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Propuesta de Orientación Para el Desarrollo Curricular (ODEC) para el Área de Matemática del Currículo Nacional Base (CNB), del Ciclo Básico del Nivel Medio “Desarrollando el pensamiento algebraico en Primero Básico” Mauricio Gerardo Morales Altamirano Especialista en Matemáticas Consultor del Programa de Apoyo a la Calidad Educativa (PACE) de GTZ Como apoyo a la implementación del CNB del Área de Matemáticas del Ciclo Básico del Nivel Medio en el Área Rural En la presente Orientación para el Desarrollo Curricular se pretenden desarrollar las siguientes competencias de Matemáticas de Primer Grado Básico: Competencia 1.Identifica elementos comunes en patrones algebraicos y geométricos. Indicador de logro 1.1. Usa variables para representar información. Contenidos Declarativos Introducción a expresiones algebraicas Contenidos Procedimentales Asociación de un valor específico de cada variable con el valor de la expresión algebraica. Variables 2.Utiliza graficas y símbolos en la representación de información. 3. Calcula operaciones combinadas de los diferentes conjuntos numéricos (naturales, enteros y racionales) con algoritmos escritos, mentales, exactos y aproximados. 2.1. Construye proposiciones compuestas usando conectivos lógicos. 3.1. Opera con seguridad, justificando los pasos y métodos que sigue y verificando sus resultados. Conjunto de los números enteros recta numérica, valor absoluto Conjunto de los números racionales Fracciones y decimales, Potencias 3.2. Realiza conversiones entre diferentes sistemas de medición aplicando las proporciones. 5. Traduce información que obtiene de su entorno o lenguaje lógico simbólico. Operaciones abiertas (suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces) Proposiciones simples Valor de verdad Oraciones abiertas Cuantificadores Proposiciones compuestas Definición, manejo y Operaciones de conjuntos usando simbología. Conjunto de los Números Naturales factores, múltiplos, M.C.M y mcd, primos Razón, proporción y porcentaje Variación directa e inversa Sistemas de medición Modelos concretos Contenidos Actitudinales Disposición abierta ante el esfuerzo y las dificultades en el desarrollo de las expresiones algebraicas. Resolución de operaciones abiertas (suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces). Traducción de lenguaje común a lenguaje lógico con conectivos. Valoración del uso de lenguaje simbólico para representar información. Representación de conjuntos. Operaciones entre conjuntos. Operaciones en los conjuntos numéricos: Naturales Enteros Racionales Uso apropiado de la calculadora, del cálculo mental y de las estimaciones. Identificación un sucesor progresiones aritméticas y geométricas. Valoración de la aproximación y la exactitud en cálculos. Valoración de los aportes de profesionales en Matemáticas. de en Cálculo de porcentajes, descuentos e intereses. Conversiones. Estimación de medidas. Modelación Justificación de procedimientos y selección de las estrategias. Verificación de los resultados. Disposición trabajo perseverante meticuloso. al y Perseverancia en la aplicación de estrategias para resolver problemas. Estrategia Metodológica Como puedes darte cuenta al ver en la página anterior las competencias, indicadores de logro y contenidos que tenemos como objetivo desarrollar y cubrir, esta es una ODEC muy ambiciosa. Como podemos leer en la guía de adaptación de ODECs, se recomienda tomar una o a lo más dos competencias y sus indicadores de logro, y nosotros hemos tomado cuatro de las cinco competencias de grado, por lo menos, parte de las cuatro competencias. Luego, se recomienda que la ODEC sea desarrollada en un período de entre cuatro hasta ocho semanas, y para desarrollar la presente fácilmente se necesitarán dieciséis semanas, si no más. ¿Por qué tan grande y ambiciosa? Las razones son las siguientes: 1) Si el nivel primario es donde desarrollamos nuestra intuición matemática, en el nivel secundario el estudiante debe desarrollar su capacidad de abstracción y formalización de las ideas y conceptos matemáticos. Es decir, es a partir del ciclo básico donde desarrollamos el pensamiento algebraico. Por lo que consideramos importantísimo dar un magnífico comienzo al desarrollo de esta competencia – la competencia de abstraer los aspectos relevantes de una situación determinada y matematizarlos por medio de un lenguaje particular. 