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Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
Presentación
En el tema 2 se presentan una serie de parámetros del AO real los cuales
no se tienen en consideración en el modelo del AO. Para analizar y diseñar
circuitos electrónicos con AO’s se crean modelos que tienen en cuenta el
efecto no deseable que producen estos parámetros en la salida de dichos
circuitos.
CUESTIONES DEL TEMA - II
1. Introducción………………………………………………………………………….……….T1
2. Ganancia de lazo abierto finito. Resistencia de entrada finita……...………………T2
3. Máxima corriente de salida. ICC (Corriente de Cortocircuito)………………………..T5
4. Corrientes de salida elevadas……………………………………………………………..T7
5. Límites de la zona lineal del AO. (Saturación)…………………………………………T10
6. Máxima velocidad de salida SR (Slew Rate)……………………………………………T13
7. Tensión Offset de entrada VIO…………………………………………………………….T20
8. Corrientes de polarización de entrada IB. Corrientes offset de entrada IIO……….T22
9. Introducción a la transformada de Laplace…………………………………………….T30
10. Diagrama de Bode…………………………………………………………………………T37
11. Trazado de las gráficas de Bode………………………………………………………..T39
12. Modelo del AO con un solo polo en alta frecuencia. Producto
ganancia – ancho de banda…………………………………………………………….T47
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0
1. Introducción
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
9 El AO real presenta ciertas desviaciones eléctricas que no se tienen en cuenta
en el modelo del AO, las cuales producen efectos indeseables en los circuitos
diseñados.
9 Hay que poner remedios para atenuar estos efectos indeseables
9 Las desviaciones del AO real las ofrecen los fabricantes
en forma de
parámetros numéricos o en forma de gráficas.
Produce elevada
resistencia de entrada
V+
V
−
Controla el ancho de banda
de la respuesta en frecuencia.
CONDENSADOR
MILLER
ETAPA
DIFERENCIAL
Produce elevada ganancia
de tensión
ETAPA
ETAPA
DE SALIDA
INTERMEDIA
V0
Produce baja resistencia
de salida
DIAGRAMA DE BLOQUES.
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1
2. Ganancia de lazo abierto finita. Resistencia de
entrada finita.
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
►La ganancia de lazo abierto del AO real no es infinita (Para el AO uA741 es
Ad=200000). Por tanto:
Vd = ( v + − v − ) =
V0
≠ 0 ⇒ v+ ≠ v−
Ad ≠ ∞
No se cumple la primera condición
del cortocircuito virtual.
La resistencia de entrada del AO no es infinita. (Para el AO uA741 es Ri = 2 MΏ.
IB =
Vd
≠0
Ri ≠ 0
No se cumple la segunda condición
del cortocircuito virtual.
R2
V-
Vs
I1
Ejemplo:
I2
R1
Ii
Vo
Ri
+
Ad (v+ -v-)
Amplificador inversor
de tensión con Ad ≠ ∞,
Ri ≠ ∞ y Ro =0.
0
V+
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0
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2
2. Ganancia de lazo abierto finita. Resistencia de
entrada finita.
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
Aplicando la ley de Kirchhoff:
I1 = Ii + I 2
⇒
Vs − v − v − v − − V0
=
+
R1
Ri
R2
⇒
⎛ R
R ⎞
R
V0 = ⎜ 1 + 2 + 2 ⎟ v − − 2 Vs
R1 R i ⎠
R1
⎝
La salida del Amplificador con v+ = 0 es:
V0 = A d ( v + − v − ) = − A d × v − ⇒ v - = −
R2
1 ⎛ R2 R2 ⎞
V0 = −
1
V
Vs
+
+
−
⎜
⎟ 0
Ad ⎝
R1 R i ⎠
R1
⎡
R2
1 ⎛ R 2 R 2 ⎞⎤
1
1
V
Vs
+
+
+
=
−
⎢
⎜
⎟⎥ 0
R1 R i ⎠ ⎦
R1
⎣ Ad ⎝
Sustituyendo:
1
V0
Ad
⎫
R
⎪
− 2
V0
R1
⎪
Avf
=
=
⎬
Vs
1 ⎛ R2 R2 ⎞
⎪
1+
1+
+
⎪
Ad ⎜⎝
R1 R i ⎟⎠
⎭
► La ganancia de lazo abierto finita y la impedancia de entrada finita reducen
ligeramente la ganancia de lazo cerrado Avf.
► Cuando Ad = Ri = ∞ (Caso Ideal)
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Avf = −
R2
R1
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Ejemplo 1:
Dado el circuito de la figura siguiente:
a) Hallar la ganancia de lazo cerrado considerando que el AO es ideal.
b) Hallar la ganancia de lazo cerrado considerando que el AO es real con Ad = 105 y
que Ri = 5x104 (R0 = 0).
