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Profesor: Iván Acal Alvarado
Trabajo: Triángulos y sus generalidades
Grado: 6
Grupo: C
INTEGRANTES DEL EQUIPO:
1: Borjes Nolasco Diana
2: Callejas Álvarez Areli
3: García Grimaldo Micaela Sarahi
4: Gonzales Vargas Mayte
5: Hernández López Lorena
6: Hernández Ramos Marisela
Turno: Matutino
TRIANGULOS Y SUS GENERALIDADES.
Es la porción de plano limitado por tres rectas que se cortan. Los triángulos tienen
tres elementos: 3 ángulos, 3 lados y 3 vértices. Se llama perímetro de un triangulo
a la suma de sus tres lados.
El triángulo es el polígono de menor número de lados, y a pesar de ello es el más
importante, tanto por la gran cantidad de construcciones que se pueden plantear,
como por tratarse de la figura que servirá de base para la construcción de otras
más complejas, tanto planas como espaciales.
Se define como la porción de plano delimitada por tres rectas que se cortan dos a
dos, o como la porción común de tres semiplanos pertenecientes a un mismo
plano.
En la figura siguiente se puede apreciar la nomenclatura a utilizar, para designar
los diferentes elementos de un triángulo.
Los vértices se designarán mediante letras mayúsculas, y los ángulos
correspondientes, mediante la misma letra mayúscula, pero con acento circunflejo,
o un pequeño ángulo sobre la letra. Los lados se designarán mediante la misma
letra del vértice opuesto, pero en minúscula.
El orden de las letras será el inverso a las agujas del reloj, y cuando se trate de
triángulos rectángulos, la hipotenusa se designará con la letra "a".
Los triángulos se clasifican en función de la longitud de sus lados, o del valor
de sus tres ángulos internos.
Teniendo en cuenta la longitud de sus lados, los triángulos se denominan:
Equiláteros si tienen sus tres lados iguales, Isósceles si tienen dos lados iguales y
uno desigual, y Escalenos si tienen los tres lados desiguales.
Teniendo en cuenta el valor de sus tres ángulos internos, los triángunos se
denominan: Acutángulos si tienen sus tres ángulos agudos, Rectángulos si tienen
un ángulo recto, y obtusángulos si tienen un ángulo obstuso.
PROPIEDADES.
1. Los ángulos interiores de un triángulo, siempre suman 180º.
Como consecuencia de esta propiedad, se cumple que:
-Un triángulo no puede tener más de un ángulo obtuso o recto.
-En un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos suman 90º.
-Un ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de los otros dos ángulos
interiores no adyacentes.
2. Cualquier lado de un triángulo, es menor que la suma de los otros dos, y mayor
que su diferencia.
3. En todo triángulo, a lados iguales se oponen ángulos iguales.
4. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es mayor que cualquiera de los
catetos.
5. Si los tres lados de un triángulo son iguales, y por consiguiente sus ángulos, el
triángulo es regular, y se denomina equilátero.
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIANGULO
Los puntos notables de un triángulo, son los puntos de intersección de las rectas
llamados: Bisectriz, Mediatriz, Alturas, y Medianas de un Triángulo.
INCENTRO: Es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos
interiores de un triángulo; Es el centro de la circunferencia inscrito en un triángulo.
BISECTRIZ DEL ÁNGULO: Es la semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos
congruentes ó iguales.
CIRCUNCENTRO: Es el punto de intersección de las mediatrices de los lados de
un triángulo.
MEDIATRIZ: Es la perpendicular trazada en el punto medio de cada lado del
triángulo.
ORTOCENTRO: Es el punto donde se cortan las tres alturas del triángulo
ALTURA DEL TRIÁNGULO: Es el segmento de recta perpendicular trazada desde
un vértice, al lado opuesto; Hay tres alturas, una correspondiente a cada lado.
GRAVICENTRO, BARICENTRO ó CENTRO DE GRAVEDAD: Es el punto donde
se cortan las medianas, es decir, el punto donde está aplicado todo el peso de un
cuerpo triangular.
MEDIANA: Es el segmento trazado desde un vértice al punto medio del lado
opuesto; Es el segmento de recta que une a un vértice con el punto medio del lado
opuesto.
Igualdad de triángulos.
En el desarrollo del tema, vamos a estudiar dos maneras de relacionar dos (o
más) Triángulos. En este apartado, estudiamos la primera de ellas: la igualdad de
triángulos. Este Es un concepto completamente natural e intuitivo. De manera
informal, podemos decir que dos triángulos son iguales si “podemos superponer
uno sobre el otro”1 obteniéndosefiguras coincidentes. En términos de los
elementos que componen un triangulo, este concepto puede expresarse de la
siguiente forma:
Definición. Dos triángulos son iguales si tienen los lados y los ´ángulos iguales dos
a dos. Si
Dostriángulos ABC y A0B0C0 son iguales, escribiremos ABC = A0B0C0.
