1998 tiene como valor 63. Por lo tanto sólo tenemos
que ver los números naturales menores que él que contienen al nueve y sumarlos.
9 + 19 + 29 + 39 + 49 + 59 = 204
Concluimos que el 9 aparece 204 veces entre los primeros 1998 términos de
nuestra sucesión.