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Derivada
Valor límite de la relación entre el incremento del valor de una función y el incremento de
la variable independiente, cuando este tiende a cero.
La derivada de una función en un punto x0 surge del problema de calcular la tangente a la
gráfica de la función en el punto de abscisa x0, y fue Fermat el primero que aportó la
primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos
puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman
con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los
que las tangentes fueran horizontales
La función f es derivable en a si existe:
En este caso el límite se designa por f' (a) y recibe el nombre de derivada de f en a.
(Decimos también que f es derivable si f es derivable en apara todo a del dominio de f.)
Definimos la tangente a la gráfica de f en (a, f (a)) como la recta que pasa por (a, f (a)) y
tiene por pendiente f' (a). Esto quiere decir que la tangente en (a, f (a)) sólo está definida
si f es derivable en a.
[Para una función dada f, la derivada f' se designa a menudo por
Derivada segunda
Para una función cualquiera f, al tomar la derivada, obtenemos una nueva función f' (cuyo
dominio puede ser considerablemente más pequeño que el de f ). La noción de
derivabilidad puede aplicarse a la función f', por supuesto, dando lugar a otra función (f' )',
cuyo dominio consiste en todos los punta a tales que f' es derivable en a. La función (f' )' se
suele escribir por lo general simplemente f'' y recibe el nombre de derivada segunda de f.
Si f'' (a) existe, entonces se dice que f es dos veces derivable en a, y el número f'' (a) recibe
el nombre de derivada segunda de f en a...
Máximos y mínimos
[Si f'(a) > 0, la función f(x) es creciente en el punto x = a y si f'(a) < 0, es decreciente en
dicho punto. Cuando f'(a) = 0, diremos que la función es estacionaria en el punto x = a.
Una función y = f(x) tiene un máximo (mínimo) relativo en un punto x = a, cuando f(a) es
mayor (menor) que los valores de la función para los puntos inmediatamente anteriores y
posteriores al considerado. (Ayres, 42)]
La derivada de una constante:
f(x) = 7
f '(x) = 0
La derivada de una potencia entera positiva
f(x)=x5
f '(x)= 5x4
La derivada de una constante por una función.
f(x)= 3x5
f '(x)= 3(5x4)= 15x4
La derivada de una suma
f(x)= 2x3+x
f '(x)= 6x2+1
La derivada de un producto
f(x)= (4x + 1)(10x2 - 5)
f '(x)= 20x(4x + 1) + 4(10x2 - 5)
La derivada de un cociente
4x + 1
f(x) =
10x2 - 5
4(10x2 - 5)-20x(4x + 1)
f '(x) =
(10x2 - 5)2
Las derivadas de las funciones trigonométricas
f(x)= sen(x)
f '(x)= cos(x)
f(x)= cos(x)
f '(x)= -sen(x)
f(x)= tan(x) = sen(x)/cos(x)
f '(x)= sec2(x)
f(x)= cot(x) = cos(x)/sen(x)
f '(x)= -csc2(x)
f(x)= sec(x)
f '(x)= sec(x) tan(x)
f(x)= csc(x)
f '(x)= -[cot(x) csc(x)]
La regla de la cadena
f(x)
f '(x)
=
=
(3x + 5)2
18x + 30
=
=
La derivada de una potencia entera de una función f.
9x2 + 30 x + 25
6(3x + 5)
Sea y=[f (x)] n , entonces:
y'=n[f(x)] (n-1) f '(x)