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Capitulo 1: Conjuntos. Pertenencia. Extensión y comprensión. Cardinal. Referencial. Conjunto de Números
Naturales
CONJUNTOS
INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO
La palabra CONJUNTO nos remite, intuitivamente a una agrupación o colección de objetos. Esta idea nos
sirve para introducirnos en el concepto de conjuntos que, en matemática es un término primitivo. Es decir no
lo definimos, no contestamos a la pregunta ¿qué es?. Sin embargo para que una colección de objetos sea un
conjunto, deberá cumplir algunas condiciones:
• UN CONJUNTO QUEDA DETERMINADO POR SUS ELEMENTOS QUE PERTENECEN A ÉL..
En símbolos lo escribimos así
Le ponemos como nombre una letra imprenta mayúscula y lo leemos: A es el conjunto formado por m, t y h
Diremos que h pertenece a A,
En símbolos
m pertenece a A, en símbolos:...................................
t pertenece a A, en símbolos....................................
k no pertenece a A,
en símbolos:
8 no pertenece a A, en símbolos...................
g no pertenece a A, en símbolos...................
2) PARA QUE UN CONJUNTO EXISTA ES NECESARIO QUE SUS ELEMENTOS ESTÉN
UNÍVOCAMENTE DEFINIDOS, (EXISTEN Y SON ÚNICOS)
Así, el conjuntos formados por "las letras del nombre de mi abuelo" no es un conjunto para la matemática,
pues sus elementos varían según quien los defina ( todos los abuelos no tienen el mismo nombre)
Los elementos no están unívocamente definidos, el conjunto no existe.
• EXISTE EL CONJUNTO VACIO
Esta característica aleja el concepto de conjunto de la idea intuitiva
¿ Cómo pensar la existencia de un conjunto vacío?
1
Hemos dicho que para que un conjunto queda determinado si sus elementos están unívocamente definidos.
Suponga que se le pide formar el conjunto de las ranas que maúlla. Ud. responderá "ninguna rana maúlla". El
conjunto es VACÍO no hay ranas que cumplan esa condición, los elementos están bien definidos pero no hay
ninguno.
El conjunto vacío es único y se representa simbólicamente:
ð
Obsérvese la diferencia con el punto 2
• UN CONJUNTO ESTÁ EXPRESADO POR EXTENSIÓN CUANDO SE NOMBRAN TODOS SUS
ELEMENTOS.
Así, el conjunto formado por las vocales de la palabra "tío", que llamaremos B, se escribe en símbolos:
EJERCICIO:
Expresar por extensión:
• A1 es el conjunto formado por los colores primarios
• A2 es el conjunto formado por las letras de la palabra MAMÁ
• A3 es el conjunto formado por los ríos que forman la Mesopotamia Argentina
• A4 es el conjunto formado por las provincias que forman la Mesopotamia Argentina
• A5 es el conjunto formado por los colores de la bandera argentina
• A6 es el conjunto formado por los nombres de los dos gases más importantes de la atmósfera
5) LOS CONJUNTOS SE REPRESENTAN GRAFICAMENTE MEDIANTE DIAGRAMAS DE VENN
Se trata de curvas cerradas . Dentro de la región interior se colocan los elementos, representamos el conjunto
A2 del ejercicio anterior
A2
• Los conjuntos se expresan por COMPRENSION utilizando una expresión proposicional que caracteriza a
los elementos
Antes de analizar esta propiedad, definiremos algunos términos:
6.1.− Se llama PROPOSICIÓN a toda oración aseverativa de la que podemos decir si es verdadera o falsa
La Luna gira alrededor de la Tierra
La Tierra es el quinto planeta del Sistema Solar
¿ Qué hora es?
¡ Salga de aquí!
Proposición VERDADERA
Proposición FALSA
NO es una proposición
NO es una proposición
6.2.− Considere la siguiente oración incompleta:
Considera la siguiente oración incompleta
"....... es una vocal"
2
¿Cuántas proposiciones verdaderas podemos obtener de esa oración incompleta?........
