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D EPARTAMENTO DE M ATEMÁTICAS
Operadores Adjuntos en Entornos Generales
y sus Aplicaciones
M ARIA E UGENIA C ORNEJO P IÑERO
T ESIS D OCTORAL
Abril 2015
Dr. Jesús Medina Moreno, Profesor Titular de Universidad del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Cádiz,
H ACE CONSTAR :
Que Dña. Maria Eugenia Cornejo Piñero, Licenciada en Matemáticas, ha
realizado en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Cádiz,
bajo mi dirección, el trabajo de investigación correspondiente a su Tesis
Doctoral titulado:
Operadores Adjuntos en Entornos Generales
y sus Aplicaciones
Revisado el presente trabajo, estimo que puede ser presentado al Tribunal
que ha de juzgarlo. Y para que conste a efectos de lo establecido en el Real
Decreto 99/2011, autorizo la presentación de este trabajo en la Universidad de Cádiz.
Cádiz, a 14 de abril de 2015
Dr. Jesús Medina Moreno
A mi familia
Agradecimientos
Poder finalizar un trabajo tan complejo, como es la realización de una
tesis doctoral, no es solo fruto de mi sacrificio y perseverancia. Por este
motivo, quiero expresar mi gratitud a aquellas personas que con su apoyo
me motivaron para lograr mi objetivo.
Quisiera comenzar mostrando mi más sincero agradecimiento a Jesús,
mi director de tesis. Su dedicación y su orientación han sido pilares fundamentales en el desarrollo de este trabajo. Gracias por la confianza depositada en mí y por la ayuda prestada a lo largo de estos años.
También quiero dedicar unas palabras a Eloisa, mi amiga y compañera
en esta aventura. Trabajar con ella ha sido esencial para la elaboración de
esta tesis. A su lado, además de aprender que el trabajo en equipo es fundamental en el ámbito de la investigación, he redescubierto que la ilusión
y el entusiasmo son imprescindibles para alcanzar nuestras metas.
Mi reconocimiento a los miembros del grupo de investigación FQM315
del Departamento de Matemáticas, por su calurosa acogida, y a mis compañeros del Departamento de Estadística e Investigación Operativa, por
ayudarme a que todo este proceso fuese más sencillo.
Por supuesto, esta tesis no hubiera sido posible sin el apoyo incondicional de mis familiares y amigos. Agradezco a mis padres, todo el esfuerzo
realizado para ofrecerme la mejor educación y formación posible, si he llegado hasta aquí es gracias a ellos. A mi hermano, todo el interés mostrado
por mi trabajo. Y a Alejandro, toda su paciencia y cariño.
Índice general
English Summary
XV
1. Introducción
1
2. Preliminares
19
2.1. Conjuntos ordenados y retículos . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.1.1. Propiedades de los retículos . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.2. Conexiones de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.2.1. Definición de conexión de Galois. Ejemplos . . . . . .
26
2.2.2. Propiedades de las conexiones de Galois . . . . . . .
28
2.2.3. Operador de clausura y operador interior . . . . . . .
31
2.3. Conectivos lógicos difusos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.3.1. T-normas, t-conormas y negación . . . . . . . . . . . .
33
2.3.2. Implicación difusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.3.3. Implicación residuada . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.3.4. Operadores de agregación . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.4. Estructuras algebraicas residuadas . . . . . . . . . . . . . . .
40
3. Álgebras multiadjuntas
3.1. Triples adjuntos. Álgebras multiadjuntas . . . . . . . . . . .
43
44
Í NDICE GENERAL
3.2. Aplicaciones de los triples adjuntos . . . . . . . . . . . . . . .
62
3.2.1. Programación lógica multiadjunta . . . . . . . . . . .
62
3.2.2. Retículos de conceptos multiadjuntos . . . . . . . . .
65
3.2.3. Retículos de conceptos multiadjuntos orientados a
objetos y a propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
3.3. Propiedades generales de los triples adjuntos . . . . . . . . .
69
3.3.1. Asumiendo diferentes triples adjuntos . . . . . . . . .
74
3.4. Implicaciones adjuntas “duales” . . . . . . . . . . . . . . . .
80
4. Estudio comparativo con álgebras multiadjuntas
85
4.1. Comparación con otras álgebras residuadas . . . . . . . . . .
86
4.1.1. Álgebras de adjunción . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
4.2. Comparación con álgebras implicativas . . . . . . . . . . . .
94
4.2.1. Álgebras de orden extendido con una implicación . .
94
4.2.2. Álgebras de orden extendido con dos implicaciones . 101
4.3. Comparación con álgebras conjuntivas . . . . . . . . . . . . . 106
4.3.1. Estructuras de agregación conservando supremos . . 107
4.3.2. Cuantales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.3. U-normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3.4. Uninormas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.4. Diagramas comparativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5. Negaciones Adjuntas
119
5.1. Negaciones adjuntas y principales propiedades . . . . . . . . 120
5.2. Comparación con otros operadores de negación . . . . . . . 131
5.2.1. Par de negaciones débiles . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2.2. Álgebras de orden extendido con negaciones . . . . . 136
5.3. Disyunción dual de un conjuntor adjunto . . . . . . . . . . . 138
XII
Í NDICE GENERAL
6. Aplicación a un sistema de apoyo a la decisión
143
6.1. Sistemas de apoyo a la decisión . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.2. Algunas nociones de Programación Lógica . . . . . . . . . . 146
6.3. Triples adjuntos en ecuaciones de relaciones difusas . . . . . 152
6.3.1. Resolviendo ecuaciones de relaciones difusas . . . . . 154
6.3.2. Soluciones aproximadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.4. Aplicación a un ejemplo práctico . . . . . . . . . . . . . . . . 165
XIII
English Summary
Different types of algebraic structures such as many-valued and fuzzy
logics, generalized measure and integral theory, quantum logics and quantum computing, etc., form a background for many domains in mathematics and information sciences.
The usual operators considered in the previous frameworks are triangular norms (t-norms) [71, 98, 105] defined on the unit interval [0, 1], which
satisfy interesting properties. However, these properties are very restrictive and these operators cannot be used in general settings, in which, for
instance, the commutativity and associativity of the operators is not necessary and, indeed, they cannot be assumed [3, 77]. In order to solve these
problems, a general structure - adjoint triple - has been developed. Chapter 2 presents basic concepts and results which facilitate understanding of
the content of this thesis.
Adjoint triples arise as a generalization of a t-norm and its residuated
implication. These operators were firstly used in the logic programming
framework to introduce multi-adjoint logic programming [66, 88]. Later,
they were considered in formal concept analysis and rough set theory in
order to present a fuzzy general framework in these theories, multi-adjoint
concept lattices [82, 86] and multi-adjoint fuzzy rough sets [30, 31]. Moreover, they provide a new extension of the fuzzy relation equations [43, 46],
which can be used to solve more general problems than the current frameworks. Hence, the use of this kind of operators provides more flexibi-
E NGLISH S UMMARY
lity and increase the range of applications in the setting in which they are
considered. This consequence is one of the most important reasons which
justifies the study of these operators.
This thesis details important properties of adjoint triples and the “dual”
definition of them. Chapter 3 presents two different studies on the theory
of adjoint triples. The first one notes that adjoint triples can also be used
by pairs providing more flexibility as well. Indeed, in [47] the authors prove that, in different cases, it is not necessary to assume triples, but only
pairs are sufficient in particular frameworks. The second one shows that
the notions of adjoint triple and dual adjoint triple are not equivalent, in
general.
Moreover, properties that generalize several ones presented in [1, 40,
91] are introduced in Chapter 3. Specifically, we will show that the compilation of several properties of t-norms and their residuated implications
presented in Proposition 3 of [40] can be generalized to the general framework of adjoint triples, sometimes by assuming a boundary condition.
Furthermore, properties will be proven with different adjoint triples that
are more general than those given in [40].
Another important generalization of t-norms and residuated implications exists, implication triples. These operators were introduced together
with adjointness algebras in [91] and they were used to define a more complex structure - the logic of tied implications - [92, 93, 94]. Many properties
corresponding to these structures have been studied in [1, 95]. Implication
triples are operators defined in a general structure that follows the same
motivation of adjoint triples in order to reduce the mathematical requirements of the basic operators used in, e.g., logic programming.
Chapter 4 continues presenting a close relationship between implication triples and adjoint triples which lead us to improve the definition of
implication triple. Moreover, an intense comparison among different general algebraic structures such as sup-preserving aggregations [9], quantaXVI
E NGLISH S UMMARY
les [11, 64], u-norms [75], uninorms [58, 114] and general implications considered in extended-order algebras [37, 38, 60], which generalize, among
others, the integral residuated structures, Hilbert algebras [16] and BCK
algebras [69], will be given. In addition, we will prove that all these operators are particular cases of the adjoint conjunctors when they have a residuated implication.
Note that the assumption of residuated implication is needed, for instance, in formal concept analysis in order to define concept-forming operators being Galois connections [12], in fuzzy relation equations to compute
solutions from solvable equations [104] and logic programming to generalize the modus ponens property to a fuzzy setting.
Other operators which play a fundamental role in several frameworks
are negations [38, 52, 108, 110]. For example, they are very useful in fuzzy
logics [19, 54, 57]. Specifically, they have been used in logic programming
to define nonmonotonic logic programs, but requiring an extra effort to
obtain (stable) models [78].
An interesting negation operator is defined from residuated implications of a t-norm [18, 55, 103] and it is called residuated negation. Moreover, two of the most general negation operators are (ordinary) negations,
which have widely been studied by Trillas, Esteva and Domingo [52, 53,
56, 108] and pairs of weak negations, introduced by Georgescu and Popescu in [59]. In order to present a generalization of all these negation
operators, adjoint triples are considered.
In Chapter 5, we introduce adjoint negations as a generalization of residuated negations and the most significant properties satisfied by them.
The main results of this part demonstrate that every ordinary negation and
pair of weak negations can be obtained from the implications of an adjoint
triple, therefore we will show that adjoint negations are more general.
XVII
E NGLISH S UMMARY
Adjoint negations will be defined on two different posets since they
will be associated with an adjoint triple with respect to three different posets. The usefulness of considering different posets has been highlighted
in several papers [5, 13, 43, 86, 93]. Moreover, the possibility of considering general posets is helpful in the applications. For example, multilattices [10, 15, 63] is an algebraic structure more general than a lattice, which
has been considered in fuzzy logic programming [85] and, recently, in
fuzzy formal concept analysis [81, 90]. Also, the residuated operation in
the framework of multilattices was studied in [15].
Another operator corresponding to the logical connective of negation
was defined in [38] from a bounded implicative structure called extendedorder algebra. Besides assuming the symmetry condition, a dual negation
operator was included together with several properties. In this work, a
comparison between these connectives and adjoint negations will also be
given in Chapter 5.
In order to increase the expressive power of the logics, in which the
adjoint triples and negations are considered, the corresponding notion
of dual t-conorm in this framework and some properties are given. Tconorms are also extensively used in many real-life applications of fuzzy
logics and one of the main goals of mathematical fuzzy logic is to provide
the formal mathematical background for these kind of applications [14].
Finally, Chapter 6 of this work finishes with one real-life application
in which multi-adjoint relation equations [44] are considered as a fundamental decision support system in multi-adjoint logic programming. For
that purpose, multi-adjoint logic programs will be interpreted as a multiadjoint relation equations system and the solvability of it will be given in
terms of concept lattice theory.
XVIII
E NGLISH S UMMARY
Detailed description of the content of the thesis
In order to show an overview of the contents of this work as detailed as
possible, we introduce a summary with the main definitions and results.
For that, we assume that preliminary basic notions contained in this thesis
are known.
Multi-adjoint algebras
Previously, we have given reasons why it is so important to study adjoint triples. They are general operators which generalize t-norms and
their residuated implications, preserving their main properties and providing less restrictive frameworks.
Definition 1. Let (P1 , ≤1 ), (P2 , ≤2 ) and (P3 , ≤3 ) be partially ordered sets and
& : P1 × P2 → P3 , . : P3 × P2 → P1 , - : P3 × P1 → P2 be mappings, then
(&, ., -) is an adjoint triple with respect to P1 , P2 , P3 if &, ., - satisfy the
adjoint property:
x ≤1 z . y
iff
x & y ≤3 z
iff
y ≤2 z - x
for all x ∈ P1 , y ∈ P2 and z ∈ P3 .
Interesting properties of adjoint triples have been proven throughout
the thesis. Specifically, the following ones are straightforwardly obtained
from the adjoint property.
Proposition 1. If (P3 , ≤3 ) is a lattice, P2 ⊆ P3 and P1 has a maximum >1 as
a left identity element for &, then the following inequalities hold, for all x ∈ P1 ,
y ∈ P2 and z ∈ P3 :
(1) (z . y) & y ≤3 ı́nf{y, z}.
(2) sup{y, z} ≤3 z - (z . y).
XIX
E NGLISH S UMMARY
Besides we have concerned on results related with just one adjoint triple, we have introduced properties in which different adjoint triples are
considered, as shown in the next proposition.
Proposition 2. For all x ∈ P1 , y ∈ P2 and z ∈ P3 , it is satisfied that:
(1) If (P3 , ≤3 ) is a lattice and P2 ⊆ P3 , or (P2 , ≤2 ) is a lattice and P3 ⊆ P2 ,
and P1 has a maximum >1 as a left identity element for &2 , then
a) (z .1 y) &2 y ≤3 ı́nf{y, z} if and only if .1 ≤1 .2 .
b) sup{y, z} ≤2 z -2 (z .1 y) if and only if .1 ≤1 .2 .
where ≤ may be ≤3 or ≤2 , depending on P2 ⊆ P3 or P3 ⊆ P2 , respectively.
(2) If (P3 , ≤3 ) is a lattice and P1 ⊆ P3 , or (P1 , ≤1 ) is a lattice and P3 ⊆ P1 ,
and P2 has a maximum >2 as a right identity element for &2 , then
a) x &2 (z -1 x) ≤3 ı́nf{x, z} if and only if -1 ≤2 -2 .
b) sup{x, z} ≤1 z .2 (z -1 x) if and only if -1 ≤2 -2 .
where ≤ could be ≤3 or ≤1 , depending on P1 ⊆ P3 or P3 ⊆ P1 , respectively.
In this part of the thesis, our purpose is to define the algebraic structures associated with adjoint pairs and triples as well as study their main
properties. For that, we start introducing the notions of right and left multiadjoint algebra which are related to adjoint pairs. Next, we only present
the definition of biresiduated multi-adjoint algebra.
Definition 2. Given the partially ordered sets (P1 , ≤1 ), (P2 , ≤2 ), (P3 , ≤3 ) and a
family of adjoint triples (&i , .i , -i ), with i ∈ {1, . . . , n}. The tuple
P = (P1 , P2 , P3 , ≤1 , ≤2 , ≤3 , &1 , .1 , -1 , . . . , &n , .n , -n )
is called biresiduated multi-adjoint algebra.
XX
E NGLISH S UMMARY
As mentioned above, we have also introduced the notion of “dual”
adjoint implications .d and -d .
Definition 3. Let (P1 , ≤1 ), (P2 , ≤2 ), (P3 , ≤3 ) be three partially ordered sets and
& : P1 × P2 → P3 , .d : P3 × P2 → P1 and -d : P3 × P1 → P2 be operators. For
all x ∈ P1 , y ∈ P2 and z ∈ P3 :
(1) (&, .d ) is a dual right adjoint pair if it satisfies the equivalence
z .d y ≤1 x
iff
z ≤3 x & y
(2) (&, -d ) is a dual left adjoint pair if it satisfies the equivalence
z -d x ≤2 y
iff
z ≤3 x & y
The triple (&, .d , -d ) is a dual adjoint triple if (&, .d ) and (&, -d ) are
dual right and left adjoint pairs, respectively.
In general, the notions of adjoint triple and dual adjoint triple are not
equivalent.
Proposition 3. Given a lower bounded partially ordered set (P1 , ≤1 , ⊥1 ), an
upper bounded partially ordered set (P2 , ≤2 , >2 ) and a bounded partially ordered
set (P3 , ≤3 , ⊥3 , >3 ), such that ⊥3 6= >3 . If a right adjoint pair (&, .) exists with
respect to P1 , P2 , P3 , then the dual left adjoint pair (&, -d ) does not exist, and
vice versa.
Therefore, from the previous result, it can be deduced that given an
adjoint triple (&, ., -) with respect to the bounded partially ordered sets
(P1 , ≤1 , ⊥1 , >1 ), (P2 , ≤2 , ⊥2 , >2 ) and (P3 , ≤3 , ⊥3 , >3 ), then the “dual” adjoint implications .d and -d forming a dual adjoint triple (&, .d , -d ) do
not exist.
XXI
E NGLISH S UMMARY
A comparative survey of multi-adjoint algebras
The following goal of this work is to establish relationships between
multi-adjoint algebras and other residuated structures. Hence, different
properties, results and remarks have been developed in order to reach this
aim.
Next, we present the most important results which let us relate adjoint
triples to implication triples. The reason to study this relationship is due
to implication triples are another interesting generalization of t-norms and
their residuated implications, as stated above. First of all, we recall the
definition of implication triple [91].
Definition 4. Let (L, ≤L ) and (P, ≤P ) be two partially ordered sets with a top
element >P in (P, ≤P ). An adjointness algebra (L, ≤L , P, ≤P , >P , A, K, H) is
an 8-tuple satisfying the following four conditions:
(1) The operation A : P × L → L is antitone in the left argument and isotone in the right argument, and it has >P as a left identity element, that is
A(>P , γ) = γ, for all γ ∈ L. We call A an implication on (L, P ).
(2) The operation K : P × L → L is isotone in each argument and has >P as
a left identity element, that is K(>P , β) = β, for all β ∈ L. We call K a
conjunction on (L, P ).
(3) The operation H : L × L → P is antitone in the left argument and isotone
in the right argument, and it satisfies, for all β, γ ∈ L, that
H(β, γ) = >P
if and only if
β ≤L γ
We call H a forcing-implication on L.
(4) The three operations A, K and H, are mutually related by the following
condition, for all α ∈ P and β, γ ∈ L:
β ≤L A(α, γ) iff
K(α, β) ≤L γ
XXII
iff
α ≤P H(β, γ)
E NGLISH S UMMARY
which is called adjointness condition.
We call the ordered triple (A, K, H) an implication triple on (L, P ).
Before introducing the following results, we need to assume the opposite mappings of the adjoint implications, that is, .op : P2 × P3 → P1 and
-op : P1 × P3 → P2 , defined as y .op z = z . y and x -op z = z - x,
respectively, for all x ∈ P1 , y ∈ P2 and z ∈ P3 .
In the next proposition, the forcing-implication property is related to
the boundary conditions.
Proposition 4. Given an adjoint triple (&, ., -) with respect to P1 , P2 and P3 .
(1) If P2 ⊆ P3 and P1 has a maximum >1 , the next equivalence is verified:
.op is a forcing implication
iff
>1 & y = y, for all y ∈ P2
(2) If P1 ⊆ P3 and P2 has a maximum >2 , the next equivalence is verified:
-op is a forcing implication
iff
x & >2 = x, for all x ∈ P1
The following result associates the implication property, in implication
triples, with the boundary conditions.
Proposition 5. Let (&, ., -) be an adjoint triple with respect to P1 , P2 and P3 .
(1) If P3 = P2 and P1 has a maximum >1 , then the following equivalence is
provided:
z - >1 = z, for all z ∈ P3
iff
>1 & y = y, for all y ∈ P2
(2) If P1 = P3 and P2 has a maximum >2 , then the following equivalence is
provided:
z . >2 = z, for all z ∈ P3
iff
XXIII
x & >2 = x, for all x ∈ P1
E NGLISH S UMMARY
As a consequence of these properties, the conditions in the definition
of implication triple can be reduced and the following characterization can
be given.
Definition 5. Let (L, ≤L ) and (P, ≤P ) be two partially ordered sets with a maximum element >P in (P, ≤P ). An implication triple (A, K, H) is an ordered triple
in which A : P ×L → L and H : L×L → P are antitone in the left argument and
isotone in the right argument, K : P × L → L is isotone in each argument and
has >P ∈ P as a left identity element and the adjointness condition is verified.
The following theorem relates adjoint triples to implication triples.
Theorem 1. Given an implication triple (A, K, H) with respect to two partially ordered sets (L, ≤L ) and (P, ≤P ) with a maximum element >P in (P, ≤P ),
then the triple (K, H op , Aop ) is an adjoint triple with respect to P , L, L, where
H op (γ, β) = H(β, γ) and Aop (γ, α) = A(α, γ).
Once we have carried out the comparison between biresiduated multiadjoint algebras and adjointness algebras, we will continue with the results about the comparative corresponding to extended-order algebras [37,
38, 60] and adjointness algebras.
Proposition 6. Let (L, ) be a complete lattice and (A, K, H) an implication
triple on (L, L). Then,
(1) The triple (L, H, >L ) is a right-distributive w-ceo algebra.
(2) If K(x, >L ) = x, for all x ∈ L, then (L, A, >L ) is a right-distributive w-ceo
algebra.
By using proposition above, given an implication triple (A, K, H) on
(L, L) we obtain that (L, H, >L ) is a w-ceo algebra but (L, H, >L ) is not
a symmetrical w-ceo algebra, since A might not be a forcing implication.
Therefore, the following result is straightforwardly obtained.
XXIV
E NGLISH S UMMARY
Proposition 7. Let (L, ≤L , L, ≤L , >L , A, K, H) be an adjointness algebra. If A
is a forcing implication, then (L, H, >L ) is a symmetrical right-distributive w-ceo
algebra.
The converse of this result is not clearly satisfied by adjointness algebras since a symmetrical w-ceo algebra (L, →, >) does not imply the existence of a conjunctor. However, it is naturally obtained for multi-adjoint
algebras.
The properties that a biresiduated multi-adjoint algebra must satisfy in
order to obtain a symmetrical right-distributive w-ceo algebra are shown
in the next result.
Proposition 8. Given a complete lattice (L, ), there exist &, . and - on L,
such that the following statements are equivalent:
(1) (&, ., -) is an adjoint triple with respect to L, satisfying x & > = x and
> & y = y, for all x, y ∈ L.
(2) (L, .op , >) is a symmetrical right-distributive w-ceo algebra and the natural ordering in L is .
Now, we present some remarks which let us clarify the relations among
different approaches to residuated structures such as sup-preserving aggregations [9], quantales [11, 64], left-continuous uninorms [2, 35] and continuous u-norms [75, 87].
As regards the first residuated structure mentioned in the previous
paragraph, we obtain that given a sup-preserving aggregation structure
(L1 , L2 , L3 , ), where Li = (Li , ≤i ) with i = {1, 2, 3} are complete lattices and : L1 × L2 → L3 is a function which commutes with suprema
in both arguments, then there exist two mappings ◦ : L3 × L2 → L1 and
◦ : L1 × L3 → L2 , satisfying the Equivalence (1):
a1 a2 ≤3 a3
iff
a2 ≤2 a1 ◦ a3
XXV
iff
a1 ≤1 a3 ◦ a2
(1)
E NGLISH S UMMARY
for all a1 ∈ L1 , a2 ∈ L2 , a3 ∈ L3 .
Clearly, Equivalence (1) is the adjoint property and so, we can assert
that the triple (, ◦, ◦ d ), where a3 ◦ d a1 = a1 ◦ a3 , for all a1 ∈ L1 and
a3 ∈ L3 , is an adjoint triple. Nevertheless, the converse of this statement is
not true, since only posets are needed in the definition of an adjoint triple.
With respect to quantales, these structures are a particular case of suppreserving aggregation structures when L1 = L2 = L3 and the function is an associative operator. Hence, from a quantale (Q, ∗) we can obtain an
adjoint triple (∗, ., -) with respect to Q. Since the conjunctor of a general
adjoint triple does not need to be associative, the counterpart is obviously
not true, in general.
About the comparison with uninorms and u-norms, we show that these operators might not necessarily be the conjunctor of an adjoint triple.
However, when algebraic structures with left-continuous uninorms or continuous u-norms are assumed, particular cases of multi-adjoint algebras
are obtained. For example, these operators need to be considered in fuzzy
formal concept analysis and fuzzy logic programming.
Adjoint negations
Our aim in this section is to present a new and flexible kind of negation
operator, based on adjoint triples, which is called adjoint negation. As well
as proving several interesting properties, we are interested in the comparison of these adjoint negations with the (ordinary) negations, pairs of weak
negations and the negations given in the extended-order algebras.
Definition 6. Given two posets (P1 , ≤1 ) and (P2 , ≤2 ), a lower bounded poset
(P3 , ≤3 , ⊥3 ) and an adjoint triple (&, ., -) with respect to P1 , P2 and P3 , the
mappings nn : P1 → P2 and ns : P2 → P1 defined as:
nn (x) = ⊥3 - x
ns (y) = ⊥3 . y
XXVI
E NGLISH S UMMARY
for all x ∈ P1 and y ∈ P2 , are called adjoint negations with respect to P1 and
P2 .
The operators ns and nn satisfying that x = ns (nn (x)) and y = nn (ns (y)),
for all x ∈ P1 and y ∈ P2 , are called strong adjoint negations.
Since adjoint negations are defined on two different bounded partially
ordered sets, we are providing a less restrictive definition of negation operator.
An important result which relates these negations to Galois connections is shown in what follows.
Proposition 9. Let ns and nn be adjoint negations. The pair (ns , nn ) forms an
antitone Galois connection between P1 and P2 .
Straightforwardly, the properties of Galois connections will be inherited by adjoint negations. Other interesting properties for the notion of
adjoint negation are given by the next result.
Proposition 10. Given an adjoint triple (&, ., -) with respect to the posets
(P1 , ≤1 ), (P2 , ≤2 ) and the lower bounded poset (P3 , ≤3 , ⊥3 ). The adjoint negations ns and nn , obtained from the residuated implications . and -, satisfy the
following properties, for all x ∈ P1 , y ∈ P2 , z ∈ P3 .
1. ns (y) ≤1 z . y
and
nn (x) ≤2 z - x;
2. x & nn (x) = ⊥3
and
ns (y) & y = ⊥3 ;
3. y ≤2 nn (x)
if and only if
x & y = ⊥3 ;
4. x ≤1 ns (y)
if and only if
x & y = ⊥3 .
Now, we are going to introduce one of the main results introduced in
this section which shows that adjoint negations are more general than (ordinary) negations. For that, it is important to remember the notion of these
last negations.
XXVII
E NGLISH S UMMARY
Definition 7. Given a mapping n : [0, 1] → [0, 1] is said to be an (ordinary)
negation if the following conditions hold, for all x, y ∈ [0, 1].
1. n(1) = 0;
2. if x ≤ y then n(y) ≤ n(x);
3. x ≤ n(n(x)).
Once we have recalled this notion, we can introduce the next theorem.
Theorem 2. If the mapping n : [0, 1] → [0, 1] is an (ordinary) negation, there
exists an adjoint triple (&, ., -) with respect to the poset ([0, 1], ≤) satisfying
n = ns = nn .
As a consequence, every (ordinary) negation can be seen as a residuated negation. This result is extended to lattices in the following theorem.
First of all, we recall the notion of pair of weak negations given by Georgescu and Popescu [59].
Definition 8. Let (P, ≤, ⊥, >) be a bounded partially ordered set and two functions n1 : P → P , n2 : P → P , the pair (n1 , n2 ) is said to be a pair of weak
negations on P , if the following conditions hold, for all x ∈ P :
1. n1 (>) = n2 (>) = ⊥;
2. n1 and n2 are order-reversing;
3. x ≤ n2 n1 (x) and x ≤ n1 n2 (x).
The following result shows the generalization of Theorem 2.
Theorem 3. Given a pair of weak negations (n1 , n2 ) on (P, ≤, ⊥, >), there exists
an adjoint triple (&, ., -) with respect to P such that n1 = ns and n2 = nn .
XXVIII
E NGLISH S UMMARY
Due to the boundary conditions of pair of weak negations ns (>) =
nn (>) = ⊥ are not always satisfied in the adjoint framework, we can assert
that the counterpart is not true, in general.
As stated above, we also want to fix the relation between adjoint negations and the logical connectives corresponding to the negation given in
extended-order algebras. For that, we remain the following definition.
Definition 9. Let (L, →, >) be a w-ceo algebra. We define the following unary
operation
[·]− : L → L,
x 7→ x− = x → ⊥
If (L, →, >) is a symmetrical w-ceo algebra, then we can define a further unary
operator
[·]∼ : L → L,
x 7→ x∼ = x
⊥
Both these operations are called negations and they are said to be dual to each
other.
Next, we show that these operators are particular cases of adjoint negations ns and nn .
Proposition 11. Let (L, →, >) be a symmetrical right-distributive w-ceo algebra, the unary operations defined above, [·]− and [·]∼ , are adjoint negations.
Therefore, we can conclude that the properties of adjoint negations are
also satisfied by the negation operators defined from symmetrical w-ceo
algebras. Indeed, almost all the properties of the operators [·]− and [·]∼ are
verified by adjoint negations requiring less conditions, in general.
Finally, we provide the notion of disjunction dual to an adjoint conjunctor which is defined from adjoint negations.
Definition 10. Given an adjoint triple (&, ., -) with respect to a lower bounded poset (P, ≤, ⊥), a disjunction dual to the conjunction ⊕ : P × P → P , is
defined, using the negation operators ns : P → P and nn : P → P , as follows:
x ⊕ y = nn (ns (x) & ns (y))
XXIX
E NGLISH S UMMARY
Several properties of the previous notion are presented, among these
ones, we highlight the existence of two residuated implications associated
with the dual disjunction which satisfy a dual equivalence to the adjoint
property.
Proposition 12. Given an adjoint triple (&, ., -) with respect to P such that
their induced negations ns and nn are strong adjoint negations on P .
Then, there exist two mappings .⊕ , -⊕ : P × P → P satisfying the Equivalence (2), for all x, y, z ∈ P .
z .⊕ y ≤ x iff
z ≤x⊕y
iff
z -⊕ x ≤ y
(2)
Application to decision support system
With the purpose of showing multi-adjoint relation equations as a fundamental decision support system in multi-adjoint logic programming, we
elaborate this part of the thesis.
There exist different situations which imply to recompute the weights
of the rules of a logic program. In this sense, we will focus on finding
a mechanism to solve this important problem by using the multi-adjoint
relation equations framework.
From now on, a multi-adjoint object-oriented frame will be the algebraic structure in which the notions and results about the solvability of
multi-adjoint relation equations associated with a multi-adjoint logic program are presented. This multi-adjoint object-oriented frame is the tuple:
(L1 , L2 , P, 1 , 2 , ≤, &1 , .1 , -1 , . . . , &n , .n , -n )
where (L1 , 1 ) and (L2 , 2 ) are complete lattices, (P, ≤) is a partially ordered set and (&i , .i , -i ), for all i = 1, . . . , n are adjoint triples with respect
to L1 , P, L2 .
Hereunder, we will introduce the notion of multi-adjoint relation equation [44].
XXX
E NGLISH S UMMARY
Definition 11. Let U , V and W be universes, S : V ×W → P , T : U ×W → L2
be fuzzy relations, R : U × V → L1 be an unknown fuzzy relation and σ : V →
{1, . . . , s} be a mapping that relates each element in W to one adjoint triple.
A multi-adjoint relation equation (MARE) with sup-&-composition is the
equation
R σ S = T
(3)
that is,
_
(R(u, v) &v S(v, w)) = T (u, w),
u ∈ U, w ∈ W
(4)
v∈V
where &v represents the adjoint conjunctor associated with v by σ.
Coming back to the logic programming framework, given a program
P and several experimental instances of each atom in the program, which
can be interpretated by different ground substitutions, a multi-adjoint relation equation can be obtained.
Definition 12. Given a finite program P, the set of all variables in the program
D(P), the set of ground instances Σ = {θ1 , . . . , θm } defined on D(P), which
represents different observations, one for each j ∈ {1, . . . , m}, an atom A =
P(x1 , . . . , xr ) and the observed value for the instance Aθj , denoted as O(Aθj ), the
system formed by each atom A = P(x1 , . . . , xr ):
O(Aθ1 ) =
..
..
.
.
(ϑ1 &i1 B1 θ1 ) ∨ · · · ∨ (ϑn &in Bn θ1 )
..
.
(5)
O(Aθm ) = (ϑ1 &i1 B1 θm ) ∨ · · · ∨ (ϑn &in Bn θm )
where each element in the supremum of each equation above is an element in
P(Aθj ) = {ϑ &i Bθj | Cθj = Aθj and hC .i B, ϑi ∈ P}, with j ∈ {1, . . . , m},
is called the MARE associated with the program P and predicate P and will
be denoted as EP,Σ (P). This equation will also be written as:


B1 θ1 . . . Bn θ1
 .
.. 
..
..
(ϑ1 , . . . , ϑn ) σ 
.
. 

 = (O(Aθ1 ), . . . , O(Aθm ))
B1 θm . . . Bn θm
XXXI
E NGLISH S UMMARY
or equivalently ϑ σ BΣ = O(AΣ).
Note that in the previous equation the universes U , V and W , can be
{A}, {B1 , . . . , Bn } and Σ, respectively, and the fuzzy relations S : V × W →
L, T : U × W → L, and the unknown fuzzy relation R : U × V → L are
represented by matrices as O(AΣ), BΣ and ϑ, respectively.
The following result provides a procedure in order to know when a
multi-adjoint relation equation is solvable, which is related to the multiadjoint object-oriented concept lattice framework.
Theorem 4. Let u ∈ U and the fuzzy subset gu ∈ LW
2 , defined as gu (w) =
T (u, w), for all w ∈ W . Equation (3) can be solved if and only if hgu , gu↑N i is a
concept of MN Π (V, W, S, σ), for all u ∈ U . In this case, the matrix R, defined by
R(u, v) = gu↑N (v) for all u ∈ U , v ∈ V , is the greatest solution.
The next theorem introduces the first answer to our problem.
Theorem 5. Given a multi-adjoint logic program Pϑ in which the weights of the
rules are unknown and are written as a vector ϑ, a set of ground instances Σ and a
predicate symbol P. If the equation EPϑ ,Σ (P) has a solution ϑ0 , then the minimal
models Mj of Pϑ0 ,θj satisfy Mj (Aθj ) = O(Aθj ), for all j ∈ {1, . . . , m}.
When the equation EPϑ ,Σ (P) is not solvable, then an approximation of
the weights can be computed.
The easiest procedure is to compute the interior of the observed vector
Π
O(AΣ). Specifically, we compute the vector O(AΣ)↑N ↓ and we interchange
O(AΣ) by this new vector in Equation (5).
Theorem 6. Given a multi-adjoint logic program Pϑ in which the weights of the
rules are unknown and collected in a vector ϑ, a set of ground instances Σ and a
predicate symbol P, the equation
Π
O(AΣ)↑N ↓ = ϑ σ BΣ
XXXII
E NGLISH S UMMARY
is solvable, with greatest solution: ϑg = O(AΣ)↑N . Moreover, the minimal models
Mj of Pϑg ,θj satisfy Mj (Aθj ) 2 O(Aθj ), for all j ∈ {1, . . . , m}.
This approximation can be understand as a pessimistic approximation.
Other possibilities exist in order to obtain an approximate solution, however they are computationally more complex. Next, we introduce a procedure based on the concepts whose extension is greater than O(AΣ). In this
case, we need to consider a finite object-oriented concept lattice (MN Π , ≤).
As a consequence, the set
↑N
i ∈ MN Π }
G = {g ∈ LB
2 | O(AΣ) 2 g and hg, g
either is empty or has minimal elements.
The following result introduces an optimistic approximation.
Theorem 7. Given a multi-adjoint logic program Pϑ in which the weights of the
rules are unknown and collected in a vector ϑ, a set of ground instances Σ and a
predicate symbol P, the equation
gm = ϑ σ BΣ
where gm is a minimal element of G, is solvable and the minimal models Mj of
Pϑm ,θj , where ϑm is a solution of this equation, satisfy O(Aθj ) 2 Mj (Aθj ), for
all j ∈ {1, . . . , m}.
Moreover, no other approximation provides minimal models with values between O(Aθj ) and Mj (Aθj ), that is, a function g0 , such that the equation g0 =
ϑ σ BΣ is solvable, with solution ϑ0 , and O(Aθj ) 2 M0,j (Aθj ) 2 Mj (Aθj ),
where M0,j are the minimal models of Pϑ0 ,θj , for all j ∈ {1, . . . , m}, does not
exist.
Finally, we show how the developed theory can be applied as a decision support system to a real-life example recently studied in [72].
XXXIII
E NGLISH S UMMARY
Conclusions and future work
Multi-adjoint algebras and various properties of adjoint pairs and triples have been introduced. In particular, we have shown that “dual” adjoint implications cannot be defined in (biresiduated) multi-adjoint algebras, which is very important in order to no assume impossible operators.
Several properties of adjoint triples have been presented in order to
relate these operators to implication triples. As a consequence of these
properties, the conditions in the definition of implication triple has been
reduced and a novel characterization has been given. Moreover, this relationship provides that a multi-adjoint lattice in multi-adjoint logic programming is a particular case of a complete adjointness lattice, but with
respect to the multi-adjoint concept lattice framework, the relation is not
so strong.
Furthermore, we have shown the definitions of other general (noncommutative) structures and different remarks about the comparison with
adjoint pairs and triples. We have proven that the use of these algebraic
structures, in environments needed of residuated implications such as formal concept analysis, fuzzy relation equations and fuzzy logic programming, provides particular cases of (biresiduated) multi-adjoint algebras.
Therefore, the multi-adjoint algebras unify these general structures.
A special kind of negation operators, called adjoint negations, have
been defined from the implications of an adjoint triple, following a similar construction to the residuated negations which consider the residuated
implication of a left-continuous t-norm.
Besides generalizing this kind of negations, we have shown that adjoint
negations generalize, at least, three of the negation operators most useful
in the literature, such as (ordinary) negations [52, 53, 56, 108], pairs of weak
negations [59] and negation operators defined from extended-order algebra in [38]. We have proven that all properties satisfied by the negation
XXXIV
E NGLISH S UMMARY
operators given in [38] are also verified by adjoint negations requiring less
conditions.
In addition, pairs of weak negations [59] and negations defined from an
extended-order algebra in [38] are only considered on one poset. Indeed,
the geometrical characterization of pairs of weak negations and the main
properties are given on bounded chains. Whereas, adjoint negations have
been defined on two posets which makes that they can be used in a wider
range of possible logics.
Lastly, new definitions and a procedure have been introduced in order
to show how a multi-adjoint logic program can be expressed as a multiadjoint relation equations system and when this is solvable. The solutions
of the obtained equations system have been interpreted as the intensions
of concepts in a multi-adjoint object-oriented concept lattice [82].
Also, we have given a method to recompute the weights of the rules of
a program when a solution is needed and the multi-adjoint relation equations system is not solvable. This method provides optimistic and pessimistic approximations of unsolvable equations based on the concept lattice theory. In conclusion, we can assert that multi-adjoint relation equations
are an interesting decision support system in multi-adjoint logic programming.
On these research topics, we have several prospects for future work:
(i) We are planning to use adjoint triples in real-life applications.
(ii) Adjoint triples will be studied from a categorical point of view, as
well as particular definitions of these operators in the interval lattice.
(iii) More properties and applications of multi-adjoint algebras will be
studied. Moreover, we will enrich multi-adjoint algebras with a disjunction or summation operator following the underlying philosophy
of several algebraic structures.
XXXV
E NGLISH S UMMARY
(iv) An interesting problem to be studied is whether the representation
theorems of negations, given to Atanassov’s intuitionistic fuzzy set
theory and bilattice theory in [29], can be extended to multi-adjoint
algebras. Besides, the significant results introduced in [52, 56] with
respect to the relationship between weak and strong negations will
be extended to adjoint negations.
(v) Recently, several developments in fuzzy logic programming have
been presented taking into account a residuated lattice [78, 79, 80].
Considering adjoint negations and the properties introduced in this
thesis, these developments will be studied in a more flexible framework, which will allow to consider a bigger number of applications.
(vi) We will study the interpretation of the minimal solutions of multiadjoint relation equations in the multi-adjoint framework. Furthermore, real-life applications will be simulated considering the flexibility given by the multi-adjoint philosophy and so, better results
should be obtained. This will be contrasted by a methodical comparison.
Publications
Several of the results included in this work have been published in the
following list of references:
(1) M.E. Cornejo, J. Medina and E. Ramírez-Poussa. Implication triples
versus adjoint triples. Lecture Notes in Computer Science, 6692, pages
453-460, 2011.
(2) M.E. Cornejo, J. Medina and E. Ramírez-Poussa. A comparative study
of adjoint triples. Fuzzy Sets and Systems, 211, pages 1-14, 2013.
XXXVI
E NGLISH S UMMARY
(3) M.E. Cornejo, J. Medina and E. Ramírez-Poussa. A survey of general
operators useful for fuzzy FCA. XVII Congreso Español sobre Tecnologías y Lógica Fuzzy (ESTYLF2014), pages 121-126, 2014.
(4) M.E. Cornejo, J. Medina and E. Ramírez-Poussa. General negations
for residuated fuzzy logics. Lecture Notes in Computer Science, 8536,
pages 13-22, 2014.
(5) M.E. Cornejo, J. Medina and E. Ramírez-Poussa. Adjoint triples and
residuated aggregators. 15th International Conference on Information
Processing and Management of Uncertainty in Knowledge-Based Systems
(IPMU2014), Part III, CCIS 444, pages 345-354, 2014.
(6) M.E. Cornejo, J. Medina and E. Ramírez-Poussa. Adjoint triples versus extended-order algebras. International Conference on Computational and Mathematical Methods in Science and Engineering (CMMSE2014),
Volume II, pages 375-384, 2014.
(7) M.E. Cornejo, J. Medina and E. Ramírez-Poussa. Multi-adjoint algebras versus extended-order algebras. Applied Mathematics & Information Sciences, 9, pages 365-372, 2015.
Other results have been submitted to other journals:
(8) M.E. Cornejo, J. Medina and E. Ramírez-Poussa. Adjoint negations,
more than residuated negations. Submitted, 2015.
(9) M.E. Cornejo, J. Medina and E. Ramírez-Poussa. Multi-adjoint algebras: unifying general algebraic structures. Submitted, 2015.
(10) M.E. Cornejo, J.C. Díaz-Moreno and J. Medina. Multi-adjoint relation equations: a decision support system for fuzzy logic. Submitted,
2015.
XXXVII
Capítulo 1
Introducción
El lenguaje natural es posiblemente la herramienta más poderosa que
poseemos los seres humanos para transmitir información sobre cualquier
problema o situación. Distintos estudios cognitivos aseguran que el pensamiento humano se basa principalmente en patrones conceptuales e imágenes mentales, de ahí que nuestro lenguaje haga uso de términos simples
pero poco precisos en numerosas ocasiones. A pesar de la vaguedad y de
la ambigüedad con la que nos expresamos en nuestras comunicaciones,
el proceso de pensamiento humano no tiene apenas inconvenientes en lo
que respecta a una comprensión básica.
A lo largo de la historia, la lógica, ha sido la rama de las matemáticas
encargada de la modelización del pensamiento humano. Desde la antigüedad, el ser humano ha sentido un interés especial en cuestiones como las
siguientes: ¿Cómo deducimos? ¿Qué tipo de conclusiones inferimos? ¿Cómo reaccionamos ante determinadas propuestas o dilemas? Sin embargo,
ni siempre se ha prestado la atención debida a dichas cuestiones, ni siempre se ha dispuesto de herramientas idóneas que proporcionen las reglas
adecuadas para evitar respuestas basadas en opiniones más o menos refutables o aceptables. Esta situación ha cambiado mucho en las últimas
C APÍTULO 1. I NTRODUCCIÓN
décadas.
La evolución de las ciencias de la información y de la computación, así
como los avances tecnológicos, han permitido que el ser humano pueda
manejar, tratar y almacenar enormes bases de datos, además de crear programas informáticos capaces de apoyar a las personas en la toma de decisiones. Este progreso hace que el deseo por representar el conocimiento y
por diseñar modos de razonamiento sobre aspectos dinámicos del mundo
real cobre de nuevo un interés especial. No obstante, hay ocasiones en las
que “la verdad de un enunciado no depende solo de la relación entre las palabras
del lenguaje y los objetos del mundo, sino también del estado del mundo y el conocimiento de este estado” (Thaise, 1988). De este hecho, surge la necesidad
de nuevos instrumentos matemáticos y nuevas lógicas.
Comencemos diferenciando dos grandes enfoques de la lógica, las llamadas lógica clásica y lógica difusa.
Lógica clásica y lógica difusa
La lógica clásica -desarrollada en el periodo comprendido entre la obra
de Aristóteles (384-322 a.c) y los trabajos de George Boole (1815-1878) - es
una herramienta insustituible para razonar sobre aspectos del mundo real
que son considerados como “atemporales”, “objetivos” y “estables”, es decir, aspectos que pueden ser establecidos y modelizados sin consideración
de contexto alguno. Por lo tanto, se trata de una lógica bivaluada que solo nos permite tratar información que sea totalmente cierta o totalmente
falsa. Por ejemplo, “licenciado en matemáticas”, “residente en Cádiz” y
“mayor de edad” son enunciados clásicos que no admiten incertidumbre.
En cambio, existen multitud de conceptos que no tienen una definición
precisa, como ocurre con “ser joven”, “tener una estatura media” y “estar
cerca de algo”. Estos enunciados se expresan lingüísticamente de manera
vaga o imprecisa, esto es, admiten adjetivos o adverbios como mucho, po2
co, más, menos, etc. Dichos enunciados necesitan una lógica diferente a la
lógica bivaluada que permita manipular información con un alto grado de
imprecisión/incertidumbre.
Históricamente, la comunidad científica percibía la incertidumbre como un estado indeseable que debía evitarse a toda costa. Desde finales del
siglo XIX hasta finales del siglo XX, la ciencia ha tendido gradualmente
a considerar la influencia de la incertidumbre sobre los problemas, intentando obtener modelos robustos y al mismo tiempo capaces de cuantificar
dicha incertidumbre. La teoría de la probabilidad ha sido la teoría más
aceptada para la cuantificación de la incertidumbre hasta que Zadeh introdujo la teoría de conjuntos difusos en 1965.
Para ilustrar el concepto de conjunto difuso consideraremos el primer
ejemplo que utilizó el creador de dicho concepto: el conjunto de “hombres altos”. Un hombre pertenece al conjunto clásico de “hombres altos”
si su estatura supera un valor fijado, por ejemplo 1.80 metros. Así pues,
diríamos que un hombre es alto cuando mide 1.81 metros y uno que mide
1.79 metros no lo es. Sin embargo, esta deducción no parece muy razonable ya que la diferencia entre ambas estaturas es de tan solo dos centímetros. Desde el enfoque difuso, el concepto de “hombres altos” puede
tomar cualquier valor entre la verdad absoluta y la falsedad absoluta, por
lo que volviendo al ejemplo diríamos que un hombre con una estatura de
1.90 metros sería muy alto y otro que mide 1.75 metros sería bastante alto.
A continuación presentamos la diferencia entre conjunto clásico y conjunto difuso formalmente, a grandes rasgos y de forma ilustrativa. Sea A
un conjunto, x un elemento y f (x) el grado de pertenencia de x al conjunto
A. Si f (x) solo toma los valores 0 (no pertenencia) y 1 (pertenencia), entonces A es un conjunto clásico. En cambio, si f (x) toma valores entre 0 y 1
entonces A es un conjunto difuso. Por tanto, podemos afirmar que los conjuntos difusos generalizan a los conjuntos clásicos y permiten representar
la imprecisión/incertidumbre de ciertos enunciados a través de un valor
3
C APÍTULO 1. I NTRODUCCIÓN
llamado grado de pertenencia.
Aunque Zadeh es considerado el fundador de la lógica difusa, no fue
el primero en preguntarse si existían enunciados que no fueran ni verdaderos ni falsos. Los filósofos griegos ya consideraban la posibilidad de
ciertos grados de verdad y falsedad, Platón incluso trabajó con grados de
pertenencia afirmando que “hay una tercera región entre lo verdadero y lo falso
donde los opuestos se presentan juntos”.
Los primeros desarrollos de alternativas a la teoría de la probabilidad
y a la lógica aristotélica clásica como paradigmas para abordar la incertidumbre surgen de la mano de Vasíliev y Łukasiewicz. En 1909, Vasíliev
publica su trabajo sobre una lógica trivaluada libre del principio del tercio
excluso. En 1920, Łukasiewcz introduce un tercer valor de verdad y formula el sistema axiomático de una lógica trivaluada. Más tarde, los matemáticos Post, Tarski y Łukasiewcz elaboran lógicas multivaluadas, el primero
con un número finito de valores de verdad y los dos últimos con infinitos valores. En la década de los sesenta, Dempster desarrolla una teoría
en la que se incluye por primera vez una valoración de la ignorancia o
la falta de información. Estos desarrollos alejados de la lógica tradicional
culminan con la publicación del famoso ensayo de Zadeh titulado “Fuzzy
sets” [116], donde se establecen los pilares de la llamada lógica difusa.
La lógica difusa surge como una extensión de las lógicas multivaluadas
y su objetivo es proporcionar un marco de trabajo para representar el conocimiento y obtener reglas de inferencia en un ambiente de incertidumbre
e imprecisión léxica. Para llevar a cabo los cálculos, la lógica difusa cuenta
con una serie de conectivos que generalizan a la conjunción, la disyunción,
la implicación y la negación del caso clásico.
El trabajo desarrollado en esta tesis se centra en el estudio de ciertos
operadores algebraicos - utilizados como conectivos lógicos difusos - analizando sus propiedades y las relaciones que existen entre ellos. Antes de
presentar los operadores que vamos a estudiar, introducimos una breve re4
seña sobre las adjunciones y conexiones de Galois, conceptos que jugarán
un papel clave en muchos resultados este trabajo.
Adjunciones y conexiones de Galois
Es casi imposible conocer el origen histórico de la idea de adjunción y
conexión de Galois, probablemente no surgieron como concepto matemático hasta el siglo XX. Sin embargo, estos conceptos aparecen de manera
más o menos implícita en ciertas construcciones y cálculos de los siglos
anteriores. Podemos encontrar una muestra de ello en los trabajos de Lagrange, Abel, Galois y Dedekind, matemáticos pioneros en la teoría de
Galois.
Las adjunciones y las conexiones de Galois proporcionan una estructura que sirve de puente entre dos mundos de nuestra imaginación, por lo
tanto, son inherentes al pensamiento humano en cualquier razonamiento
lógico o matemático. En general, estas estructuras permiten relacionar dos
mundos de objetos (más o menos matemáticos) entre sí con el fin utilizar el
conocimiento sobre los objetos y las relaciones de uno de los dos mundos
para obtener nueva información sobre el otro mundo y viceversa.
A modo ilustrativo, podríamos considerar como “mundos” la parte izquierda y la parte derecha de una igualdad o desigualdad. El proceso habitual para simplificar o evaluar una igualdad o desigualdad consiste en
desplazar los términos de la misma de un lado a otro de la igualdad para
luego operar en el lado que nos interesa adecuadamente. Si es necesario,
volvemos a cambiar los términos al otro lado de la igualdad y así sucesivamente. Un ejemplo de dicho procedimiento viene dado por el siguiente
problema algebraico (el símbolo representa un número elevado al cuadrado):
¿Bajo qué condiciones es posible resolver la ecuación −x2 + 2bx + c = ?
5
C APÍTULO 1. I NTRODUCCIÓN
El matemático egipcio Abu Kamil se planteó esta pregunta sobre el año
880 a.c y su respuesta fue la siguiente:
Si c ≤ 0, entonces −c debe ser menor que b2 y b2 + c debe ser una suma de
dos cuadrados.
La segunda condición es necesaria y suficiente para garantizar la existencia de soluciones en el cuerpo de los números racionales, mientras que
la primera condición es necesaria y suficiente para que existan soluciones
en el cuerpo de los reales. Sin embargo, no es probable que Abu Kamil
ya fuera consciente de esta diferencia. Su respuesta se deduce del hecho
de que en los reales los números elevados al cuadrado solo pueden ser
números positivos:
−x2 + 2bx + c > 0 si y solo si c > x2 − 2bx
si y solo si c + b2 > x2 − 2bx + b2
si y solo si c + b2 > (x − b)2
entonces
c + b2 > 0
si y solo si −c < b2
Obsérvese que el proceso de deducción que se lleva a cabo al tratar con
desigualdades similares a la anterior, requiere de la posibilidad de sumar
o restar valores en ambos lados de la desigualdad, de multiplicar simultáneamente ambos lados por números positivos, etc., lo cual se deriva de las
propiedades de grupo ordenado o cuerpo.
En general, lo que se necesita para despejar los términos de una igualdad o desigualdad de un lado a otro de la misma es un par de aplicaciones
entre conjuntos ordenados, λ : P → Q y γ : Q → P , sujetas a la condición:
p ≤ γ(q) si y solo si λ(p) ≤ q
Dicha condición es equivalente a exigir que λ y γ sean aplicaciones crecientes satisfaciendo las desigualdades:
p ≤ γ(λ(p)) y λ(γ(q)) ≤ q
6
En el ejemplo presentado, λ puede interpretarse como la suma de una
constante y γ como la resta de la misma constante. En este caso, λ y γ no
son más que un par de aplicaciones biyectivas y mutuamente inversas, por
lo que el tratamiento habitual de las ecuaciones - despejando términos de
un lado al otro - se muestra como un caso particular del manejo de desigualdades. El par de aplicaciones (λ, γ) definido previamente se conoce
bajo el nombre de adjunción o conexión de Galois isótona.
A Ore [48] debemos una definición bien conocida y equivalente a la
noción de adjunción/conexión de Galois isótona, la cual requiere que λ y
γ sean aplicaciones decrecientes verificando la equivalencia:
p ≤ γ(λ(p)) y q ≤ λ(γ(q))
En esta ocasión, decimos que (λ, γ) es una conexión de Galois antítona.
Debido a su terminología, las conexiones de Galois suelen asociarse a
la teoría de Galois, campo dedicado al estudio de grupos, anillos y cuerpos. En cambio, los conceptos relacionados con estas estructuras permiten
construir el marco de trabajo para multitud de áreas matemáticas como
son el álgebra, la geometría, la topología, la teoría de categorías y la lógica. De hecho, en los tres últimos siglos, el desarrollo de las conexiones de
Galois - en sus dos versiones - ha venido marcado por las investigaciones
correspondientes a:
La teoría de ecuaciones polinomiales (Lagrange, Galois)
La teoría de Galois moderna (Dedekind, Artin)
Los orígenes de la teoría de retículos (Dedekind, Schröder)
Las polaridades y otros aspectos de la teoría de retículos (Birkhoff)
Order-theorical Galois connections (Ore)
Lógicas de cálculo (Boole, Pierce, Schröder)
7
C APÍTULO 1. I NTRODUCCIÓN
Teoría de residuos (Kroll, Ward, Dilworth)
En [39] se hace un recorrido detallado sobre el desarrollo de las conexiones de Galois, argumentando las distintas contribuciones de esta herramienta a la teoría de adjunción y residuación, y mostrando su utilidad para facilitar o clarificar considerablemente los problemas matemáticos. Además, se muestran numerosos ejemplos que sirven para destacar
la aplicabilidad de las conexiones de Galois en topología, lógica, álgebra
universal y análisis de conceptos formales.
Es cierto que raras son las veces en las que los teoremas se deducen
como una consecuencia inmediata de la teoría de las conexiones de Galois,
ya que por lo general, requieren de algunas herramientas e ideas extras
relativas a la teoría específica sobre la que se está trabajando. Sin embargo,
una de las principales ventajas que se deriva del uso del lenguaje de las
conexiones de Galois es que las demostraciones de muchos teoremas se
hacen más cortas, de una manera más elegante y más transparente. Este
aspecto se verá reflejado en varios de los resultados presentados en esta
tesis.
Triples adjuntos
Diferentes tipos de estructuras algebraicas tales como lógica multivaluada, teoría de la medida generalizada y teoría integral, lógica cuántica
y computación cuántica, etc., constituyen un marco matemático para muchos campos de aplicación en matemáticas y en ciencias de la información.
Los operadores que se usan con mayor frecuencia en los marcos de trabajo anteriormente citados son las normas triangulares [71, 98, 105], también llamadas t-normas, las cuales satisfacen propiedades interesantes. Sin
embargo, estas propiedades son muy restrictivas y estos operadores no se
pueden usar en entornos generales, en los que por ejemplo, la conmutatividad y la asociatividad de los operadores no es necesaria o incluso no
8
se puede asumir [3, 77]. Para resolver estos problemas se ha desarrollado
una estructura más general, el triple adjunto.
Los triples adjuntos surgen como la generalización de una t-norma y
su implicación residuada. En primer lugar, estos operados se usaron en
el ambiente de la programación lógica para introducir la programación
lógica multiadjunta [66, 88]. La programación lógica multiadjunta es un
marco lógico general introducido recientemente y que está recibiendo una
atención considerable [66, 67, 68, 83, 107]. El marco multiadjunto se originó como una generalización de diversos marcos de programación lógica
no clásicos. La estructura semántica de este nuevo marco viene dada por
un retículo multiadjunto. Éste, consiste en un retículo completo junto con
varios conjuntores e implicaciones, las cuales forman pares adjuntos.
Más tarde, los triples adjuntos fueron considerados en el entorno del
análisis de conceptos formales y de la teoría de conjuntos rugosos con el
fin de presentar un marco general difuso para estas teorías, los retículos
de conceptos multiadjuntos [82, 86] y los conjuntos rugosos multiadjuntos [30, 31], respectivamente. En ambos enfoques multiadjuntos, la consideración de triples adjuntos proporciona más flexibilidad al contexto. Una
característica importante de la estructura de retículo de conceptos multiadjuntos es que permite considerar una preferencia entre objetos y atributos. En cuanto a los conjuntos rugosos multiadjuntos, éstos posibilitan la
representación de preferencias explícitas entre los objetos en un sistema
de decisión, asociando un triple adjunto particular con cualquier par de
objetos.
Además, es fundamental destacar que los triples adjuntos también proporcionan una nueva extensión de las ecuaciones de relaciones difusas [43,
46], las cuales se usan para resolver problemas más generales que los dados en los campos de trabajo actuales. Por consiguiente, el uso de este tipo
de operadores proporciona más flexibilidad e incrementa el rango de aplicaciones del entorno en el que son utilizados. Esta consecuencia es una de
9
C APÍTULO 1. I NTRODUCCIÓN
las razones más importantes que justifica el estudio de los triples adjuntos.
Esta tesis detalla propiedades interesantes de los triples adjuntos, presenta una definición dual de estos operadores e introduce dos estudios
diferentes sobre la teoría de triples adjuntos. El primero de ellos destaca el
uso de estos operadores por pares proporcionando más flexibilidad aún.
Concretamente en [47], los autores muestran distintos casos en los que no
es necesario considerar triples sino pares para realizar los cálculos. La segunda parte de este estudio muestra que las nociones de triple adjunto y
triple adjunto dual no son equivalentes, en general [21].
También se introducen propiedades que generalizan varias de las presentadas en [1, 40, 91]. Por ejemplo, mostraremos que la composición de
varias propiedades de las t-normas y sus implicaciones residuadas dadas
en [40] se pueden generalizar a la estructura general de triples adjuntos, a
veces asumiendo una condición de frontera. Esta generalización resulta de
gran interés puesto que se conservan las propiedades principales de estas
aplicaciones tan usadas en distintos campos del soft computing, además de
disminuir las restricciones en el tratamiento de la información en el campo
de trabajo considerado.
Operadores generales con implicación residuada
En los últimos años, distintos enfoques lógicos han utilizado diferentes operadores algebraicos como conectivos lógicos y han investigado las
relaciones entre dichos operadores. En esta tesis, continuando con dicha
línea de trabajo, estableceremos una intensa comparativa entre los triples
adjuntos y otros operadores algebraicos generales como son los triples de
implicación.
Los triples de implicación fueron introducidos junto con las álgebras
de adjunción en [91] y se usaron para definir una estructura más compleja - la lógica de implicaciones ligadas - [92, 93, 94]. Muchas propiedades
10
correspondientes a estas estructuras se han estudiado en [1, 95]. Los triples de implicación son operadores definidos en una estructura general
que siguen la misma motivación que los triples adjuntos a fin de reducir
los requisitos matemáticos de los operadores básicos usados, por ejemplo,
en programación lógica. Estos hechos nos conducen al estudio de estos
operadores, lo que da lugar a la obtención de varios resultados que nos
permiten mejorar la definición de triple de implicación [22, 23].
También estudiaremos la relación existente entre los tripes adjuntos
y las estructuras de agregación conservando supremos [9], los cuantales [11, 64], las u-normas [75], las uninormas [58, 114] y las implicaciones
consideradas en las álgebras de orden extendido [37, 38, 60]. Concretamente, probaremos que todos estos operadores son casos particulares de conjuntores adjuntos cuando tienen una implicación residuada [21, 24, 26, 28].
Podemos observar que la existencia de implicación residuada es necesaria, por ejemplo, para definir los operadores de formación de conceptos
generando conexiones de Galois [12] en análisis de conceptos formales,
para calcular las soluciones de ecuaciones de relaciones difusas resolubles [104] y para generalizar la propiedad del modus ponens en un entorno difuso en programación lógica.
Operadores de negación
Otros operadores que juegan un papel fundamental en numerosos marcos de trabajo son las negaciones [38, 52, 108, 110]. Por ejemplo, son muy
útiles en lógica difusa [19, 54, 57]. Específicamente, las negaciones se han
usado en programación lógica para definir programas lógicos no monótonos sin requerir ningún esfuerzo extra para obtener modelos (estables) [78].
Un operador de negación interesante es el que se define a partir de implicaciones residuadas de una t-norma [18, 55, 103], el cual recibe el nombre de negación residuada. Otros operadores de negación importantes son:
11
C APÍTULO 1. I NTRODUCCIÓN
las negaciones ordinarias, ampliamente estudiadas por Trillas, Esteva y
Domingo [52, 53, 56, 108], y los pares de negaciones débiles, introducidos
por Georgescu y Popescu en [59]. Con el fin de presentar una generalización de todos estos operadores de negación, consideraremos los triples
adjuntos.
En este trabajo, introducimos las negaciones adjuntas como una generalización de las negaciones residuadas, así como las propiedades más significativas que este nuevo operador de negación satisface. Los principales
resultados que se derivan de este estudio, demuestran que cada negación
ordinaria y cada par de negaciones débiles se pueden obtener a partir de
las implicaciones de un triple adjunto, por tanto mostraremos que las negaciones adjuntas son más generales [25].
Las negaciones adjuntas se definen sobre dos conjuntos parcialmente
ordenados diferentes, ya que están asociadas a un triple adjunto definido
sobre tres conjuntos parcialmente ordenados distintos. En multitud de artículos [5, 13, 43, 86, 93] se destaca la utilidad de considerar conjuntos parcialmente ordenados diferentes. Por ejemplo, un multirretículo [10, 15, 63]
es una estructura algebraica más general que un retículo, la cual ha sido
considerada en programación lógica difusa [85] y, recientemente, en análisis de conceptos formales difusos [81, 90].
En [38], se define otro operador correspondiente al conectivo lógico de
negación a partir de una estructura implicativa acotada llamada álgebra
de orden extendido. Además de asumir la condición de simetría, se consideró un operador de negación dual y se probaron varias propiedades.
En este trabajo, se proporcionará una comparación entre estos conectivos
y las negaciones adjuntas [24, 28].