2) Consideramos el desarrollo de los contenidos, habilidades, destrezas y competencias que se necesitan para comprender y hacer álgebra, o más bien la parte introductoria del álgebra, el mínimo minimorum que se debe desarrollar del CNB de matemáticas en primero básico. 3) Queremos dejar claramente explicitado y aprovecharnos del hecho de que el álgebra corta transversalmente todo lo que se conoce como matemática moderna. Es decir, aunque hay un área específica de las matemáticas que se llama Álgebra, en todas las áreas de las matemáticas modernas, absolutamente en todas, se utilizan variables, el lenguaje, la abstracción y la generalización de los conceptos algebraicos. Y esto hace que, por un lado, las cinco competencias de nivel y de grado tengan que ver con álgebra. Y por el otro, que el álgebra parte de la aritmética, de la matematización de problemas de la vida cotidiana, y se encuentra presente por lo menos en cierto grado, en casi cualquier proceso humano que implique un grado alto de generalización y abstracción de patrones matemáticos implícitos presentes en dichas situaciones de la vida real. Concretamente, vamos a utilizar tres recursos que tenemos disponibles por ser parte del proceso de enseñanza-aprendizaje previo, y son: a) las operaciones con números y propiedades de los sistemas numéricos, b) la proporcionalidad y sus aplicaciones en oficios diversos, en el cambio de monedas y en las finanzas, entre otros, y c) la matematización de situaciones de la vida real así como las matemáticas presentes de ante mano en dichas situaciones. Y aprovecharemos para desarrollar las matemáticas de estos tres aspectos que son parte del CNB. Guía de un estudiante de Matemáticas de Nivel Secundaria Se espera del y la estudiante guatemalteca de secundaria que: I. Asista regular y puntualmente a sus clases. II. Mantenga una actitud respetuosa hacia sus maestros y sus compañeros. III. Tenga deseos de descubrir y aprender. IV. Lleve un registro escrito del desarrollo de la clase en su cuaderno, que sea: A. Limpio, ordenado y claro. B. Completo y detallado, con definiciones, anotaciones y ejemplos. C. Anote preguntas de palabras o conceptos que no entiende, o dudas que quedaran durante las explicaciones o las actividades. V. Se autoevalúe de forma crítica, planteándose metas concretas y evaluando los avances. VI. Estudie todos los días realizando las acciones siguientes: A. Revise su cuaderno en casa, reescribiendo lo que hizo ese día de preferencia con nuevos ejemplos que él o ella proponga y contestando las dudas que tenga anotadas, buscándolas en el diccionario, en el libro de texto, en otros libros, preguntando a sus padres, hermanos, parientes, vecinos, o compañeros, y si no las resuelve, pregunte al maestro al día siguiente. B. Haga sus tareas completas y otros ejercicios. C. Discuta las temáticas con sus compañeros D. Realice resúmenes personales ya sea en forma descriptiva o de diagramas, como mapas mentales u otros. E. Reflexione acerca de lo que aprende y lo relacione con su realidad, como una actitud permanente. Actividad 1: Introducción al algebra (1 día) El rol básico que tiene el álgebra dentro del pensamiento matemático Universal es doble: Por un lado, es una manera de generalizar resultados – propiedades aritméticas, herramientas estadísticas, descripción de conjuntos complejos, de relaciones y de funciones. Y por otro lado, proporciona un lenguaje específico para representar dichas generalizaciones. Por lo que, si lo piensas un poco, no puede existir álgebra – ni matemáticas – que no sean pertinentes, ya que estas son generalizaciones de situaciones matemáticas expresadas por medio de los sistemas numéricos, la estadística, la geometría y las ciencias, principalmente, y que tienen su punto de partida en problemas de la vida real. Si nuestra realidad manifiesta problemas un tanto diferentes, lo que debemos hacer es transitar por este camino, de la realidad a lo numérico y, de lo numérico a lo algebraico, y llegaremos a las mismas matemáticas. De esta manera quiero que piensen el álgebra: descubriendo, leyendo y escribiendo generalizaciones matemáticas. Por ejemplo: Se enferma nuestro hermano o la abuela. Por algún motivo, no podemos llevarla al médico en ese momento. Sin embargo, mamá, o la vecina Casimira, o el abuelo Jonás, o alguien en la