Escriba por extensión el conjunto, que llamaremos D, formado por todas las letras que, al reemplazar los
puntos suspensivos hacen una proposición verdadera.
A = {a,
En matemática
• a las oraciones incompletas se las llama expresiones proposicionales
• en lugar de puntos suspensivos se utilizan otras letras que se llaman variables ( x,y,z )
• sea que " ....... es una vocal"
en leguaje matemático se escribe
"x es una vocal"
Recordar: leemos equis pero pensamos en los puntos suspensivos. Aquí la equis es una variable
6.3.− Utilizamos expresiones proposicionales para definir conjuntos por COMPRENSIÓN.
Relee el primer ejemplo de las vocales, que has escrito por extensión, por comprensión:
• se escribe
• se lee: D es el conjunto formado por todos los x tales que x es una vocal
• significa: que es el conjunto formado por todos los valores que transforman a la expresión
proposicional " x es una vocal", en una proposición verdadera
EJERCICIO
Expresar por extensión los siguientes conjuntos:
A7 = {x / es una vocal de la palabrea "ambiguo"}
A8 = { x / x es una vocal de la palabra "Ana"}
CARDINAL DE UN CONJUNTO
La cantidad de elementos de un conjunto puede ser 0, el conjunto vacío, 1 como en el conjunto A8; 2 como
en el conjunto A2, etc.
El número de elementos de un conjunto se llama CARDINAL:
• El cardinal del conjunto vacío es cero
En símbolos:
Card (ð) = 0
3
• El cardinal del conjunto A8
En símbolos:
Card (A8) = 1
• El cardinal del conjunto A2
En símbolos:
Card (A2) = 2
EJERCICIO: Determine el cardinal de todos los conjuntos de esta sección. Escríbalos en lenguaje simbólico
CONJUNTO DE NUMEROS NATURALES
El conjunto de todos los cardinales se denomina CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES.
Notación:
Para referirnos al conjunto de Números Naturales con el cero, escribiremos N0 y para referirnos al conjunto
de Números Naturales sin el cero escribiremos: N
El conjunto de NUMEROS NATURALES:
• Es un conjunto ordenado según la relación de menor, y tiene primer elemento
• Es un conjunto infinito
• No es denso, porque entre dos elementos cualesquiera existe un número finito de números naturales
Podemos representar el conjunto de números Naturales en una recta numérica:
La flecha indica el orden creciente, complete con algunos de los naturales la recta, transportando
consecutivamente el segmento unidad
El orden de los números naturales se representa en la recta numérica:
Diremos, por ejemplo que
• 0 es menor que 3, en símbolos:
• 8 es mayor que 7:
Estas dos proposiciones en lenguaje simbólico se denominan inecuaciones
SUBCONJUNTOS DE N
Determinemos el conjunto H de los números Naturales menores o iguales que 3
Escribimos en lenguaje simbólico, por comprensión
Expresión que leemos H es el conjunto formado por todos los equis tales que equis es menor o igual que 3.
4
La expresión proposicional
Se denomina INECUACIÓN,
y se lee equis es menor o igual que 3
Los elementos del conjuntos H son los números que transforman la inecuación en una desigualdad verdadera.