Con el propósito de incrementar el poder expresivo de las lógicas en
las que se consideran triples adjuntos y negaciones adjuntas, se presenta
la noción de t-conorma dual a una t-norma junto con algunas propiedades.
Las t-conormas se han utilizado en multitud de aplicaciones reales en las
12
que la lógica difusa es básica, siendo uno de los principales objetivos de
este marco de trabajo proporcionar una base matemática formal para este
tipo de aplicaciones [14].
Sistemas de apoyo a la decisión
El estudio de los sistemas de apoyo a la decisión surge de la necesidad
de mejorar la eficacia en la toma de decisiones y la efectividad de dicha decisión. De ahí que distintas áreas de investigación como son la informática,
la ergonomía o las ciencias de la información, entre otras, hayan realizado un gran esfuerzo para contribuir en el progreso de dichos sistemas de
apoyo.
Hasta la mitad de la década de los setenta, los sistemas de apoyo a la
decisión no fueron considerados un área de investigación como tal. Sin
embargo, esto no ha repercutido de manera negativa en su evolución, ya
que el estudio sobre los conceptos y tecnologías relacionados con este enfoque han aumentado notablemente en los últimos años. Una de las principales razones de este avance es el carácter multidisciplinar de los sistemas
de apoyo a la decisión, el cual ha sido demostrado en varios trabajos relacionados con los negocios [97], la industria [70], la ingeniería [117], la
modelización medioambiental [36, 101] y la medicina [74, 76].
En el ámbito matemático, las ecuaciones en relaciones difusas constituyen un sistema de apoyo a la decisión interesante. Estas ecuaciones fueron
introducidas por E. Sanchez [104] y se utilizan para investigar aspectos
teóricos y aplicados de la teoría de conjuntos difusos [41].
En esta tesis, se presenta una aplicación real en la que se consideran
ecuaciones de relaciones difusas multiadjuntas [44], una generalización de
las ecuaciones anteriores, como un sistema de apoyo a la decisión fundamental en sistemas de conocimiento en los que se usa programación lógica
multiadjunta. Para ello, los programas lógicos multiadjuntos se interpre13
C APÍTULO 1. I NTRODUCCIÓN
tarán como un sistema de ecuaciones de relaciones difusas multiadjuntas
y la resolubilidad del mismo vendrá dada en términos de la teoría de retículos de conceptos.
Resultados aportados
A continuación, se exponen las aportaciones más relevantes de este trabajo de manera detallada:
En el Capítulo 2 se presentan nociones básicas y resultados sobre conectivos lógicos, conexiones de Galois y teoría de retículos, constituyendo
así el marco matemático del contenido desarrollado a lo largo de la tesis.
Introducimos las álgebras multiadjuntas y varias propiedades de los
pares y triples adjuntos en el Capítulo 3. Por ejemplo, se muestra que las
implicaciones adjuntas “duales” no se pueden definir en álgebras multiadjuntas (birresiduadas), lo cual es muy importante para no considerar
propiedades que no satisface ningún operador. Además, se prueban interesantes resultados en los que se consideran diferentes triples adjuntos,
extendiendo así las propiedades dadas en [40].
El Capítulo 4 estudia qué condiciones tienen que verificarse a fin de
relacionar los triples adjuntos con los triples de implicación. Como consecuencia de este estudio, se reducen los requisitos exigidos en la definición de triple de implicación y se presenta una caracterización novedosa
de estos operadores. Asimismo, la relación establecida proporciona que
un retículo multiadjunto en programación lógica multiadjunta es un caso
particular de retículo de adjunción completo, pero con respecto al marco
de los retículos de conceptos multiadjuntos la relación no es tan fuerte.
También se muestran las definiciones de otras estructuras generales (no
conmutativas): estructuras de agregación conservando supremos [9], los
cuantales [11, 64], las u-normas [75], las uninormas [58, 114] y las implicaciones consideradas en las álgebras de orden extendido [37, 38, 60]. Di14
ferentes resultados y algunas observaciones sobre la comparación de las
estructuras citadas previamente con los pares y triples adjuntos, también
se introducen en el Capítulo 4. Se prueba que el uso de estas estructuras algebraicas, en ambientes en los que se necesitan las implicaciones residuadas tales como el análisis de conceptos formales, las ecuaciones de
relaciones difusas y la programación lógica difusa, proporciona casos particulares de álgebras multiadjuntas (birresiduadas). Por tanto, las álgebras
multiadjuntas unifican dichas estructuras generales.
Con respecto al Capítulo 5, en él se presenta un tipo especial de operador de negación llamado negación adjunta. Las negaciones adjuntas se
definen a partir de las implicaciones de un triple adjunto, de manera similar a como se construyen las negaciones residuadas que consideran la
implicación residuada de una t-norma continua por la izquierda. Además
de generalizar este tipo de negaciones, hemos mostrado que las negaciones adjuntas generalizan, al menos, tres de los operadores de negación
más útiles dados en la literatura: las negaciones ordinarias [52, 53, 56, 108],
los pares de negaciones débiles [59] y los operadores de negación definidos a partir de las implicaciones de las álgebras de orden extendido [38].
Asimismo, hemos demostrado que las negaciones adjuntas satisfacen todas las propiedades dadas para las negaciones presentadas en [38], pero
requiriendo menos condiciones.
Otro aspecto al que se presta especial atención en el Capítulo 5, es la
definición de los pares de negaciones débiles [59] y las negaciones obtenidas a partir de las álgebras de orden extendido [38] sobre un único conjunto parcialmente ordenado. De hecho, la caracterización geométrica de
los pares de negaciones débiles y las principales propiedades se dan sobre cadenas acotadas. En cambio, las negaciones adjuntas se definen sobre
dos conjuntos parcialmente ordenados generales lo que hace que éstas se
puedan usar en un rango más amplio de posibles lógicas.
Por último, el Capítulo 6 presenta el uso de los triples adjuntos en un
15
C APÍTULO 1. I NTRODUCCIÓN
ambiente particular y con una aplicación real. Específicamente, se recuerdan las ecuaciones de relaciones difusas, en las que los triples adjuntos
juegan un papel fundamental, y se utilizan para construir un programa
lógico multiadjunto de forma similar a como se hizo en [43]. En este caso, las soluciones del sistema de ecuaciones obtenido se interpretan como
las intensiones de los conceptos de un retículo de conceptos multiadjunto
orientado a objetos [82].
Además, hemos dado un método para recalcular los pesos de las reglas de un programa lógico cuando se necesita una solución y el sistema
de ecuaciones de relaciones difusas multiadjuntas no es resoluble. Este
método proporciona una aproximación optimista y otra pesimista para las
ecuaciones irresolubles basándose en la teoría de retículos de conceptos.
En conclusión, podemos garantizar que las ecuaciones de relaciones difusas multiadjuntas son un interesante sistema de apoyo a la decisión en
sistemas de conocimiento en los que se usa programación lógica multiadjunta.
Trabajo futuro
Sobre estos temas de investigación, tenemos varias perspectivas de trabajo futuro:
(i) Se estudiarán los triples adjuntos desde el punto de vista categórico, así como algunas definiciones particulares de estos triples en el
retículo de intervalos, junto con sus propiedades.
(ii) Se analizarán más propiedades y aplicaciones de las álgebras multiadjuntas. Por otra parte, queremos enriquecer las álgebras multiadjuntas con un operador de disyunción siguiendo la filosofía subyacente de varias estructuras algebraicas.
16
(iii) Otro problema interesante para analizar es si los teoremas de representación de las negaciones, dados por la teoría intuicionista sobre
conjuntos difusos de Atanassov y por la teoría de birretículos en [29],
se pueden extender a las álgebras multiadjuntas. Además, pretendemos generalizar los resultados introducidos en [52, 56] con respecto
a la relación entre negaciones débiles y fuertes, al entorno de las negaciones adjuntas.
(iv) Recientemente, se han presentado distintos desarrollos en programación lógica difusa con negación teniendo en cuenta un retículo
residuado [78, 79, 80]. Considerando las negaciones adjuntas y las
propiedades introducidas en esta tesis, se investigarán dichos desarrollos en un marco de trabajo menos restrictivo, lo que permitirá
considerar mayor número de aplicaciones.
(v) También queremos estudiar en detalle la interpretación de las soluciones minimales de las ecuaciones de relaciones difusas multiadjuntas en el marco multiadjunto. Considerando la flexibilidad dada por
el paradigma multiadjunto, esperamos obtener mejores resultados a
través de la simulación de aplicaciones reales.
Publicaciones
Muchos de los resultados presentados en esta tesis ya han sido publicados en artículos en revistas o en congresos:
(1) M.E. Cornejo, J. Medina y E. Ramírez-Poussa. Implication triples versus adjoint triples. Lecture Notes in Computer Science, 6692, páginas
453-460, 2011.
(2) M.E. Cornejo, J. Medina y E. Ramírez-Poussa. A comparative study
of adjoint triples. Fuzzy Sets and Systems, 211, páginas 1-14, 2013.
17
C APÍTULO 1. I NTRODUCCIÓN
(3) M.E. Cornejo, J. Medina y E. Ramírez-Poussa. A survey of general
operators useful for fuzzy FCA. XVII Congreso Español sobre Tecnologías y Lógica Fuzzy (ESTYLF2014), páginas 121-126, 2014.
(4) M.E. Cornejo, J. Medina y E. Ramírez-Poussa. General negations for
residuated fuzzy logics. Lecture Notes in Computer Science, 8536, páginas 13-22, 2014.
(5) M.E. Cornejo, J. Medina y E. Ramírez-Poussa. Adjoint triples and residuated aggregators. 15th International Conference on Information Processing and Management of Uncertainty in Knowledge-Based Systems (IPMU2014), Part III, CCIS 444, páginas 345-354, 2014.
(6) M.E. Cornejo, J. Medina y E. Ramírez-Poussa. Adjoint triples versus extended-order algebras. International Conference on Computational and Mathematical Methods in Science and Engineering (CMMSE2014),
Volume II, páginas 375-384, 2014.
(7) M.E. Cornejo, J. Medina y E. Ramírez-Poussa. Multi-adjoint algebras
versus extended-order algebras. Applied Mathematics & Information
Sciences, 9, páginas 365-372, 2015.
Otros resultados han sido enviados en artículos a otras revistas:
(8) M.E. Cornejo, J. Medina y E. Ramírez-Poussa. Adjoint negations, more than residuated negations. Enviado, 2015.
(9) M.E. Cornejo, J. Medina y E. Ramírez-Poussa. Multi-adjoint algebras:
unifying general algebraic structures. Enviado, 2015.
(10) M.E. Cornejo, J.C. Díaz-Moreno y J. Medina. Multi-adjoint relation
equations: a decision support system for fuzzy logic. Enviado, 2015.
18
Capítulo 2
Preliminares
En este capítulo se introducen nociones básicas que facilitan la introducción de las definiciones y resultados de esta tesis.
2.1.
Conjuntos ordenados y retículos
Debido a que los operadores algebraicos que estudiaremos a lo largo
de este trabajo se definen sobre conjuntos parcialmente ordenados y sobre
retículos, comenzaremos introduciendo estas nociones en esta sección. Para ello, es necesario incluir previamente la definición de relación de orden,
así como la de cota inferior máxima (ínfimo) y la de cota superior mínima
(supremo).
Definición 2.1. Decimos que una relación binaria ≤ sobre un conjunto arbitrario
P es un orden parcial si se satisfacen las siguientes propiedades:
(1) x ≤ x; (Propiedad reflexiva)
(2) Si x ≤ y e y ≤ x entonces x = y; (Propiedad antisimétrica)
(3) Si x ≤ y e y ≤ z entonces x ≤ z; (Propiedad transitiva)
C APÍTULO 2. P RELIMINARES
para todo x, y, z ∈ P .
Definición 2.2. Sea P un conjunto arbitrario y sea ≤ un orden parcial sobre
dicho conjunto, llamaremos conjunto parcialmente ordenado al par (P, ≤).
Ejemplo 2.1. El par (N \{0}, ≤) es un conjunto parcialmente ordenado donde
la relación de orden parcial ≤ se define como sigue: dados x, y ∈ N \{0}, decimos
que x ≤ y si y solo si x es divisor de y.
En general, un orden ≤ es parcial si existen dos elementos distintos x
e y tales que x y e y x. En este caso, se dice que x e y son elementos
incomparables en el orden ≤. En cambio, en un orden total dos elementos
cualesquiera siempre son comparables.
Definición 2.3. Dado un conjunto parcialmente ordenado (P, ≤), decimos que
la relación binaria ≤ es un orden total si para cada par de elementos x, y ∈ P
se verifica que x ≤ y o bien y ≤ x. En este caso, decimos que el par (P, ≤) es un
conjunto totalmente ordenado.
Para representar de manera gráfica conjuntos parcialmente ordenados
finitos se recurre a los diagramas de Hasse. Estos diagramas consisten en
vértices conectados mediante aristas. Los vértices representan a los elementos del conjunto parcialmente ordenado y cada arista ascendente entre
dos vértices x e y se interpreta entendiendo que x ≤ y. Las aristas que se
deducen por transitividad a partir de otras ya representadas no se dibujan.
Ejemplo 2.2. Consideremos el conjunto P = {2, 3, 6, 9, 18} junto con el orden
parcial ≤ definido en el Ejemplo 2.1. El diagrama de Hasse de (P, ≤) viene dado
en la Figura 2.1.
Muchas propiedades importantes de un conjunto parcialmente ordenado (P, ≤) se expresan en función de la existencia de ciertas cotas inferiores
o superiores de subconjuntos de P . Dos de los conjuntos parcialmente ordenados más importantes definidos en dichos términos son los retículos y
20
2.1. C ONJUNTOS ORDENADOS Y RETÍCULOS
18
•
6•
@
@
@• 9
@
@
@•
•
2
3
Figura 2.1: Diagrama de Hasse del Ejemplo 2.2
los retículos completos. Antes de introducir la definición de estas estructuras, recordamos las nociones de cota inferior, cota superior, elemento
mínimo, elemento máximo, ínfimo y supremo.
Definición 2.4. Sea (P, ≤) un conjunto parcialmente ordenado y S un subconjunto de P, esto es, S ⊆ P . Decimos que un elemento x ∈ P es:
(1) una cota inferior de S si x ≤ y para todo y ∈ S.
(2) una cota superior de S si y ≤ x para todo y ∈ S.
(3) un mínimo de S si es una cota inferior de S y x ∈ S.
(4) un máximo de S si es una cota superior de S y x ∈ S.
(5) el ínfimo de S si es el máximo del conjunto de todas las cotas inferiores de
S, esto es, ı́nf(S) = máx{x ∈ P | x es cota inferior de S}.
(6) el supremo de S si es el mínimo del conjunto de todas las cotas superiores
de S, es decir, sup(S) = mı́n{x ∈ P | x es cota superior de S}.
Es importante destacar que los elementos máximo y mínimo, así como
el supremo y el ínfimo no siempre existen. En caso de existir, éstos son
únicos. Como consecuencia, si el supremo y el máximo de un conjunto
existen (ínfimo y mínimo, respectivamente), ellos son iguales.
21
C APÍTULO 2. P RELIMINARES
Una vez presentadas las nociones anteriores, ya estamos en disposición
de presentar la definición de retículo y de retículo completo.
Definición 2.5. Sea (P, ≤) un conjunto parcialmente ordenado.
(1) Si para cualquier par de elementos x, y ∈ P existe el supremo y el ínfimo
del conjunto {x, y}, entonces (P, ≤) es un retículo.
(2) Si para cualquier subconjunto K ⊆ P existen el supremo y el ínfimo de K,
entonces (P, ≤) es un retículo completo.
Obsérvese que todo retículo completo tiene un elemento máximo y un
elemento mínimo, los cuales se denotarán como > y ⊥, respectivamente.
A continuación, presentamos algunos ejemplos ilustrativos sobre este
tipo de estructuras.
Ejemplo 2.3. Los diagramas de Hasse mostrados en la Figura 2.2 representan
diferentes ordenaciones del conjunto {a, b, c, d, e}.
e•
d•
e
•
c•
•d
@
e •H
@
b •@
@•c
•d
H
H
HH
a•
@
a@•
•
b @@
a@•
F1
F2
F3
b•
•c
Figura 2.2: Diagrama de Hasse del Ejemplo 2.3
Atendiendo a los diagramas F1 y F2 de la Figura 2.2 es fácil comprobar que el
supremo y el ínfimo de cualquier par de elementos existen, por tanto son retículos,
de hecho, son retículos completos. Sin embargo, esto no se verifica en el caso del
diagrama F3 .
22
2.1. C ONJUNTOS ORDENADOS Y RETÍCULOS
Si consideramos los elementos b y c de F3 , observamos que éstos sí tienen
ínfimo pero carecen de supremo. Por consiguiente, podemos afirmar que F3 no es
un retículo.
Por último, también podemos observar que F1 es el único diagrama que no
contiene elementos incomparables, por tanto nos encontramos ante un conjunto
totalmente ordenado.
Si nos interesa trabajar con estructuras en las que solo se puede garantizar la existencia de supremos o bien la existencia de ínfimos, podemos
recurrir a los semirretículos.
Definición 2.6. Un conjunto parcialmente ordenado (P, ≤) es semirretículo
superior (semirretículo inferior, respectivamente ) si para todo subconjunto
finito no vacío K de P existe el supremo (ínfimo, respectívamente) de K.
Claramente, todo retículo es a la vez un semirretículo superior y un
semirretículo inferior con respecto a un mismo orden parcial. Sin embargo,
no todos los semirretículos son retículos como se muestra en el Ejemplo 2.3
(Diagrama de Hasse F3 ).
Por otra parte, también podemos estar interesados en debilitar aún más
las condiciones impuestas sobre un retículo y trabajar con estructuras en
las que solo se pueda garantizar la existencia de elementos minimales (maximales) de las cotas superiores (inferiores) de un subconjunto. Esto nos
conduce a la noción de multirretículo. Antes de presentar dicha noción, necesitamos incluir algunas definiciones previas.
Definición 2.7. Sea (P, ≤) un conjunto parcialmente ordenado y K ⊆ P . Decimos que:
(1) K es una cadena si para cada par de elementos x, y ∈ K obtenemos que
x ≤ y o y ≤ x.
(2) K es una anticadena si ninguno de sus elementos son comparables.
23
C APÍTULO 2. P RELIMINARES
Definición 2.8. Decimos que un conjunto parcialmente ordenado (P, ≤) es coherente si cada cadena tiene supremo e ínfimo.
Una vez introducidas estas definiciones, pasamos a presentar la noción
de multirretículo.
Definición 2.9. Un multirretículo completo (M, ≤) es un conjunto parcialmente ordenado coherente tal que para cada subconjunto X, el conjunto de cotas
superiores (resp. inferiores) de X tiene elementos minimales (resp. maximales).
2.1.1.
Propiedades de los retículos
En cualquier retículo (P, ≤) podemos definir el cálculo del ínfimo y
del supremo de pares de elementos como operaciones binarias sobre el
conjunto P , esto es ∨, ∧ : P ×P → P , definidas como x∨y = sup{x, y} y x∧
y = ı́nf{x, y}. Ahora, analizaremos las propiedades de estas operaciones
binarias, o lo que es lo mismo, vamos a estudiar los retículos desde una
perspectiva algebraica.
El primer resultado que introducimos muestra la conexión entre las
operaciones ∨, ∧ y el orden ≤.
Lema 2.1. Dado un retículo (P, ≤) y dos elementos x, y ∈ P , los siguientes
enunciados son equivalentes:
(1) x ≤ y;
(2) x ∨ y = y;
(3) x ∧ y = x;
A continuación, se muestran los axiomas que debe cumplir un retículo
definido algebraicamente.
24
2.1. C ONJUNTOS ORDENADOS Y RETÍCULOS
Teorema 2.1. Si (P, ≤) un retículo, entonces las operaciones ∨ y ∧ satisfacen las
siguientes propiedades para todo x, y, z ∈ P :
(1) x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z y x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z; (Asociatividad)
(2) x ∨ y = y ∨ x
y
x ∧ y = y ∧ x; (Conmutatividad)
(3) x ∨ x = x y x ∧ x = x; (Idempotencia)
(4) x ∨ (x ∧ y) = x y x ∧ (x ∨ y) = x. (Absorción)
La siguiente estructura que presentamos se desprende de la definición
de ∨ y ∧ como operaciones binarias.
Definición 2.10. Sea (P, ≤) un retículo y M un subconjunto de P tal que ∅ 6=
M ⊆ L. Decimos que M es un subretículo de P si x ∨ y ∈ M y x ∧ y ∈ M , para
todo x, y, z ∈ P .
Otra identidad interesante que liga las operaciones ∨ y ∧ es la distributividad. Sin embargo, no todos los retículos satisfacen dicha propiedad.
Definición 2.11. Decimos que (P, ≤) es un retículo distributivo si, para todo
x, y, z ∈ P , se verifica la igualdad:
x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)
(2.1)
Conviene destacar que la Expresión (2.1) de la definición anterior es
equivalente a la igualdad:
x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)
para todo x, y, z ∈ P
(2.2)
Por tanto, la noción de retículo distributivo se puede definir o bien por la
Expresión (2.1) o bien por su Expresión dual (2.2).
El siguiente teorema muestra un procedimiento interesante para determinar si un retículo es distributivo o no a partir de su diagrama de Hasse
(Ver Figura 2.3).
25
C APÍTULO 2. P RELIMINARES
Teorema 2.2. Un retículo (P, ≤) no es distributivo si y solo si M3 o N5 es un
subretículo de (P, ≤).
•
•
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@
@•
@•
Figura 2.3: Retículos no distributivos - M3 (izquierda) y N5 (derecha) -
2.2.
Conexiones de Galois
El concepto de conexión de Galois aparece en multitud de ambientes
matemáticos y de ciencias de la computación. A continuación, presentaremos definiciones, ejemplos y propiedades de estas estructuras.
2.2.1.
Definición de conexión de Galois. Ejemplos
Es habitual que los conceptos presentes en diferentes contextos adopten distintas formas, siendo buen ejemplo de esto la noción de conexión
de Galois. Existen dos versiones de la definición de conexión de Galois. La
primera versión es la que presentamos bajo el nombre de conexión de Galois
isótona, donde los operadores considerados son crecientes. Esta definición
también recibe el nombre de adjunción.
Definición 2.12. Sean (P1 , ≤1 ) y (P2 , ≤2 ) conjuntos parcialmente ordenados.
Un par (↓ , ↑ ) de aplicaciones ↓ : P1 → P2 , ↑ : P2 → P1 recibe el nombre de conexión de Galois isótona entre P1 y P2 si para todo x ∈ P1 e y ∈ P2 se satisface la
siguiente equivalencia:
x↓ ≤ 2 y
si y solo si
26
x ≤1 y ↑
2.2. C ONEXIONES DE G ALOIS
La aplicación ↓ se llama adjunto inferior de ↑ y la aplicación ↑ adjunto superior
de ↓ . Los términos inferior y superior hacen referencia al lado de la desigualdad en
el que aparecen las aplicaciones ↓ y ↑ .
La segunda versión recibe el nombre de conexión de Galois antítona y en
ella las aplicaciones ↓ y ↑ son decrecientes.
Definición 2.13. Dados (P1 , ≤1 ) y (P2 , ≤2 ) conjuntos parcialmente ordenados,
se dice que el par (↑ , ↓ ) de aplicaciones ↓ : P1 → P2 , ↑ : P2 → P1 es una conexión
de Galois antítona entre P1 y P2 si se verifica la equivalencia:
y ≤2 x↓
si y solo si
x ≤1 y ↑
(2.3)
para todo x ∈ P1 e y ∈ P2 .
La diferencia entre ambas definiciones no es significativa a nivel teórico, ya que podemos pasar de una a otra intercambiando el conjunto parcialmente ordenado P2 con su dual P2 ∂ .
Recordemos que dado un conjunto P y una relación de orden ≤ en P ,
el orden dual de ≤ es la relación ≤∂ , definida como x1 ≤∂ x2 si y solo si
x2 ≤ x1 , para todo x1 , x2 ∈ P . Generalmente, se escribe P ∂ en lugar de
(P ∂ , ≤∂ ) y se dice que P ∂ es el dual de P .
Seguidamente, se muestran un par de ejemplos de conexiones de Galois.
Ejemplo 2.4.
(1) Sea f : P1 → P2 un isomorfismo de orden entre los conjuntos parcialmente
ordenados (P1 , ≤1 ) y (P2 , ≤2 ). El par (f, f −1 ) es una conexión de Galois
isótona siendo f −1 la función inversa de f . Claramente, para todo x ∈ P1 e
y ∈ P2 se satisface la siguiente equivalencia:
f (x) ≤2 y
si y solo si f −1 (f (x)) ≤1 f −1 (y) si y solo si x ≤1 f −1 (y)
27
C APÍTULO 2. P RELIMINARES
(2) Sea (P, ≤) un conjunto parcialmente ordenado y sea A ⊆ P . Consideremos
el conjunto de cotas superiores y cotas inferiores de A definidos como:
Au = {y ∈ P | x ≤ y para todo x ∈ A}
Al = {y ∈ P | y ≤ x para todo x ∈ A}
El par (u , l ) es una conexión de Galois antítona en (P(P ), ⊆), es decir:
B ⊆ Au
si y solo si
(para todo y ∈ B)(para todo x ∈ A, x ≤ y)
si y solo si
(para todo x ∈ A)(para todo y ∈ B, x ≤ y)
si y solo si
A ⊆ Bl
2.2.2.
Propiedades de las conexiones de Galois
En lo sucesivo, se presentan propiedades importantes de los operadores de una conexión de Galois antítona que serán muy útiles en los capítulos posteriores. Se obtienen resultados similares considerando una conexión de Galois isótona.
Proposición 2.1. Sea (↑ , ↓ ) una conexión de Galois antítona entre los conjuntos parcialmente ordenados (P1 , ≤1 ) y (P2 , ≤2 ). Para todo x ∈ P1 e y ∈ P2 , se
cumplen las siguientes propiedades:
(1)
↓
y ↑ son decrecientes.
(2) x ≤1 x↓↑ e y ≤2 y ↑↓ .
(3) x↓ = x↓↑↓ e y ↑ = y ↑↓↑ .
Demostración. Comenzaremos la demostración probando el enunciado (2)
y luego continuaremos con el enunciado (1) y (3). solo probaremos la primera parte de los enunciados, la otra parte se prueba de manera análoga.
28
2.2. C ONEXIONES DE G ALOIS
(2) Para todo x ∈ P1 , la desigualdad x↓ ≤2 x↓ es cierta. Considerando
y = x↓ en la Equivalencia (2.3), obtenemos que:
x↓ ≤2 x↓
(1) Para demostrar que
↓
x ≤1 x↓↑
si y solo si
es decreciente, supongamos que x1 ≤1 x2 y
comprobemos que x↓2 ≤2 x↓1 . Si x1 ≤1 x2 , por la desigualdad x ≤1 x↓↑ y
la transitividad de ≤1 , obtenemos que x1 ≤1 x2 ↓↑ . Finalmente, aplicando
la Equivalencia (2.3), podemos concluir que la desigualdad x1 ≤1 x2 ↓↑ es
equivalente a x↓2 ≤2 x↓1 .
(3) Aplicando ↓ a la desigualdad x ≤1 x↓↑ y teniendo en cuenta la monotonía de ↓ , se obtiene que x↓↑↓ ≤2 x↓ .
Por otra parte, si en la Equivalencia (2.3) hacemos x = x↓↑ e y = x↓ ,
obtenemos que:
x↓ ≤2 x↓↑↓
x↓↑ ≤1 x↓↑
si y solo si
Como x↓↑ ≤1 x↓↑ se verifica para todo x ∈ P1 , entonces podemos afirmar
que x↓ ≤2 x↓↑↓ se satisface para todo x ∈ P1 .
Por tanto, se concluye que x↓ = x↓↑↓ .
La utilidad de las conexiones de Galois en teoría de retículos completos
se deriva, en su mayoría, del resultado que presentamos a continuación,
el cual muestra cómo actúan las aplicaciones de una conexión de Galois
antítona con respecto a los supremos e ínfimos.
Proposición 2.2. Dada una conexión de Galois antítona (↑ , ↓ ) entre los conjuntos
parcialmente ordenados (P1 , ≤1 ) y (P2 , ≤2 ), si el supremo y el ínfimo existen para
X ⊆ P1 e Y ⊆ P2 , entonces:
(
_
x∈X
x)↓ =
^
x↓
(
x∈X
_
y∈Y
29
y)↑ =
^
y∈Y
y↑
C APÍTULO 2. P RELIMINARES
Demostración. Teniendo en cuenta la monotonía del operador ↓ , las propiedades del ínfimo y las del supremo, se obtiene la desigualdad:
_
(
x)↓ ≤2
x∈X
^
x↓
x∈X
La otra desigualdad se prueba a través de la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:
^
x↓ ≤ 2 x↓
(propiedad del ínfimo)
x∈X
x ≤1 (
^
x↓ ) ↑
(aplicando la Equivalencia (2.3))
x↓ ) ↑
(propiedad del supremo)
x∈X
_
x ≤1 (
^
x∈X
x∈X
^
_
x∈X
x↓ ≤ 2 (
x)↓
(aplicando la Equivalencia (2.3))
x∈X
De manera similar, se demuestra que (
_
y∈Y
y)↑ =
^
y↑.
y∈Y
La siguiente proposición muestra que las aplicaciones de una conexión
de Galois se definen explícitamente una en términos de la otra.
Proposición 2.3. Sean (P1 , ≤1 ) y (P2 , ≤2 ) conjuntos parcialmente ordenados.
Si (↑ , ↓ ) es una conexión de Galois antítona entre P1 y P2 entonces:
(1) x↓ = máx{y ∈ P2 | x ≤1 y ↑ }, para todo x ∈ P1 .
(2) y ↑ = máx{x ∈ P1 | y ≤2 x↓ }, para todo y ∈ P2 .
Demostración. (1) A partir de la Proposición 2.1(2), se verifica que x ≤1 x↓↑
para todo x ∈ P1 , por lo que se obtiene que x↓ ∈ {y ∈ P2 | x ≤1 y ↑ }.
Ahora, consideremos y ∈ P2 tal que x ≤1 y ↑ y comprobemos que y ≤2
x↓ . Claramente, al ser ↓ decreciente se satisface que y ↑↓ ≤2 x↓ . Además, por
la Proposición 2.1(2) se cumple que y ≤2 y ↑↓ . Así pues, por la transitividad
30
2.2. C ONEXIONES DE G ALOIS
de ≤2 podemos afirmar que y ≤2 x↓ . Por tanto, atendiendo a la definición
de elemento máximo, se concluye que x↓ = máx{y ∈ P2 | x ≤1 y ↑ }, para
todo x ∈ P1 .
(2) Se prueba de manera análoga.
2.2.3.
Operador de clausura y operador interior
También existe una relación estrecha entre el concepto de conexión de
Galois y el concepto de operador de clausura. Antes de mostrar dicha relación, pasamos a recordar la definición de este tipo de operador.
Definición 2.14. Sea (P, ≤) un conjunto parcialmente ordenado. Un operador
de clausura sobre P es una aplicación c : P → P que para todo x, y ∈ P satisface:
(1) x ≤ c(x);
(2) Si x ≤ y entonces c(x) ≤ c(y);
(3) c(x) = c(c(x)).
Una vez mostrada la noción de operador de clausura, ya estamos en
disposición de introducir el siguiente resultado.
Proposición 2.4. Si (↑ , ↓ ) es una conexión de Galois antítona entre los conjuntos
parcialmente ordenados (P1 , ≤1 ) y (P2 , ≤2 ) entonces
↓↑
y
↑↓
son operadores de
clausura.
Demostración. Solo probaremos que ↓↑ es un operador de clausura, la prueba es análoga para ↑↓ . Para demostrar esta proposición tenemos que probar
que:
(a) x ≤1 x↓↑ ;
31
C APÍTULO 2. P RELIMINARES
↓↑
(b) Si x1 ≤2 x2 entonces x↓↑
1 ≤ 1 x2 ;
(c) x↓↑ = (x↓↑ )↓↑ .
Claramente, (a) se verifica por la Proposición 2.1(2) y (b) se obtiene
directamente teniendo en cuenta la monotonía de los operadores ↑ y ↓ .
La demostración de (c) es inmediata a partir de la igualdad x↓ = x↓↑↓
presentada en la Proposición 2.1(3)
El siguiente resultado muestra que a partir de un operador de clausura
también podemos obtener una conexión de Galois antítona.
Proposición 2.5. Sea (P, ≤) un conjunto parcialmente ordenado y c : P → P
un operador de clausura. La aplicación ↓ : P → Pc definida como x↓ = c(x) y la
aplicación inclusión ↑ : Pc → P forman una conexión de Galois antítona donde
Pc = {x ∈ P | x = x↓↑ }.
Demostración. La demostración se desprende directamente del hecho de
que la composición de los operadores de una conexión de Galois antítona
forman un operador de clausura.
Podemos establecer una relación similar con respecto a las conexiones
de Galois isótonas y el operador interior. Al igual que antes, primero introduciremos la definición de operador interior.
Definición 2.15. Dado un conjunto parcialmente ordenado (P, ≤), decimos que
int : P × P → P es un operador interior si para todo x, y ∈ P se satisface:
(1) int(x) ≤ x;
(2) Si x ≤ y entonces int(x) ≤ int(y);
(3) int(x) = int(int(x)).
32
2.3. C ONECTIVOS LÓGICOS DIFUSOS
Ahora, componiendo los operadores de una conexión de Galois isótona
obtenemos un operador de clausura y un operador interior.
Proposición 2.6. Sean (P1 , ≤1 ) y (P2 , ≤2 ) conjuntos parcialmente ordenados y
(↑ , ↓ ) una conexión de Galois isótona entre P1 y P2 . Entonces, ↓↑ es un operador
de clausura y ↑↓ es operador interior.
Demostración. Análoga a la prueba de la Proposición 2.4.
2.3.
Conectivos lógicos difusos
Los operadores de la lógica clásica son la conjunción (∧), la disyunción
(∨), la negación (¬) y la implicación (→). Dichos operadores se definen
sobre el conjunto binario {0, 1} a través de las siguientes tablas:
∧
0 1
∨
0
1
¬
0
0 0
0
0
1
0
1
0 1
1
1
1
1
→
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
Los conceptos que se presentan a continuación proporcionan la generalización de estos operadores en el ambiente difuso.
2.3.1.
T-normas, t-conormas y negación
Las t-normas generalizan al conjuntor de la lógica clásica conservando
las propiedades de monotonía, conmutatividad, asociatividad y las condiciones de frontera.
Definición 2.16. Una operación binaria sobre el intervalo unidad T : [0, 1] ×
[0, 1] → [0, 1] es una norma triangular (t-norma) si cumple las siguientes condiciones, para todo x, y, z ∈ [0, 1]:
33
C APÍTULO 2. P RELIMINARES
(1) T (x, y) = T (y, x) (Conmutatividad).
(2) Si x ≤ y, entonces T (x, z) ≤ T (y, z) (Monotonía).
(3) T (x, 1) = x (Condición de frontera con 1).
(4) T (x, T (y, z)) = T (T (x, y), z) (Asociatividad).
Es conveniente destacar que la condición de frontera con 0 para una
t-norma se desprende de su propia definición. Considerando la condición
(3) de la Definición 2.16, se obtiene que T (0, 1) = 0. Ahora bien, teniendo
en cuenta la conmutatividad y la monotonía de una t-norma, podemos
afirmar que T (x, 0) ≤ T (1, 0) = 0 para todo x ≤ 1. Por último, como
para cualquier par de valores x, y ∈ [0, 1] se verifica que T (x, y) ∈ [0, 1], se
deduce que T (x, 0) = 0 para todo x ∈ [0, 1].
Otra consecuencia interesante que se deriva de la definición de t-norma
es la siguiente: T (x, y) ≤ x para todo x, y ∈ [0, 1]. Esta propiedad se obtiene
aplicando la condición (3) de la Definición 2.16 a la desigualdad T (x, y) ≤
T (x, 1).
En el siguiente ejemplo se muestran las t-normas más usuales.
Ejemplo 2.5. Las tres t-normas más usuales son la de Gödel, producto y Łukasiewicz. Estas t-normas se definen, para todo x, y ∈ [0, 1], como:
TG (x, y) = mı́n(x, y)
TP (x, y) = x · y
TL (x, y) = máx(0, x + y − 1)
También es interesante la t-norma drástica, por ser la más pequeña de todas.

