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CINEMÁTICA I - Movimiento Vectorial
> CONCEPTOS PREVIOS
Para poder entender las explicaciones posteriores, vamos a aclarar unos conceptos
básicos del movimiento vectorial:
•
El sistema de referencia es un punto fijo respecto al cuál describimos el
movimiento.
•
Hay movimiento cuando se produce un cambio de posición de un cuerpo
respecto al sistema de referencia.
•
Un sistema está en reposo si no se produce cambio de posición en un intervalo
de tiempo.
> VECTOR POSICIÓN
A) VECTOR POSICIÓN
El vector de posición, es un vector que tiene como origen el origen de
coordenadas (sistema de referencia elegido) y como extremo el lugar que ocupa el
cuerpo en el extremo XY o XYZ. La unidad de posición en el Sistema Internacional es
el metro (m).
EJEMPLO: Vector ř = 3î + 5ĵ m , realizar la representación gráfica, calcular el
módulo y el ángulo, y comprobar el resultado:
- Lo descomponemos en:
•
•
COMPONENTE X: 3
COMPONENTE Y: 5
- Su representación es la siguiente:
Fig1-T3: Representación del vector
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- Para calcular el módulo realizamos la raíz cuadrada de la suma de la
componente X más la componente Y, ambas elevadas al cuadrado:
|ř| = (32+52)1/2 = 5,83 m
- Para calcular el ángulo realizamos la arcotangente de la componente X entre
la componente Y:
α = arctg X/Y = arctg 5/3 = 59,03º
- Para comprobar el resultado del ángulo y del módulo, realizamos:
x = |ř|• cos α = 5,83 • cos59,03º = 3 m
y = |ř|• sen α = 5,83 • sen59,03º = 5 m
B) ECUACIÓN DE POSICIÓN
La ecuación de posición, es la que expresa como función del tiempo el vector de
posición. Por lo tanto si aparece el factor tiempo "t" en una ecuación de posición,
quiere decir que ese cuerpo está en movimiento. Un ejemplo de ecuación de posición
es la siguiente:
ř = 7t î + 16t ĵ m
Fácilmente podemos averiguar la posición del cuerpo en un tiempo determinado,
solo tenemos que sustituir en la ecuación, el tiempo. Ejemplo:
- Posición del cuerpo para t = 3 s
ř (3) = 7•3 î + 16•3 ĵ = 21 î + 48 ĵ m
- Posición del cuerpo para t = 5 s
ř (5) = 7•5 î + 16•5 ĵ = 35 î + 80 ĵ m
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C) DESPLAZAMIENTO
El desplazamiento es la variación de la posición de un cuerpo, o sea la diferencia
entre la posición final y la inicial. La fórmula del desplazamiento es la siguiente:
∆ř = ř (final) - ř (inicial)
Fig2-T3: Desplazamiento de un móvil que se mueve de A a B
D) TRAYECTORIA Y ESPACIO RECORRIDO
La trayectoria son las posiciones sucesivas que va ocupando un móvil al pasar el
tiempo.
El espacio recorrido es la distancia medida sobre la trayectoria entre la posición
final e inicial.
Solo coincide el espacio recorrido con el desplazamiento, cuando el movimiento es
rectilíneo y sin cambio de sentido, por lo tanto nunca coinciden en movimiento
circular.
> VECTOR VELOCIDAD
A) CONCEPTO DE VELOCIDAD
La velocidad es la variación de la posición de un cuerpo en relación con el tiempo.
También se puede definir como la rapidez con la que un móvil cambia de posición. La
unidad en el Sistema Internacional de la velocidad es el metro partido de segundo
(m/s). Distinguimos dos velocidades:
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B) VELOCIDAD MEDIA (vm)
La velocidad media (vm), es el cociente del vector desplazamiento (∆ř) y el
intervalo de tiempo trascurrido (∆t). La fórmula que describe la velocidad media, es
la siguiente:
^
Vm = ∆ř/∆t
C) VELOCIDAD INSTANTÁNEA (v)
La velocidad instantánea (v), es la velocidad del móvil en un instante
determinado, e se obtiene derivando su ecuación de posición. Es el valor al que
tiende la velocidad media para un intervalo de tiempo próximo a cero.