R2 = 200K
Para el caso ideal:
R1 = 10K
Vs
Vo
Avf = −
R2
200
=−
= −20
R1
10
_
+
Para el caso real:
0
R2
200
−
V
R1
10
Avf = 0 =
=
= −19,996
Vs
1 ⎛ R 2 R 2 ⎞ 1 + 1 ⎛ 1 + 200 + 200 ⎞
1+
+
⎜
⎟
⎜1 +
⎟
105 ⎝
10 5 × 104 ⎠
Ad ⎝
R1 R i ⎠
−
Se comete un error del 0.02 %.
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3. Máxima corriente de salida ICC. (Corriente de
Cortocircuito)
► Los AO’s están protegidos internamente contra Corrientes de Cortocircuito.
► La Corriente de Cortocircuito es la máxima corriente ICC que puede suministrar
el AO en su salida. (ICC = 25 mA para uA741).
► Cuando se intenta sobrepasar la Corriente de Cortocircuito, el AO no se
destruye, pero la forma de onda en su salida de distorsiona. (Se deforma).
I 0 max = I CC
_
Vo
+
La Corriente de Cortocircuito limita el valor mínimo de las resistencias externas al AO.
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Ejemplo 2:
Diseñar un amplificador no inversor con una ganancia de lazo cerrado Avf = 20
utilizando un AO con una corriente de cortocircuito Icc = 25 mA., teniendo en cuenta que
la tensión de entrada es Vs = 0.6. Usar valores de resistencias tales que el amplificador
no alcance la corriente de cortocircuito.
Vs=0.6V
La salida del circuito es:
+
Vo
_
V0 = Avf × Vs = 20 × 0.6 = 12V
R2
R1
Por otro lado:
⎛ R ⎞
Avf = 20 = ⎜1 + 2 ⎟ ⇒
R1 ⎠
⎝
ICC
0
La corriente de cortocircuito es: I CC
=
V0
( R 2 + R1 )min
⇒
( R 2 + R1 )min =
Sustituyendo: (19R 1 + R 1 ) min = 20R 1(min) = 0.48 ⇒ R 1(min) =
R 2 = 19R1
V0 12
=
= 0.48K
ICC 25
0.48
=0.024K =24Ω
20
Elegimos: R1 = 100 Ώ y R2 = 19x100 =1900 Ώ = 1K9
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4. Corrientes de salida elevadas
► La gran mayoría de los AO ofrecen Corrientes de Cortocircuito pequeñas. En el
mercado existen algunos AO de potencia. (LM657 con Icc = 3 A, LM 12 con Icc = 10 A.)
► Hay formas de obtener corrientes de salida superiores a la Corriente de Cortocircuito.
(a) Caso de un amplificador de corriente unidireccional.
+VCC
Vs
ICC
+
_
-VCC
V0 ⎛ R 2 ⎞
Avf =
= ⎜1 +
⎟
Vs ⎝
R1 ⎠
βDC
I max
Vo
I max = βDC × ICC
R2
R1
0
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IC ≈ IE
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(b) Caso de un amplificador de corriente bidireccional.
+VCC
Vs
ICC
+
βDC
V0 ⎛ R 2 ⎞
Avf =
= ⎜1 +
⎟
Vs ⎝
R1 ⎠
_
I max = βDC × ICC
I max
-VCC
Vo
R2
R1
0
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Ejemplo 3:
¿Qué transistor elegiríamos en el circuito siguiente.?
Ganancia de lazo cerrado.
+VCC
+
⎛ R ⎞ ⎛ 4⎞
Avf = ⎜1 + 2 ⎟ = ⎜1 + ⎟ = 5
R1 ⎠ ⎝ 1 ⎠
⎝
ICC = 25mA
Salida del Amplificador.
_
-VCC
V0 = Avf × Vs = 5 × 2 = 10V
IC
Vo
2V
R2 =4
R1=1
0
IF
IL
RL=20
Corriente de Colector.
IC = I F + I L =
10 10
+
= 2,5A
5 20
Ganancia de corriente del
Transistor..
0
0
βDC (min) =
IC
2,5A
=
= 100
ICC 25ma
Elegimos un Transistor con un βDC = 120, por cuestiones de seguridad.
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5. Limites de la zona lineal del AO. (Saturación).
► La zona lineal de la curva de transferencia de un AO está limitada a unos valores de
salidas máximos llamados tensiones de saturación, que nombramos como + VSAT y
– VSAT. La tensión de saturación del AO suele ser un voltio inferior a la tensión de
alimentación.