0
si x, y ∈ [0, 1[
TD (x, y) =
mı́n{x, y} en otro caso
34
2.3. C ONECTIVOS LÓGICOS DIFUSOS
La siguiente noción surge al exigir otro requisito más en la definición
de t-norma.
Definición 2.17. Una t-norma T es arquimediana si y solo si T (x, x) < x para
todo x ∈]0, 1[.
En cuanto a las t-conormas, éstas generalizan a la disyunción clásica
por lo que satisfacen propiedades similares a la conjunción salvo por las
condiciones de frontera.
Definición 2.18. Una operación binaria sobre el intervalo unidad S : [0, 1] ×
[0, 1] → [0, 1] es una conorma triangular (t-conorma) si cumple las siguientes
condiciones, para todo x, y, z ∈ [0, 1]:
(1) S(x, y) = S(y, x) (Conmutatividad).
(2) Cuando x ≤ y, entonces S(x, z) ≤ S(y, z) (Monotonía).
(3) S(x, 0) = x (Condición de frontera con 0).
(4) S(x, S(y, z)) = S(S(x, y), z) (Asociatividad).
De una manera análoga a como procedimos para las t-normas, también
se puede deducir la condición de frontera con 1 para las t-conormas.
A continuación, se presentan las t-conormas asociadas a las t-normas
del Ejemplo 2.5.
Ejemplo 2.6. Las t-conormas asociadas a las t-normas Gödel, producto, Łukasiewicz y drástica, se definen, para todo x, y ∈ [0, 1], como:
SG (x, y) = máx{x, y}
SP (x, y) = x + y − x · y
SL (x, y) = mı́n{1, x + y}

1
SD (x, y) =
máx{x, y}
si x, y ∈]0, 1]
en otro caso
35
C APÍTULO 2. P RELIMINARES
Podemos hablar de t-conormas asociadas a t-normas porque se puede
establecer una relación entre ellas. Dicha relación viene dada por un operador de negación, de ahí el interés de introducir la siguiente definición.
Definición 2.19. Un operador unario sobre el intervalo unidad n : [0, 1] → [0, 1]
se dice que es una negación si satisface:
(1) Si x ≤ y entonces n(y) ≤ n(x);
(2) n(0) = 1 y n(1) = 0.
Además, se dice que una negación es ordinaria si la desigualdad x ≤ n(n(x))
se satisface para todo x ∈ [0, 1]. Cuando se verifica la condición n(n(x)) ≤ x se
dice que la negación es débil.
Una negación es fuerte o involutiva si satisface la identidad x = n(n(x)),
para todo x ∈ [0, 1].
En la definición anterior he utilizado la nomenclatura de Trillas para
designar la negación “ordinaria” y la negación “débil” [108].
Ejemplo 2.7. Uno de los operadores negación más utilizados es el definido en el
intervalo unidad como n(x) = 1 − x, para todo x ∈ [0, 1]. Este operador es una
negación fuerte.
Una vez definido lo que entendemos por una negación, podemos presentar el mecanismo que permite construir una t-conorma a partir de una
t-norma.
Proposición 2.7. Dada una t-norma T : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] y una negación
fuerte n : [0, 1] → [0, 1], el operador ST,n : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1], definido como
ST,n (x, y) = n(T (n(x), n(y)))
para todo x, y ∈ [0, 1], es una t-conorma.
36
2.3. C ONECTIVOS LÓGICOS DIFUSOS
Ejemplo 2.8. Las t-conormas asociadas a las t-normas Gödel, producto, Łukasiewicz con respecto a la negación n(x) = 1 − x, se definen para todo x, y ∈ [0, 1]
como:
SG,n (x, y) = n(TG (n(x), n(y)))
SP,n (x, y) = n(TP (n(x), n(y)))
SL,n (x, y) = n(TL (n(x), n(y)))
2.3.2.
Implicación difusa
Las implicaciones difusas generalizan la implicación de la lógica clásica
conservando las propiedades de monotonía.
Definición 2.20. Decimos que un operador ← : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] es una
implicación difusa si es creciente en el consecuente (argumento de la izquierda) y
decreciente en el antecedente (argumento de la derecha).
Obsérvese que, siguiendo la nomenclatura usada en programación lógica, hemos escrito ← en lugar de →.
Recordemos que en lógica clásica, la implicación se puede escribir en
función del operador negación y de la disyunción, es decir, p → q es equivalente a escribir ¬p ∨ q, siendo →, ¬ y ∨ los operadores clásicos definidos
en el conjunto booleano {0, 1}. Análogamente, podemos construir la implicación en el caso difuso como sigue:
Dada una t-conorma S : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] y una negación n : [0, 1] →
[0, 1], el operador ←S,n : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1], definido, para todo y, z ∈
[0, 1], como
z ←S,n y = S(n(y), z)
es una implicación difusa.
37
C APÍTULO 2. P RELIMINARES
Otro modo de construir una implicación difusa sería partiendo de una
t-norma T : [0, 1]×[0, 1] → [0, 1] y un operador de negación n : [0, 1] → [0, 1].
De forma similar, el operador ←T,n : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1], definido como
z ←T,n y = n(T (y, n(z)))
para todo y, z ∈ [0, 1], también es una implicación difusa.
Debido a que las implicaciones difusas no poseen propiedades que permitan operar de manera eficiente y generalizar el modus ponens clásico,
necesitamos otro tipo de operador de implicación.
2.3.3.
Implicación residuada
En lógica clásica, el principal método de deducción es la regla del modus ponens. Con el fin de generalizar también esta regla, se define la implicación residuada como sigue.
Definición 2.21. Dada una t-norma T : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1], si existe una
implicación difusa ← : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1], tal que
T (x, y) ≤ z, si y solo si x ≤ z ← y
(2.4)
se dice que ← es una implicación residuada de T , se escribe como ←T , y al par
(T, ←T ) se le llama par residuado.
La propiedad dada por la Ecuación (2.4) es la propiedad de adjunción.
En el siguiente ejemplo se presentan las implicaciones residuadas de
las t-normas Gödel, producto y Łukasiewicz.
38
2.3. C ONECTIVOS LÓGICOS DIFUSOS
Ejemplo 2.9. Las implicaciones residuadas correspondientes a las t-normas Gödel, producto y Łukasiewicz, se definen, para todo z, y ∈ [0, 1], como:

1 si y ≤ z
z ←G y =
z en otro caso

1
si y ≤ z
z ←P y =
z/y en otro caso
z ←L y = mı́n{1, 1 + z − y}
Aunque las t-normas y sus implicaciones residuadas han sido los operadores más usados en lógica difusa, últimamente están perdiendo mucho
peso por las restricciones que sus propiedades derivan en el lenguaje.
Uno de los nuevos operadores que aportan una mayor flexibilidad en
el lenguaje son los triples adjuntos.
2.3.4.
Operadores de agregación
Aunque en los últimos años los operadores de agregación que han recibido mayor atención son las t-normas y t-conormas, existen otras definiciones basadas en particularizaciones del concepto general de operador
de agregación. La importancia de estos operadores se debe a la agregación
de información de cada uno de sus componentes.
Definición 2.22. Sea (P, ≤, ⊥, >) un conjunto parcialmente ordenado y acotado, un operador de agregación n-ario @ : P n → P es un operador monótono
satisfaciendo que @(>, . . . , >) = > y @(⊥, . . . , ⊥) = ⊥.
Por tanto, un operador de agregación puede ser una media aritmética,
una suma ponderada o en general cualquier aplicación monótona cuyos
argumentos son valores de un conjunto parcialmente ordenado acotado.
39
C APÍTULO 2. P RELIMINARES
El siguiente ejemplo presenta los operadores de agregación más usuales.
Ejemplo 2.10. La media aritmética M, la media geométrica G y la media armónica H, definidas sobre el intervalo unidad como:
n
M (x1 , . . . , xn ) =
1X
xi
n i=1
G(x1 , . . . , xn ) = (
n
Y
1
xi ) n
i=1
H(x1 , . . . , xn ) =
n
n
X
1
i=1
xi
son operadores de agregación. Además, la media ponderada definida sobre [0, 1]
también es un operador de agregación no conmutativo.
n
X
2
ixi
N (x1 , . . . , xn ) = (n + 1)
n
i=1
En la siguiente definición se presenta un operador de agregación usado
en [75], donde se demuestra que dicho operador es un caso particular de
u-norma.
Definición 2.23. Un operador binario @ : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] definido para
todo x, y ∈ [0, 1] como @(x, y) = γ · mı́n(x, y) +
(1−γ)(x+y)
,
2
donde γ ∈ [0, 1]
recibe el nombre de “fuzzy and”.
2.4.
Estructuras algebraicas residuadas
En la literatura, existen diferentes estructuras algebraicas basadas en
el concepto de operador residuado asociado a un operador dado. A conti40
2.4. E STRUCTURAS ALGEBRAICAS RESIDUADAS
nuación, se enumeran algunas de estas con gran relevancia en lógica difusa, en teoría de conjuntos rugosos difusos y en diferentes mecanismos de
extracción de información de bases de datos.
Una de las estructuras más utilizadas en los últimos tiempos es la de
retículo residuado, introducida por Dilworth y Ward en 1939 [49]. Estas
estructuras también son conocidas bajo otros nombres como pueden ser
l-monoide residuado (o cl-monoide si es un retículo completo), semigrupo conmutativo residuado o retículo residuado integral conmutativo [65],
entre otros.
Definición 2.24. Un retículo residuado hL, ∨, ∧, ∗, ⇒, 0, 1i es un álgebra con
cuatro operaciones binarias y dos constantes tales que:
(1) hL, ∨, ∧, 0, 1i es un retículo donde ≤ es el orden usual definido a partir de
las operaciones ∨, ∧ y donde los elementos 0, 1 son el elemento mínimo y el
elemento máximo, respectivamente.
(2) hL, ∗, 1i es un monoide conmutativo, esto es, ∗ es una operación conmutativa y asociativa tal que x ∗ 1 = x, para todo x ∈ L.
(3) ⇒ es el operador residuado asociado a ∗ , es decir, para todo x, y, z ∈ L se
satisface:
x∗y ≤z
si y solo si x ≤ y ⇒ z
Ejemplos muy conocidos de retículos residuados son las álgebras de
Boole y las álgebras construidas a partir de las t-normas Gödel, producto,
Łukasiewicz presentadas en el Ejemplo 2.5.
En la siguiente definición, se muestran otras estructuras interesantes
obtenidas al exigir más condiciones en la noción de retículo residuado.
Definición 2.25. Decimos que un retículo residuado hL, ∨, ∧, ∗, ⇒, 0, 1i es:
(1) un álgebra de Heyting si satisface que x ∗ y = x ∧ y, para todo x, y ∈ L.
41
C APÍTULO 2. P RELIMINARES
(2) una BL-álgebra si verifica las siguientes propiedades:
(i) x ∗ (x ⇒ y) = x ∧ y, para todo x, y ∈ L;
(ii) (x ⇒ y) ∨ (y ⇒ x) = 1, para todo x, y ∈ L.
(3) una MV-álgebra si la identidad x ∨ y = (x ⇒ y) ⇒ y se cumple para todo
x, y ∈ L.
42
Capítulo 3
Álgebras multiadjuntas
Los triples adjuntos son operadores generales que se han usado en diferentes dominios. Por ejemplo, estos operadores juegan un papel fundamental en tres importantes marcos de trabajo como son la programación
lógica multiadjunta, los retículos de conceptos multiadjuntos y las ecuaciones de relaciones difusas.
En este capítulo mostraremos que los triples adjuntos son una interesante generalización de las t-normas y sus implicaciones residuadas, ya
que además de conservar sus principales propiedades, ayudan a incrementar la flexibilidad de los operadores usados para realizar los cálculos en el marco de trabajo considerado. A partir de estos triples adjuntos,
introduciremos la noción de álgebra multiadjunta y la definición de triple adjunto dual. Además, presentaremos varias propiedades, como por
ejemplo la que muestra que un triple adjunto y su dual no pueden ser
considerados en el mismo marco de trabajo.
C APÍTULO 3. Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
3.1.
Triples adjuntos. Álgebras multiadjuntas
Los triples adjuntos surgen como una generalización de la conjunción
e implicación de la lógica clásica. Debido a que el conjuntor considerado
en un triple adjunto no necesita ser conmutativo, dependiendo de cuál
sea el argumento fijado, obtenemos dos maneras diferentes de generalizar
la propiedad de adjunción entre una t-norma y su implicación residuada [61].
Definición 3.1. Dados los conjuntos parcialmente ordenados (posets) (P1 , ≤1 ),
(P2 , ≤2 ), (P3 , ≤3 ) y las aplicaciones & : P1 × P2 → P3 , . : P3 × P2 → P1 ,
- : P3 × P1 → P2 , decimos que (&, ., -) es un triple adjunto con respecto a
P1 , P2 , P3 si &, . y - satisfacen la propiedad de adjunción:
x ≤1 z . y
si y solo si
x & y ≤3 z
si y solo si
y ≤2 z - x
para todo x ∈ P1 , y ∈ P2 , z ∈ P3 .
A veces es interesante debilitar los requisitos de los triples adjuntos
ya que en ciertos marcos de trabajo solo se necesitan pares, en lugar de
triples, satisfaciendo la propiedad de adjunción para sus dos operadores.
Concretamente en [47], los autores muestran distintos casos en los que no
es necesario considerar triples sino pares para realizar los cálculos.
Definición 3.2. Sean (P1 , ≤1 ), (P2 , ≤2 ), (P3 , ≤3 ) conjuntos parcialmente ordenados y sean & : P1 ×P2 → P3 , . : P3 ×P2 → P1 y - : P3 ×P1 → P2 operadores
definidos sobre dichos conjuntos. Para todo x ∈ P1 , y ∈ P2 y z ∈ P3 , decimos
que:
(1) (&, .) es un par adjunto por la derecha si verifica la condición:
x ≤1 z . y
si y solo si
44
x & y ≤3 z
3.1. T RIPLES ADJUNTOS . Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
(2) (&, -) es un par adjunto por la izquierda si satisface la equivalencia:
x & y ≤3 z
si y solo si
y ≤2 z - x
(3) (., -) es un par de Galois débil si cumple la condición:
x ≤1 z . y
si y solo si
y ≤2 z - x
La siguiente definición presenta las estructuras asociada a estos pares.
Definición 3.3. Dados los conjuntos parcialmente ordenados (P1 , ≤1 ), (P2 , ≤2 )
y (P3 , ≤3 ), decimos que:
(1) Pr = (P1 , P2 , P3 , ≤1 , ≤2 , ≤3 , &1 , .1 , . . . , &n , .n ) es un álgebra multiadjunta por la derecha donde (&i , .i ) es una familia de pares adjuntos
por la derecha con respecto a P1 , P2 y P3 , para todo i ∈ {1, . . . , n}.
(2) Pl = (P1 , P2 , P3 , ≤1 , ≤2 , ≤3 , &1 , -1 , . . . , &n , -n ) es un álgebra multiadjunta por la izquierda donde (&i , -i ) es una familia de pares adjuntos
por la izquierda con respecto a P1 , P2 y P3 , para todo i ∈ {1, . . . , n}.
(3) Pa = (P1 , P2 , P3 , ≤1 , ≤2 , ≤3 , .1 , -1 , . . . , .n , -n ) es un álgebra multiadjunta implicativa donde (.i , -i ) es una familia de pares de Galois
débiles con respecto a P1 , P2 y P3 , para todo i ∈ {1, . . . , n}.
El siguiente resultado se obtiene directamente a partir de las definiciones anteriores.
Proposición 3.1. Dado un triple adjunto (&, ., -) con respecto a los conjuntos
parcialmente ordenados (P1 , ≤1 ), (P2 , ≤2 ), y (P3 , ≤3 ), se verifican los siguientes
enunciados:
(1) (&, .) es un par adjunto por la derecha.
(2) (&, -) es un par adjunto por la izquierda.
45
C APÍTULO 3. Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
(3) (., -) es un par de Galois débil.
A continuación se presentan varias propiedades para un par adjunto
por la derecha.
Proposición 3.2. Si (&, .) un par adjunto por la derecha con respecto a los conjuntos parcialmente ordenados (P1 , ≤1 ), (P2 , ≤2 ) y (P3 , ≤3 ), entonces se verifican
las siguientes propiedades:
(1) & y . son crecientes en el primer argumento.
(2) ⊥1 & y = ⊥3 y >3 . y = >1 para todo y ∈ P2 , cuando (P1 , ≤1 , ⊥1 , >1 )
y (P3 , ≤3 , ⊥3 , >3 ) son conjuntos parcialmente ordenados y acotados.
(3) (z . y) & y ≤3 z y x ≤1 (x & y) . y para todo x ∈ P1 , y ∈ P2 , z ∈ P3 .
(4) El conjuntor & solo tiene una implicación residuada . y viceversa.
(5) z . y = máx{x ∈ P1 | x & y ≤3 z}, para todo y ∈ P2 y z ∈ P3 .
(6) x & y = mı́n{z ∈ P3 | x ≤1 z . y}, para todo x ∈ P1 e y ∈ P2 .
_
_
(7) (
xi ) & y =
(xi & y), para cualquier X ⊆ P1 e y ∈ P2 , cuando los
xi ∈X
xi ∈X
supremos existen.
^
^
(8) (
zi ) . y =
(zi . y), para cualquier Z ⊆ P3 e y ∈ P2 , cuando los
zi ∈Z
zi ∈Z
ínfimos existen.
Demostración. (1) En primer lugar, probaremos que & es creciente en el
primer argumento, es decir, si x1 ≤1 x2 entonces (x1 & y) ≤3 (x2 & y) para
todo x1 , x2 ∈ P1 e y ∈ P2 . Por la propiedad de adjunción, la desigualdad
(x2 & y) ≤3 (x2 & y) es equivalente a la desigualdad x2 ≤1 (x2 & y) . y.
Ahora bien, por hipótesis x1 ≤1 x2 , por tanto obtenemos que x1 ≤1
(x2 & y) . y. Aplicando de nuevo la propiedad de adjunción a esta última
desigualdad se obtiene que (x1 & y) ≤3 (x2 & y).
46
3.1. T RIPLES ADJUNTOS . Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
Para demostrar que . es creciente en el primer argumento, supongamos que z1 ≤3 z2 y comprobemos que (z1 . y) ≤1 (z2 . y) para todo
y ∈ P2 y z1 , z2 ∈ P3 . Es claro que (z1 . y) ≤1 (z1 . y), lo cual es equivalente a (z1 . y) & y ≤3 z1 por la propiedad de adjunción.
Como z1 ≤3 z2 , se obtiene que (z1 . y) & y ≤3 z2 . Aplicando de nuevo
la propiedad de adjunción a esta última desigualdad, podemos concluir
que (z1 . y) ≤1 (z2 . y).
(2) Obviamente, ⊥3 ≤3 ⊥1 & y es cierto para todo y ∈ P2 . Por tanto, para
demostrar que ⊥1 & y = ⊥3 , quedaría probar la desigualdad ⊥1 & y ≤3 ⊥3 ,
la cual se obtiene de manera directa aplicando la propiedad de adjunción
a la desigualdad trivial ⊥1 ≤1 ⊥3 - y.
La condición de frontera >3 . y = >1 se obtiene aplicando la propiedad de adjunción a la desigualdad >1 & y ≤3 >3 y teniendo en cuenta que
>3 . y ≤1 >1 para todo y ∈ P2 .
(3) Por la propiedad de adjunción, la desigualdad (z . y) & y ≤3 z es
equivalente a la desigualdad trivial (z . y) ≤1 (z . y) para todo y ∈ P2 y
z ∈ P3 .
En cuanto a la desigualdad x ≤1 (x & y) . y, ésta se obtiene aplicando
directamente la propiedad de adjunción a (x & y) ≤3 (x & y).
(4) En primer lugar, supongamos que existen dos implicaciones .1 y
.2 que cumplen la propiedad de adjunción con respecto al mismo conjuntor &. Ya que (z .1 y) ≤1 (z .1 y) se verifica para todo y ∈ P2 y
z ∈ P3 , entonces se obtiene que (z .1 y) & y ≤1 z. Ahora, aplicando la
propiedad de adjunción con respecto a la otra implicación, se obtiene la
siguiente desigualad (z .1 y) ≤1 (z .2 y). De forma análoga, se prueba
que (z .2 y) ≤1 (z .1 y). Por tanto, (z .1 y) = (z .2 y), para todo y ∈ P2
y z ∈ P3 .
(5) Probemos ahora que z . y = máx{x ∈ P1 | x & y ≤3 z}. Claramente
47
C APÍTULO 3. Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
por la propiedad de adjunción se obtiene que:
z . y = máx{x ∈ P1 | x ≤1 z . y} = máx{x ∈ P1 | x & y ≤3 z}
(6) Su prueba es análoga a la de (5).
(7) Por la monotonía de & y por la propiedad del supremo se obtiene la
_
_
desigualdad
(xi & y) ≤3 (
xi ) & y para cualquier X ⊆ P1 e y ∈ P2 ,
xi ∈X
xi ∈X
cuando los supremos existen.
_
_
La desigualdad (
xi ) & y ≤ 3
(xi & y) se demuestra aplicando
xi ∈X
xi ∈X
la propiedad del supremo y la propiedad de adjunción a la desigualdad
_
xi & y ≤ 3
(xi & y).
xi ∈X
(8) Se demuestra de manera similar a (7).
La demostración de la proposición anterior también se podría haber
obtenido teniendo en cuenta que los operadores &y : P1 → P3 y .y : P3 →
P1 , definidos como &y (x) = x & y, .y (z) = z . y, para todo x ∈ P1 , y ∈
P2 , z ∈ P3 , forman una conexión de Galois isótona.
Podemos comprobar que las propiedades de la Proposición 3.2 siempre se cumplen si (P1 , ≤1 ) y (P3 , ≤3 ) son retículos completos. De hecho, se
establecen las siguientes equivalencias.
Proposición 3.3. Dados los retículos completos (L1 , 1 ) y (L3 , 3 ), el conjunto
parcialmente ordenado (P2 , ≤2 ), un operador & : L1 × P2 → L3 y el operador
. : L3 × P2 → L1 definido como z . y = sup{x ∈ L1 | x & y 3 z}, para todo
y ∈ P2 y z ∈ L3 , entonces los siguientes enunciados son equivalentes:
(1) (&, .) es un par adjunto por la derecha con respecto a L1 , P2 , L3 .
_
_
(2) (
xi ) & y = (xi & y), para todo X ⊆ L1 e y ∈ P2 .
xi ∈X
(3) (
^
zi ∈Z
xi ∈X
zi ) . y =
^
(zi . y), para todo Z ⊆ L3 e y ∈ P2 .
zi ∈Z
48
3.1. T RIPLES ADJUNTOS . Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
(4) z . y = máx{x ∈ L1 | x & y 3 z}, para todo y ∈ P2 y z ∈ L3 .
(5) x & y = mı́n{z ∈ L3 | x 1 z . y}, para todo x ∈ L1 e y ∈ P2 .
Demostración. Consideremos el conjunto X = {x ∈ L1 | x & y 3 z} y el
operador . : L3 × P2 → L1 definido para todo y ∈ P2 y z ∈ L3 como
z . y = sup{x ∈ L1 | x & y 3 z}.
(1) implica (2): Directo por la Proposición 3.2(7).
(2) implica (4): Teniendo en cuenta la condición (2), podemos afirmar que
para todo y ∈ P2 y z ∈ L3 se verifica la siguiente cadena:
_
_
(z . y) & y = (
xi ) & y = (xi & y) 3 z
xi ∈X
xi ∈X
Por lo tanto, z . y ∈ X, de donde se deduce que, para todo y ∈ P2 y
z ∈ L3 , z . y = máx{x ∈ L1 | x & y 3 z}.
(4) implica (1): Al ser z . y = máx{x ∈ L1 | x & y 3 z}, entonces la
equivalencia x 1 z . y si y solo si x & y 3 z, se satisface para
todo x ∈ L1 , y ∈ P2 y z ∈ L3 . Como consecuencia, los operadores &
y . forman un par adjunto por la derecha.
Procediendo de manera análoga, se demuestra (1) implica (3), (3) implica
(5) y (5) implica (1), lo que daría por finalizada la demostración.
Se obtiene un resultado análogo al anterior si consideramos los operadores . : L3 × P2 → L1 y & : L1 × P2 → L3 , definido este último como
x & y = ı́nf{z ∈ L3 | x 1 z . y}, para todo x ∈ L1 e y ∈ P2 .
Considerando un par adjunto por la izquierda (&, -), se obtienen resultados similares a los dados en las Proposiciones 3.2 y 3.3 puesto que
para todo y ∈ P2 y z ∈ P3 , las aplicaciones x & : P2 → P3 y -x : P3 → P2
definidas como x &(y) = x & y, -x (z) = z - x, forman una conexión de
Galois isótona.
49
C APÍTULO 3. Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
Proposición 3.4. Los siguientes enunciados se verifican si (&, -) un par adjunto por la izquierda con respecto a los conjuntos parcialmente ordenados (P1 , ≤1 ),
(P2 , ≤2 ) y (P3 , ≤3 ):
(1) & es creciente en el segundo argumento y - es creciente en el primer argumento.
(2) x & ⊥2 = ⊥3 y >3 - x = >2 para todo x ∈ P1 , cuando (P2 , ≤2 , ⊥2 , >2 )
y (P3 , ≤3 , ⊥3 , >3 ) son conjuntos parcialmente ordenados y acotados.
(3) x &(z - x) ≤3 z y y ≤2 (x & y) - x para todo x ∈ P1 , y ∈ P2 , z ∈ P3 .
(4) El conjuntor & solo tiene una implicación residuada - y viceversa.
(5) z - x = máx{y ∈ P2 | x ≤1 z . y}, para todo x ∈ P1 y z ∈ P3 .
(6) x & y = mı́n{z ∈ P3 | y ≤1 z - x}, para todo x ∈ P1 e y ∈ P2 .
_
_
(x & yi ), para cualquier Y ⊆ P2 y x ∈ P1 , cuando los
yi ) =
(7) x &(
yi ∈Y
yi ∈Y
supremos existen.
^
^
zi ) - x = (zi - x), para cualquier Z ⊆ P3 y x ∈ P1 , cuando los
(8) (
zi ∈Z
zi ∈Z
ínfimos existen.
El siguiente resultado se obtiene teniendo en cuenta que los operadores
z .:
P2 → P1 y z - : P1 → P2 , definidos como z . (y) = z . y y z - (x) =
z - x, para todo x ∈ P1 e y ∈ P2 , respectivamente, forman una conexión
de Galois antítona.
Proposición 3.5. Sea (., -) un par de Galois débil con respecto a los conjuntos
parcialmente ordenados (P1 , ≤1 ), (P2 , ≤2 ) y (P3 , ≤3 ). Las siguientes propiedades
se satisfacen:
(1) . y - son decrecientes en el segundo argumento.
50
3.1. T RIPLES ADJUNTOS . Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
(2) z - ⊥1 = >2 y z . ⊥2 = >1 para todo z ∈ P3 , cuando (P1 , ≤1 , ⊥1 , >1 )
y (P2 , ≤2 , ⊥2 , >2 ) son conjuntos parcialmente ordenados y acotados.
(3) x ≤1 z . (z - x) y y ≤2 z - (z . y), para todo x ∈ P1 , y ∈ P2 , z ∈ P3 .
(4) . y - están unívocamente determinadas una por la otra.
(5) z . y = máx{x ∈ P1 | y ≤2 z - x}, para todo y ∈ P2 y z ∈ P3 .
(6) z - x = máx{y ∈ P2 | x ≤1 z . y}, para todo x ∈ P1 y z ∈ P3 .
_
^
(7) z . (
yi ) =
(z . yi ), para cualquier Y ⊆ P2 y z ∈ P3 , cuando los
yi ∈Y
yi ∈Y
supremos e ínfimos existen.
^
_
(z - xi ), para cualquier X ⊆ P1 y z ∈ P3 , cuando
xi ) =
(8) z - (
xi ∈X
xi ∈X
los supremos e ínfimos existen.
La siguiente proposición presenta las equivalencias correspondientes
al par de Galois débil cuando (P1 , ≤1 ) y (P2 , ≤2 ) son retículos completos.
Proposición 3.6. Sean (L1 , 1 ) y (L2 , 2 ) retículos completos y (P3 , ≤3 ) un
conjunto parcialmente ordenado. Dados los operadores . : P3 × L2 → L1 y
- : P3 ×L1 → L2 , definido este último como z - x = sup{y ∈ L2 | x 1 z . y}
para todo y ∈ L2 y z ∈ P3 , los siguientes enunciados son equivalentes:
(1) (., -) es un par de Galois débil con respecto a L1 , L2 , P3 .
_
^
(2) z . (
yi ) =
(z . yi ), para todo Y ⊆ L2 y z ∈ P3 .
yi ∈Y
(3) z - (
_
xi ∈X
yi ∈Y
xi ) =
^
(z - xi ), para todo X ⊆ L1 y z ∈ P3 .
xi ∈X
(4) z . y = máx{x ∈ L1 | y 2 z - x}, para todo y ∈ L2 y z ∈ P3 .
(5) z - x = máx{y ∈ L2 | x 1 z . y}, para todo x ∈ L1 y z ∈ P3 .
51
C APÍTULO 3. Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
Nótese que a fin de probar las proposiciones anteriores, se necesitan
los operadores auxiliares x &, &y , z -, -x , z . y .y considerados en [47].
En dicho artículo se presentaron varios ejemplos en los que se usan estos
operadores, por lo que invitamos al lector a que los consulte para obtener
más información.
Concretamente, los operadores que presentamos en el siguiente ejemplo fueron usados en [47] para demostrar que ellos forman una conexión
de Galois isótona cuando se fija el argumento de la izquierda para & y el
de la derecha para -.
Ejemplo 3.1. Sea ([0, 1], ≤) un retículo completo tal que ≤ es el orden usual en
el intervalo unidad. Consideremos los operadores &, - : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1]
definidos como:
x&y =


2

x · y


x · y
1
2
1
si x ≥
2
si x <


1


r


 z
z-x=
x





z
x
si x ≤ z
si z < x <
1
2
si z < x y x ≥
1
2
para todo x, y, z ∈ [0, 1]. En [47] se demuestra que (x &, -x ) es una conexión
de Galois isótona para todo x ∈ [0, 1], de donde se deduce que (&, -) es un par
adjunto por la izquierda.
El par de operadores mostrado a continuación forma un par de Galois
débil. Sin embargo, dichos operadores no son implicaciones difusas y por
tanto no son las implicaciones residuadas de un triple adjunto [47].
Ejemplo 3.2. Considerando de nuevo el retículo completo ([0, 1], ≤), se definen
52
3.1. T RIPLES ADJUNTOS . Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
los operadores . y - como:



1
si z ≤ 1 − y





r
1
1−y
z.y=
si
1
−
y
<
z
<

z
2





1

1 − y
si 1 − y < z y z ≥
z
2

1

2

1 − x · z si z < 2
z-x=


1 − x · z si z ≥ 1
2
para todo x, y, z ∈ [0, 1]. Estos operadores forman un par de Galois débil ya que,
para todo z ∈ [0, 1], el par (z ., z -) es una conexión de Galois antítona [47]. A continuación, se introduce la noción de álgebra multiadjunta birresiduada en la que se consideran los triples adjuntos.
Definición 3.4. Sean (P1 , ≤1 ), (P2 , ≤2 ) y (P3 , ≤3 ) conjuntos parcialmente ordenados y (&i , .i , -i ) una familia de triples adjuntos con i ∈ {1, . . . , n}. Llamamos álgebra multiadjunta birresiduada a la tupla
P = (P1 , P2 , P3 , ≤1 , ≤2 , ≤3 , &1 , .1 , -1 , . . . , &n , .n , -n )
Puesto que, por las Proposiciones 3.2(4) y 3.4(4) las implicaciones residuadas son únicas, solo escribiremos P = (P1 , P2 , P3 , ≤1 , ≤2 , ≤3 , &1 , . . . , &n ).
Estas álgebras heredan directamente las propiedades proporcionadas por
los pares anteriores.
Obsérvese que en el dominio y codominio de los operadores de un
triple adjunto tenemos (en principio) tres órdenes diferentes, de este modo
se está proporcionando un lenguaje más flexible para cualquier usuario
que se puede utilizar en cualquier entorno.
También es importante resaltar que no se requiere la condición de frontera, al contrario de lo que ocurre en la definición usual de retículo multiadjunto [89] o en la de triple de implicación [93].
A continuación, mostramos las propiedades que deben satisfacer los
conjuntos parcialmente ordenados y el conjuntor &, a fin de asegurar que
53
C APÍTULO 3. Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
. y - satisfagan una propiedad que cumplen las implicaciones residuadas de las t-normas y que puede verse como una generalización de las
condiciones de frontera de las implicaciones booleanas clásicas.
Lema 3.1. Sea (&, ., -) un triple adjunto con respecto a los conjuntos parcialmente ordenados (P1 , ≤1 ), (P2 , ≤2 ), (P3 , ≤3 ). Si P2 ⊆ P3 y P1 tiene un máximo
>1 como elemento identidad por la izquierda para &, es decir, >1 & y = y para
todo y ∈ P2 , entonces se cumple la siguiente equivalencia:
>1 = z . y
si y solo si
y ≤3 z
para todo y ∈ P2 y z ∈ P3 .
Demostración. Dados y ∈ P2 y z ∈ P3 , se obtiene la siguiente cadena de
equivalencias:
>1 = z . y si y solo si
>1 ≤1 z . y
si y solo si
>1 & y ≤3 z
si y solo si
y ≤3 z
donde la primera equivalencia se obtiene porque >1 es el máximo en P1 ,
la segunda se obtiene por la propiedad de adjunción y la última porque,
por hipótesis, >1 es el elemento identidad por la izquierda para &.
Puede observarse que, si consideramos >1 & y = y, para todo y ∈ P2 ,
entonces, como >1 & y ∈ P3 , se obtiene que y ∈ P3 , para todo y ∈ P2 , lo
que nos lleva a concluir que P2 ⊆ P3 . Por tanto, el supuesto de P2 ⊆ P3 ,
asumido en el lema anterior, es necesario.
Considerando ahora la implicación residuada - se obtiene un resultado similar.
Lema 3.2. Dado un triple adjunto (&, ., -) con respecto a los conjuntos parcialmente ordenados (P1 , ≤1 ), (P2 , ≤2 ), y (P3 , ≤3 ). Si P1 ⊆ P3 y P2 tiene un
54
3.1. T RIPLES ADJUNTOS . Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
máximo >2 como elemento identidad por la derecha para &, es decir, x & >2 = x
para todo x ∈ P1 , entonces se obtiene que:
>2 = z - x
si y solo si
x ≤3 z
para todo x ∈ P1 y z ∈ P3 .
Demostración. La demsotración es análoga a la del Lema 3.1.
Al igual que antes, el supuesto P1 ⊆ P3 es necesario si se considera
x & >2 = x, para todo x ∈ P1 , ya que al ser x & >2 ∈ P3 , se obtiene que
x ∈ P3 , para todo x ∈ P1 , y por tanto P1 ⊆ P3 .
En la siguiente proposición, se presentan identidades interesantes que
se satisfacen cuando exigimos asociatividad o conmutatividad al operador
& de un triple adjunto.
Proposición 3.7. Sea (&, ., -) un triple adjunto con respecto al conjunto parcialmente ordenado (P, ≤).
(1) Si & es asociativo entonces la identidad (z . y) - x = (z - x) . y se
verifica para todo x, y, z ∈ P .
(2) Si & es asociativo y conmutativo entonces se satisface el principio de intercambio para - y . , esto es:
(a) (z - x1 ) - x2 = (z - x2 ) - x1 , para todo x1 , x2 , z ∈ P .
(b) (z . y1 ) . y2 = (z . y2 ) . y1 , para todo y1 , y2 , z ∈ P .
Demostración. (1) La siguiente cadena de desigualdades equivalentes se
obtiene aplicando la propiedad de adjunción y teniendo en cuenta que &
55
C APÍTULO 3. Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
es asociativo:
(z . y) - x ≤ (z . y) - x sii x &((z . y) - x) ≤ z . y
sii (x &((z . y) - x)) & y ≤ z
sii x &(((z . y) - x) & y) ≤ z
sii ((z . y) - x) & y ≤ z - x
sii (z . y) - x ≤ (z - x) . y
Análogamente se prueba que (z - x) . y ≤ (z . y) - x para todo
x1 , x2 , z ∈ P .
(2)(a) Solo probaremos que (z - x1 ) - x2 ≤ (z - x2 ) - x1 para todo
x1 , x2 , z ∈ P . La otra desigualdad se demuestra siguiendo un razonamiento similar.
Obviamente, (z - x1 ) - x2 ≤ (z - x1 ) - x2 para todo x1 , x2 , z ∈
P . Aplicando la propiedad de adjunción a esta desigualdad, se obtiene la
siguiente equivalencia:
(z - x1 ) - x2 ≤ (z - x1 ) - x2 sii x2 &((z - x1 ) - x2 ) ≤ z - x1
sii x1 &(x2 &((z - x1 ) - x2 )) ≤ z
Ahora, por la asociatividad y la conmutatividad de &, podemos afirmar
que:
x1 &(x2 &((z - x1 ) - x2 )) ≤ z sii x2 &(x1 &((z - x1 ) - x2 )) ≤ z
Y aplicando de nuevo la propiedad de adjunción, obtenemos:
x2 &(x1 &((z - x1 ) - x2 )) ≤ z sii x1 &((z - x1 ) - x2 ) ≤ z - x2
sii (z - x1 ) - x2 ≤ (z - x2 ) - x1
Por tanto, podemos concluir que (z - x1 ) - x2 ≤ (z - x2 ) - x1 se
verifica para todo x1 , x2 , z ∈ P .
(2)(b) se prueba análogamente.
56
3.1. T RIPLES ADJUNTOS . Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
Como último resultado de esta sección, se muestran las equivalencias
que se deducen del principio de intercambio para - .
Proposición 3.8. Si (P, ≤P ) y (L, ≤L ) son conjuntos parcialmente ordenados y
(&, ., -) es un triple adjunto con respecto a P , L y L, entonces las siguientes
identidades y desigualdades son equivalentes para todo x, y, z ∈ L y a, b ∈ P :
(1) (z - b) - a = (z - a) - b (principio de intercambio para -)
(2) a &(z - b) ≤L (a & z) - b
(3) a &(b & z) = b &(a & z) (principio de intercambio para &)
(4) z . y ≤P (a & z) . (a & y)
(5) (y - a) . x ≤P y . (a & x)
(6) (y . z) & x ≤L y - (z . x)
(7) y . (a & x) ≤P (y - a) . x
(8) z . y ≤P (z - a) . (y - a)
Demostración. Con el fin de no extender la demostración, no se detallarán
ni las desigualdades que se deducen a partir de la monotonía de los operadores, ni aquellas que se obtienen directamente al aplicar la propiedad
de adjunción sobre una desigualdad trivial.
(1) implica (2): Como por hipótesis - satisface el principio de intercambio, entonces ((a & z) - a) - b = ((a & z) - b) - a para todo
z ∈ L y a, b ∈ P . Ahora bien, z - b ≤L ((a & z) - a) - b, de
donde se desprende que z - b ≤L ((a & z) - b) - a. Aplicando
la propiedad de adjunción a esta última desigualdad se obtiene que
a &(z - b) ≤L (a & z) - b.
57
C APÍTULO 3. Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
(2) implica (3): Teniendo en cuenta que (2) se satisface para todo z ∈ L y
a, b ∈ P , podemos afirmar que b &((a & z) - a) ≤L (b &(a & z)) - a.
Además, b & z ≤L b &((a & z) - a). Por la transitividad de ≤L , obtenemos que b & z ≤L (b &(a & z)) - a, siendo esta desigualdad equivalente a a &(b & z) ≤L b &(a & z), por la propiedad de adjunción.
La prueba de b &(a & z) ≤L a &(b & z) es totalmente análoga.
(3) implica (4): Supongamos que & satisface el principio de intercambio,
entonces (z . y) &(a & y) = a &((z . y) & y). Para todo y, z ∈ L y
a ∈ P se verifica que a &((z . y) & y) ≤L a & z, lo que implica que
(z . y) &(a & y) ≤L a & z. A partir de la propiedad de adjunción,
podemos concluir que z . y ≤P (a & z) . (a & y).
(4) implica (5): Puesto que se verifica (4) para todo y, z ∈ L y a, b ∈ P ,
obtenemos que (y - a) . x ≤P (a &(y - a)) . (a & x). Al ser
(a &(y - a)) . (a & x) ≤P y . (a & x), por la transitividad de ≤P se
deduce que (y - a) . x ≤P y . (a & x).
(5) implica (6): La desigualdad (y - (y . z)) . x ≤P y . ((y . z) & x)
se cumple para todo y, z ∈ L, ya que por hipótesis (5) se satisface.
Asimismo, z . x ≤P (y - (y . z)) . x. Como consecuencia,
se obtiene la desigualdad z . x ≤P y . ((y . z) & x), la cual es
equivalente a (y . z) & x ≤L y - (z . x) aplicando la propiedad
de adjunción.
(6) implica (7): Suponiendo (6), podemos afirmar que para todo x, y ∈ L y
a ∈ P la identidad (y . (a & x)) & x = y - ((a & x) . x) se satisface.
Por otro lado, se obtiene que y - ((a & x) . x) ≤L y - a. A partir
de ambas expresiones y de la propiedad de adjunción se concluye
que y . (a & x) ≤P (y - a) . x para todo x, y ∈ L y a ∈ P .
(7) implica (8): Claramente, z . y ≤P z . (a &(y - a)) para todo
y, z ∈ L y a ∈ P . Además, por hipótesis, obtenemos que la siguiente
58
3.1. T RIPLES ADJUNTOS . Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
desigualdad z . (a &(y - a)) ≤P (z - a) . (y - a) se satisface.
Por lo tanto, podemos concluir que z . y ≤P (z - a) . (y - a).
(8) implica (1): Por hipótesis, z . (z - a) ≤P (z - b) . ((z - a) - b)
para todo z ∈ L y a, b ∈ P . Como a ≤P z . (z - a), obtenemos la
desigualdad a ≤P (z - b) . ((z - a) - b). Aplicando la propiedad
de adjunción sobre esta última expresión se obtiene que:
(z - a) - b ≤L (z - b) - a
De manera análoga, se prueba que (z - b) - a ≤L (z - a) - b.
Finalmente, mostraremos varios ejemplos de triples adjuntos, pudiendo encontrar algunos más generales en [87]. Antes que nada, mencionar
que la t-norma Gödel, la t-norma producto y la t-norma Łukasiewicz junto con sus respectivas implicaciones residuadas (Ejemplos 2.5 y 2.9) son
ejemplos de triples adjuntos.
A continuación, se presenta un triple adjunto definido sobre particiones regulares de [0, 1] el cual es muy útil cuando queremos considerar conjuntos de valores finitos. Por ejemplo, este hecho es realmente importante
si los triples adjuntos se usan en ambientes que requieren finitud. Es usual
considerar dominios finitos tanto para obtener un retículo de conceptos
difusos en análisis de conceptos formales [27, 86], como para garantizar
la existencia de soluciones minimales en ecuaciones de relaciones difusas [43].
Ejemplo 3.3. Sea [0, 1]m una partición regular de [0, 1] en m partes, por ejemplo,
[0, 1]2 = {0, 0.5, 1} divide el intervalo unidad en dos partes.
Una discretización de una t-norma T : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] viene dada por
el operador T ∗ : [0, 1]n × [0, 1]m → [0, 1]k donde n, m, k ∈ N, definido para cada
59
C APÍTULO 3. Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
x ∈ [0, 1]n e y ∈ [0, 1]m como:
T ∗ (x, y) =
dk · T (x, y)e
k
donde d _ e es la función parte entera superior.
Para este operador, las implicaciones residuadas .∗ : [0, 1]k ×[0, 1]m → [0, 1]n
y -∗ : [0, 1]k × [0, 1]n → [0, 1]m se definen como:
z .∗ y =
bm · (z ← y)c
m
z -∗ x =
bn · (z ← x)c
n
donde b _ c es la función parte entera inferior y ← es la implicación residuada de
la t-norma T .
El siguiente ejemplo muestra un triple adjunto usado en [83], en el que
el conjuntor no es conmutativo y las implicaciones adjuntas tienen diferentes significados.
Ejemplo 3.4. Dado el operador no conmutativo & : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1], definido por x & y = x2 · y, para todo x, y ∈ [0, 1], y los operadores . : [0, 1] × [0, 1] →
[0, 1] y - : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] definidos por