El conjunto H por extensión es:
Expresaremos por comprensión y extensión el conjunto de números naturales menores o iguales que 3, pero
tomando como referencia el conjunto de Números Naturales con el cero:
Los conjuntos H y F son subconjuntos del conjunto de Números Naturales. Obsérvese que en ambos casos la
desigualdades utilizada es la misma, pero los conjuntos H y F son distintos, porque se ha variado el conjunto
referencial
Expresaremos por comprensión y por extensión el conjunto de números naturales mayores o iguales que 3 y
menores o iguales que 7
Se llama CONJUNTO REFERENCIAL a un conjunto que se determina previamente o se da por supuesto
dentro de un universo del discurso
El conjunto referencial se identifica con las letras E o U y se lo representa en los diagramas de Venn mediante
un cuadrado
EJERCICIOS
• Exprese por extensión los siguientes conjuntos
2) Expresar por comprensión
3) Dado el referencial E
Se pide:
• Expresar E por extensión
• Expresar por extensión los siguientes conjuntos
4) Dado el siguiente diagrama de Venn
Se pide:
− expresar por extensión:
El conjunto E=
El conjunto A=
El conjunto B=
El conjunto M1 formado por los elementos que pertenezcan a A o que pertenezcan a B
5
El conjunto M2 formado por los elementos de A que no pertenecen a B
El conjunto M3 formado por los elementos de B que no pertenecen a A
El conjunto M4 formado por los elementos que pertenecen a A y también a B
El conjunto M5 formado por los elementos de E que no pertenecen a A ni a B
− determinar el cardinal de los conjuntos anteriores
− representar los conjuntos en sendos diagramas
5) Diseñar un ejercicio similar al anterior
Capítulo 2: Operaciones con conjuntos. Inclusión
OPERACIONES CON CONJUNTOS
1.− PROPOSICIONES COMPUESTAS:
En el apartado anterior hemos analizado la verdad o falsedad de proposiciones simples. Es posible también
formar proposiciones compuestas utilizando los conectivos lógicos o e y
Veamos algunos ejemplos:
Entre las condiciones para participar en un concurso literario dice: " Podrán participar los alumnos de la
escuela o los familiares de los alumnos"
Inés es tía de Pedro y se ha anotado en el concurso.
María es alumna de 3er. Año y se ha anotado.
Juan es alumno de 1er año y hermano de Sebastián de 3er año, por lo tanto también participa.
En resumen, basta con que se cumpla una de las condiciones del enunciado, pueden inscribirse.
Es decir una proposición compuesta con el conectivo o, es verdadera si alguna de las proposiciones lo es.
Definimos el conectivo con una tabla de verdad
Dadas dos proposiciones p y q y la proposición compuesta p o q, entonces:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pvq
V
V
V
F
En cambio, en las condiciones para jugar fútbol en el club de la ciudad dice: "Para ser miembro del equipo el
postulante debe ser varón y mayor de 18 años"
6
Analía tiene 19 años pero como es mujer no puede participar
José tiene 17 años, no puede participar porque es menor
Pedro tiene 18 y como es varón ya se ha inscripto.
En resumen, el enunciado que contiene el conectivo y, exige que se cumplan las dos condiciones, es
decir, que sean verdaderas ambas proposiciones.
Definimos mediante una tabla de verdad el conectivo y
Dadas dos proposiciones p, q y la proposición compuesta p y q, entonces:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pyq
V
F
F
F
2.− Expresiones proposicionales compuestas
Sabemos que una expresión proposicional se transforma en proposición cuando se reemplaza la variable por
un valor. Por lo tanto, una expresión proposicional compuesta:
• con el conectivo o será verdadera cuando alguna de las proposiciones lo sea.
• Con el conectivo y, será verdadera sólo cuando todas las proposiciones simples lo sean
3.− Definiremos las operaciones entre conjuntos utilizando las expresiones proposicionales compuestas:
3.1.− UNIÓN DE CONJUNTOS:
Dados dos conjuntos A y B en un referencial E, se denomina conjunto unión a otro conjunto formado por
todos los elementos que pertenecen a A o que pertenecen a B
En símbolos:
Analice el conjunto M1 del ejercicio 4 del capítulo anterior y escríbalo como unión
3.2.− INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B en un referencial E, se denomina conjunto intersección a otro conjunto formados
por los elementos que pertenecen a A y a B
En símbolos:
¿Cuál de los conjuntos del ejercicio 4 del capítulo anterior corresponde a la intersección de conjuntos?