comunidad sabe que hacer. Nos mandan a la farmacia por la medicina o nos la dan ya preparada con raíces y plantas medicinales. Y, nos dan una serie de indicaciones acerca de cómo administrarla. Entre estas indicaciones nos dicen algo como: Tu hermano todavía está pequeño, dale una cucharada cada ocho horas; O, dale a tú abuelo dos cucharadas cada cuatro horas. Estamos utilizando la noción de dosis. Dosis: Es la cantidad de medicina que el paciente debe consumir y a que ritmo. Es decir: Lo que el médico, o la enfermera, o la comadrona, o el anciano, o mamá, o quien quiera que esté recetando la medicina está haciendo es, por experiencia, determinar la ración adecuada de medicina que mejor le cae al enfermo y cada cuanto tiempo se le debe dar. ¿Por qué existe una ración de medicina “adecuada” para cada enfermo? Porque las medicinas están hechas de químicos o plantas o raíces que tienen concentraciones altas de elementos de la naturaleza con ciertas propiedades importantes, que después de ciertos procesos internos complejos, reducen la fiebre, alivian el dolor de cabeza, regulan la digestión, detienen una hemorragia, matan unos parásitos, o microbios o bacterias, etc. El punto es que la medicina ataca, en muchas ocasiones, aquello que está causando el mal que sentimos. Pero también puede parcialmente atacar las partes sanas de nuestro cuerpo y causar lo que se conoce como efectos secundarios. Por ejemplo, todo medicamento tomado comienza a ser metabolizado (asimilado por el cuerpo) por el hígado, de ahí pasa a la sangre, y desde el sistema circulatorio llega a donde debe de llegar. Si injerimos demasiadas medicinas el primer órgano que se reciente es el hígado. La segunda causa de cirrosis en el mundo, después del alcoholismo, es el abuso de medicamentos. Muy poca medicina no es suficiente para curarnos, demasiada puede hacernos daño. Es importante determinar la medida exacta de medicina que hay que darle a cada persona en cada caso. Esto es la dosis. Y la dosis depende de la edad y del peso, por lo menos. En algunos casos puede depender del género, en otros puede depender de alergias u otras enfermedades que el paciente pudiera padecer. Mientras más compleja sea la enfermedad, más complejo es determinar la dosis adecuada. Pero quedémonos para nuestro propósito en esta introducción al álgebra, con estas dos características que escribí primero: La dosis depende de la edad y del peso. Entonces, lo que el médico o la enfermera o la persona que está diagnosticando y medicando al enfermo esta haciendo cuando nos dice – dale una cucharadita cada ocho horas; o, has el té con una pizca de la hierva, no con más; o, a ella le vas a dar solo la cuarta parte de la pastilla – o cualquier instrucción de este tipo es asociando la edad y el peso del paciente (y otras características) con la cantidad de medicina óptima para obtener los mejores resultados. Está partiendo de lo aprendido con sus maestros, con sus lecturas, y de su experiencia, para hacer un pronóstico. El pronóstico es que a este nuevo paciente le va a ir bien, va a mejorar en salud, sí toma esta medicina, en estas cantidades y a este ritmo. Es decir, está generalizando. Está diciendo: Para todo paciente que tenga un peso “p” y una edad “n” hay que darle una cantidad de medicamento “d” cada 4, 8 o 12 horas por 2, 3, 6, ó no se cuantos días. Esto es dosificar. Algunas personas usan una fórmula matemática donde sustituyen el peso de la persona, la edad que tiene, y al operar, encuentran la cantidad de medicamento adecuado para este paciente. Otros, no lo hacen así, sino un poquitín más “informal”, ya saben que para un bebe hay que darle tanto, a un niño pequeño tanto, a un muchacho o muchacha menudita tanto, a un adulto tanto, etc. Ambos están haciendo una generalización y en cierto sentido están haciendo álgebra. Entre paréntesis, decimos que esta persona que diagnostica y medica es “buena para curar” si en forma recurrente (muchas veces) su pronóstico (que la persona va a mejorar con esa medicina y esa dosis) es correcto. A mayor conocimiento de medicina, más número de variables es capaz de incorporar, explícitamente en una fórmula, o tácitamente en su mente para mejor diagnosticar, medicar y dosificar, y mejor médico es. Por ejemplo: La información que fácilmente encontramos en Internet acerca de la conocida Aspirina – aunque ya no es tan popular como lo fue