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PROBLEMAS RESUELTOS TEMA: 5 1.­ Dos masas puntuales m1 y m2 están separadas por una barra sin masa de longitud L: a) Deducir una expresión para el momento de inercia del sistema respecto a un eje perpendicular a la barra que pasa a través de ésta por un punto situado a la distancia x1 de la masa m1. b) Calcular dI/dx y demostrar que es mínimo cuando el eje pasa por el centro de masas del sistema. a)
2
b)
2
2
Condición de mínimo:
0
2
2
0
que es la coordenada del centro de masas si se toma el origen en m1. Esto es, x1 = 0 y x2 = L, con lo
cual resulta:
Es decir, si el eje de giro pasa por el centro de masas entonces el momento de inercia es mínimo.
2. Calcular el momento de inercia de un disco homogéneo de masa M y radio R con respecto a: a) Un eje perpendicular que pase por su centro. b) Un eje perpendicular que pase por el borde. c) Un eje que coincida con un diámetro a) Por simetría, como elemento de volumen usaremos, un anillo de radio r, de grosor dr. Así, si
llamamos h a la altura del disco, el volumen del anillo diferencial es:
2
2
Z
dr
R
r
h
Y
X
Aplicamos la definición de momento de inercia por el eje Z, sabiendo que
2
Y como
:
1
2
2
es el volumen de todo el disco
, tenemos:
1
2
b) Aplicando el teorema de Steiner:
Como el eje de giro pasa ahora por el borde:
1
2
c) Por su simetría
3
2
y como suponemos el disco delgado
2
2
, luego:
1
4
Naturalmente, esta ecuación es válida para cualquier eje de giro que coincida con un diámetro.
3. Hallar el momento de inercia y el radio de giro de una esfera maciza homogénea de masa M y radio R respecto a uno de sus diámetros. Como volumen diferencial tomaremos
una rebanada circular de grosor dx y radio y.
Según hemos visto en el problema
anterior, el momento de inercia de un disco
respecto de un eje perpendicular que pasa por
su centro (aquí el eje X ) es
.
Ahora:
1
2
1
2
1
2
Ésta ultima igualdad la obtenemos debido a que:
Así pues, integrando sobre todo el eje X obtenemos que:
2
2
2
2
|
2
2
2
5
1
3
1
5
2
3
2
2
8
15
2
2
5
4
3
2
2
8
15
2
5
3
24
60
4. Dos bloques están conectados por una cuerda que pasa por una polea de radio R y momento de inercia I. El bloque de masa m1 desliza sobre una superficie horizontal sin rozamiento; el bloque de masa m2 está suspendido de la cuerda. Determinar la aceleración a de los bloques y las tensiones T1 y T2 suponiendo que la cuerda no desliza sobre la polea. Le aplicamos la 2º ley de Newton a cada uno de los cuerpos por separado:
Bloque de masa m1:
Puesto que no hay rozamiento,
que no contribuye al
movimiento. Pero T1 contribuye al movimiento por lo que :
1
Bloque de masa m2:
Según la 2ª ley de Newton.
2
Hemos supuesto que
de modo que la aceleración a será
descendente pero positiva (su signo coincide con el del peso).
De [1] + [2] obtenemos:
Polea:
La polea no se desplaza pero rota. Por lo que le aplicamos la 2ª ley de Newton para la
rotación.
Donde se ha utilizado:
Despejamos y finalmente nos queda que:
De este modo sustituyendo la aceleración en [1] y [2] obtenemos:
5.­ Una escalera de longitud L y masa M se sitúa en posición casi vertical contra una pared. Una persona de pie sobre un peldaño tiene su centro de masas a la altura de la parte más alta de la escalera. Al inclinarse ligeramente, la escalera comienza a girar alrededor de su base alejándose la parte superior de la pared. Determinar la relación entre la velocidad de la persona agarrada a la escalera cuando llega al suelo y la velocidad que tendría si saltara inmediatamente, en función de la relación M/m siendo m la masa de la persona. 2
Si saltara inmediatamente tendría una velocidad dada por la caída libre:
Si no saltara y suponemos que cae junto con la escalera, la energía potencial inicial del sistema se
convertiría en energía cinética de rotación de la escalera y energía de traslación de la persona.