Zona de saturación
V0
positiva
+ VCC = 15V
+ VSAT = 14V
Zona Lineal
Pendiente = A d
Vd
Zona de saturación
negativa
−VSAT = −14V
− VCC = −15V
► Si se excede la zona lineal la salida del amplificador se distorsiona.
► Hay circuitos, como los multivibradores, que trabajan en las zonas de saturación.
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Ejemplo 4:
Dado el circuito de la figura, dibujar la forma de onda de salida teniendo en cuenta los
límites de la zona lineal del AO.
R2
0
9K
- 15V
-
R1
1k
Vo
+
VS = 2sen(100π)t
.
+ 15V
El circuito realimentado es un amplificador no inversor en el cual:
Avf =
V0 ⎛ 9 ⎞
= ⎜1 + ⎟ = 10 ⇒ V0 = A vf VS = 20sen (100πt )
VS ⎝ 1 ⎠
El AO se satura a ± VCC = ± 14 V.
Calculo del periodo de la onda de salida:
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ω = 2πf = 100π ⇒ f=
100π
1 1
= 50 Hz ⇒ T= =
= 0.02 sg=20 ms
2π
f 50
Calculo del instante en que se produce la saturación.
⎛ 14 ⎞
sen -1 ⎜ ⎟
14
⎛ 14 ⎞
⎝ 20 ⎠ = 2.47msg
⇒ (100πt)=sen -1 ⎜ ⎟ ⇒ t=
14 = 20sen(100πt) ⇒ sen(100πt) =
20
100π
⎝ 20 ⎠
V0
Calculadora en rad/seg.
20
Salida Ideal
14
0
2, 47
20
10
t(msg)
Salida Distorsionada
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6. Máxima velocidad de salida SR (Slew Rate).
► La SR de un AO es la máxima velocidad con que puede variar la tensión Vo en
su salida. Si la velocidad de salida del AO sobrepasa la SR, la salida de éste se
distorsiona.
► La máxima velocidad de salida se expresa en V/μsg (Para el LM741 es 0.5 V/μsg.).
a) Efecto producido por el SR sobre señales en forma de pulsos:
Ejemplo 5:
Dado el amplificador de la figura se pide trazar la forma de onda de salida
sabiendo que la señal de entrada es un pulso como el mostrado en dicha figura
y que la SR = 0.5 V/μsg
VS
Vs
+
Vo
_
0.2
27K
3K
0
10
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20
t(μsg)
0
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6. Máxima velocidad de salida SR (Slew Rate).
Se trata de un amplificador no inversor en el cual:
A vf =
V0 ⎛ 27 ⎞
= ⎜1 + ⎟ = 10 ⇒ V0 = A vf VS = 10 × 0.2 = 2V
VS ⎝
3 ⎠
Si el AO fuera ideal los flancos de subida y bajada del pulso de salida serían verticales.
Debido a la SR estos flancos serán inclinados y tardarán un tiempo “t” en ancanzar la
máxima amplitud.
V0 = SR × t ⇒ t=
V0
2
=
= 4 μsg
SR 0.5
Salida Ideal
Salida Distorsionada
2V
0
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10 14
20 24
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t(μsg)
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Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
6. Máxima velocidad de salida SR (Slew Rate).
b) Efecto producido por la SR sobre señales senoidales:
► Para que no se produzca distorsión se requiere que la máxima velocidad de variación
de la onda senoidal de salida del circuito sea menor que la SR del AO.
► La máxima velocidad de variación en una onda senoidal se produce cuando esta pasa
por cero, es decir:
v max =
dV0
dt
t =0
Para una onda senoidal de salida
V0 (t) = Asen ( 2πf ) t
⇒ v max
dV
= 0
dt
=
d ⎡⎣ Asen ( 2πf ) t ⎤⎦
t =0
dt
= 2πfA
t =0
La velocidad de variación máxima de una onda senoidai depende de la frecuencia “f” y de
la amplitud “A”.
La velocidad de variación máxima de una onda senoidai se representa por una línea
inclinada que parte del origen de la onda con una pendiente igual a vmax.
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Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
V0
Pendiente = v max
6. Máxima velocidad de salida SR (Slew Rate).
► Para que no se produzca
distorsión ha de cumplirse que
A
SR ≥ v max
t
SRmin=Vmax
► A frecuencia constante, la amplitud máxima sin distorsión es:
► Para una amplitud constante, la frecuencia máxima
(Ancho de Banda de máxima Potencia) sin distorsión es:
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A max
f max
SR
=
2πf
SR
=
2πA
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Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
6. Máxima velocidad de salida SR (Slew Rate).
En la figura siguiente se representa una onda senoidal distorsionada a consecuencia
de la SR.