^
V = dř/dt
Fig3-T3: Vector velocidad instantánea
* Para calcular la velocidad instantánea seguimos los siguientes pasos:
1. Derivamos la ecuación de posición
2. Sustituimos por el tiempo en la función derivada
> VECTOR ACELERACIÓN
A) CONCEPTO DE ACELERACIÓN
La aceleración, es la variación de la velocidad de un cuerpo con el paso del
tiempo. También se puede definir como la rapidez con la que un móvil cambia de
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velocidad. La unidad de aceleración en el Sistema Internacional, es el metro partido
de segundo elevado al cuadrado (m/s2).
B) ACELERACIÓN MEDIA (am)
La aceleración media (am), es el cociente de la variación de la velocidad entre el
tiempo. La fórmula que describe la aceleración media es la siguiente:
^/t
âm = ∆V
C) ACELERACIÓN INSTANTÁNEA (a)
La aceleración instantánea (a), es la aceleración de un móvil en un instante
determinado. Es el valor al que tiende la aceleración media para un intervalo de
tiempo próximo a cero.
â = d/dt
D) COMPONENTES INTRÍNSECAS DA ACELERACIÓN
•
ACELERACIÓN TANGENCIAL: es la aceleración que produce cambios en el
módulo de la velocidad.
ât = dv/dt ût
•
ACELERACIÓN NORMAL O CENTRÍPETA: esta aceleración produce cambios
en la dirección de la velocidad, pero no afecta al módulo de la velocidad.
Aparece en los movimientos curvilíneos.
âc = - v2/ r ûc
•
ACELERACIÓN TOTAL: es la suma de la aceleración tangencial con la
aceleración centrípeta.
â(total) = ât + âc
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Fig4-T3: Representación de las aceleraciones
EJEMPLO: Las coordenadas x,y de un punto móvil, están expresadas por:
x = 5t2 - 4t
y = 2t2 + 5
- Calcula el vector velocidad y aceleración a los 5 segundos.
1.- Escribimos vector de posición:
ř = (5t2 - 4t)î + (2t2 + 5)ĵ m
2.- Derivamos y calculamos el vector velocidad instantánea:
^
V = (10t - 4)î + (4t)ĵ m/s
3.- Substituimos la t por 5:
^
V(5)= (10 · 5 - 4)î + (4 · 5)ĵ
^
V(5) = 46 î + 20 ĵ m/s
4.- Derivamos la ecuación de velocidad instantánea para calcular la
aceleración instantánea:
â = (10)î + (4)ĵ m/s
5.- Substituimos la t por 5, pero como no hay ninguna, la aceleración a
los 5 s queda igual:
â = (10)î + (4)ĵ m/s
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> CÁLCULO DEL VECTOR POSICIÓN
En los puntos anteriores, explicamos como conseguir el vector velocidad o
aceleración a partir del vector posición, pero si tenemos el vector aceleración,
¿Podemos calcular el vector posición?
Pues si, para calcularlo, tenemos que hacer uso del cálculo integral siguiendo el
esquema que aparece a continuación:
Esq1-T3: Relaciones integrales de los vectores
Entonces para conseguir el vector posición a partir del vector aceleración,
hacemos:
1. Calculamos el vector velocidad: ∫(vector aceleración) dt + (velocidad
inicial)
2. Calculamos el vector posición: ∫(vector velocidad) dt + (posición inicial)
> ESQUEMA
En el esquema siguiente, aparecen todas las relaciones matemáticas, tanto para
conseguir la velocidad o aceleración a partir de la posición, como para conseguir la
posición o la velocidad a partir de la aceleración:
Esq2-T3: Esquema básico cálculo vectorial cinemático
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