en los 1960’s y 1970’s, ahora es el acetaminofén o paracetamol – es la siguiente: Aspirina Comp. 500 MgBayerComposiciónASPIRINA® 500 mg comprimidos y ASPIRINA® 500 mg comprimidos masticables: Cada comprimido contiene ácido acetilsalicílico, 500 mg.ASPIRINA® 500 mg granulado: Cada sobre contiene ácido acetilsalicílico, 500 mg, excipientes: aspartamo 5 mg y otros excipientes.ASPIRINA® C comprimidos efervescentes: Cada comprimido contiene ácido acetilsalicílico 400 mg y ácido ascórbico 240 mg, excipientes: hidrogenocarbonato de sodio, carbonato de sodio anhidro, citrato de sodio y otros excipientes. Indicaciones terapéuticas Aspirina Alivio sintomático de los dolores ocasionales leves o moderados, como dolores de cabeza, dentales, menstruales, musculares (contracturas) o de espalda (lumbalgia). Estados febriles. Posología Dosis media recomendada: Adultos y mayores de 16 años: 1 comprimido o sobre cada 4 - 6 horas. Aspirina 500 mg: no se excederá de 4 g en 24 horas. Aspirina C: no se excederá de 4 comprimidos al día. Pacientes con insuficiencia renal, hepática o cardíaca: reducir la dosis. Forma de administración: Tomar el medicamento con las comidas o con leche, especialmente si se notan molestias digestivas. Aspirina 500 mg comprimidos masticables: los comprimidos se toman masticados, no siendo necesaria la ingestión simultánea de líquidos cuando no se disponga de ellos. Aspirina C comprimidos efervescentes: los comprimidos se toman totalmente disueltos en medio vaso de agua después de las comidas o con algún alimento, especialmente si se notan molestias digestivas. Antes de ingerir el medicamento es necesario esperar a que cese la efervescencia. Aspirina 500 mg granulado: el granulado se ha de poner directamente en la lengua. Se dispersa en la saliva antes de tragar por lo que no es necesaria la ingestión simultánea de líquidos cuando no se disponga de ellos. Usar siempre la dosis menor que sea efectiva. La administración de preparado está supeditada a la aparición de los síntomas dolorosos o febriles. A medida que éstos desaparezcan debe suspenderse esta medicación. ¿Cuál es la dosis máxima recomendada para un adulto? __________________ ¿Qué es un excipiente? ____________________________________________ ¿Cuál es el componente activo de la aspirina? __________________________ ¿Les parece que es clara la dosificación de la aspirina o es más complicado de lo que parece? ¿Por qué las mamás lo hacen con tanta facilidad? __________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ ¿Qué dosis le darías tú a un niño de digamos 5 años? ___________________ _______________________________________________________________ Contraindicaciones: Ácido acetilsalicílico:No administrar en caso de: úlcera gastroduodenal activa, crónica o recurrente; molestias gástricas de repetición; antecedentes de hemorragia o perforación gástrica tras el tratamiento con ácido acetilsalicílico u otros antiinflamatorios no esteroideos; asma; hipersensibilidad al ácido acetilsalicílico o a cualquiera de los componentes de esta especialidad, a otros salicilatos, a antiinflamatorios no esteroideos o a la tartrazina (reacción cruzada); enfermedades que cursen con trastornos de la coagulación, principalmente hemofilia o hipoprotrombinemia; insuficiencia renal o hepática grave; pacientes con pólipos nasales asociados a asma que sean inducidos o exacerbados por el ácido acetilsalicílico; niños menores de 16 años ya que el uso de ácido acetilsalicílico se ha relacionado con el Síndrome de Reye, enfermedad poco frecuente pero grave; tercer trimestre del embarazo.Ácido ascórbico:No administrar en caso de: terapia conjunta con anticoagulantes; pacientes con insuficiencia renal o hepática y pacientes con litiasis renal, acompañada de oxaluria con aciduria o pH urinario normal; pacientes con déficit de glucosa-6-fosfato deshidrogenasa, hemocromatosis, anemia sideroblástica y talasemia. Algebraicamente, esta posología se vería algo como: Sea d la dosis de aspirina a administrar a un paciente en tabletas de 500 ml, y n la edad del paciente en años cumplidos: Si n 16 d (n) 0 Si n 16 d (n) 2 cada 4 horas d (n) 4 al día Por supuesto esto puede ser mucho más complejo si p es el peso y k denota alguna de las enfermedades contraindicadas, d(n,p,k) Tarea 1 Entregar a los estudiantes esta tarea al iniciar las Actividades 1 y 2. La Actividad 1 durará dos