3.3.− DIFERENCIA DE CONJUNTOS
3.4.− COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
7
Ac se lee complemento de A
EJERCICIO:
Sean :
Hallar los siguientes conjuntos:
Capítulo 3: Operaciones en el conjunto de Números Naturales
OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES
1.−SUMA
=14
Los términos que intervienen en la operación suma se llaman sumandos. La palabra suma se utiliza para
referirse a la operación o al resultado
Propiedades de la suma:
1.− La suma es una ley de composición interna, es decir , siempre tiene resultado
2.− La suma es asociativa, es decir , que el resultado no varía si se realizan sumas parciales
3.− La suma es conmutativa, es decir el orden de los sumandos no altera la suma
4.− El cero es un elemento neutro para la suma
a
2
6
9
b
3
1
7
c
5
8
4
Asociatividad
(a+b)+c = a+(b+c)
Conmutatividad
a + b = b+a
Elemento Neutro
a+0=a
2.− MULTIPLICACIÓN
La multiplicación se construye a partir de la suma, es una suma particular donde todos los sumandos son
iguales
3 + 3 + 3 + 3 = 4.3 = (4)(3)
a+a+a=3a
Los términos de una multiplicación se llaman FACTORES, el resultado de la multiplicación se llama
PRODUCTO.
Indique cuáles son los factores y cuál el producto en:
6.5.7.2=
8
Propiedades del producto
Complete el cuadro
a
2
6
9
b
3
1
7
Asociatividad
(ab)c = a(bc)
c
5
8
4
Conmutatividad
ab = ba
Elemento Neutro
a.1 = a
EJERCICIOS
COMBINANDO OPERACIONES (Idea de Ferragina, Fisichella y Rey Lorenzo)
A) En el juego siguiente Ud. deberá formar palabras utilizando las letras de la palabra guía y luego colocar el
puntaje correspondiente. La letra L en los casilleros significa letra, la letra P significa palabra. Por ejemplo,
cuando una letra de la palabra que Ud. escribió queda en el casillero que dice 2L, deberá duplicar el valor de
la letra. Los valores de éstas figuran en la primera fila entre paréntesis. Puede repetir las letras de la primera
fila pero no puede usar otras
1
2
3
4
A(2)
2L
M(5)
I(3)
2P
4L
G(7)
3L
O(4)
S(6)
PUNTAJE
3P
3L
3P
GANA EL QUE FORMA CUATRO PALABRAS Y OBTIENE MAYOR PUNTAJE
• Después que un grupo de chicos jugó con el tablero anterior encontré este escrito en un papel:
• 2.6+3+7++3.2+5+4+6=
• (7+3+4.5+3+4)2=
• magias
• omiso
3.−LA DIFERENCIA
¿Puede calcular el puntaje que hizo
ese jugador? ¿Si coloca las palabras
en otro orden, se puede obtener más
puntaje ?
MINUENDO − SUSTRAENDO = DIFERENCIA O RESTA
PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA
NO es conmutativa PORQUE
• no es igual a 2−3
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN RESPECTO A LA DIFERENCIA
3( 6 − 2) = 3.6 − 3.2
3.4 = 18 − 6
9
12 = 12
4.− EL COCIENTE
DIVIDENDO
COCIENTE
RESTO
En la división se verifica que:
DIVIDENDO = DIVISOR . COCIENTE + RESTO
IGUALDADES. ECUACIONES . DESIGUALDADES. INECUACIONES
1.− Toda ecuación está compuesta por dos miembros separados por el signo igual
Los miembros de una igualdad pueden conmutarse
PRIMER MIEMBRO = SEGUNDO MIEMBRO
EJEMPLO
3 + 7 = 10 o bien
10 = 3+7
2.− Se llama IDENTIDAD a toda igualdad en la que figuran incógnitas y que es verdadera para cualquier
valor de las variables
EJEMPLO:
a+b=b+c
3.− Se llama ECUACIÓN a toda igualdad en la que figuran variables y que es verdadera para ciertos valores
de la variable
EJEMPLO:
3x = 15
x=5
RESOLVER una ecuación significa hallar los valores de la variable que la hacen verdadera
DESPEJAR la variable significa trasponer las constantes a uno de los miembros de modo que la variable
quede aislada en el otro. La transposición de términos se realiza utilizando la propiedad de los elementos
neutros de cada operación y respetando el orden de las operaciones.