V0
Vmax
SR < Vmax
Onda distorcionada
t
Onda ideal
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Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
Ejemplo 6:
Un amplificador requiere mostrar en su salida una onda senoidal con 10 V. de pico a una
frecuencia de 20 K Hz
[a ] ¿ Cual es el SR mínimo del AO para que dicha onda no presente distorsión ?.
[b] ¿ Será valido el AO 741 para esta aplicación (S = 0.5 V/u sg)?
[c] Si utilizamos el 741, ¿Cuál será el Ancho de Banda de máxima Potencia si la amplitud
de la onda de salida es 10 V.?
a) Para esta salida:
SR min = Vmax = 2πfA = 2π2 × 104 × 10 = 1256637,061 V/sg 1,26 V/μsg
b) El AO 741 no es valido para esta aplicación, puesto que posee una SR menor que
el valor mínimo requerido en el enunciado.
c) Para un SR = 0.5 V/μseg:
f max
SR 0.5V / μseg 0.5 × 106 V / seg
=
=
=
= 7957,77 Hz
2πA
2π10
2π10
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Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
7.Tensión Offset de entrada VIO.
Si unimos a masa los dos terminales de entrada de un AO real aparecerá una pequeña
tensión continua en su salida, llamada Tensión offset de salida V00.
+
_
Voo
0
Los fabricantes proporcionan otro parámetro llamado tensión offset de entrada VI0, que
se define como la tensión DC diferencial de entrada que produce en la salida del AO una
tensión cero, sin aplicar señales externas en las entradas.
+
VIO
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_
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Vo=0
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Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
7.Tensión Offset de entrada VIO.
Modelo del AO teniendo en cuenta la tensión offset de entrada:
VIO
v+
+
Vo
_
v-
La tensión offset de entrada produce en la salida del amplificador una pequeña tensión
DC indeseable, que hay que reducirla o eliminarla.
Los fabricantes de AO’s suelen proporcionar medios para contrarrestar este efecto.
+
_741
2
1 10K
Sin señal de entrada se ajusta el
potenciómetro hasta que en la salida
haya cero voltios.
Pot. multivuelta
-VCC
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Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
Ejemplo 7:
Hallar el efecto que produce una tensión de offset de entrada de 5 mV sobre la salida
del siguiente amplificador.
990K
_
Vs
10K
Vo
Utilizamos el modelo del AO teniendo
en cuenta la tensión offset de entrada
VIO y eliminamos la señal de entrada
Vs.
+
El resultado es un amplificador no
inversor en el cual:
0
990K
⎛ 990 ⎞
2
−3
V0( DC ) = ⎜1 +
⎟ VIO = 10 × 5 × 10 = 0.5 VDC
10 ⎠
⎝
10K
_
+
VIO=5mV
0
Vo
Se genera en la salida una tensión
continua de 0.5 V.
0
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Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
8. Corrientes de polarización de entrada IB. Corrientes
de offset de entrada IIO.
► Si conectamos a masa los dos termínales de entrada de un AO real circulan por
ellos unas corrientes continuas de polarización IB1 e IB2.
IB1
+
_
Vo
IB2
0
0
Los fabricantes proporcionan dos parámetros que relacionan estas corrientes.
[a] Corriente de polarización de entrada IB.
Se define como:
IB =
I B1 + I B2
2
[b] Corriente de offset de entrada II0.
Se define como:
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I IO = I B1 − I B2
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8. Corrientes de polarización de entrada IB. Corrientes
de offset de entrada IIO.
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
Manipulando ambas ecuaciones:
2I B = I B1 + I B2 ⎫ I B1 = I B + 0.5I IO
⎬
I IO = I B1 − I B2 ⎭ I = I − 0.5I
B2
B
IO
Estas corrientes producen en la salida del amplificador una pequeña tensión DC
indeseable que hay que corregir.
Modelo del AO teniendo en cuenta la corriente de polarización de entrada y la corriente de
offset de entrada:
IB
v+
+
0.5IIO
_
v-
Vo
IB
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23
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
8. Corrientes de polarización de entrada IB. Corrientes
de offset de entrada IIO.
Este modelo podemos descomponerlo en dos para poder analizar por separado el
efecto producido en la salida del amplificador por la corriente de polarización de entrada
y la corriente de offset de entrada.
IB
v+
+
_
v-
Vo
IB
Modelo que solo tiene en cuenta las corrientes de polarización de
entrada.
v+
+
0.5IIO
v-
_
Vo
Modelo que solo tiene en cuenta la corriente de offset de entrada.
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24
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
8. Corrientes de polarización de entrada IB. Corrientes
de offset de entrada IIO.