1
si y = 0;
r
z.y =
z

,1
en otro caso.
mı́n
y

1
si x = 0;
nz o
z-x =
mı́n
,1
en otro caso.
x2
para todo x, y, z ∈ [0, 1], obtenemos que (&, ., -) es un triple adjunto. Estas
dos implicaciones se usaron en un ejemplo del artículo [83] representando convenientemente dos posibles puntos de vista, uno basado en los trabajadores y otro
basado en los departamentos.
El ejemplo que mostramos a continuación presenta un triple adjunto
definido sobre tres retículos diferentes donde uno de ellos es no lineal.
60
3.1. T RIPLES ADJUNTOS . Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
Este ejemplo fue usado en [84] con el fin de realizar la evaluación de un
producto.
Ejemplo 3.5. En la evaluación de un producto, los revisores tienen que asignar
un valor de cuatro posibles. Para llevar a cabo esta tarea, se ha pedido la colaboración de dos expertos. Una vez recogido el informe proporcionado por cada experto,
hemos notado que uno de ellos ha considerado el orden de valores que se muestra
en la Figura 3.1, mientras que el otro ha considerado el mostrado en la Figura 3.2.
En ambos casos, los expertos eligieron un retículo adecuado para sus evaluaciones.
A fin de unificar las evaluaciones basadas en ambos retículos, se puede considerar un conjuntor. Por ejemplo, el conjuntor & : L1 × L2 → [0, 1] definido a
partir de la Tabla 3.1.
δ•
γ•
•d
@
@
b •@
@•c
β•
@
a@•
α•
Figura 3.1: (L1 , 1 )
Figura 3.2: (L2 , 2 )
Tabla 3.1: Definición de &
& α
a 0
β
γ
δ
0
0
0
3/4
b
0
0
3/4
c
0
1/2
1/2
1
0
1/2
3/4
1
d
Las implicaciones residuadas de este operador son . : [0, 1] × L2 → L1 y
- : [0, 1] × L1 → L2 , las cuales se definen en la Tabla 3.2.
61
C APÍTULO 3. Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
Tabla 3.2: Definición de . y .
α β γ δ
-
a b
c d
1
d d d d
1
δ δ
δ
[3/4, 1)
d d d b
[3/4, 1)
δ δ γ γ
[1/2, 3/4)
d d c a
[1/2, 3/4)
δ β γ β
[0, 1/2)
d b a a
[0, 1/2)
δ β α α
δ
Por tanto, haciendo uso de la Definición 3.1 y de los resultados dados previamente, obtenemos que (&, ., -) es un triple adjunto.
3.2.
Aplicaciones de los triples adjuntos
Aunque los triples adjuntos se definen en un entorno general, se deben
asumir más propiedades en cada entorno particular a fin de asegurar el
mecanismo de cálculo necesario para resolver los problemas de los campos de trabajo en los que éstos son usados. Las siguientes subsecciones
presentan tres entornos en los que se utilizan los triples adjuntos: la programación lógica multiadjunta, los retículos de conceptos multiadjuntos y
los retículos de conceptos multadjuntos orientados a objetos y a propiedades. En cada una de estas subsecciones, realizamos algunos comentarios
sobre la necesidad de exigir nuevas propiedades a los triples adjuntos.
3.2.1.
Programación lógica multiadjunta
La programación lógica multiadjunta se introdujo en [88] como un refinamiento, tanto del trabajo inicial presentado en [111] como de la programación lógica residuada [33]. Los operadores básicos en la extensión
difusa de la programación lógica son los pares adjuntos.
62
3.2. A PLICACIONES DE LOS TRIPLES ADJUNTOS
Definición 3.5. Sea (P, ≤) un conjunto parcialmente ordenado y (& , ←) un par
de operaciones binarias en P , tales que:
(1) La operación & es creciente en ambos argumentos.
(2) La operación ← es creciente en el primer argumento (el consecuente) y decreciente en el segundo argumento (el antecedente).
(3) Para cualquier x, y, z ∈ P , obtenemos que
x ≤ (y ← z) si y solo si (x & z) ≤ y
Entonces decimos que (& , ←) es un par adjunto en (P, ≤).
Obsérvese que si (&, ., -) es un triple adjunto con respecto a P1 , P2 y
P3 , donde P1 = P2 = P3 , entonces (&, .) es un par adjunto. Sin embargo,
si & no es conmutativo, entonces (&, -) podría no ser un par adjunto ya
que (&, -) no satisface exactamente la tercera propiedad de la definición
previa.
La tercera propiedad de la Definición 3.5 corresponde a la adjunción
categórica, pero se puede interpretar adecuadamente en términos de inferencia multivaluada suponiendo que el valor de verdad de z ← y es el
máximo x que satisface x & y ≤ z, y también con la validez de la siguiente
generalización de la regla modus ponens [61]:
Si x es una cota inferior de ψ ← ϕ, e y es una cota inferior de ϕ,
entonces una cota inferior z de ψ es x & y.
Además de las propiedades dadas en la Definición 3.5, en este entorno
de programación lógica, es necesario asumir la existencia de un elemento
mínimo y un elemento máximo en el conjunto parcialmente ordenado de
los valores de verdad (elementos cero y uno), y la existencia de supremos
para cada subconjunto dirigido; es decir, asumiremos una estructura de
63
C APÍTULO 3. Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
retículo completo, pero no se exige nada sobre la asociatividad, la conmutatividad o las condiciones usuales de frontera de & .
Extender los resultados dados en [33, 111] a un contexto más general,
en el que se utilizan las distintas implicaciones (Łukasiewicz, Gödel, producto) y por tanto, varias reglas modus-ponens como reglas de inferencia,
condujo a considerar diferentes pares adjuntos en el retículo.
Definición 3.6. Sea (L, ) un retículo completo. Un retículo multiadjunto L
es una tupla (L, , ←1 , &1 , . . . , ←n , &n ) que satisface:
(1) (L, ) está acotado, es decir, tiene elemento mínimo (⊥) y elemento máximo
(>);
(2) (&i , ←i ) es un par adjunto en (L, ) para i ∈ {1, . . . , n};
(3) > &i ϑ = ϑ &i > = ϑ para todo ϑ ∈ L y todo i ∈ {1, . . . , n}.
Los programas multiadjuntos se definen a partir de un lenguaje F construido sobre un conjunto de símbolos proposicionales Π y un conjunto de
operadores Ω, y usando un retículo multiadjunto L como el conjunto de
los valores de verdad [88].
En [32] se presenta un programa multiadjunto general, en el que los
símbolos proposicionales pueden ser de distintos tipos considerando un
retículo diferente para cada uno de éstos. Por otra parte, en los programas
multiadjuntos dados en [87] se consideran triples adjuntos en lugar de
pares adjuntos.
Por consiguiente, teniendo en cuenta la Definición 3.3(1), podemos afirmar que un retículo multiadjunto es un caso particular de álgebra multiadjunta por la derecha. A diferencia de la definición original, se exige que
los pares y triples adjuntos estén definidos sobre un retículo completo.
Además, también se exige la condición de frontera con respecto a > (Definición 3.6(3)).
64
3.2. A PLICACIONES DE LOS TRIPLES ADJUNTOS
3.2.2.
Retículos de conceptos multiadjuntos
En el marco de los retículos de conceptos multiadjuntos, se consideran triples adjuntos como los presentados en la Definición 3.1, de ahí que
podamos afirmar que el marco multiadjunto es un caso particular de álgebra multiadjunta birresiduada. Además, a fin de proporcionar mayor flexibilidad al lenguaje, se consideran diversos triples adjuntos relacionados
con tres conjuntos parcialmente ordenados dados. Sin embargo, debido a
que estos triples son los operadores subyacentes del retículo de conceptos multiadjunto, para que éste sea realmente un retículo, vamos a exigir
la estructura de retículo sobre los conjuntos parcialmente ordenados de la
definición de triple adjunto.
Definición 3.7. Un marco multiadjunto es una tupla
(L1 , L2 , P, &1 , .1 , -1 , . . . , &n , .n , -n )
donde (P, ≤) es un conjunto parcialmente ordenado, (L1 , 1 ) y (L2 , 2 ) son retículos completos y, para todo i ∈ {1, . . . , n}, (&i , .i , -i ) es un triple adjunto
con respecto a L1 , L2 , P .
La definición de contexto multiadjunto se obtiene de forma similar al
caso clásico.
Definición 3.8. Sea (L1 , L2 , P, &1 , .1 , -1 , . . . , &n , .n , -n ) un marco multiadjunto, un contexto multiadjunto es una tupla (A, B, R, σ) tal que A y B son
conjuntos no vacíos (usualmente interpretados como atributos y objetos, respectivamente), R es una relación P -difusa R : A × B → P y σ : B → {1, . . . , n} es
una aplicación que asocia cada elemento en B con algún triple adjunto del marco.
Se podría desarrollar una definición y una teoría similar si consideramos una aplicación τ : A × B → {1, . . . , n} que asocie cada par de elementos en A × B con algún triple adjunto del marco. Debido a que el objetivo
65
C APÍTULO 3. Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
de esta sección es introducir un campo de trabajo en el que los triples adjuntos juegan un papel importante, se asume la definición original.
El conjunto de aplicaciones g : B → L2 , f : A → L1 se denotarán como
A
LB
2 y L1 , respectivamente. Sobre estos conjuntos, se pueden considerar los
órdenes parciales definidos punto a punto a partir de los órdenes parciales
A
en (L1 , 1 ) y (L2 , 2 ), los cuales proporcionan a LB
2 y L1 la estructura de
retículos completos. Abusando de la notación, podemos decir que (LB
2 , 2 )
y (LA
1 , 1 ) son retículos completos donde 1 y 2 son definidos punto a
A
punto, esto es, dados g1 , g2 ∈ LB
2 , f1 , f2 ∈ L1 , g1 2 g2 si y solo si g1 (b) 2
g2 (b), para todo b ∈ B; y f1 1 f2 si y solo si f1 (a) 1 f2 (a), para todo
a ∈ A.
Una vez fijados un marco multiadjunto y un contexto para este marco,
σ
B
↓
A
: LA
podemos definir las aplicaciones ↑σ : LB
1 −→ L2 , las cuales
2 −→ L1 y
se pueden ver como generalizaciones de las dadas en [8, 73]:
g ↑σ (a) = ı́nf{R(a, b) .σ(b) g(b) | b ∈ B}
σ
f ↓ (b) = ı́nf{R(a, b) -σ(b) f (a) | a ∈ A}
(3.1)
(3.2)
No es difícil probar que estos dos operadores generan una conexión de
Galois [86] (la definición y propiedades de conexión de Galois se pueden
encontrar en el Capítulo 2). Además, para que estas aplicaciones estén bien
definidas supondremos que (L1 , 1 ) y (L2 , 2 ) son retículos completos.
Como es habitual en los distintos campos de trabajo del análisis de
conceptos formales, un concepto multiadjunto es un par hg, f i que satisface
σ
σ
↑σ
A
= f y f ↓ = g; siendo (↑σ , ↓ ) la conexión de
que g ∈ LB
2 , f ∈ L1 y que g
Galois definida anteriormente.
Definición 3.9. El retículo de conceptos multiadjunto asociado al marco multiadjunto (L1 , L2 , P, &1 , .1 , -1 , . . . , &n , .n , -n ) y al contexto (A, B, R, σ), es
el conjunto
A
M = {hg, f i | g ∈ LB
2 , f ∈ L1
66
y
σ
g ↑σ = f, f ↓ = g}
3.2. A PLICACIONES DE LOS TRIPLES ADJUNTOS
en el que el orden está definido por hg1 , f1 i hg2 , f2 i si y solo si g1 2 g2 (equivalentemente f2 1 f1 ), para todo hg1 , f1 i, hg2 , f2 i ∈ M.
El orden que acabamos de definir proporciona a M la estructura de
retículo completo.
En este entorno solo se ha necesitado que en la definición de triple
adjunto (P1 , ≤1 ) y (P2 , ≤2 ) sean retículos completos.
3.2.3.
Retículos de conceptos multiadjuntos orientados a
objetos y a propiedades
En esta sección solo se recuerdan las definiciones y las principales propiedades del marco de trabajo de los retículos de conceptos multiadjuntos
orientados a objetos, ya que para los orientados a propiedades se introducen de manera análoga [82].
Los operadores básicos de cálculo usados en el campo de los retículos
de conceptos multiadjuntos orientados a objetos son los triples adjuntos y
la estructura que permite la existencia de varios de estos triples es el marco
multiadjunto orientado a objetos.
Dados dos retículos completos (L1 , 1 ) y (L2 , 2 ), un conjunto parcialmente ordenado (P, ≤) y los triples adjuntos (&i , .i , -i ) con respecto a
L1 , P, L2 , siendo i = {1, . . . , n}, se define el marco multiadjunto orientado a
objetos como una tupla (L1 , L2 , P, 1 , 2 , ≤, &1 , .1 , -1 , . . . , &n , .n , -n ).
Aunque la notación utilizada es similar a la de marco multiadjunto,
conviene hacer notar que los triples adjuntos están definidos sobre dominios diferentes, ahora los triples se definen sobre L1 , P y L2 . Este hecho es
clave a la hora de relacionar este marco con el marco multiadjunto presentado en la Sección 3.2.2 [82].
El contexto asociado al marco multiadjunto orientado a objetos se define
como una tupla (A, B, R, σ), donde A y B son conjuntos no vacíos, R : A ×
67
C APÍTULO 3. Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
B → P es una relación P -difusa y σ : A × B → {1, . . . , n} es una aplicación
que asocia cualquier elemento en A×B con algún triple adjunto particular
del marco.
En esta ocasión, los operadores de formación de conceptos vienen daΠ
B
↓
A
: LA
dos por las aplicaciones ↑N : LB
1 → L2 definidas como:
2 → L1 y
g ↑N (a) = ı́nf{g(b) .a,b R(a, b) | b ∈ B}
(3.3)
Π
f ↓ (b) = sup{f (a) &a,b R(a, b) | a ∈ A}
(3.4)
Así pues, un concepto multiadjunto orientado a objetos es un par de apliΠ
caciones hg, f i, con g ∈ LB , f ∈ LA , tales que g ↑N = f y f ↓ = g.
Π
Es interesante destacar que la composición ↑N ↓ : (L2 2 ) → (L2 2 ) es
Π↑
N
un operador interior, mientras que ↓
: (L1 1 ) → (L1 1 ) es un opera-
dor de clausura, lo cual es muy importante a fin de obtener los elementos
del retículo de conceptos multiadjunto orientado a objetos (MN Π (A, B, R, σ), ≤).
Π
Además, como (↑N , ↓ ) es una conexión de Galois isótona [82], se obtiene
el siguiente resultado.
Teorema 3.1 ([82]). Dado un contexto (A, B, R, σ), el conjunto de todos los conceptos multiadjuntos orientados a objetos, denotado como MN Π (A, B, R, σ), con
el orden: hg1 , f1 i ≤ hg2 , f2 i si y solo si g1 2 g2 , o equivalentemente, si y solo si f1 1 f2 , forma un retículo completo que recibe el nombre de retículo de
conceptos multiadjunto orientado a objetos.
Además, el supremo y el ínfimo de cada familia de conceptos {hgi , fi i | i ∈ I}
en MN Π (A, B, R, σ) se definen como sigue:
Π↑
N
sup{hgi , fi i | i ∈ I} = hsup2 {gi | i ∈ I}, (sup1 {fi | i ∈ I})↓
i
↓Π
ı́nf{hgi , fi i | i ∈ I} = h(ı́nf 2 {gi | i ∈ I})↑N ,ı́nf 1 {fi | i ∈ I}i
Nótese que el orden considerado en MN Π (A, B, R, σ) es el dual al dado en [82]. Este cambio se ha llevado a cabo porque parece más natural
68
3.3. P ROPIEDADES GENERALES DE LOS TRIPLES ADJUNTOS
considerar un orden en el que los elementos con valores más grandes proporcionen conceptos más grandes.
Una vez introducidas estas nociones básicas sobre retículos de conceptos multiadjuntos orientados a objetos, podemos concluir que el marco
multiadjunto orientado a objetos es un caso particular de álgebra multiadjunta birresiduada donde (P1 , ≤1 ) y (P3 , ≤3 ) son retículos completos.
3.3.
Propiedades generales de los triples adjuntos
Aunque ya se han detallado propiedades importantes de los triples adjuntos y ejemplos aplicados, todavía se pueden dar más propiedades de
estos triples que generalizan varias de las presentadas en [1, 40, 91]. A
continuación, mostraremos que varias propiedades de las t-normas y sus
implicaciones residuadas presentadas en la Proposición 3 de [40] se pueden generalizar al entorno general de los triples adjuntos, asumiendo a
veces la condición de frontera. Además, las propiedades se probarán con
diferentes triples adjuntos que son más generales que los dados en [40].
Por lo tanto, junto con las secciones anteriores, esta sección prueba que
los triples adjuntos son una buena generalización de las t-normas y sus
implicaciones residuadas, conservan las principales propiedades de estas
útiles aplicaciones y ayudan a incrementar la flexibilidad de los operadores usados para el cálculo en el campo de trabajo considerado. Estos tipos
de operadores surgen en ambientes en los que los conjuntores se construyen a partir de ejemplos.
Las siguientes proposiciones presentan propiedades más generales que
las dadas en el enunciado (3) de las Proposiciones 3.2, 3.4 y 3.5. Antes
de introducirlas, fijaremos un triple adjunto (&, ., -) con respecto a los
conjuntos parcialmente ordenados (P1 , ≤1 ), (P2 , ≤2 ) y (P3 , ≤3 ).
69
C APÍTULO 3. Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
Proposición 3.9. Si (P3 , ≤3 ) es un retículo, P2 ⊆ P3 y P1 tiene un máximo >1
como elemento identidad por la izquierda para &, entonces para todo x ∈ P1 , y ∈
P2 , z ∈ P3 se cumplen las siguientes desigualdades:
(1) (z . y) & y ≤3 ı́nf{y, z}.
(2) sup{y, z} ≤3 z - (z . y).
Demostración. (1) A partir de la Proposición 3.2(3) y de la propiedad del
ínfimo, bastaría probar que (z . y) & y ≤3 y.
Teniendo en cuenta la propiedad de adjunción y el Lema 3.1, se obtiene
que (z . y) ≤3 y . y = >1 . Por tanto, por la monotonía de & podemos
concluir que (z . y) & y ≤3 >1 & y ≤3 y, ya que >1 es el elemento identidad por la izquierda para &.
La demostración de (2) se sigue de forma análoga.
Se puede establecer una proposición similar si consideramos P3 ⊆ P2 .
El siguiente resultado se obtiene suponiendo que P1 ⊆ P3 en lugar de
P2 ⊆ P3 .
Proposición 3.10. Si (P3 , ≤3 ) es un retículo, P1 ⊆ P3 y P2 tiene un máximo >2
como elemento identidad por la derecha para &, entonces para todo x ∈ P1 , y ∈
P2 , z ∈ P3 se cumplen las siguientes desigualdades:
(1) x &(z - x) ≤3 ı́nf{x, z}.
(2) sup{x, z} ≤3 z . (z - x).
Demostración. La demostración es similar a la dada en la Proposición 3.9,
usando tanto la condición (3) de las Proposiciones 3.4 y 3.5, como el Lema 3.2.
70
3.3. P ROPIEDADES GENERALES DE LOS TRIPLES ADJUNTOS
Una proposición análoga puede establecerse considerando P3 ⊆ P1 .
Estas últimas propiedades se usan para probar las dos proposiciones
siguientes, las cuales generalizan varias de las presentadas en [40].
Proposición 3.11. Si (P3 , ≤3 ) es un retículo y P1 tiene un máximo >1 como elemento identidad por la izquierda para &, entonces para todo x ∈ P1 , y ∈ P2 , z ∈
P3 se cumplen las siguientes igualdades:
(1) Si P2 ⊆ P3 , entonces ı́nf{y, z} . y = z . y.
(2) Si P2 = P3 , entonces z . sup{y, z} = z . y.
(3) Si P2 = P3 , entonces z . y ≤1 ı́nf{z, z 0 } . ı́nf{y, z 0 }, para todo z 0 ∈ P3 .
(4) Si P2 ⊆ P3 , entonces z . y ≤1 ı́nf{z, y 0 } . ı́nf{y, y 0 }, para todo y 0 ∈ P2 .
Demostración. (1) Claramente ı́nf{y, z} ≤3 z, y como . es creciente en el
primer argumento, se verifica la desigualdad ı́nf{y, z} . y ≤1 z . y.
La otra desigualdad z . y ≤1 ı́nf{y, z} . y es equivalente, por la
propiedad de adjunción, a (z . y) & y ≤3 ı́nf{y, z}, que es cierta por la
Proposición 3.9(1).
(2) La desigualdad z . sup{y, z} ≤1 z . y se verifica puesto que . es
decreciente en el segundo argumento.
Por otro lado, tenemos que demostrar que z . y ≤1 z . sup{y, z},
lo cual es equivalente a (z . y) & sup{y, z} ≤3 z, por la propiedad de
adjunción. Aplicando de nuevo la propiedad de adjunción, se obtiene que
sup{y, z} ≤2 z - (z . y), lo cual es cierto por la Proposición 3.9(2).
(3) Aplicando la propiedad de adjunción a z . y ≤1 ı́nf{z, z 0 } .
ı́nf{y, z 0 }, se obtiene la desigualdad equivalente (z . y) & ı́nf{y, z 0 } ≤3
ı́nf{z, z 0 }.
Ahora bien, como ı́nf{y, z 0 } ≤2 y y . es decreciente en el segundo
argumento, entonces se verifica que z . y ≤1 z . ı́nf{y, z 0 }. Por tanto,
(z . y) & ı́nf{y, z 0 } ≤3 (z . ı́nf{y, z 0 }) & ı́nf{y, z 0 }
71
C APÍTULO 3. Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
y, por la Proposición 3.9(1),
(z . y) & ı́nf{y, z 0 } ≤3 ı́nf{y, z, z 0 } ≤3 ı́nf{z, z 0 }
con lo que queda demostrado el enunciado (3) de esta proposición.
(4) Se prueba de forma análoga haciendo uso de la Proposición 3.9(1).
No es necesario que P2 = P3 ya que la expresión z . y ≤1 ı́nf{z, y 0 } .
ı́nf{y, y 0 } está bien definida suponiendo que P2 ⊆ P3 . Además, considerando solo esta hipótesis, también se puede aplicar la Proposición 3.9. Se obtiene un resultado similar considerando la otra implicación.
Proposición 3.12. Si (P3 , ≤3 ) es un retículo y P2 tiene un máximo >2 como
elemento identidad por la derecha para &, entonces para todo x ∈ P1 , y ∈ P2 , z ∈
P3 se verifica que:
(1) Si P1 ⊆ P3 , entonces ı́nf{x, z} - x = z - x.
(2) Si P1 = P3 , entonces z - sup{x, z} = z - x.
(3) Si P1 = P3 , entonces z - x ≤2 ı́nf{z, z 0 } - ı́nf{x, z 0 }, para todo z 0 ∈ P3 .
(4) Si P1 ⊆ P3 , entonces z - x ≤2 ı́nf{z, x0 } - ı́nf{x, x0 }, para todo x0 ∈ P1 .
Demostración. La demostración es análoga a la dada en la Proposición 3.11
pero esta vez considerando la Proposición 3.10.
El siguiente corolario puede establecerse a partir de las demostraciones
de los enunciados (3) y (4) de los dos últimos resultados.
Corolario 3.1. Suponiendo la existencia en (P3 , ≤3 ) del ínfimo de cada par de
elementos y dados x ∈ P1 , y ∈ P2 , z ∈ P3 , las siguientes afirmaciones son ciertas:
(1) Si P1 tiene un máximo >1 como elemento identidad por la izquierda para &
y
72
3.3. P ROPIEDADES GENERALES DE LOS TRIPLES ADJUNTOS
(a) P2 = P3 , entonces z . y ≤1 ı́nf{y, z, z 0 } . ı́nf{y, z 0 }, para todo
z 0 ∈ P3 .
(b) P2 ⊆ P3 , entonces z . y ≤1 ı́nf{y, z, y 0 } . ı́nf{y, y 0 }, para todo
y 0 ∈ P2 .
(2) Si P2 tiene un máximo >2 como elemento identidad por la derecha para & y
(a) P1 = P3 , entonces z - x ≤2 ı́nf{x, z, z 0 } - ı́nf{x, z 0 }, para todo
z 0 ∈ P3 .
(b) P1 ⊆ P3 , entonces z - x ≤2 ı́nf{x, z, x0 } - ı́nf{x, x0 }, para todo
x 0 ∈ P1 .
Ahora, mostraremos que las propiedades presentadas en la Proposición 3 de [40] vienen dadas a partir de los resultados probados anteriormente. En primer lugar, recordaremos dichas propiedades.
Proposición 3.13 ([40]). Sea (L, ∧, ∨, ∗, ⇒, 0, 1) retículo residuado. Para todo
x, y, z, u ∈ L se satisfacen las siguientes propiedades:
(1) x ≤ y si y solo si x ⇒ y = 1,
(2) 1 ⇒ x = x,
(3) x ∗ y ≤ x ∧ y,
(4) y ≤ x ⇒ y,
(5) x ∗ (x ⇒ y) ≤ x ∧ y,
(6) x ∨ y ≤ (x ⇒ y) ⇒ y,
(7) (x ⇒ y) ∗ z ≤ x ⇒ (y ∗ z),
(8) (x ⇒ y) ⇒ ((y ⇒ z) ⇒ (x ⇒ z)) = 1,
(9) (y ⇒ z) ⇒ ((x ⇒ y) ⇒ (x ⇒ z)) = 1,
73
C APÍTULO 3. Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
(10) ((x ∗ y) ⇒ z) = (x ⇒ (y ⇒ z)) = (y ⇒ (x ⇒ z)),
(11) (x ⇒ y) ⇒ ((z ⇒ u) ⇒ ((y ⇒ z) ⇒ (x ⇒ u))) = 1,
(12) (x ∨ y) ⇒ x = y ⇒ x,
(13) x ⇒ (x ∧ y) = x ⇒ y,
(14) x ⇒ y ≤ (x ∧ z) ⇒ (y ∧ z).
Las propiedades (1)-(4), de la Proposición 3 de [40], se obtienen directamente al asumir la condición de frontera correspondiente del triple adjunto (&, ., -). Las propiedades (5) y (6) se generalizan en las Proposiciones 3.9 y 3.10. Con respecto a las propiedades (7)-(10), éstas se obtienen
considerando la Proposición 3.7 y la Proposición 3.8(2),(8),(5),(7). La propiedad (11) se consigue a partir de las propiedades generales dadas en la
Proposición 3.7 y la Proposición 3.8(4),(6),(1). Por último, las propiedades
(12), (13) y (14) se generalizan en las Proposiciones 3.11 y 3.12.
Por tanto, esto demuestra que los triples adjuntos son una generalización muy buena de las t-normas y sus implicaciones residuadas.
En [40], además de las propiedades de una t-norma y su implicación
residuada, se introducen propiedades entre diferentes t-normas y sus implicaciones residuadas. Varios de estos resultados se generalizan en la siguiente sección.
3.3.1.
Asumiendo diferentes triples adjuntos
Hasta ahora, hemos presentado resultados relacionados con un solo
triple adjunto y las propiedades de este triple adjunto considerado. En
esta sección se muestran propiedades en las que se consideran distintos
triples adjuntos y se presenta la relación entre las implicaciones de dos
triples adjuntos. Estas propiedades generalizan varias de las dadas en [40]
sobre retículos residuados [49].
74
3.3. P ROPIEDADES GENERALES DE LOS TRIPLES ADJUNTOS
Por tanto, el objetivo de esta sección es comprobar que los triples adjuntos conservan las principales propiedades de las t-normas y sus implicaciones residuadas, especialmente cuando se consideran varias t-normas
y sus correspondientes implicaciones residuadas.
En primer lugar, recordaremos las propiedades de [40] que serán generalizadas en esta sección.
Proposición 3.14 ([40]). Sea (L, ∧, ∨, ∗k , ⇒k , 0, 1)k∈K una familia de retículos
residuados. Supongamos que {1, 2} ⊆ K. Entonces para todo x, y ∈ L se satisfacen las siguientes equivalencias:
(1) x ∗1 (x ⇒2 y) ≤ x ∧ y
si y solo si
⇒2 ≤ ⇒1
(2) x ∨ y ≤ (x ⇒1 y) ⇒2 y
si y solo si
⇒1 ≤ ⇒2
(3) (x ∨ y) ⇒1 x ≤ y ⇒2 x
si y solo si
⇒1 ≤ ⇒2
La desigualdad ⇒2 ≤ ⇒1 está definida punto a punto, esto es (x ⇒2 y) ≤
(x ⇒1 y), para todo x, y ∈ L.
De aquí en adelante, fijaremos (&1 , .1 , -1 ) y (&2 , .2 , -2 ), dos triples
adjuntos con respecto a P1 , P2 y P3 . Además, si se verifican las desigualdades (z -i x) ≤2 (z -j x) y (z .i y) ≤1 (z .j y) para todo y ∈ P2 , z ∈ P3 ,
entonces éstas se escribirán como -i ≤2 -j y .i ≤1 .j , respectivamente,
donde i, j ∈ {1, 2}.
El próximo resultado es una generalización del enunciado (3) de las
Proposiciones 3.2, 3.4 y 3.5.
Proposición 3.15. Las siguientes equivalencias se cumplen para todo x ∈ P1 , y ∈
P 2 , z ∈ P3 .
(1) x ≤1 z .1 (z -2 x)
sii
x &1 (z -2 x) ≤3 z
sii
-2 ≤2 -1 .
(2) y ≤2 z -1 (z .2 y)
sii
(z .2 y) &1 y ≤3 z
sii
.2 ≤1 .1 .
75
C APÍTULO 3. Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
Demostración. La prueba se obtiene aplicando directamente la propiedad
de adjunción.
Si los dominios están relacionados por la inclusión de conjuntos y se
cumple alguna condición de frontera, entonces se pueden establecer resultados más fuertes, como los mostrados en la siguiente proposición, la
cual es también una generalización de las Proposiciones 3.9 y 3.10.
Proposición 3.16. Para todo x ∈ P1 , y ∈ P2 , z ∈ P3 , se satisface que:
(1) Si (P3 , ≤3 ) es un retículo y P2 ⊆ P3 , o (P2 , ≤2 ) es un retículo y P3 ⊆ P2 , y
P1 tiene un máximo >1 como elemento identidad por la izquierda para &2 ,
entonces
(a) (z .1 y) &2 y ≤ ı́nf{y, z} si y solo si .1 ≤1 .2 .
(b) sup{y, z} ≤ z -2 (z .1 y) si y solo si .1 ≤1 .2 .
donde ≤ puede ser ≤3 o ≤2 , según sea P2 ⊆ P3 o P3 ⊆ P2 , respectivamente.
(2) Si (P3 , ≤3 ) es un retículo y P1 ⊆ P3 , o (P1 , ≤1 ) es un retículo y P3 ⊆ P1 ,
y P2 tiene un máximo >2 como elemento identidad por la derecha para &2 ,
entonces
(a) x &2 (z -1 x) ≤ ı́nf{x, z} si y solo si -1 ≤2 -2 .
(b) sup{x, z} ≤ z .2 (z -1 x) si y solo si -1 ≤2 -2 .
donde ≤ podría ser ≤3 o ≤1 , según sea P1 ⊆ P3 o P3 ⊆ P1 , respectivamente.
Demostración. Sin pérdida de generalidad, supongamos que (P3 , ≤3 ) es un
retículo y P2 ⊆ P3 .
(1)(a). Si (z .1 y) &2 y ≤3 ı́nf{y, z}, entonces (z .1 y) &2 y ≤3 z, y por
la Proposición 3.15(2), se obtiene .1 ≤1 .2 .
76
3.3. P ROPIEDADES GENERALES DE LOS TRIPLES ADJUNTOS
Ahora, dado .1 ≤1 .2 , se verifica la desigualdad (z .1 y) &2 y ≤3 y.
Esto se consigue por la propiedad de adjunción, ya que la última desigualdad es equivalente a (z .1 y) ≤1 (y .2 y), donde, por el Lema 3.1, la parte
de la derecha es igual a >1 , es decir, al elemento máximo en P1 .
(1)(b). De forma análoga a la prueba anterior, por la Proposición 3.15(2),
si sup{y, z} ≤2 z -2 (z .1 y) entonces .1 ≤1 .2 . Por otra parte, si
.1 ≤1 .2 , entonces se verifica la desigualdad z ≤3 z -2 (z .1 y). Por
la propiedad de adjunción, se obtiene que (z .1 y) &2 z ≤3 z. Aplicando
la propiedad de adjunción otra vez, (z .1 y) ≤1 (z .2 z), donde, por el
Lema 3.1, z .2 z es igual a >1 , que es el elemento máximo en P1 .
Las propiedades (2)(a) y (2)(b) se prueban de forma análoga a partir de
la Proposición 3.15(1) y el Lema 3.2.
Las siguientes propiedades muestran que se pueden obtener resultados similares a las proposiciones anteriores intercambiando una implicación de un triple adjunto por la otra.
Proposición 3.17. Para todo x ∈ P1 , y ∈ P2 , z ∈ P3 , se verifican los siguientes
enunciados:
(1) Si (P3 , ≤3 ) es un retículo y P2 ⊆ P3 , o (P2 , ≤2 ) es un retículo y P3 ⊆ P2 , y
P1 tiene un máximo >1 como elemento identidad por la izquierda para &2 ,
entonces
(a) Si P2 ⊆ P1 , entonces (z -1 y) &2 y ≤ ı́nf{y, z} sii -1 ≤1 .2 .
(b) Si P2 ⊆ P1 , entonces sup{y, z} ≤ z -2 (z -1 y) sii -1 ≤1 .2 .
(c) Si P1 ⊆ P2 , entonces sup{y, z} ≤ z .2 (z .1 y) sii .1 ≤2 -2 .
donde ≤ puede ser ≤3 o ≤2 , según sea P2 ⊆ P3 o P3 ⊆ P2 , respectivamente.
(2) Si (P3 , ≤3 ) es un retículo y P1 ⊆ P3 , o (P1 , ≤1 ) es un retículo y P3 ⊆ P1 ,
y P2 tiene un máximo >2 como elemento identidad por la derecha para &2 ,
entonces
77
C APÍTULO 3. Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
(a) Si P1 ⊆ P2 , entonces x &2 (z .1 x) ≤ ı́nf{x, z} sii .1 ≤2 -2 .
(b) Si P2 ⊆ P1 , entonces sup{x, z} ≤ z -2 (z -1 x) sii -1 ≤1 .2 .
(c) Si P1 ⊆ P2 , entonces sup{x, z} ≤ z .2 (z .1 x) sii .1 ≤2 -2 .
donde ≤ podría ser ≤3 o ≤1 , según sea P1 ⊆ P3 o P3 ⊆ P1 , respectivamente.
Demostración. La demostración es similar a la de la Proposición 3.16, considerando los Lemas 3.1 y 3.2.
Obsérvese que si P1 y P2 tienen un máximo >1 y >2 , respectivamente,
los cuales son elementos identidad por la izquierda y por la derecha para
&2 , respectivamente, entonces los enunciados (1)(b) y (2)(b) de la Proposición 3.17 parecen el mismo. Sin embargo, (1)(b) es más restrictivo que