EJEMPLOS
10
2(x + 4) = 24
2x + 4 = 24
2(x + 4)]/2 = 24/2
2x + 4 − 4 = 24 − 4
x = 24/2
2x = 24 − 4
x + 4 = 12
(2x) /2 = 20/2
x + 4 − 4 = 12 − 4
x = 20/2
x = 12 − 4
x = 10
x= 8
En el cuadro anterior se ha remarcado los pasos fundamentales. Los pasos intermedios pueden hacerse
mentalmente
4.− Una desigualdad es una expresión de dos miembros relacionados por un signo de menor o mayor
5.− Una inecuación es una desigualdad en la que figuran incógnitas
EJERCICIOS:
Resolver los siguientes ejercicios combinando operaciones:
Resolver las siguientes ecuaciones:
• POTENCIACION
BASE Exponente=POTENCIA
43=4.4.4=64
41=4
La potenciación es un caso particular de producto: todos los factores son iguales
En general: an=a.a....a
n veces
La base es el número que se multiplica
El exponente indica las veces que se multiplica la base
an se lee a elevado a la ene
43 se lee 4 a la tercera
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
• NO ES CONMUTATIVA PORQUE 34 NO ES IGUAL A 43
• Es didtributiva respecto a la producto y al cociente
11
Ejemplo: (3.2)3=33.32
• NO ES DISTRIBUTIVA respecto a la suma y a la diferencia
(3+2)3=53=125 que es distinto a 33+23=9+8=17
PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE:
El producto de potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es igual a la suma de
los exponentes de las potencias dadas
En símbolos:
an.am= am+n
EJEMPLO:
23.24=23+4=27
COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
El cociente de potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es igual a la
diferencia entre los exponentes de las potencias dadas
En símbolos:
an:am= am−n
EJEMPLO:
25:23=25−3=22
EXPONENTE CERO
El exponente cero aparece cuando dividimos dos potencias iguales:
EJEMPLO:
24:24=24−4=20
Pero, en este caso estamos dividiendo un número por sí mismo
24:24=1
Luego:
20=1
CONVENCIÓN: Todo número elevado a la cero da por resultado 1
POTENCIA DE POTENCIA
12
La potencia de otra potencia es una potencia de la misma base cuyo exponente es igual al producto de los
exponentes dados
(an)m= am.n
(24)3= (2)12
EJERCICIOS
• Calcule las siguientes potencias
B) Aplicando las propiedades de potencias de igual base resuelva:
DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS
Llamaremos número primo a aquel número que es divisible por sí mismo y por la unidad.
Los números que no son primos se llaman compuestos
Todo número natural puede escribirse como producto de factores primos, diremos que se ha factoreado.
Ejemplo:
180
90
45
15
5
1
divisores
2
2
3
3
5
Luego :
180 = 22325
MULTIPLO COMÚN MINIMO (m.c.m): Dados dos o más números factoreados se llama múltiplo común
mínimo al producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente
DIVISOR COMÚN MÁXIMO (d.cm): Dados dos o más números factoreados se llama divisor común
máximo al producto de los factores comunes con su menor exponente.
Ejemplo:
Sea hallar el m.c.m y d.c.m de 180, 150 y 60
Descomponiendo esos números en sus factores primos resulta:
180 = 22325
300 = 22.3.52
13
120 = 23.3.5
Luego:
mcm (180,150,60 )= 23.32.52 = 600
dcm (180,150,120) = 22.3.5 = 60
• RADICACIÓN
La radicación es una operación inversa a la potenciación
En general:
Resolviendo ecuaciones:
1) Calcule las siguientes raíces:
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN
• No es conmutativa
• Es distributiva respecto al producto y al cociente
• NO es distributiva ni asociativa respecto de la suma y de la resta
EJERCICIO
Resuelva las siguientes ecuaciones
7.− LOGARITMACIÓN
LOGARITMOS
Si pretendemos resolver la ecuación
nos encontramos conque no existe ninguna operación, de las que conocemos, que nos permita despejar la
incógnita. Ello hace necesario la definición de una nueva operación, la LOGARITMACIÓN
Introducción a la definición
En el ejemplo anterior, el valor de equis es 4. Es decir, que la nueva operación determina exponentes
El logaritmo de 81 en base 3 es el exponente 4, es decir, 4 es el número al que hay que elevar la base 3 para
obtener 81
Escribimos:
Leemos: logaritmo en base 3 de 81 es igual a 4
Es decir: EL LOGARITMO ES UN EXPONENTE
14
DEFINICIÓN
Ejemplo:
EJERCICIO:
Calcular los siguientes logaritmos utilizando la definición
Capítulo 4: El lenguaje matemático
En los capítulos anteriores habrá observado que, en varias ocasiones hemos agregado la leyenda "se lee". Esto
es sumamente importante para aprender a leer el lenguaje simbólico que se utiliza.