Una forma de corregir el efecto que producen las corrientes continuas de polarización
IB1 e IB2 es colocar una resistencia RX en serie con el terminal no inversor del AO
R2
+
IB1
_
vv+
Vo
⎧ +
−
⎪v = v = 0
⎪
a) IB1 = 0 ⎨ La corriente I B2 solo circula por R 2
⎪
⎪⎩V02 = I B 2 × R 2
Rx
0
Aplicando el teorema de superposición
a las fuentes IB1 e IB2:
IB2
R1
0
b) IB2 = 0
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⎧
⎪
⎪Se trata de un amplificador no inversor.
⎪ +
⎨ v = − I B1 × R X
⎪
⎪V = ⎛1 + R 2 ⎞ v + = − ⎛ R1 + R 2 ⎞ I × R
⎟ B1
⎟
⎜
X
⎪⎩ 01 ⎜⎝
R1 ⎠
R
⎝
⎠
1
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25
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
8. Corrientes de polarización de entrada IB. Corrientes
de offset de entrada IIO.
► Superponiendo V01 y V02 obtenemos el voltaje continuo indeseado que
aparece en la salida del amplificador debido a las corrientes continuas de entrada
del AO.
⎛ R + R2 ⎞
V0 = V02 + V01 = I B2 × R 2 − ⎜ 1
⎟ I B1 × R X
⎝ R1 ⎠
►Si, como ocurre en la realidad, hacemos IB1 ≈ IB2 = I, podemos obtener el valor de RX
que hace que la tensión indeseada de salida sea cero:
0 = I× R2 −
R1 + R 2
× I × R X = R 1R 2 − ( R 1 + R 2 ) R X
R1
⇒
RX =
R1 × R 2
R1 + R 2
Para minimizar el efecto que producen las corrientes continuas de entrada sobre la
salida del AO se coloca una resistencia RX, en serie con el terminal no inversor, igual
a R1 en paralelo con R2.
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26
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
Ejemplo 8:
Estudiar el efecto que produce una corriente de offset de entrada II0 = 0.2 mA
sobre la tensión de salida de un amplificador no inversor con R2 = 2 K y R1 = 1 K.
R2=2K
Cortocircuitamos las fuentes
externas del amplificador.
R1=1K
v+
0
0
+
0.5II0
_
v-
Vo
Al ser v+ = v- = 0, no circula corriente por R1 y toda la
corriente de la fuente 0.5II0 pasará por R2, con lo cual:
V0 = −0.5 × I I0 × R 2 = −0.5 × 0.2 × 2 = −0.2V
El efecto producido es la aparición de una tensión continua de -0.2 V en la salida del
amplificador.
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27
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
Ejemplo 9:
Determinar el efecto que produce una corriente continua de polarización de 80 uA en el
circuito de la figura siguiente. Repetir los cálculos para el caso de colocar la resistencia
compensadora Rx.
Vs
+
Vo
_
R2=10K
R1=1K
0
a) Incluimos las fuentes de corriente que modelan las corrientes de polarización de
entrada y anulamos la señal externa VS.
IB1
v+
v-
IB2
+
_
Vo
Al ser v+ = v- = 0 no pasa corriente
por R1 y:
R2=10K
R1=1K
0
V0 = I B R 2 = 0.08 × 10 = 0.8 V
0
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28
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
b) Si colocamos la resistencia compensadora:
IB1
v+
IB2
v-
RX =
+
Vo
_
R 1R 2
10
=
R1 + R 2 11
Por el teorema de Superposición:
R2=10K
Rx
► IB1 = 0 tenemos v+ = 0 y:
R1=1K
0
V02 = I B R 2 = 0.08 × 10 = 0.8 V
0
► IB2 = 0 tenemos estamos en el caso de un amplificador no inversor con entrada:
v + = −I B1R X = −0.08
10
0.8
=−
V
11
11
⎛ R ⎞
0.8
⎛ 10 ⎞ 0.8
= −11
= 0.8 V
V01 = ⎜ 1 + 2 ⎟ v + = − ⎜1 + ⎟
R1 ⎠
1 ⎠ 11
11
⎝
⎝
Por tanto:
V0 = V01 + V02 = 0.8 − 0.8 = 0 V
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29
9. Introducción a la Transformada de laplace
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
La transformada de Laplace es un método matemático que nos permite transformar
funciones de la variable tiempo en funciones algebraicas de la variable compleja s.
Función de la
variable tiempo "t" f(t)
TRASFORMADA
DE LAPLACE
Función de la variable
compleja "s" F(s)
La ecuación de transformación es:
F ( s ) = ∫ f ( t ) e − st d(t )
t
0
Ejemplo 10:
Hallar la Transformada de Laplace F(s) de la función exponencial f(t) = e-at.