Ejemplo. Sea ABCD un paralelogramo en el que trazamos una de sus diagonales:
AB
DC
Veamos que los triángulos ADC y ABC son iguales. Atendiendo a la definición,
debemos Comprobar que los lados y los ´ángulos coinciden dos a dos. En primer
lugar, el lado AC es común a ambos triángulos. Por otra parte, por ser ABCD un
paralelogramo, los lados paralelos son iguales dos a dos; esto revela que DC (en
ADC) = AB (en ABC) AD (en ADC) = BC (en ABC)
Tenemos, así, la igualdad de los lados. A continuación, demostramos la igualdad
entre ´ángulos.
Por ser ABCD un paralelogramo, los ´ángulos opuestos son iguales; esto permite
afirmar Que ˆD = ˆB (o, si se prefiere, < ADC =< ABC). Para los otros ´ángulos,
obsérvese que los lados AD y BC son paralelos y la diagonal AC corta a ambos;
por la propiedad de ´ángulos 1La frase “podemos superponer uno sobre el otro” o
“llevar uno sobre el otro” puede expresarse en Geometría de forma más rigurosa
diciendo que existe un movimiento rígido del plano que transforma un triangulo en
el otro. Dado que no estudiaremos el concepto de movimiento rígido en el plano,
Teoremas de triángulos
Cuando estudiamos los dos teoremas relativos a los puntos medios de los lados
de un triángulo, estamos considerando no solo los puntos medios de dos lados del
triángulo, sino también la recta que los une.
Estos teoremas nos permitirán demostrar que un punto cualquiera es o no el punto
medio de un segmento, o si dos rectas son paralelas o no.
I. La recta que une los puntos medios de los lados de un triángulo
1. Teorema 1
En un triángulo , la recta que pasa a través de los puntos medios B' en AC y C' en
AB es paralela al tercer lado del triángulo (BC). Además, la longitud de B'C' es
exactamente la mitad de la longitud de BC.
En un triángulo , la recta que pasa a través de los puntos medios B' en AC y C' en
AB es paralela al tercer lado del triángulo (BC). Además, la longitud de B'C' es
exactamente la mitad de la longitud de BC.
Nota: la recta B'C' se denomina recta de los puntos medios del triángulo .
2. Ejemplo
Enunciado: es un triángulo. A' es el punto medio del lado BC, B' el punto medio
de AC y C' el punto medio de AB. Queremos demostrar que el cuadrilátero
AB'A'C' es un paralelogramo.
Demostración: el segmento A'B' pasa a través de los puntos medios de BC y
AC. Por lo tanto, es paralelo al lado AB. Por la misma razón, A'C' es paralelo al
lado AC. Dado que el cuadrilátero AB'A'C' tiene dos pares de lados paralelos,
es un paralelogramo.
3. Una aplicación del teorema 1: un problema de alineamiento
Enunciado: ABCD es un trapecio con bases AB y CD. Por otra parte, I, J, K y L
son los puntos medios de los segmentos AD, BC, AC y BD respectivamente.
Queremos demostrar que los cuatro puntos I, J, K y L están alineados.
Demostración: en el triángulo, el segmento IL une los puntos medios de los
lados AD y BD, por lo tanto, el segmento IL es paralelo a AB. Por el mismo
motivo, en el triángulo, el segmento JL es paralelo a DC y por consiguiente
también a AB. Ambos segmentos IL y JL son paralelos a AB; y tienen un punto
en común: L. A partir de aquí podemos deducir que forman una línea continua.
Esto demuestra que I, L y J están alineados.
Analizando los triángulos y con el mismo criterio, podemos también demostrar
que los puntos K, I y J están alineados. En conclusión, los puntos I, J, K y L
están en la misma recta, IJ; por lo tanto, están alineados. II. La recta que pasa
a través del punto medio de un lado y es paralela a uno de los lados del
triángulo
1. Teorema 2
En un triángulo, la recta que pasa a través del punto medio B' del lado AC y
es paralela al lado AB, pasa a través del punto medio C' del tercer lado, BC.
Por supuesto, podemos observar otra vez que:
B'C' = y AB.
2. Ejemplo
Enunciado: en la figura 5, tenemos que AI = € AB y D es un punto
simétrico a B, respecto de C. Trazamos una recta paralela a DI que pase
por C, y que cortará a AB en J. Queremos demostrar que J es el punto
medio del segmento IB y que AI = IJ = JB.
Demostración: primero, observamos que IB = ’ AB. Como sabemos que AI
= € AB, despejando, AB = 3AI. Sustituyendo:
IB = ’ · 3 · AI.
Por lo tanto, IB = 2AI y C es el punto medio de BD. Imaginemos ahora el
triángulo. La línea CJ pasa por el punto medio del lado BD y es paralela al
lado DI. El teorema 2 nos permite confirmar que esta línea corta al tercer
lado en su punto medio. Por consiguiente, J es el punto medio del
segmento IB y podemos deducir que IJ = JB = y IB. Puesto que IB = 2AI,
sabemos que: AI = y IB = IJ = JB.