días y la Actividad 2 durará 3 días. Al sexto día entregamos la tarea que debemos ir realizando día a día en casa, a medida que vamos avanzando con las Actividades 1 y 2. El día que se entrega la tarea se realizará una heteroevaluación. Las competencias, indicadores de logro, y contenidos que se trabajarán durante esta semana son: Competencia 1.Identifica elementos comunes en patrones algebraicos y geométricos. Indicador de logro 1.1. Usa e interpreta prevariables para representar problemas. Contenidos Declarativos Operaciones abiertas (suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces) Contenidos Procedimentales Resolución de operaciones abiertas (suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces). Contenidos Actitudinales Disposición abierta ante el esfuerzo y las dificultades en el desarrollo de las expresiones algebraicas. 1) Describe otra situación como la de dosificar que trabajamos en la Introducción, donde tu pienses, se utiliza pensamiento algebraico, en el sentido de generalizaciones asociadas a conceptos matemáticos, aunque nos se llegue necesariamente hasta el nivel último de la fórmula. 2) Resuelve las ecuaciones abiertas siguientes: a) □*85 = 1955 b) □ + 785 = 1473 c) 2841 + □ = 2074 d) □÷22 = 34 f) □2 = 5625 e) □3 = 64 3) Considera el problema siguiente: Leonel vendió una cantidad de ganado por Q.28,800.00. Lo que resultó, según calculó Leonel, en un pago de Q.480.00 por cada cabeza de ganado. ¿Cuántas cabezas de ganado vendió Leonel? ¿Qué ecuación abierta representa este problema? 4) Se puede multiplicar números cercanos a una potencia de 10 de la manera siguiente: Para 9*7 hacemos 10 – 9 = 1, 10 – 7 = 3, entonces: 9*7 = (10 – 1 – 3)*10 + 1*3 = 63 Para 95*93 hacemos 100 – 95 = 5, 100 – 93 = 7, entonces: 95*93 = (100 – 5 – 7)*100 + 5*7 = 8,835 Para 979*991 hacemos 1000 – 979 = 21, 1000 – 991 = 9, entonces: 979*991 = (1000 – 21 – 9)*1000 + 21*9 = 970,189 a) Calcule usando esta manera de operar las multiplicaciones siguientes: i) 8*8 = ii) 92*97= iii) 941*998= b) Encuentre una expresión para escribir este resultado de forma general: __________________________________________________________ Actividad 2: Las Ecuaciones Abiertas (dos días) Este es un tema de sexto grado, que si se desarrolla en una buena cantidad de Establecimientos en todo el País. Por lo que, no solo este tema nos proporciona un empalme perfecto entre Primaria y Secundaria, sino que es conveniente comenzar con una actividad de exploración a manera de valuación informal nuestra de la calidad de preparación con la que se graduaron nuestros estudiantes de sus Escuelas. Podemos comenzar, entonces, con algunas preguntas como las siguientes: ¿Quiénes de ustedes han escuchado el término “ecuaciones abiertas”? Levanten la mano los que saben de que se trata este término. ¿Algún voluntario o voluntaria me podría explicar con sus propias palabras que entiende por el término “ecuaciones abiertas”? Haber, díganme cuánto vale □ en las expresiones siguientes: (el profesor puede ir comentando una por una, como cambia el grado de dificultad y como están involucradas otras operaciones, como una suma se convierte en resta o una resta en suma, el producto en división, y donde aparece una raíz o un logaritmo, y donde aparece un número negativo porque la expresión no tiene solución con números positivos o una fracción porque no tiene solución con enteros) 1. 31 + 25 = □ 2. 31 + □ = 42 3. 31 - □ = 5 4. 31 + □ = 27 5. 12*□ = 96 7. 60÷□ = 18 8. 3□ = 81 6. 12*□ = 3 9. □2 = 961 Estos son ejemplos de ecuaciones abiertas. ¿Quiero que levanten la mano todos los alumnos y las alumnas que no habían visto nunca, o no se recuerdan de haber visto nunca, una expresión como esta? □ Recuerda lo siguiente: quiere decir que no está lleno, representa un espacio en blanco que podemos llenar con varios números. Por eso la palabra “abierta” – que no está “cerrada” a simplemente operar dos números. Estos ejercicios, entonces, consisten en encontrar el valor que hay que sustituir en □ para que se de la igualdad. Más adelante, va a resultar conveniente darle un nombre a ese cuadrado. En lugar de ser un espacio vacío, va a pasar a ser una “variable” y le vamos a dar un nombre. Porque en realidad no es un espacio vacío sino un elemento de un Conjunto Numérico, el elemento adecuado. Ahora, quiero que trabajemos por parejas en los ejercicios siguientes: a) Lee con atención el siguiente ejemplo: Considera el problema siguiente: Juan quiere comprar una camisa que cuesta Q.75.00. Tiene ahorrado Q.30.00. ¿Cuánto dinero le falta a Juan para poder comprar la camisa? La pregunta es la siguiente: ¿Qué ecuación abierta representa el problema anterior? La respuesta es: 30 + □ = 75 ¿Quiero que entre los dos construyan otro ejemplo similar al que leyeron? b) Lee con atención el siguiente ejemplo: Considera el problema siguiente: Antes de comprarle su vestido de quince años a Carmela, su mamá tenía ahorrados Q.2400.00. Después de comprar el vestido, le quedaron a la mamá, Q.1600.00. ¿Cuánto costó el vestido de quince años de Carmela? La pregunta es la siguiente: ¿Qué ecuación abierta representa el problema anterior? La respuesta es: 2400 - □ = 1600 ¿Quiero que entre los dos construyan otro ejemplo similar al que leyeron? c) Lee con atención el siguiente ejemplo: Considera el problema siguiente: Lucía compró 3 libras y media de lomito con Q.64.75. ¿Cuánto le costó la libra de lomito? La pregunta es la siguiente: ¿Qué ecuación abierta representa el problema anterior? La respuesta es: 3*□ = 64.75 ¿Quiero que entre los dos construyan otro ejemplo similar al que leyeron? d) Lee con atención el siguiente ejemplo: Considera el problema siguiente: Los hongos que fermentan la leche y producen el yogurt se reproducen al doble de lo que son cada semana. Si tengo 1 centímetro cuadrado de hongos, ¿en cuantas semanas tendré 64 centímetros cuadrados de hongos? La pregunta es la siguiente: ¿Qué ecuación abierta representa el problema anterior? La respuesta es: 2□ = 64 ¿Quiero que entre los dos construyan otro ejemplo similar al que leyeron? e) Hagan otro con división. Actividad 3: ¿Cómo realizábamos las operaciones aritméticas? (tres días) Instrucciones: Observa con detenimiento el comportamiento de las siguientes reglas que ya conoces y exprésala en una forma compacta. Primera regla: Multiplicación por múltiplos de 10 25 10 250 36 * 100 3,600 218 * 1,000 218,000 3 * 10,000 30,000 277 * 100,000 271700,000 29 * 11000,000 291000,000 2.34 *10 23.434 2.34 *100 234.34 2.34 *1,000 2,343.434 2.34 *10,000 23,434.34 2.34 *100,000 234,343.434 2.34 *11000,00 21343,434.34 ¿Cuál es la regla? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ Segunda regla: Cálculo del cuadrado de un número terminado en 5. 52 25 152 225 1 * 2 2 225 25 625 2 * 3 6 625 2 352 1,225 3 * 4 12 1,225 452 2,025 4 * 5 20 2,025 552 3,025 5 * 6 30 3,025 652 4,225 6 * 7 42 4,225 752 5,625 7 * 8 56 5,625 85 7,225 8 * 9 72 7,225 95 9,025 9 *10 90 9,025 2 2 105 11,025 2 10 *11 110 11,025 ¿Cuál es la regla? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ Tercera regla: La multiplicación cruzada. Mira estos ejemplos: 24*35 = 2*3*100 + (2*5 + 4*3)*10 + 4*5 = 6*100 + (10 + 12 + 2)*10 + 0 = (6 + 2)*100 + 4*10 + 0 = 840 5 3 * 7 4 5 * 7 *100 (5 * 4 3 * 7) *10 3 * 4 (1) ( 2 ) ( 3) ( 4 ) (1) ( 3) (1) ( 4) ( 2) ( 3) ( 2) ( 4) 35*100 41*10 12 35*100 42*10 2 39*100 2*10 2 3,922 Contesta las preguntas siguientes: ¿De donde aparece el 100 y el 10 en la primera fila de ambos ejemplos? Si miramos el primer ejemplo, ¿de donde aparece el 2 entre el paréntesis de la segunda fila, y el 2 entre el paréntesis de la tercera fila? Si miramos el segundo ejemplo, ¿por qué el 41 en la segunda fila pasa a ser 42 en la tercera fila y el 35 en la segunda fila pasa a ser 39 en la cuarta fila? En el producto de dos números naturales de dos dígitos a 2a1*b2b1 tenemos: (por ejemplo, en 53*74 a2=5, a1=3, b2=7 & b1=4) Las unidades del resultado provienen de las unidades del producto a 1*b1 Las decenas del resultado provienen de las unidades de la suma de tres cantidades: a2*b1, a1*b2 y las decenas de a1*b1. Las centenas del resultado son la suma de dos cantidades: a2*b2 y las decenas de a2*b1 + a1*b2 + las decenas de a1*b1. Nota: Recuerde que en 123, por ejemplo, podemos decir que tiene 12 decenas. Por eso decimos que: Para multiplicar dos números naturales de dos cifras de forma cruzada seguimos los pasos siguientes: a) Multiplicamos las unidades de ambas cantidades. De este producto, tomamos las unidades como unidades de nuestro resultado, y llevamos las decenas. b) Realizamos los productos cruzados – las unidades de una cantidad por las decenas de la otra. Sumamos ambos resultados y la cantidad que llevamos del inciso a). De este resultado tomamos las