F(s) = ∫ e e dt = ∫ e −( s+a ) dt =
t
0
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− st − at
0
0
1
s+a
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30
9. Introducción a la Transformada de laplace
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
Notación de una variable compleja:
s = a + jb
Componente compleja.
Componente real.
Una variable compleja se representa mediante un vector:
Im ag.
s
b
M
ϑ
a
Módulo:
M = s = a 2 + b 2 ⇒ M dB = 20log a 2 + b 2
Ángulo de fase:
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Real
⎛b⎞
ϑ = ∠s = tag −1 ⎜ ⎟
⎝a⎠
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31
9. Introducción a la Transformada de laplace
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
Un circuito electrónico se analiza en el dominio de Laplace sustituyendo:
i(t) por I(s)
v(t) por V(s)
L
por sL
C
por
1
sC
por R
R
Una ganancia o función de transferencia expresada en el dominio de Laplace se le llama
ganancia compleja o función de transferencia compleja:
Ejemplo 11:
Halar la función de transferencia compleja de la siguiente red de retrazo de fase:
R
+
Ve(t)
C
_
+
Vo(t)
_
0
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32
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
Pasamos el circuito al dominio de Laplace.
R
+
Ve(s)
1/sC
_
+
Vo(s)
_
0
La función de transferencia compleja la obtenemos aplicando el Teorema del reparto
proporcional al circuito.
1
sC
V0 (s)
1
Av(s) =
=
=
⇒ V0 ( s ) = Av ( s ) × Ve ( s )
1
Ve (s)
1
s
C
+
R
+R
sC
1
V0 ( s ) =
× Ve ( s )
1 + sRC
Gerardo Maestre
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33
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
9. Introducción a la Transformada de laplace
Una función de transferencia compleja podemos factorizarla:
Av(s) =
5s + 15
5(s + 3)
=
s 2 + 3s + 2 (s + 1)(s + 2)
► Ceros son los valores del polinomio numerador que hacen cero a la función de
transferencia z1 = -3.
► Polos son los valores del polinomio denominador que hacen infinito a la función de
transferencia p1 = -1 y p2 = -2.
Si en una función de transferencia compleja sustituimos s = jω obtenemos la
correspondiente función de transferencia en alta frecuencia.
Av( jω) =
Gerardo Maestre
5( jω + 3)
( jω + 1)( jω + 2)
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34
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
Ejemplo 12:
Obtener la función de transferencia en alta frecuencia del siguiente circuito.
Z(s)
1/sC
Hallamos la impedancia Z(s).
R2
_
Vi(s)
R1
Vo(s)
+
0
1
× R2
R2
=
Z(s) = sC
1
+ R 2 (1 + sR 2 C )
sC
Hallamos la función de transferencia compleja.
R2
R
− 2
Vo ( s )
Z ( s ) 1 + sR 2 C
R1
=−
−
=
Avf (s) =
Vi ( s )
R1
R1
(1 + sR 2C )
Gerardo Maestre
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35
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
Obtenemos la función de transferencia en alta frecuencia:
R2
R1
-Avf
-Avf
Avf ( jω) =
=
⇒ Avf ( jf ) =
⎛
(1 + jωR 2C ) ⎛ ω ⎞
f ⎞
1+j
⎟
⎜⎜ 1+j ⎟⎟
⎜
f
ω
⎝
P ⎠
p ⎠
⎝
−
Un polo.
ωp = 2πf =
Llamamos:
1
R 2C
( Rad / seg )
Avf ( jω) , Avf ( jf ) = Función de t ransferencia en alta frecuencia.
Avf = −
R2
= Función de t ransferencia en baja frecuencia.
R1
ω = Cualquier frecuencia entre cero e infinito.
ωp = Frecuencia del polo de la función de transferencia en alta frecuencia .
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36
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
10. Diagrama de Bode.
El Diagrama de Bode es un conjunto de dos gráficas.
► El módulo de la función de transferencia en alta frecuencia expresado en decibelios.
► Angulo de la función de transferencia en alta frecuencia expresado en grados.
Ambas gráficas se representan en función de la frecuencia en escala logarítmica y en
décadas. (Solo nos centraremos en la gráfica del módulo).
Se dice que dos frecuencias f2 > f1 están separadas por una década cuando se
cumple que:
f
2
f1
log(0.01)
log(0.1)
= 10
log(1)
−2
−1
0
10−2
10−1
100
Gerardo Maestre
log(10)
log(100)
log(1000)
1
2
3
101
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102
1K
37
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
10. Diagrama de Bode.
Ejes de la gráfica del módulo de Bode.
Módulo(dB)
Escala lineal en dB.