1
2
2
1
2
1
(el CM de la escalera se ha supuesto en el centro de la misma a L/2 del suelo).
Donde I es el momento de inercia de la escalera con respecto de un eje perpendicular que pasa por
un extremo (la base de la escalera).
1
3
Ahora:
por lo que, sustituyendo en [1]:
2
2
2
2
3
3
Y como:
2
3
2
1
3
Por tanto, el golpe será mayor si no salta puesto que esta velocidad es mayor que la de caída libre
(además puede que la escalera le cayera encima...).
6.­ Un cilindro uniforme de masa M y radio R descansa sobre un bloque de masa m, el cual a su vez se encuentra en reposo sobre una mesa horizontal sin rozamiento. Si aplicamos al bloque una fuerza horizontal F, éste acelera y el cilindro rueda sin deslizamiento: a) Determinar la aceleración del bloque. b) Determinar la aceleración angular del cilindro. ¿Es horaria o antihoraria la rotación del cilindro? c) ¿Cuál es la aceleración lineal del cilindro respecto a la mesa? Tomar como sentido el mismo que indica la dirección de F. d) ¿Cuál es la aceleración del cilindro respecto al bloque? a) En el bloque actúan dos fuerzas: F (hacia la derecha) y f (hacia la izquierda) que es la fuerza de
rozamiento con el cilindro por lo que según la 2ª ley de Newton tenemos:
1
En el cilindro sólo actúa la fuerza de rozamiento pero hacia la derecha
2
La fuerza de rozamiento f hará que el cilindro gire en sentido contrario a las agujas del
reloj luego aplicamos la 2ª ley de Newton de la rotación al cilindro donde el par rotador sólo lo
ejerce la fuerza de rozamiento f:
3
Siendo:
Ya que el cilindro rueda encima del bloque,
es la aceleración relativa del cilindro
respecto al bloque, donde aB es la aceleración del bloque respecto de la mesa y aC es la aceleración
del cilindro respecto de la mesa.
El momento de inercia del cilindro es:
1
2
4
Sustituyendo la 4 y la 2 en la [3] obtenemos la siguiente ecuación:
1
2
3
5
Ahora sustituyendo la ecuación 5 y la 2 en la [1], resulta:
3
3
3
3
3
3
b) La aceleración angular del cilindro es:
3
2
3
3
3
que es antihoraria ya que el par que ejerce la fuerza de rozamiento sobre el cilindro es antihotrario.
c) La aceleración del cilindro respecto de la mesa (aceleración absoluta) es según la ec. [5]:
3
3
d) La aceleración respecto al bloque es:
2
3
hacia la izquierda, ya que el cilindro acabaría cayendo por la izquierda.
Lo importante en este problema es entender que el cilindro rueda antihorario sobre del
bloque y sobre él se desplaza hacia la izquierda. Sin embargo, el centro de masas del cilindro se
desplaza hacia la derecha respecto de la mesa.
7.­ Una bolita inicialmente en reposo en el punto más alto de una gran esfera fija, comienza a rodar sin deslizamiento por la superficie de la esfera. Determinar el ángulo desde el polo de la esfera hasta el punto donde la bolita pierde el contacto con aquella. El radio de la bolita es de 1 cm y el de la esfera 80 cm. Sea θ el ángulo en el cual la bolita pierde el contacto. La altura que hay desde el punto más
alto de la esfera hasta el punto donde se pierde el contacto la llamaremos h y cumple:
mg cos
Por otro lado la bolita perderá el contacto cuando la
2
m
θ
v
R
fuerza centrífuga que adquiere al moverse por la esfera
grande compense la componente del peso dirigida hacia el
centro de la esfera.
Es decir:
cos
cos
Ahora aplicamos la conservación de la energía. La energía potencial de la bolita en el
punto más alto respecto del punto de pérdida de contacto (que es el origen de energías potenciales)
es:
cos
En el punto de pérdida de contacto, esta energía potencial se transformará en energía
cinética de traslación
y en energía cinética de rotación
1
2
.
1
2
donde r es el radio de la bolita y el momento de inercia de la bolita (esfera) es:
2
5
Por la conservación de energía:
1
2
1 2
2 5
Simplificando entre la m y eliminando denominadores:
10
1
cos
5
cos
2
cos
10
17 cos
cos
10
17
54°
Se observa que θ no depende ni del radio r de la bolita, ni de su masa m, ni del radio R de
la esfera grande.