Este lenguaje es escrito y es universal cada uno lo oraliza en lenguaje coloquial en su lengua materna, así el
símbolo 4 se lee cuatro en español, four en inglés, etc.
Pero con ese signo estamos definiendo el cardinal de un conjunto.
El lenguaje simbólico es específico, no debe ser ambiguo ni contradictorio, pero al leerlo no debemos perder
de vista la estructura que describe
Por ejemplo:
Si escribimos x + 5 = 8,
Podemos leer: equis más cinco es igual a 8
Y esto significa: Busque el número al que sumándole cinco dé por resultado 8
Es en función de este significado que escribimos x = 3
Nos plantearemos ahora el problema de traducir del lenguaje coloquial al lenguaje simbólico:
Ejemplo:
¿Cuál es el número cuyo doble más 1 es igual a 9? Es obvio que la respuesta se puede calcular mentalmente
en este caso, lo que facilitará el análisis:
¿Qué buscamos? Un número, esa es la incógnita, x
El doble del número 2x
15
El doble del número más 1 2x +1
El doble del número más 1 es igual a 9 2x + 1 = 9
Para encontrar el número buscado resolvemos la ecuación.
LENGUAJE COLOQUIAL Y LENGUAJE SIMBÓLICO
Compete el cuadro
El doble de un número
El triple de un número
El siguiente de un número
El anterior de un número
3x+2
La raíz cúbica de
El cuadrado del siguiente número
X5
El cubo de la suma entre un número y tres
El cubo de un número más tres
El duplo de un número más su triplo
La mitad de un número más seis
2x3
La mitad de la suma entre un número y ocho
El cubo de la suma de los números
Capítulo 5: Conjunto de Números enteros
1.− Necesidad de su creación
Ecuaciones del tipo x+5=3 no tienen solución en el conjunto de Números Naturales
Esto generó la necesidad de crear un conjunto de números que diera solución a la operaciones similares al
3−5.
El conjunto Z de números enteros está formado por los números positivos, los negativos y el cero.
Llamaremos
2.− Módulo de un entero (valor absoluto)
El módulo de un número es la distancia al cero .
La distancia es un número positivo
3.− NUMEROS OPUESTOS
Dos enteros distintos son opuestos si tienen el mismo módulo
16
La expresión
−x se lee el opuesto de un número
Sabemos que: el opuesto de +2 es −2; el opuesto de −6 es +6, aplicando la expresión que define el opuesto en
lenguaje simbólico resulta:
EJERCICIO: Expresar por extensión
4.− ORDEN EN EL CONJUNTO DE NUMEROS ENTEROS
En la recta numérica, (ver página anterior) la flecha indica el orden creciente.