60
Escala logarítmica
en decadas
40
20
0
10−1
100
101
102
103
Frecuencia
(rad/seg), (Hz)
−20
Gerardo Maestre
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38
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
11. Trazado de las gráficas de Bode.
a) Trazado de la gráfica del módulo de una función de transferencia en
alta frecuencia con un solo polo cuya frecuencia es ωp = 10 rad/seg.
Avf ( jω) =
1
ω⎞
⎛
1
j
+
⎜
⎟
10 ⎠
⎝
El módulo es:
Avf ( jω) =
1
⎛ω⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠
2
El módulo en decibelios es:
Avf ( jω) dB
⎛ω⎞
= 20log
= −20log 1 + ⎜ ⎟
2
⎝ 10 ⎠
⎛ω⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠
1
2
Dando valores a ω (rad/seg) obtenemos la siguiente tabla de módulos en dB.
Gerardo Maestre
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39
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
ω
11. Trazado de gráficas de Bode. Bode.
Valor aproximado
Valor real del módulo
10−1
−0.00043 dB
0 dB
100
−0.043 dB
0 dB
101
−3.01 dB
-3 dB
102
−20.04 dB
-20 dB
103
−40.0004 dB
-40 dB
Aproximada
dB
Real
0
−3
Pendiente
-20 dB/dec.
−20
ω (rad/seg)
−40
10
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−1
10
0
1
10
ωp
10
2
10
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3
40
11. Trazado de gráficas de Bode. Bode.
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
b) Trazado de la gráfica del módulo de una función de transferencia en
alta frecuencia igual a una constante K.
Avf ( jω) = K
Avf ( jω) = K
Avf ( jω) dB = 20log K ⇒ es un valor constante.
dB
20logK
ω (rad/seg)
0
10−1
100
101
102
103
Si una función de transferencia contiene varios polos y una ganancia, sus curvas
de módulo se suman, puesto que están expresados en escala logarítmica.
Gerardo Maestre
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41
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
Ejemplo 13:
Dado la red eléctrica de atraso de fase, se pide.
a) Trazar el diagrama del módulo de bode aproximado.
b) Hallar la frecuencia correspondiente a un valor del módulo igual a – 30 dB.
R
o
o
+
Vi
10 K
+
C
1 uF
Vo
o
o
0
Función de transferencia compleja: Av(s) =
La frecuencia del polo es:
Gerardo Maestre
ωp =
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1
sC
V0 (s)
1
=
=
1
Vi(s)
+ R (1 + sRC )
sC
1
1
2
10
rad/seg
= 4
=
−6
RC 10 × 10
42
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
dB
0
−20
-20 dB/dec.
-30
−40
rad/seg
10−1
100
101
ωp
10
2
10
3
ωX
Por trigonometría en el triángulo subrayado:
20 =
10
10
=
log103 − log ωX 3-logωX
3 − log ωX =
10
= 0.5
20
ωX = log −1 ( 3 − 0.5 ) = 316,23 rad/seg
Gerardo Maestre
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43
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
Ejemplo 14:
Trazar el diagrama de Bode de un AO que tiene la siguiente función de transferencia
de lazo abierto en alta frecuencia:
Av( jω) =
10
ω⎞
⎛
⎜1 + j ⎟
10 ⎠
⎝
= 10 ×
1
ω⎞
⎛
⎜1 + j ⎟
10 ⎠
⎝
Un polo.
Una ganancia.
Al expresar el módulo de esta función de transferencia en decibelios, el producto se
convierte en suma.
En la figura siguiente se traza el Bode de la ganancia, 20log10 = 20 dB, el Bode del polo
cuya frecuencia es ωp = 10 rad/seg. y el Bode resultante de sumar ambas gráficas.
Gerardo Maestre
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44
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
dB
GANANCIA
20
0
10
−1
10
0
1
10
ωp
102
-20 dB/dec.
L
TA
TO
−20
10
rad/seg
3
PO
LO
−40
Ejemplo 15:
Trazar el diagrama de Bode de un AO que tiene la siguiente función de transferencia
de lazo abierto en alta frecuencia:
Gerardo Maestre
Universidad de Huelva
45
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
105
Av( jω) =
ω ⎞⎛
ω ⎞⎛
ω ⎞
⎛
1
j
1
j
1
j
+
+
+
⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟
103 ⎠⎝
104 ⎠⎝
105 ⎠
⎝
Trazamos una línea horizontal con altura 20log105 = 100 dB hasta el primer polo, entre en
primer polo y el segundo una línea inclinada con pendiente -20 dB/dec., entre el segundo y
tercer polo una línea con -40 dB/dec y a partir del tercer polo una línea con -60 dB/dec.
dB
100
−20dB / dec.