unidades – estas serán las decenas de nuestro resultado. Y llevamos las decenas de esta suma que hicimos en este inciso. c) Multiplicamos decenas con decenas de las cantidades originales. Sumamos este resultado parcial con lo que llevamos del inciso b), y estas son las centenas de la respuesta. Y con esto terminamos. Practiquemos este algoritmo calculando los productos siguientes: I. 25*17 = _____________________ Primero calculamos las unidades. Multiplicamos las unidades de ambas cantidades: 5*7 = ________ Tomamos las unidades de este producto como unidades del resultado ___ (1) Y llevamos las decenas de este producto ______ En segundo lugar, calculamos las decenas. Multiplicamos las decenas de 25 por las unidades de 17: ___*___ = ______ Multiplicamos las unidades de 25 por las decenas de 17: ___*___ = ______ Recordamos cuanto llevamos del primer producto de 5*7: ______ Sumamos estas tres cantidades: ______ Tomamos las unidades de este producto como decenas del resultado____ (2) Llevamos las decenas de este resultado parcial_______ Y finalmente, calculamos las centenas. Multiplicamos las decenas de 25 por las decenas de 17: ___*___ = ______ Recordamos cuanto llevamos del cálculo de las decenas: ______ Sumamos estas dos cantidades: ______ (3) Armamos el resultado final: ( 3) ( 2 ) (1) II. 56*39 = _____________________ Primero calculamos las unidades. Multiplicamos las unidades de ambas cantidades: 6*9 = ________ Tomamos las unidades de este producto como unidades del resultado ___ (1) Y llevamos las decenas de este producto ______ En segundo lugar, calculamos las decenas. Multiplicamos las decenas de 56 por las unidades de 39: ___*___ = ______ Multiplicamos las unidades de 56 por las decenas de 39: ___*___ = ______ Recordamos cuanto llevamos del primer producto de 6*9: ______ Sumamos estas tres cantidades: ______ Tomamos las unidades de este producto como decenas del resultado____ (2) Llevamos las decenas de este resultado parcial_______ Y finalmente, calculamos las centenas. Multiplicamos las decenas de 56 por las decenas de 39: ___*___ = ______ Recordamos cuanto llevamos del cálculo de las decenas: ______ Sumamos estas dos cantidades: ______ (3) Armamos el resultado final: ( 3) ( 2 ) (1) III. 93*87 = _____________________ Primero calculamos las unidades. Multiplicamos las unidades de ambas cantidades: 3*7 = ________ Tomamos las unidades de este producto como unidades del resultado ___ (1) Y llevamos las decenas de este producto ______ En segundo lugar, calculamos las decenas. Multiplicamos las decenas de 93 por las unidades de 87: ___*___ = ______ Multiplicamos las unidades de 93 por las decenas de 87: ___*___ = ______ Recordamos cuanto llevamos del primer producto de 3*7: ______ Sumamos estas tres cantidades: ______ Tomamos las unidades de este producto como decenas del resultado____ (2) Llevamos las decenas de este resultado parcial_______ Y finalmente, calculamos las centenas. Multiplicamos las decenas de 93 por las decenas de 87: ___*___ = ______ Recordamos cuanto llevamos del cálculo de las decenas: ______ Sumamos estas dos cantidades: ______ (3) Armamos el resultado final: ( 3) ( 2 ) (1) IV. 89*89 = _____________________ Primero calculamos las unidades. Multiplicamos las unidades de ambas cantidades: 9*9 = ________ Tomamos las unidades de este producto como unidades del resultado ___ (1) Y llevamos las decenas de este producto ______ En segundo lugar, calculamos las decenas. Multiplicamos las decenas de 89 por las unidades de 89: ___*___ = ______ Multiplicamos las unidades de 89 por las decenas de 89: ___*___ = ______ Recordamos cuanto llevamos del primer producto de 9*9: ______ Sumamos estas tres cantidades: ______ Tomamos las unidades de este producto como decenas del resultado____ (2) Llevamos las decenas de este resultado parcial_______ Y finalmente, calculamos las centenas. Multiplicamos las decenas de 89 por las decenas de 89: ___*___ = ______ Recordamos cuanto llevamos del cálculo de las decenas: ______ Sumamos estas dos cantidades: ______ (3) Armamos el resultado final: ( 3) ( 2 ) (1) V. 69*98 = _____________________ Primero calculamos las unidades. Multiplicamos las unidades de ambas cantidades: 9*8 = ________ Tomamos las unidades de este producto como unidades del resultado ___ (1) Y llevamos las decenas de este producto ______ En segundo lugar, calculamos las decenas. Multiplicamos