Download to get the file

EJERCICIOS UNIDAD 2
1) Recordemos algunos conceptos básicos como el área de un
cuadrado y de una circunferencia.
a) Si a partir de un cuadrado inicial se construye un
segundo cuadrado cuyo lado es igual a la diagonal
del primero, ¿qué relación hay entre las áreas de los
dos cuadrados?
b) Explica cómo construir, con un compás y una
escuadra, una circunferencia de área doble que otra
dada.
SOLUCIÓN
a)
x
.
y
Llamando A al área del cuadrado
inicial, de lado x, se tiene: A=x2
Si A´ es el área del segundo cuadrado,
de lado y, se tiene: A´=y2
Por el teorema de Pitágoras: y2 =2 x2 ,
valor que sustituimos en la expresión
anterior: A´= 2x2 = 2A
Es decir: el área del segundo cuadrado
es el doble del área del cuadrado inicial.
b)
.
Dada la circunferencia de radio r, con
área S=r2, buscamos el radio R de otra
circunferencia de área doble S´.
Entonces:
r
r
R
S´=2S  R2=2r2  R2=2r2
Por tanto, la siguiente construcción es
una posible solución: con ayuda de la
escuadra, trazamos un triángulo
rectángulo cuyos catetos tengan la
misma longitud que el radio dado r. La
hipotenusa de este triángulo se toma
como nuevo radio R, para trazar con el
compás la circunferencia buscada.
2) Realiza una construcción con el programa RyC para ilustrar
uno de los teoremas relativos a los triángulos rectángulos. Utiliza
fórmulas y textos que ayuden a comprobar el resultado
correspondiente y asegúrate de que, al mover los vértices, el
triángulo sea siempre rectángulo. Debes elegir dicho teorema
(solamente uno) entre los siguientes:
a) Teorema de Pitágoras.
b) Teorema de la altura.
c) Teorema del cateto.
SOLUCION
a) Archivo Pitágoras.zir
b) Archivo Altura.zir
c) Archivo Cateto.zir
3) Veamos que la semejanza es una característica de muchos
objetos cotidianos.
a) Mide los lados de una hoja DINA4, dóblala
después por la mitad y tendrás dos hojas DINA5.
Comprueba que las hojas de ambos tamaños son
semejantes.
b) Si se quiere diseñar una revista tal que, al
abrirla, no cambie “de forma”, ¿cómo podría
conseguirse? Es decir ¿cuál debe ser la razón entre
los lados de cada página?
SOLUCION
a)
A5
A4
297 mm
mm
148´5 mm
mm
210 mm
mm
210 mm
mm
lado grande 297 210


 1´414 , por tanto las dos
lado pequeño 210 148´5
hojas son semejantes y la razón de semejanza es,
aproximadamente, 1´414.
b) Llamando a los lados de la página a, b, se tiene:
b
a
b