80
−40dB / dec.
60
40
−60dB / dec.
20
rad/seg
0
1
10
−20
Gerardo Maestre
10
2
1K
ωp1
10K
ωp2
100K
ωp3
Universidad de Huelva
1M
46
12. Modelo del AO con un solo polo en alta frecuencia
Producto ganancia – ancho de banda.
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
Modelo del AO con un solo polo en alta frecuencia.
R
Ro
v+
Vo
+
Ri
Vd
v-
-
+
+
C
1xVd
_
Vc
+
AdxVc
-
-
0
0
La etapa intermedia contiene una red de atraso de fase que genera un polo en la función
de transferencia del AO:
1
Ad
V0 ( s ) = A d Vc ( s ) = A d sC Vd ( s ) =
Vd ( s )
1
1
+
sRC
(
)
+R
sC
La función de transferencia compleja de lazo abierto del AO es:
AV (s ) =
V0 ( s )
Vd ( s )
Gerardo Maestre
=
Ad
Ad
=
(1 + sRC ) ⎛ s ⎞
⎜⎜1 +
⎟⎟
ω
p ⎠
⎝
Siendo:
Universidad de Huelva
ωp =
1
RC
47
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
12. Modelo del AO con un solo polo en alta frecuencia
Producto ganancia – ancho de banda.
Trazado el Bode del AO:
dB
ωp = frecuencia del polo (ANCHO DE BANDA).
20log(A d )
ωτ = FRECUENCIA DE GANANCIA UNIDAD.
−20dB / dec
20log (1) = 0
ωτ
ωp
rad / seg
En el triángulo subrayado:
20 =
20log ( A d )
log ( ωτ ) − log(ωp )
Gerardo Maestre
=
20log ( A d )
⎛ ωτ ⎞
log ⎜ ⎟
⎜ω ⎟
⎝ p⎠
⎧
⎛ ωτ ⎞
ωτ
= Ad
⎪20log ⎜⎜ ⎟⎟ = 20log ( A d ) ⇒
ω
ω
⎨
p
⎝ p⎠
⎪
⎩ ωτ = A d ωp
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48
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
12. Modelo del AO con un solo polo en alta frecuencia
Producto ganancia – ancho de banda.
La frecuencia de ganancia unidad es igual al producto de la ganancia por el ancho de
banda. En las hojas de datos de los fabricantes suele aparecer como GBW.
Esta afirmación también se cumple para cualquier otra frecuencia ωX, distinta a ωp, a la
que le corresponde la ganancia AX
dB
−20dB / dec
20log ( A X )
20log (1) = 0
20 =
20log ( A X )
log ( ωτ ) − log(ωX )
Gerardo Maestre
ωX
=
ωτ
20log ( A X )
⎛ω ⎞
log ⎜ τ ⎟
⎝ ωX ⎠
rad / seg
⎧
⎛ ωτ ⎞
ωτ
=
⇒
= AX
20log
A
(
)
⎪20log ⎜
⎟
X
ω
ω
⎨
⎝ X⎠
X
⎪ ω =A ω
⎩ τ
X X
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49
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
Ejemplo 16:
El amplificador realimentado de la figura utiliza un AO con Ad = 105,
ωτ = 1 M Hz y un ancho de banda de 10 Hz.. Se pide:
„ Trazar el diagrama de Bode del AO y del amplificador
realimentado, usando el concepto del producto de la ganancia
por el ancho de banda.
¿Qué se observa?
147K
0
3K
_
Vi(s)
Vo(s)
+
†
La ganancia de lazo abierto del AO, en dB, es:
20log (105 ) = 100 dB
La ganancia de lazo cerrado del amplificador realimentado es:
Gerardo Maestre
Universidad de Huelva
50
Tema 2: El Amplificador Operacional Real.
⎛ 147 ⎞
Avf = ⎜ 1 +
⎟ = 50 ⇒ 20log ( 50 ) = 33.98 dB
3 ⎠
⎝
Teniendo en cuenta el principio del producto de la ganancia por el ancho de banda,
para el amplificador realimentado tenemos:
⎧105 = 50ωX
⎪
ωτ = A X ω X ⎨
105
= 20K
⎪ωX =
50
⎩
dB
20log(105 ) = 100
80
−20dB / dec
60
20log(50) = 33.98
40
20
0
10
−1
Hz
10
0
10
ωp
10
2
1K
10K 100K
ωX = 20K
1M
ωτ
Se observa que al realimentar el AO la ganancia ha disminuido desde 105 hasta 50 y
que el ancho de banda ha aumentado desde 10 Hz hasta 20 K Hz.
Gerardo Maestre
Universidad de Huelva
51