las decenas de 69 por las unidades de 98: ___*___ = ______ Multiplicamos las unidades de 69 por las decenas de 98: ___*___ = ______ Recordamos cuanto llevamos del primer producto de 9*8: ______ Sumamos estas tres cantidades: ______ Tomamos las unidades de este producto como decenas del resultado____ (2) Llevamos las decenas de este resultado parcial_______ Y finalmente, calculamos las centenas. Multiplicamos las decenas de 69 por las decenas de 98: ___*___ = ______ Recordamos cuanto llevamos del cálculo de las decenas: ______ Sumamos estas dos cantidades: ______ (3) Armamos el resultado final: ( 3) ( 2 ) (1) Ahora quiero que calcules los productos siguientes, utilizando mentalmente el algoritmo de multiplicación cruzada: 1. 24*31 2. 78*45 ( 3) ( 2 ) (1) 5. 41*59 ( 3) ( 2 ) (1) 9. 17*91 ( 3) ( 2 ) (1) ( 3) ( 2 ) (1) 3. 46*98 ( 3) ( 2 ) (1) 4. 97*92 ( 3) ( 2 ) (1) 6. 29*99 7. 77*88 8. 67*89 ( 3) ( 2 ) (1) ( 3) ( 2 ) (1) ( 3) ( 2 ) (1) 10. 39*78 11. 66*66 12. 94*84 ( 3) ( 2 ) (1) ( 3) ( 2 ) (1) ( 3) ( 2 ) (1) Este algoritmo puede lucir algo así: Dados dos números naturales de dos dígitos arbitrario s : a2 a1 , y b2b1. Sean : a1 * b1 d1r1 a2 * b1 a1 * b2 d1 d 2 r2 a2 * b2 d 2 r4 r3 Con 0 r1 , r2 , r3 9, a2 a1 * b2b1 r4 r3 r2 r1. Reto: Desarrolla todo lo que desarrollamos en esta sección para la multiplicación cruzada de dos números naturales de dos dígitos, para: a) la multiplicación de un número natural de tres dígitos por otro número natural, este de dos dígitos. b) La multiplicación de dos números naturales de tres dígitos cada uno. Actividad 4: Heteroevaluación 1 (1 día) Esta evaluación tiene un carácter de prueba y se espera un ambiente y una actitud adecuados. Es de carácter individual, no se permite consultarse entre estudiantes, ni consultar copias ni libros. La idea de hacerlo de esta manera es doble: Tener un indicador lo más realista posible del aprendizaje que hemos tenido como equipo maestro-estudiantes y poder evaluar si estamos listos para continuar el desarrollo curricular, por un lado. Y, tener una práctica de pruebas de esta naturaleza con las que nos enfrentaremos más adelante. 1) POSOLOGÍA PARACETAMOL: Dosis usual en el niño: 40 a 480 mg según la edad y el peso (10 mg/kg de peso). Se recomienda no administrar más de cinco dosis en 24 horas. Un kilo es equivalente a 2.2 libras. Si una niña de 10 años pesa 70 libras, ¿es posible darle una gragea de 250 mg de paracetamol? Justifica la respuesta. 2) En los cuadritos de las ecuaciones abiertas del lado izquierdo, escriba el número romano que corresponde a su solución de la lista del lado derecho. i) 478 a) *31 = 775 ii) 22 b) ÷200 = 1/4 iii) 50 c) 2 = 484 iv) 25 d) + 223 = 251 v) 28 e) – 225 = 253 □ □ □ □ □ 3) Considera el problema siguiente: El terreno de don Samuel es cuadrado. Si su terreno tiene un área de 8100 varas cuadradas. ¿cuánto mide el frente del terreno de don Samuel? ¿Qué ecuación abierta representa este problema? 4) Utilice el algoritmo que se le pide para calcular las multiplicaciones siguientes: (Es necesario que escriba el procedimiento que utilizó para llegar a la respuesta) a) Utilice la multiplicación cruzada para efectuar el producto 54*73 b) Utilice la cercanía de los números a una potencia de 10 para efectuar el producto 973*989 Valoración: 1, 2 y 3 valen 20 pts. Y la 4 vale 40 pts. Bibliografía: - José Fernando Díaz Martín, Eider Arsuaga Uriarte, Jesús M. Riaño Sierra . Introducción al Álgebra. 1º Edición. Encuadernación Cartoné. Código 8497451287. - Mauricio Morales. El Arte del Cálculo Mental. Editorial Piedra Santa. 2010. Referencias Electrónicas. - http://www.google.com.gt/search?hl=es&biw=1276&bih=595&defl=es&q =define:%C3%81lgebra&sa=X&ei=heqcTMz5OIWdlgfMzNmECg&ved=0 CBgQkAE - http://html.rincondelvago.com/algebra_4.html - http://html.rincondelvago.com/origen-del-algebra.html - http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emar tinez/extension/indice.html Web Multimedia para la enseñanza de las matemáticas en Secundaria. Es del Gobierno Chileno, es muy buena. - http://www.redem.org/secundaria%20algebra.html temas de enseñanza del Álgebra en Secundaria - http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/nombres/ mate3a/mate3a.htm Una buena referencia de Historia del álgebra - http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/rtee/didmat.htm Didáctica de las Matemáticas en Secundaria.