Ese orden debe mantenerse al agregar los números negativos
Diremos que:
• Dados dos números positivos, es mayor el de mayor valor positivo
• Dados dos números negativos es mayor el de menor valor absoluto
• Todo número positivo es mayor que cero
• Todo número negativo es menor que cero
Así:
EJERCICIO 2
Coloque el signo que corresponda: mayor, menor o igual
5.−OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS
Dada la correspondencia entre los números naturales y los números positivos al definir las operaciones no
pueden contradecirse las definiciones ni las propiedades de ellas sino que deben ampliarse
A.− SUMA ALGEBRAICA:
1.1.−Para definir la suma debemos tener en cuenta que se debe verificar la igualdad
De esta expresión los matemáticos acuerdan una convención
1.2.− Resta o diferencia
Recordemos que:
Resolvemos:
EJERCICIO 3
1.− Realice Las Siguientes Sumas Algebraicas
2.− Resuelva Las Siguientes Ecuaciones
3.− Represente en la recta numérica los siguientes conjuntos
17
B.− PRODUCTO DE NUMEROS ENTEROS
Por la correspondencia entre los números naturales y los positivos sabemos que
Multiplicar dos por cinco significa sumar dos veces el cinco. Teniendo en cuenta esta definición de producto y
que la multiplicación es conmutativa podemos calcular
Pero nos falta encontrar un significado para el producto de dos números negativos:
Sobre la base de estas deducciones concluímos:
EJERCICIO 4
1.− Resuelva los siguientes productos
2.− Resuelva las siguientes ecuaciones
3.− Al trabajar con números naturales utilizamos un juego para practicar las operaciones.
Use las mismas reglas en cada tabla
TABLA 1 (Idea de Ferragina, Fisichella y Rey Lorenzo)
L
O
Q
U
I
T
A
S
−2
4
10L
8
5
−3
−4L
1
2
−1
PUNTAJE
−2L
4P
(−1)P
−2L
−3L
9L
−3L
−L
2P
ACTIVIDADES PARA REALIZAR CON LA TABLA
• Indique qué puntaje le corresponde a la palabra ALQUILAS, en cada fila Escriba el desarrollo del
cada cálculo.
• En qué orden colocaría las siguientes palabras para obtener mayor puntaje total: AQUILATO,
SOLITAS, SOLISTA, ILUSOS, ALISTA, SALTITO, ATLAS, TALLOS
• Escriba el puntaje como ejercicio que combina operaciones de suma y producto de enteros y compare
resultados.
C.− COCIENTE DE NÚMEROS ENTEROS
La división es la operación inversa a la multiplicación. Ud. sabe que, por ejemplo, 14 dividido 7 es 2 porque 2
por 7 es igual a catorce. Entonces está en condiciones de realizar las siguientes divisiones
Enuncie la regla de los signos
El cociente de dos números enteros del mismo signo es......................
El cociente de dos números enteros de distinto signo es......................
18
EJERCICIO 5
1.− Calcular
2.− Hallar x
APLICACIONES
1) FACTOR COMÚN
El cálculo del factor común es la inversa de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto al
producto.
Dada una suma para calcular el factor común se procede así:
• Se determina el d.c.m , llamado factor común, de los sumandos
• Se divide cada sumando por el factor común, obteniéndose los nuevos sumandos
• El resultado es el producto del factor común por la suma de los nuevos sumandos obtenidos en el paso
anterior.
EXTRAER FACTOR COMÚN
ECUACIONES DEL TIPO: ax + b = cx +d
En la ecuación
Vemos que en cada miembro hay un término en x y otro término sin x :no es posible sacar factor común, pero
podemos agrupar los términos en x en un miembro y los sin x en el otro: así:
FORMA ABREVIADA (pasaje o trasposición de términos): El primer paso de la resolución y el tercero se
pueden realizar mentalmente.
Entonces diremos que el 5 que está sumando pasa al segundo miembro restando
El 6x que está sumando pasa al primer miembro restando.
En el paso 5 el −4 está multiplicando pasa al otro miembro dividiendo.
Recuerde que en la trasposición de términos nunca hay cambio de signos sino cambio de operación
Utilice el procedimiento anterior para resolver las siguientes ecuaciones:
PROPIEDAD DEL PRODUCTO IGUAL A CERO
Si el producto de varios números es igual a cero entonces alguno de los factores es igual a cero
En símbolos:
Utilizamos esta propiedad para resolver ecuaciones:
Usando la propiedad anterior resuelva:
19
PRODUCTO DE LA SUMA DE DOS NÚMEROS POR SU DIFERENCIA
El producto de dos números por su diferencia es igual al a la diferencia entre los cuadrados de dichos números
Resuelva las siguientes ecuaciones utilizando esta propiedad:
• POTENCIACION EN EL CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS
La definción de potencia es la misma que en los números naturales, veamos:
Complete el cuadro de la regla de los signos de la potencia
BASE
Positiva
Positiva
Negativa
Negativa
EXPONENTE
par
impar
par
impar
POTENCIA
E.− RADICACIÓN
La radicación es la operación inversa a la potenciación:
Complete:
Radicando
Indice
Positiva
par
Positiva
Negativa
Negativa
impar
par
impar
Raíz
Dos raíces una positiva y
otra negativa
EJERCICIO 7
...