Si comparamos este valor
54° con el valor obtenido
90
41,81
en el problema 14 del tema 3, vemos que en dicho problema θ era menor ¿por qué?.
48,19°
8.­ Un cilindro de 25 kg de masa se suelta por un plano inclinado. El diámetro del cilindro es de 0.6 m. Si el cilindro rueda sin deslizar, calcular la velocidad del eje C después de recorrer 1.6 m sobre el plano inclinado. Además, determinar la fuerza de rozamiento que actúa sobre el cilindro. Para determinar la velocidad en la parte final del plano utilizamos el teorema de
conservación de energía. La energía potencial que posee el cilindro en la parte alta, se
transformará en energía cinética de rotación y de translación. La fuerza de rozamiento no produce
trabajo ya que actúa con velocidad nula durante todo el desplazamiento debido a la condición de
no deslizamiento. El cilindro tiene siempre un punto en contacto con velocidad nula respecto al
plano.
25 9.8 sin 30 1.6
1
2
1
2
1
25
2
1 1
0.6
25
2 2
2
2
0.6
y la velocidad angular
En la formula anterior hemos sustituido el momento de inercia
.
Igualando las energías: 25 9.8 sin 30 1.6
25
25
3.23
Despejamos la velocidad y obtenemos que:
.
.
/
Como hemos dicho, en un sistema rotante en condición de rodadura (sin deslizar), la fuerza
de rozamiento no produce trabajo (calor) pero se transforma en energía cinética de rotación. La
fuerza de rozamiento se emplea únicamente en hacer que el cilindro gire, luego:
1.6
1
2
1
2
1
25
2
0.3
1.6
3.23
0.3
40.8
Para calcular dicha fuerza de rozamiento no se ha necesitado conocer el coef. de
rozamiento. Éste sería útil para conocer cuál sería la fuerza de rozamiento máxima posible.
9.­ Un cilindro homogéneo de masa y radio rueda sin deslizamiento por un plano inclinado hacia abajo. Determinar la fuerza de rozamiento y la aceleración del centro de masas. Si el coeficiente de rozamiento estático es , determinar el ángulo máximo de inclinación del plano de modo que el cilindro descienda sin deslizar. Este problema podría resolverse como el anterior, utilizando el principio de conservación
de la energía para obtener la velocidad del cilindro después de haber recorrido una cierta distancia
sobre el plano y entonces, mediante cinemática, obtener la aceleración. Sin embargo, podemos
hallar directamente la aceleración aplicando la 2ª ley de Newton de traslación y rotación:
La de 2ª ley de Newton de la traslación nos dice que la resultante de las fuerzas aplicadas al
cilindro en dirección del plano es igual a la masa del cilindro por su aceleración (de su centro de
masas). Las fuerzas aplicadas son la componente del peso (dirigida hacia abajo) menos la fuerza
de rozamiento (dirigida hacia arriba):
sin
La 2ª ley de Newton de la rotación nos dice que la resultante de los momentos de fuerza (pares de
fuerza) aplicados al cilindro es igual al momento de inercia de cilindro por su aceleración
angular.). La fuerza de rozamiento es la única fuerza que ejerce par, por tanto:
donde
Despejando f de la ecuación de rotación, tenemos:
Al sustituir esta expresión en la ecuación de rotación:
1
sin
1
1
1
2
1
1
2
sin
2
sin
3
sin ;
1
2
Para que el cilindro ruede sin deslizar,
donde
debe ser menor o igual que
cos
(es decir,
cos )
cos
sin
3
Es decir, para un ángulo
cos
tan
3
cuya tangente sea mayor (o igual) que 3
el cilindro descenderá
deslizando.
Es muy interesante sustituir los valores del problema anterior en la expresión hallada de la
fuerza de rozamiento:
sin
3
25 9.8 sin 30
3
40.8
que evidentemente coincide con el valor de f hallado por conservación de energías en el problema
anterior.
