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Función Cuantil
La función cuantil de una variable aleatoria (o de una ley de probabilidad) es la
inversa de su función de distribución. Cuando la función de distribución es
estrictamente creciente, su inversa está definida sin ambigüedad. Pero una función
de distribución se mantiene constante en todo intervalo en el cual la variable
aleatoria no puede tomar valores. Es por esto que se introduce la siguiente
definición.
Definición 3.8
Sea
una variable aleatoria con valores en
de distribución. Se llama función cuantil de
denotada por
, que a
a la función de
su función
en
,
hace corresponder:
Por convención, podemos decidir que
y
,y
es el menor de los valores posibles de
es el mayor; pueden ser eventualmente infinitos.
Leyes discretas.
La función cuantil de una variable aleatoria discreta es una función en escalera, al
toma los valores
igual que su función de distribución. Si
puestos en orden creciente, la función de distribución es igual a:
en el intervalo
. La función cuantil vale:
Por ejemplo, para la ley geométrica
para todo
Leyes continuas.
,
, vale
, la función cuantil es la función que,
en el intervalo
.
Vamos a situarnos en el caso más frecuente, en el que la densidad
es
estrictamente creciente en un intervalo de
(su soporte) y nula fuera de él. Si el
intervalo es
, la función de distribución se anula antes de
, si
es finito,
crece estrictamente de 0 a entre y y vale después de , si es finito. Todo
valor
estrictamente comprendido entre 0 y
se alcanza una vez y una sola por
. El valor de
es el único punto
, comprendido entre
y
, tal que
.
Calculemos como ejemplo la función cuantil de la ley exponencial
. Para todo
función de distribución
, con
:
La función cuantil es un instrumento para describir la dispersión de una ley. Si se
realizan un gran número llamadas independientes de la misma ley (obtención de
de los valores sea inferior a
una muestra), se debe esperar que una proporción
. Un valor importante es la mediana,
. Los valores de la función
cuantil son empleados más frecuentemente en estadística que los valores de la
función de distribución. Se utiliza frecuentemente en especial los intervalos de
dispersión, entendiendo esto como que deben contener una proporción grande de
los datos.
Definición 3.9
Sea
una variable aleatoria y
llama intervalo de dispersión de nivel
un número real entre 0 y
. Se
a todo intervalo de la forma:
donde
En estadística emplear números reales
entre 0 y
constituye una tradición. La
misma tradición hace que se les asigne prioritariamente los valores
y
,
menos frecuentemente
,
ó
. Por tanto debemos leer
como
``una proporción débil'', y
como ``una proporción fuerte''. Un intervalo de
dispersión de nivel
es uno tal que
para
pertenece a ese intervalo con
: el contiene, por tanto, a una fuerte proporción de la densidad,
probabilidad
aún si el es, en general, mucho más pequeño que el soporte de la ley. Existen, en
general, una infinidad de intervalos de dispersión de un nivel dado.
Presentamos algunos de nivel
para la ley normal
.
, decimos que un intervalo de dispersión de nivel
Según sean los valores de
es:
unilateral inferior si
,
unilateral superior si
simétrico si
,
,
optimal si su amplitud es la más pequeña de entre todos los intervalos de
dispersión de nivel
.
Determinar un intervalo de dispersión optimal requiere, en general, de un cálculo
especial salvo en el caso en que la ley es simétrica, como una ley normal o una ley
de Student. Decimos que la ley de
es simétrica si para todo
,
Se demuestra que si la ley de
es simétrica, entonces el intervalo de dispersión
simétrico es optimal. Otra aplicación importante de la función cuantil es el método
de inversión, el cual es un método general que consiste en simular una variable
aleatoria de cualquier ley, combinando el empleo de la función Random con el de la
función cuantil de la variable.
Proposición 3.10
Sea
correspondiente y
aleatoria
una función de distribución real,
la función cuantil
una variable aleatoria de ley uniforme en
tiene a
Demostración : Para todo
. La variable
por función de distribución.
, tenemos:
Ejemplo :
La función cuantil de la ley exponencial
valor:
hace corresponder a
el
porque Random y
Random
De aquí obtenemos el algoritmo de simulación:
Random
No vale la pena calcular
tienen la misma ley.
Random
El método de inversión no es exacto, a menos que se conozca la expresión explícita
, como es el caso de la ley exponencial. Esto raramente sucede. Si
de
queremos aplicar el método a la ley normal, por ejemplo, será necesario utilizar un
algoritmo de aproximación. Además de la imprecisión, el método de inversión será
, el
relativamente lento. Aún cuando se conoce explícitamente la expresión de
método de inversión es raramente el más eficaz para las variables continuas. Sin
embargo es aplicable a gran cantidad de leyes discretas.
Supongamos que
toma los valores
, ordenados por orden creciente.
Denotemos por
el valor de la función de distribución en el intervalo
El algoritmo de simulación por inversión es el siguiente.
.
Random
MientrasQue
(
)
finMientrasQue
Modifiquemos ligeramente el algoritmo añadiéndole una interpolación lineal.
Cuando
cae en el intervalo
ahora va a dar el valor:
, en lugar de dar
, como inicialmente,
El resultado es reemplazar la función de distribución en escalera por una función de
distribución lineal a trozos que pasa por los puntos
. La distribución de
probabilidad correspondiente tiene como densidad a una función en escalera
(constante en cada intervalo
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). Es un histograma.