..
Capítulo 6: Conjunto de Números Racionales
FRACCIONES − NUMEROS RACIONALES
La ecuación:
2x=5
no tiene solución en el conjunto de números enteros. Aplicando las reglas de resolución de ecuaciones
resulta:
El resultado obtenido es una fracción: el cociente indicado de dos números enteros.
20
Llamamos:
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS RACIONALES
CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES
1.− Son FRACCIONES EQUIVALENTES las que representan el mismo punto en la recta numérica.
EJEMPLO:
2.− Son fracciones irreductibles aquellas cuyo numerador y denominador son números coprimos, es decir no
tienen divisores comunes.
EJEMPLO:
3.− Son fracciones aparentes aquellas cuyo numerador es múltiplo del denominador. Son números enteros
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES
1.− SUMA DE FRACCIONES
Para sumar fracciones es necesario que tengan el mismo denominador.
Para reducir fracciones a común denominador se procede así:
• Se determina el m.c.m. de los denominadores de las fracciones. Sumandos
• Se calculan las fracciones equivalentes con ese denominador de cada sumando
EJEMPLOS:
2.− PRODUCTO DE FRACCIONES
El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores de los
factores, y cuyo denominador es el producto de los denominadores de los factores
EJEMPLO
3.− INVERSO MULTIPLICATIVO
El inverso multiplicativo de una fracción es otra fracción tal que multiplicada por la primera da por resultado
1
El inverso multiplicativo de
4.− COCIENTE ENTRE DOS FRACCIONES
El cociente entre dos fracciones es igual al producto entre el dividendo y el inverso multiplicativo del divisor
5.− POTENCIACION Y RADICACIÓN DE FRACCIONES
EJEMPLO:
POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO
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Sabemos que al dividir dos potencias de igual base se obtiene otra potencia de la misma base, cuyo exponente
es igual a la diferencia entre las potencias dadas.
Veamos este caso donde, de la aplicación de la regla resulta un exponente negativo
Analicemos el significado de esta expresión tratando de resolver el ejercicio:
Resulta entonces que:
Utilizando esta inducción, definimos:
Ejercicio:
Calcule las siguientes potencias
TRABAJO PRÁCTICO
A) COMPLETE Y RESUELVA
• Fracciones equivalentes
2.− Suma algebraica
3.− Calcular
4− Resolver las siguientes ecuaciones
5.− Problemas
• El doble de un número más un medio es 16 ¿Cuál es el número?
• Los dos tercios de un número más 1 es igual a cinco cuartos. ¿Cuál es el número?
• Se tiene un patio de 12 m por 4m. Se quieren embaldosar los dos tercios del patio ¿Cuántos m2 quedarán
sin embaldosar?
• Le hicimos un regalo a mi sobrino que costó $ 150.− Yo pagaré un quinto del total, mi hermanados tercios
y mi mamá el resto ¿Cuánto pagará cada una?
• Un tanque se llena en 6 hs. si se utiliza una canilla de las dos que tiene conectadas. Si se utiliza sólo la otra
se llena en 3 hs.¿ En cuánto tiempo se llenará utilizando las dos simultáneamente?
Capitulo 7: Números Irracionales
1.− Nos planteamos un problema:
¿Como calcular x?
Si aplicamos la propiedad de producto de potencias de igual base, factoreando previamente el 4, resulta:
Pero además es:
Entonces :
También se verifica que:
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Pero:
:Luego:
Teniendo en cuenta esta inducción, definimos:
Potencia de exponente fraccionario:
Capítulo 9: NÚMEROS COMPLEJOS
1. LA UNIDAD IMAGINARIA
Ecuaciones del tipo
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