10.­ Un cilindro homogéneo tiene una masa y un radio . Se ve acelerado por una fuerza que se aplica mediante una cuerda arroyada a lo largo de un tambor ligero de radio unido al cilindro. El coeficiente de rozamiento estático es suficiente para que el cilindro ruede sin deslizar: a) Hallar la fuerza de rozamiento. b) Hallar la aceleración del centro del cilindro. c)¿Es posible escoger de modo que sea mayor que / ? ¿Cómo? ¿No contradice esto la 2ª ley de Newton? d) ¿Cuál es el sentido de la fuerza de rozamiento en la circunferencia descrita en la parte (c)? Aplicamos las leyes de Newton tanto para la traslación como para la rotación.
Presuponemos
dirigido hacia la izquierda. Después veremos si esa suposición es razonable.
T
;
f
a) Despajamos las incógnitas a y f del sistema de ecuaciones:
1
2
2
2
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
3
Cuando el valor absoluto de f sea mayor que cero entonces la fuerza de rozamiento tira hacia la
izquierda, como habíamos supuesto.
b) Despejamos la otra incógnita:
2
1
3
3
3
3
2
2
2
3
1
El valor absoluto de la aceleración a siempre será positivo y estará dirigida hacia la derecha.
c) Para que:
2
1
3
1
3
2
1
3
2
3
2
2
2
3
2
2
Es decir:
2
Esto es, si el tambor pequeño del cilindro (radio r) es más grande de la mitad del radio externo R
entonces, la aceleración del cilindro es más grande que la que proporcionaría una única fuerza T
que tira de la masa m del cilindro. Esto no contradice la 2ª ley de Newton (
) porque la
fuerza de rozamiento en este caso va a ayudar al movimiento, como se ve en c).
d) Según la ecuación de f hallada en a):
2
1
3
, entonces: 1
Pero si en esta ecuación hacemos
Por tanto, la fuerza de rozamiento
0
sería negativa (estaría dirigida hacia la derecha) y ayudaría al
movimiento. Esto ocurre en una rueda motriz que para que pueda acelerar necesita de un
rozamiento apuntado a la derecha y capaz de proporcionar un par acelerador.
Si
que si
entonces
0 (no contribuye al movimiento aunque realmente exista). Esto quiere decir
, el sistema de la figura se movería igual sobre hielo que sobre asfalto.
Hemos visto que el tamaño del tambor puede hacer que la fuerza de rozamiento apunte a la
izquierda, a la derecha o sea nula. Esto siempre será cierto mientras exista un coef. de rozamiento
estático suficientemente grande como para evitar deslizamientos y supuesto que el cuerpo es
indeformable. 11.­ Un disco de radio rueda sin deslizar a lo largo de un plano horizontal. Sabiendo que la aceleración del centro de masas es , y la aceleración angular de rotación alrededor del centro de masa es , determinar la aceleración del punto B. Aplicar el balance energético para calcular la velocidad del bloque una vez que haya descendido partiendo del reposo. ¿Hay que incluir la fuerza de rozamiento en el balance energético de este movimiento de rodar sin deslizar?. Los valores de las masas están en el esquema. Movimiento del disco:
T Traslación:
α Rotación:
Fr 1
2
Condición de no deslizamiento:
Sustituimos en las ecuaciones de Newton de la rotación el valor de la masa M = 8 kg:
8
1
8
2
4
Resolvemos el sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas T y Fr en función de aC:
8
4
Y obtenemos
6
y
2
Movimiento del bloque:
se mueve el doble de rápido que el punto C. Esto se puede visualizar bien
El punto
suponiendo un punto de la rueda fijo A arbitrario. Cuando la rueda gira sobre ese punto,
claramente el punto B sobre el diámetro AB se mueve el doble en el mismo tiempo que el punto C
sobre el radio AC. Por tanto:
2
La aceleración del bloque es como la del punto
ya que el bloque va
T
unido a la periferia de la rueda. Aplicamos al bloque la 2ª ley de Newton de la
traslación:
aB
mg
Sustituimos el valor de la masa m = 1.5 kg:
1.5 9.8
que con las ecuaciones anteriores
1.63
/ ;
2
1.5 2
6
;
3.27
2
y
/ ;
hallamos:
9.8 ;
3.27
Balance energético:

El bloque de 1.5

Aumenta la energía cinética del bloque

Aumenta la energía cinética del disco (traslación + rotación)
disminuye su energía potencial por 1.5 9.8 2 al descender 2
1.5
La velocidad del bloque es la misma que la velocidad del punto
del disco
Si el disco rueda sin deslizar
Escribimos la conservación de energía:
1.5 9.8 2
1
1.5 2
2
1
8
2
Se obtiene:
1.81
3.61
/
/
8
2
8
2
.