 b 2  2a 2 
 2
a b/2
a
Así, resulta: la razón entre los lados de cada página debe
ser la misma del apartado anterior: 2  1'414
4) Un caso de mínima distancia con resolución geométrica:
Se tienen tres poblaciones A, B y C, tales que las distancias entre ellas son
AB=9Km, AC=17Km y BC=12Km y se desea construir un centro de reciclado
de residuos común a todas ellas, en un punto P tal que la suma de distancias
PA+PB+PC sea mínima.
Para resolverlo, recordaremos el problema geométrico conocido
como problema de Fermat y usaremos la resolución gráfica que
se muestra en la figura siguiente. Para hallar P tal que la suma de
distancias PA+PB+PC sea mínima, basta construir los triángulos
equiláteros ABC´, BCA´ y ACB´ La solución P es el punto de corte
de las rectas AA´, BB´ y CC´.
Dibuja la figura correspondiente al caso de las tres poblaciones
dadas para hallar P y ayúdate de una regla para calcular
aproximadamente PA+PB+PC. Compárala con las siguientes
longitudes: AA´, BB´ , CC´ y P´A+P´B+P´C, siendo P´ un punto
distinto de P que debes situar en el interior del triángulo. ¿Crees
que la suma PA+PB+PC es mínima para el punto P hallado?
NOTA:
Si quieres comprobar dónde hay que
situar el punto P, abre la construcción de
RyC llamada Fermat experimenta. Te
permite mover libremente el punto P
mientras observas el valor de la suma de
distancias.
Si tienes curiosidad por conocer una
demostración de la solución al problema
de Fermat, puedes abrir el archivo
Fermat.pdf.
SOLUCIÓN
La figura está realizada con el programa Regla y Compás. Puede
observarse que el valor de la suma PA+PB+PC coincide con las
longitudes AA´=BB´=CC´. Todas ellas miden aproximadamente
20’87 km, mientras que para cualquier otro punto P´, la suma
P´A+P´B+P´C es mayor.
5) Una conocida firma de pavimentos desea lanzar al mercado
una línea de azulejos “de oro”, es decir, con proporción áurea,
cuyo lado menor debe medir 15cm.
a) Haz un dibujo a tamaño natural de dicho azulejo
áureo, explicando el proceso. (Puedes ayudarte de
algún programa como RyC, Autocad, etc.).
b) El diseñador afirma que si se corta un cuadrado
de 15cm de lado de uno de dichos azulejos áureos,
el pedazo restante es, a su vez, un azulejo áureo.
¿Es eso cierto?
SOLUCIÓN
a) Una manera de construir el azulejo áureo de lado
menor 15 cm es la siguiente:
Cuadrado ABPQ de lado 15 cm.
Punto M: punto medio de AQ.
Circunferencia de centro M, radio MP
Punto D: intersección circunferencia y recta AQ
Azulejo áureo: ABCD
b) Al cortar del azulejo el cuadrado ABPQ, el azulejo
restante QPCD también es un rectángulo áureo, ya que
sus proporciones son las mismas, como podemos
comprobar con las medidas de la figura:
lado mayor
24 '3 15


 1'6
lado menor
15
9 '3
Esta es una propiedad que caracteriza a los rectángulos
áureos y que demostraremos a continuación para un
rectángulo áureo construído como se explica en el
apartado a) con lado menor AB=2AM=2a.
Según la figura anterior, su lado mayor es
AD=AM+MP=a+MP y podemos hallar MP aplicando el
teorema de Pitágoras al triángulo MQP. Se tiene
MP  MQ 2  QP 2  a 2  (2a ) 2  a 5 , de donde
resulta el lado mayor AD  a (1  5) .
Por otra parte, el rectángulo pequeño PQCD tiene lado
mayor CD=2a y su lado menor es
QD  MD  a  MP  a  a( 5  1) .
Sólo falta probar que ambos rectángulos son semejantes:
lado mayor
a(1  5)
2a


lado menor
2a
a ( 5  1)
Esta expresión es cierta, pues al multiplicar en cruz, los
dos productos son iguales a 4a2 .
Por tanto los rectángulos son semejantes y la razón de
(1  5)
 1'618 .
semejanza es el número áureo φ 
2
6) La siguiente figura geométrica sirve de base al anagrama de
una cadena autonómica de TV.
a) ¿Cuánto mide el ángulo de cada una de las
cinco puntas de la estrella?
b) ¿Cuáles son los ejes de simetría de la figura?
c) ¿Qué rotaciones dejan invariante la figura?
B
Q


P
A
a) Hallaremos el ángulo A, correspondiente a la punta de estrella situada en la parte
inferior del dibujo:
Los ángulos del pentágono suman 2(5-2)rectos, o sea, 3·180º y son todos
iguales. Por tanto P̂ =3·180/5=108º
En el rombo APBQ, los ángulos suman 2(4-2)rectos, o sea, 2·180º y los ángulos
opuestos son iguales, por tanto P̂ +=180º, de donde resulta el valor del ángulo
: =180º-108º=72º.
Por la simetría a ambos lados de la figura, Â +2=180º, luego el ángulo buscado
 =180º-2·72º=36º.
Teniendo en cuenta la simetría de la figura, podemos decir que los cinco ángulos de las
puntas de la estrella son iguales, por lo cual cada ángulo de una punta de la estrella
mide 36º.
b) Los ejes de simetría de la figura son las 5 rectas que pasan por un vértice del
pentágono y el centro del lado opuesto, marcadas en rojo sobre la figura.
c) Las rotaciones con centro en el centro del pentágono y ángulo 72º dejan invariante la
figura. (Marcadas en verde).