En lugar de por energías, esta velocidad también se podría haber calculado por cinemática.
Después de recorre 2 m, aplicamos al bloque las ecuaciones del MRUA con el valor hallado de
3.27
/ :
2
1
2
Al resolver el sistema resulta igualmente:
3.61
/
La fuerza de rozamiento del disco no realiza trabajo (no se pierde calor) porque está
aplicada en el punto
que está en reposo. El efecto de
es crear energía cinética de rotación ya
que, como puede comprobarse dando valores:
2
1
2
1 1
8
2 2
2
12.­ Una partícula de masa se mueve con una velocidad constante en una circunferencia de radio sobre la superficie de una mesa sin rozamiento. La partícula está atada a una cuerda que pasa a través de un agujero de la mesa. Tirando de la cuerda lentamente hacia abajo, la partícula se mueve en una circunferencia de menor radio : a) Determinar la velocidad final en función de , y . b) Determinar la tensión de la cuerda cuando la partícula se mueve en una circunferencia de radio en función de , y el momento angular c) Calcular el trabajo realizado sobre la partícula por la tensión integrando desde a . Expresar la respuesta en función de y a) Como la tensión
de la cuerda está dirigida hacia el agujero y no ejerce momento (no
tiene brazo para hacer par) y, por tanto, el momento angular se conserva ya que no hay
pares aplicados:
b) La tensión
igualará la fuerza centrífuga. Ahora, utilizando
,
tenemos:
c) Podemos tomar la tensión como dirigida al centro (signo negativo) y esto influirá en el
signo del trabajo obtenido:
1
2
1
2
1
Como
es positivo
para acercar la partícula al centro hay que realizar un trabajo
que se conviertirá en energía cinética. Como el momento angular se conserva:
2
2
2
Esto es, hemos comprobado que el trabajo realizado por la tensión es igual al cambio en energía
cinética.
13.­ La figura muestra una barra uniforme de longitud .
y masa .
que puede pivotar en su parte superior. La barra, inicialmente en reposo recibe el choque de una particula de masa .
en un punto . por debajo del pivote. Suponer que el choque es totalmente inelástico. ¿Cuál debe ser la magnitud de la velocidad de la partícula para que el ángulo máximo entre la barra y la vertical sea de ° ?
La colisión es inelástica lo cual quiere decir que se pierde energía cinética durante el
choque. Sin embargo, no hay fuerzas externas que creen momento y, por tanto, el momento
angular se conserva.
1
3
;
Momento de inercia del extremo de la barra Se obtiene al igualr los momentos angulares:
1
1
3
Despues del choque la energía sí se conserva
la energía de rotación se convertira en
energía potencial.
1
2
donde
es la energía potencial ganada por la barra y por la masa adherida al subir en
conjunto.
Puesto que el conjunto
se mueve 60° , habrá ganado una energía potencial:
L L
 cos 60
2 2
d  d cos 60 ∆
1
1
2
1
1 1
2 3
Con
cos 60
1
2
2
cos 60
2
de la ecuación 1 :
1 1
2 3
1
1
3
2
1
cos 60
2
donde se han utilizado los datos del enunciado.
cos 60
1
3
cos 60
;
2
7.74
/
14.­ La figura muestra un tubo cilíndrico hueco de masa , longitud y momento de inercia / . Dentro del cilindro se encuentran dos masas separadas una distancia y atadas a un vástago central por una delgada cuerda. El sistema puede girar alrededor de un eje vertical a través del cilindro. Cuando el sistema gira con la velocidad angular , las cuerdas mantienen las masas se rompen súbitamente. Obtener las expresiones correspondientes a la velocidad angular final y a las energías inicial y final del sistema. Suponer que las paredes interiores del cilindro carecen de rozamiento.
Ya que no hay fuerzar externas que ejerzan par, el momento angular se debe conservar:
2
10
2
10
10
2
2
10
2
2
10
2
10
2
5
5
5
5
La energía cinética (de rotación) inicial será:
1
2
5
20
La energía cinética (de rotación) final será:
1
2
5
20
5
5
5
20
5