(2)(b), ya que en (2)(b) se considera x ∈ P1 mientras que en (1)(b) el antecedente de -1 es y que es un elemento de P2 , quien a su vez es un subconjunto de P1 . Por tanto, en (1)(b) se puede considerar cualquier valor de
P1 y en (2)(b) solo un subconjunto P2 ⊆ P1 . Análogamente (2)(c) es más
restrictivo que (1)(c). En el caso en que P1 = P2 , entonces (1)(b) y (2)(b) son
de hecho el mismo, al igual que ocurriría con (1)(c) y (2)(c).
El siguiente resultado proporciona una caracterización sobre la comparación de las implicaciones adjuntas.
Proposición 3.18. Para todo x ∈ P1 , y ∈ P2 , z ∈ P3 , se satisface que:
(1) Si existe el supremo de cada par de elementos en P1 , P3 ⊆ P1 y P2 tiene un
máximo >2 como elemento identidad por la derecha para &2 , entonces
(a) z -1 sup{z, x} ≤2 z -2 x si y solo si -1 ≤2 -2 .
(b) z -1 sup{z, y} ≤1 z .2 y si y solo si -1 ≤1 .2 , si P2 ⊆ P1 .
(c) z -1 sup{z, x} ≤2 z .2 x si y solo si -1 ≤2 .2 , si P1 ⊆ P2 .
(2) Si existe el supremo de cada par de elementos en P2 , P3 ⊆ P2 y P1 tiene un
máximo >1 como elemento identidad por la izquierda para &2 , entonces
78
3.3. P ROPIEDADES GENERALES DE LOS TRIPLES ADJUNTOS
(a) z .1 sup{z, y} ≤1 z .2 y si y solo si .1 ≤1 .2 .
(b) z .1 sup{z, y} ≤1 z -2 y si y solo si .1 ≤1 -2 , si P2 ⊆ P1 .
(c) z .1 sup{z, x} ≤2 z -2 x si y solo si .1 ≤2 -2 , si P1 ⊆ P2 .
Demostración. Bastará con probar el enunciado (1)(a), el resto de enunciados se demuestran de manera análoga. Así pues, asumimos que P3 ⊆ P1 .
Por un lado, supongamos que -1 ≤2 -2 . Como x ≤1 sup{z, x} y -1 es
decreciente en el segundo argumento, se satisface que z -1 sup{z, x} ≤2
z -1 x. Por tanto, la desigualdad z -1 sup{z, x} ≤2 z -1 x ≤2 z -2 x se
cumple al ser -1 ≤2 -2 .
Por otro lado, supongamos que z -1 sup{z, x} ≤2 z -2 x. Entonces,
se verifica la desigualdad z -1 sup{z, x} ≤2 z -2 x, la cual es equivalente
a x &2 (z -1 sup{z, x}) ≤3 z por la propiedad de adjunción. Aplicando de
nuevo la propiedad de adjunción, se obtiene x ≤1 z .2 (z -1 sup{z, x}).
Ahora, la desigualdad z ≤1 z .2 (z -1 sup{z, x}) se consigue de manera directa al ser equivalente a z &2 (z -1 sup{z, x}) ≤3 z, y esta última
expresión es cierta por ser z &2 >2 = z.
Por consiguiente, se obtiene que sup{z, x} ≤1 z .2 (z -1 sup{z, x}), y
como P3 ⊆ P1 , aplicando la Proposición 3.16(2)(b), se verifica la desigualdad -1 ≤2 -2 .
Como comentamos al principio de esta sección, estos últimos resultados son generalizaciones de varios de los dados en [40]. En concreto,
las equivalencias (1) y (2) de la Proposición 3.14 son casos particulares de
las Proposiciones 3.15, 3.16 y 3.17 introducidas aquí. Además, la Proposición 3.18 muestra diferentes generalizaciones de la equivalencia (3) de la
Proposición 3.14, la cual fue introducida en [40].
A lo largo del capítulo, hemos presentado un estudio sobre la teoría
de triples adjuntos que incluye multitud de propiedades y aplicaciones.
79
C APÍTULO 3. Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
También se ha destacado el uso de los triples adjuntos por pares proporcionando más flexibilidad aún, lo que ha dado lugar a introducir la definición de tres nuevas estructuras algebraicas: las álgebras multiadjuntas
por la derecha, las álgebras multiadjuntas por la izquierda y las álgebras
multiadjuntas implicativas. En la siguiente sección, seguiremos estudiando los triples adjuntos pero esta vez desde una perspectiva diferente. Introduciremos la noción de implicaciones adjuntas “duales” y probaremos
que dichas implicaciones no se pueden definir en álgebras multiadjuntas
birresiduadas.
3.4.
Implicaciones adjuntas “duales”
En diversas ocasiones, se relacionan marcos de trabajo, en principio diferentes, considerando en un entorno los operadores duales usados en el
otro. Por ejemplo, en [82], los retículos de conceptos orientados a propiedades y orientados a objetos surgen cuando los duales de los operadores
considerados en el análisis de conceptos formales difusos se usan en los
retículos de conceptos orientados a propiedades y en los retículos de conceptos orientados a objetos. Además, en [9], las ecuaciones de relaciones
difusas con los operadores supremo t-norma y con los operadores ínfimoresiduo también se han relacionado por dualidad.
Sin embargo, las propiedades de los operadores y sus duales no se pueden usar, en general, en el mismo marco de trabajo como mostraremos a
continuación.
Considerando un triple adjunto (&, ., -) con respecto a los conjuntos
parcialmente ordenados (P1 , ≤1 ), (P2 , ≤2 ), (P3 , ≤3 ) y los órdenes duales
(la definición de orden dual fue introducida en el Capítulo 2), podemos
reescribir la propiedad de adjunción de la siguiente manera:
z . y ≤∂1 x
si y solo si
z ≤∂3 x & y
80
si y solo si z - x ≤∂2 y
(3.5)
3.4. I MPLICACIONES ADJUNTAS “ DUALES ”
Esta equivalencia nos lleva a la siguiente definición.
Definición 3.10. Consideremos (P1 , ≤1 ), (P2 , ≤2 ) y (P3 , ≤3 ) tres conjuntos parcialmente ordenados y los operadores & : P1 × P2 → P3 , .d : P3 × P2 → P1 ,
-d : P3 × P1 → P2 . Para todo x ∈ P1 , y ∈ P2 y z ∈ P3 , decimos que:
(1) (&, .d ) es un par adjunto dual por la derecha si satisface la equivalencia
z .d y ≤1 x si y solo si z ≤3 x & y.
(2) (&, -d ) es un par adjunto dual por la izquierda si se verifica la equivalencia z -d x ≤2 y si y solo si z ≤3 x & y.
(3) (.d , -d ) es un par de Galois débil dual si se satisface la equivalencia
z .d y ≤1 x si y solo si z -d x ≤2 y.
El triple (&, .d , -d ) es un triple adjunto dual si (&, .d ) y (&, -d ) son
pares adjuntos duales por la derecha y por la izquierda respectivamente.
Claramente, la definición de triple adjunto dual puede venir dada a
partir de dos pares cualesquiera de la Definición 3.10. Además, para los
pares (resp. triples) duales se pueden probar propiedades similares a las
dadas anteriormente para los pares (resp. triples) adjuntos.
Es importante destacar que, aunque la Equivalencia (3.5) está relacionada con la definición previa, las nociones de triple adjunto y triple adjunto dual no son equivalentes en general, como se deduce a partir de los
siguientes resultados.
Proposición 3.19. Sea (P1 , ≤1 , ⊥1 ) un conjunto parcialmente ordenado y acotado inferiormente, (P2 , ≤2 , >2 ) un conjunto parcialmente ordenado y acotado
superiormente y (P3 , ≤3 , ⊥3 , >3 ) un conjunto parcialmente ordenado y acotado
tal que ⊥3 6= >3 . Si existe un par adjunto por la derecha (&, .) con respecto
a P1 , P2 y P3 entonces no existe el par adjunto dual por la izquierda (&, -d ) y
viceversa.
81
C APÍTULO 3. Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
Demostración. Por hipótesis y por la Proposición 3.2(2), la condición de
frontera ⊥1 & y = ⊥3 se verifica para todo y ∈ P2 . Ahora, supongamos que
existe -d satisfaciendo que el par (&, -d ) es un par adjunto dual por la
izquierda. Entonces, a partir de la propiedad de adjunción de & y -d , se
obtiene la igualdad x & >2 = >3 , para todo x ∈ P1 . Por consiguiente, a
partir de ambas igualdades, obtenemos la cadena ⊥3 = ⊥1 & >2 = >3 , la
cual nos lleva a una contradicción. Por tanto, el operador -d no existe.
El recíproco se demuestra de manera análoga.
Considerando pares adjuntos por la izquierda se obtiene un resultado
análogo al anterior.
Teniendo en cuenta el resultado anterior, podemos afirmar que dado
un triple adjunto (&, ., -) con respecto a los conjuntos parcialmente ordenados y acotados (P1 , ≤1 , ⊥1 , >1 ), (P2 , ≤2 , ⊥2 , >2 ), (P3 , ≤3 , ⊥3 , >3 ), las
implicaciones adjuntas “duales” .d y -d formando un triple adjunto dual
(&, .d , -d ) no existen. Por tanto, no podemos definir las siguientes álgebras:
P1 = (P1 , P2 , P3 , ≤1 , ≤2 , ≤3 , &, ., -d )
P2 = (P1 , P2 , P3 , ≤1 , ≤2 , ≤3 , &, -, .d )
P3 = (P1 , P2 , P3 , ≤1 , ≤2 , ≤3 , &, ., -, .d , -d )
Consecuentemente, el conjuntor de un triple adjunto no puede ser el conjuntor de un triple adjunto dual y viceversa.
El siguiente corolario surge a partir de las proposiciones anteriores y
las propiedades de los triples adjuntos duales.
Corolario 3.2. Si (P1 , ≤1 ) es un semirretículo inferior, (P2 , ≤2 ) es un semirretículo superior y (L3 , 3 ) es un retículo completo tal que ⊥3 6= >3 , entonces no
existe un operador & : P1 × P2 → L3 satisfaciendo, para todo X ⊆ P1 e Y ⊆ P2 :
^
^
_
_
(
xi ) & y = (xi & y)
x &(
yj ) =
(x & yj )
(3.6)
xi ∈X
xi ∈X
yj ∈Y
82
yj ∈Y
3.4. I MPLICACIONES ADJUNTAS “ DUALES ”
Demostración. Supongamos que existe el operador & : P1 × P2 → L3 conservando el ínfimo en el primer argumento y el supremo en el segundo
argumento. Entonces para cada X ⊆ P1 e y ∈ P2 , se satisface la igualdad:
(
^
xi ) & y =
xi ∈X
^
(xi & y)
xi ∈X
En particular, si X = ∅ obtenemos que >1 & y = >3 , para todo y ∈ P2 .
Además, ya que & conserva el supremo en el segundo argumento, se cumple:
x &(
_
yj ) =
yj ∈Y
_
(x & yj )
yj ∈Y
para todo x ∈ P1 e Y ⊆ P2 . Por tanto, considerando Y = ∅, la igualdad
x & ⊥2 = ⊥3 se verifica para todo x ∈ P1 .
Por consiguiente, a partir de ambas igualdades, se obtiene la cadena
⊥3 = >1 & ⊥2 = >3 , la cual contradice que ⊥3 6= >3 .
Nótese que en la demostración del resultado anterior hemos usado una
propiedad bien conocida, esta es, el supremo del conjunto vacío es el elemento mínimo del retículo y el ínfimo del conjunto vacío es el elemento
máximo del retículo.
Análogamente, se prueba el siguiente corolario.
Corolario 3.3. Dado un semirretículo superior (P1 , ≤1 ), un semirretículo inferior (P2 , ≤2 ) y un retículo completo (L3 , 3 ) tal que ⊥3 6= >3 , no existe un
operador & : P1 × P2 → L3 conservando ínfimos de cualquier subconjunto de P2
y supremos de cualquier subconjunto de P1 :
x &(
^
yj ∈Y
yj ) =
^
(x & yj )
(
yj ∈Y
_
xi ∈X
xi ) & y =
_
(xi & y)
(3.7)
xi ∈X
Asumir operadores particulares satisfaciendo varias propiedades que
impliquen la Ecuación (3.6), fue el principal problema que surgió en [113],
83
C APÍTULO 3. Á LGEBRAS MULTIADJUNTAS
el cual se observó en [62] y se aclaró en [112]. Por tanto, los resultados anteriores fijan la imposibilidad de asumir estas propiedades en operadores
particulares.
Es importante destacar que se pueden obtener resultados similares a
los dados en esta sección cuando se fija una implicación, en lugar del conjuntor &, y se considera el conjuntor y la implicación dual asociada.
84
Capítulo 4
Estudio comparativo con álgebras
multiadjuntas
En los distintos enfoques lógicos desarrollados en las últimas décadas,
se han llevado a cabo tanto el estudio de los operadores algebraicos relacionados con los conectivos lógicos, como un análisis detallado de las
relaciones existentes entre dichos conectivos. En este capítulo seguiremos
en dicha línea de trabajo, comparando los operadores que forman las álgebras multiadjuntas con algunos de los operadores algebraicos más generales usados en diferentes ambientes para reducir los requisitos matemáticos
exigidos en ellos.
Comenzaremos analizando qué relación existe entre los triples adjuntos y otros operadores llamados triples de implicación, lo que nos llevará
a presentar una definición mejorada de triple de implicación. Continuaremos presentando la comparativa con las álgebras implicativas de orden
extendido y con las álgebras conjuntivas dadas por las estructuras de agregación conservando supremos, los cuantales, las u-normas y las uninormas. El estudio realizado muestra que en dominios en los que se necesitan implicaciones residuadas, como el análisis de conceptos formales, los
C APÍTULO 4. E STUDIO COMPARATIVO CON ÁLGEBRAS MULTIADJUNTAS
conjuntos rugosos difusos, las ecuaciones de relaciones difusas y la lógica
difusa, las álgebras multiadjuntas unifican dichas estructuras.
Para facilitar el seguimiento y la comprensión de los resultados presentados, dividiremos el capítulo en tres partes: la primera parte mostrará
la comparación con otro tipo de álgebra residuada, la segunda parte vendrá caracterizada por las álgebras implicativas y la última por las álgebras
conjuntivas.
4.1.
Comparación con otras álgebras residuadas
Dos de los retículos residuados más generales que aparecen en la literatura son las álgebras multiadjuntas (asociadas a los triples adjuntos) y
las álgebras de adjunción (asociadas a los triples de implicación). De este hecho surge nuestro interés por establecer la comparación entre ambas
estructuras algebraicas.
4.1.1.
Álgebras de adjunción
El objetivo de esta sección es relacionar los triples adjuntos con los triples de implicación, por lo que las propiedades se desarrollarán con el fin
de alcanzar este propósito.
En primer lugar, pasamos a introducir la definición de triple de implicación y de álgebra de adjunción, que se presentaron en [91] y que se
utilizaron, por ejemplo, para definir una estructura más compleja: la lógica de implicaciones ligadas [92, 93, 94]. Además, muchas propiedades
correspondientes a estas estructuras se han estudiado en [1, 95].
Definición 4.1. Sean (L, ≤L ) (P, ≤P ) dos conjuntos parcialmente ordenados con
un elemento máximo >P en (P, ≤P ). Un álgebra de adjunción es una 8-tupla
(L, ≤L , P, ≤P , >P , A, K, H), satisfaciendo las siguientes condiciones:
86
4.1. C OMPARACIÓN CON OTRAS ÁLGEBRAS RESIDUADAS
(1) La aplicación A : P × L → L es decreciente en el argumento de la izquierda
y creciente en el argumento de la derecha, y tiene a >P como elemento identidad por la izquierda, esto es A(>P , γ) = γ, para todo γ ∈ L. Decimos que
A es una implicación sobre (L, P ).
(2) La aplicación K : P × L → L es creciente en cada argumento y tiene a >P
como elemento identidad por la izquierda, esto es K(>P , β) = β, para todo
β ∈ L. Decimos que K es una conjunción sobre (L, P ).
(3) La aplicación H : L × L → P es decreciente en el argumento de la izquierda
y creciente en el argumento de la derecha, y satisface, para todo β, γ ∈ L,
que
H(β, γ) = >P
si y solo si
β ≤L γ
Decimos que H es una implicación forzada sobre L.
(4) Las tres aplicaciones A, K y H están mutuamente relacionadas, para todo
α ∈ P y β, γ ∈ L, por la siguiente condición:
β ≤L A(α, γ) si y solo si K(α, β) ≤L γ
si y solo si α ≤P H(β, γ)
Esta condición recibe el nombre de condición de adjunción.
Llamaremos al triple ordenado (A, K, H) triple de implicación sobre (L, P ).
Un retículo de adjunción es un álgebra de adjunción cuyos dos conjuntos parcialmente ordenados subyacentes son retículos. Un retículo de adjunción
completo es un álgebra de adjunción sobre dos retículos completos. Una cadena
adjunta es un retículo de adjunción cuyos dos órdenes son lineales.
La siguiente proposición recuerda varias propiedades introducidas en
[95] y que fueron presentadas en las Proposiciones 3.7 y 3.8 del Capítulo 3
en la notación de los triples adjuntos. Debemos destacar también que todas
las propiedades que se han demostrado en [1, 91, 93] pueden usarse en el
ambiente de los triples adjuntos, cuando éste es el restringido de los triples
de implicación.
87
C APÍTULO 4. E STUDIO COMPARATIVO CON ÁLGEBRAS MULTIADJUNTAS
Proposición 4.1 ([95]). Sea (L, ≤L , P, ≤P , >P , A, K, H) un álgebra de adjunción. Para todo x, y, z ∈ L y a, b ∈ P , las siguientes identidades y desigualdades
son equivalentes:
(1) A(a, A(b, z)) = A(b, A(a, z)) (principio de intercambio para A)
(2) K(a, A(b, z)) ≤L A(b, K(a, z))
(3) K(a, K(b, z)) = K(b, K(a, z)) (principio de intercambio para K)
(4) H(y, z) ≤P H(K(a, y), K(a, z))
(5) H(x, A(a, y)) = H(K(a, x), y)
(6) K(H(z, y), x) ≤L A(H(x, z), y)
(7) H(y, z) ≤P H(A(a, y), A(a, z))
Las propiedades que introduciremos a continuación, constituyen el primer paso para relacionar los triples adjuntos con los triples de implicación.
Para esto, debemos tener en cuenta que, en las implicaciones de los triples adjuntos, el antecedente es evaluado en el argumento de la derecha
y el consecuente en el argumento de la izquierda, y que esta evaluación
es la opuesta en las implicaciones de los triples de implicación, es decir,
el antecedente se evalúa en el argumento de la izquierda y el consecuente
en el de la derecha. De aquí en adelante, fijamos los conjuntos parcialmente ordenados (P1 , ≤1 ), (P2 , ≤2 ) y (P3 , ≤3 ), el triple adjunto (&, ., -)
y las aplicaciones opuestas de las implicaciones adjuntas . y -, esto es,
.op : P2 × P3 → P1 , -op : P1 × P3 → P2 , definidas como y .op z = z . y
y x -op z = z - x, para todo x ∈ P1 , y ∈ P2 y z ∈ P3 .
A continuación, se presentan los primeros resultados técnicos que relacionan la propiedad de implicación forzada con las condiciones de frontera.
88
4.1. C OMPARACIÓN CON OTRAS ÁLGEBRAS RESIDUADAS
Proposición 4.2. Si P2 ⊆ P3 y P1 tiene un máximo >1 , entonces se cumple la
siguiente equivalencia:
.op es una implicación forzada
si y solo si
>1 & y = y, para todo y ∈ P2
Demostración. La condición necesaria se obtiene por el Lema 3.1.
Para probar la condición suficiente, se recurrirá a la propiedad antisimétrica de la relación de orden ≤3 . En primer lugar, supongamos que
>1 = z . y si y solo si y ≤3 z, para todo y ∈ P2 , z ∈ P3 . Por tanto, dado
y ∈ P2 y suponiendo z = y, como y ≤3 y, se obtiene que >1 = y . y, lo
cual es equivalente, aplicando la propiedad de adjunción, a >1 & y ≤3 y.
Por otro lado, por la Proposición 3.2(3), se verifica >1 ≤1 (>1 & y) . y, y
como (>1 & y) . y ≤1 >1 , se cumple la igualdad >1 = (>1 & y) . y, que
por hipótesis implica que y ≤3 >1 & y. Por consiguiente, las dos desigualdades obtenidas para cada y ∈ P2 prueban la condición de frontera.
Proposición 4.3. Si P1 ⊆ P3 y P2 tiene un máximo >2 , entonces se cumple la
siguiente equivalencia:
-op es una implicación forzada
si y solo si
x & >2 = x, para todo x ∈ P1
Demostración. La demostración es similar a la de la Proposición 4.2, usando el Lema 3.2.
El segundo paso viene dado por los siguientes resultados que relacionan la propiedad de implicación de los triples de implicación (introducida
en la Definición 4.1(1)) con las condiciones de frontera. Obsérvese que las
propiedades asumidas en la siguiente proposición nos permiten considerar que P3 = P2 o P3 = P1 , dependiendo de la implicación asumida y la
condición de frontera.
Proposición 4.4. Si P3 = P2 y P1 tiene un máximo >1 , entonces se obtiene la
siguiente equivalencia:
z - >1 = z, para todo z ∈ P3
si y solo si
89
>1 & y = y, para todo y ∈ P2
C APÍTULO 4. E STUDIO COMPARATIVO CON ÁLGEBRAS MULTIADJUNTAS
Demostración. En primer lugar, supongamos z - >1 = z, para todo z ∈
P3 . Dado y ∈ P2 , como por hipótesis P3 = P2 , entonces se verifica que
y - >1 = y. En particular, y ≤2 y - >1 , lo cual es equivalente, por la
propiedad de adjunción, a la desigualdad >1 & y ≤3 y.
Ahora probaremos la otra desigualdad. Por la Proposición 3.4(3) tenemos que y ≤2 (>1 & y) - >1 , y como >1 & y ∈ P3 , por hipótesis se obtiene
que (>1 & y) - >1 = >1 & y. Por tanto, y ≤2 >1 & y, que junto con la otra
desigualdad prueba que >1 & y = y, para cada y ∈ P2 .
Por otro lado, supongamos que >1 & y = y, para todo y ∈ P2 . Como
z - >1 ∈ P2 , se obtiene z - >1 = >1 &(z - >1 ), y por la Proposición 3.4(3), se verifica que >1 &(z - >1 ) ≤3 z, lo que nos lleva a concluir
que z - >1 ≤2 z, considerando P3 = P2 .
La otra desigualdad se prueba asumiendo y = z. Al ser >1 & z = z, en
particular se obtiene que >1 & z ≤3 z, y por la propiedad de adjunción, se
satisface que z ≤2 z - >1 .
Finalmente, de ambas desigualdades, se concluye que z - >1 = z. Surge un resultado similar cuando se considera P1 = P3 .
Proposición 4.5. Si P1 = P3 y P2 tiene un máximo >2 , entonces se satisface la
siguiente equivalencia:
z . >2 = z, para todo z ∈ P3
si y solo si
x & >2 = x, para todo x ∈ P1
Demostración. La demostración se sigue de forma similar a la dada en la
Proposición 4.4.
Como consecuencia de los resultados anteriores, se demuestran los siguientes teoremas que relacionan la implicación adjunta con los triples de
implicación. El primero presenta condiciones suficientes para obtener un
triple de implicación a partir de un triple adjunto.
90
4.1. C OMPARACIÓN CON OTRAS ÁLGEBRAS RESIDUADAS
Teorema 4.1. Sea (&, ., -) un triple adjunto con respecto a los conjuntos parcialmente ordenados (P1 , ≤1 ), (P2 , ≤2 ), (P3 , ≤3 ). Si P2 = P3 y P1 tiene un máximo >1 como elemento identidad por la izquierda para &, entonces (&, .op , -op )
es un triple de implicación.
Demostración. Si el triple adjunto (&, ., -) satisface que >1 & y = y, para todo y ∈ P2 , entonces, por la Proposición 4.2, el operador .op es una
implicación forzada y, por la Proposición 4.4, el operador -op es una implicación. Por tanto, (&, .op , -op ) es un triple de implicación.
El segundo teorema prueba que todo triple de implicación es un triple
adjunto.
Teorema 4.2. Si (A, K, H) es un triple de implicación con respecto a dos conjuntos parcialmente ordenados (L, ≤L ) y (P, ≤P ) tales que >P es el elemento máximo
en (P, ≤P ), entonces (K, H op , Aop ) es un triple adjunto con respecto a P , L, L,
donde H op (γ, β) = H(β, γ) y Aop (γ, α) = A(α, γ).
Por consiguiente, la definición de triple adjunto es más general que la
de triple de implicación. Además, por los resultados anteriores, podemos
dar la siguiente caracterización de los triples de implicación.
Definición 4.2. Sean (L, ≤L ) y (P, ≤P ) dos conjuntos parcialmente ordenados
con un elemento máximo >P en (P, ≤P ). Un triple de implicación (A, K, H) es
un triple ordenado en el que A : P × L → L, H : L × L → P , K : P × L → L
verifican la condición de adjunción, y K tiene a >P ∈ P como elemento identidad
por la izquierda.
Por tanto, en lugar de decir que (A, K, H) es un triple de implicación, podríamos decir que es un triple de implicación por la izquierda, puesto que K
satisface la identidad por la izquierda.
Por la Proposición 4.2, exigir que K tenga al máximo >P como elemento identidad por la izquierda es equivalente a requerir que H sea una
implicación forzada, por lo que se deduce el siguiente corolario.
91
C APÍTULO 4. E STUDIO COMPARATIVO CON ÁLGEBRAS MULTIADJUNTAS
Corolario 4.1. Sean (L, ≤L ) y (P, ≤P ) dos conjuntos parcialmente ordenados
con un elemento máximo >P en (P, ≤P ). Un triple de implicación (A, K, H) es
un triple ordenado en el que A : P × L → L, H : L × L → P , K : P × L → L
verifican la condición de adjunción y H es una implicación forzada sobre L.
Igualmente, se define el triple de implicación por la derecha como sigue:
Definición 4.3. Sean (L, ≤L ) y (P, ≤P ) dos conjuntos parcialmente ordenados
con un elemento máximo >P en (P, ≤P ). Un triple de implicación por la derecha (A, K, H) es un triple ordenado en el que A : P × L → L, H : L × L → P ,
K : P × L → L verifican la condición de adjunción, y K tiene a >P ∈ P como
elemento identidad por la derecha.
Como consecuencia, si P = L, (A, K, H) puede ser un triple de implicación por la izquierda y por la derecha.
Definición 4.4. Sea (L, ≤L ) un conjunto parcialmente ordenado. Si (A, K, H)
es un triple de implicación por la izquierda y por la derecha en L, entonces el triple
(A, K, H) recibe el nombre de triple de implicación total.
La diferencia entre un triple adjunto y un triple de implicación puede
que no sea muy grande en los ejemplos prácticos. Concretamente, en programación lógica multiadjunta, un retículo multiadjunto es un caso particular de un retículo de adjunción completo. Sin embargo, existen casos
en los que la diferencia es significativa; por ejemplo, se podrían considerar tres conjuntos parcialmente ordenados diferentes como dominios en el
campo de trabajo de los retículos de conceptos multiadjuntos, lo cual no es
posible en un álgebra de adjunción; además, el operador conjuntor, en este
ambiente del análisis de conceptos formales difuso, no tiene la obligación
de satisfacer la identidad por la izquierda. Por el contrario, debemos exigir
que dos de los tres conjuntos parcialmente ordenados sean retículos (completos), lo cual no se supone originalmente cuando asumimos un triple de
implicación.
92
4.1. C OMPARACIÓN CON OTRAS ÁLGEBRAS RESIDUADAS
En el ejemplo que se muestra a continuación, presentamos unos triples
adjuntos que se compararán con la definición de triple de implicación. Estos triples adjuntos se usan en [86] para recuperar información de una base
de datos relacional obtenida a partir del journal citation reports. Además, se
pueden aplicar a una amplia gama de casos, tales como problemas en los
que se utilizan varias t-normas en el mismo marco o cuando es necesario
una mayor flexibilidad en los dominios.
Ejemplo 4.1. En [86], los autores consideran un marco multiadjunto con tres
retículos diferentes: uno para el manejo de la información tomada del journal
citation reports, en el que se redondea a la segunda cifra decimal; un segundo
retículo para manejar información sobre los atributos, en el que se estima pasos
de 0.05 a fin de distinguir o apreciar una diferencia cualitativa; y un tercero, que
se utiliza para establecer los diferentes niveles de preferencia del journal citation
reports, el cual se considera que es de 0.125 (por lo tanto, el intervalo unidad se
divide en ocho partes iguales)
Por consiguiente, se asume el marco multiadjunto
([0, 1]20 , [0, 1]8 , [0, 1]100 , ≤, ≤, ≤, &∗P , &∗L )
donde &∗P : [0, 1]20 × [0, 1]8 → [0, 1]100 y &∗L : [0, 1]20 × [0, 1]8 → [0, 1]100 son
las discretizaciones de los conjuntores producto y Łukasiewicz, respectivamente,
definidas para cada x ∈ [0, 1]20 e y ∈ [0, 1]8 como:
x &∗P y =
d100 · x · ye
100
x &∗L y =
d100 · máx{0, x + y − 1}e
100
donde d _ e es la función parte entera superior.
Sus correspondientes implicaciones residuadas .∗P , .∗L : [0, 1]100 × [0, 1]8 →
[0, 1]20 y -∗P , -∗L : [0, 1]100 × [0, 1]20 → [0, 1]8 se definen como:
b8 · mı́n{1, z/x}c
8
b8
·
mı́n{1,
1 + z − x}c
z -∗L x =
8
b20 · mı́n{1, z/y}c
20
b20
·
mı́n{1,
1
+ z − y}c
z .∗L y =
20
z -∗P x =
z .∗P y =
93
C APÍTULO 4. E STUDIO COMPARATIVO CON ÁLGEBRAS MULTIADJUNTAS
donde b _ c es la función parte entera inferior.
Considerando los triples adjuntos dados, se satisface que (&∗P , .∗P , -∗P ) es
un triple adjunto, pero no es un triple de implicación. Este operador no es ni
conmutativo ni asociativo, y además, no satisface que 1 sea elemento identidad por
la izquierda para &∗P , esto es, existe un elemento y ∈ [0, 1]8 tal que 1 &∗P y 6= y. Por
ejemplo, si y = 0.625, entonces 1 &∗P 0.625 = 0.63. Además, [0, 1]8 6= [0, 1]100 . Atendiendo a los resultados presentados en esta sección, podemos concluir que las álgebras multiadjuntas son menos restrictivas que las álgebras de adjunción, de hecho, hemos demostrado que varias de las condiciones exigidas en la definición de triples de implicación no son necesarias.
4.2.
Comparación con álgebras implicativas
En lógica difusa uno de los conceptos más discutidos es el de implicación, de hecho, existe un amplio número de trabajos que tratan este concepto [1, 54, 61]. A partir de dicho conectivo lógico, se construyen distintas estructuras algebraicas que reciben el nombre de álgebras implicativas, una de las más generales son las álgebras de orden extendido. El
estudio detallado sobre las álgebras orden extendido, que presentamos a
continuación, persigue justificar o discutir los requisitos básicos que deben
satisfacer estas álgebras implicativas, en cuanto a la completitud, la distributividad y la simetría, a fin de establecer su relación con las álgebras de
adjunción y las álgebras multiadjuntas.
4.2.1.
Álgebras de orden extendido con una implicación
C. Guido y P. Toto [60] introdujeron las álgebras de orden extendido
como álgebras implicativas que generalizan las estructuras residuadas, las
álgebras de Hilbert, las BCK álgebras, etc.
94
4.2. C OMPARACIÓN CON ÁLGEBRAS IMPLICATIVAS
Las álgebras de orden extendido se han estudiado ampliamente en [37,
38, 60]. A continuación, recordaremos las estructuras algebraicas dadas
en estos artículos y compararemos dichas estructuras con las álgebras de
adjunción y las álgebras multiadjuntas.
A partir de la noción de w-eo álgebra, se irán introduciendo el resto de
estructuras que se presentaron en [37, 38, 60].
Definición 4.5 ([60]). Sea P un conjunto no vacío, → : P × P → P una operación binaria y > un elemento fijado de P . El triple (P, →, >) es un álgebra
de orden extendido débil, de manera abreviada w-eo álgebra, si para todo
a, b, c ∈ P las siguientes condiciones se verifican1 :
(o1 ) a → > = > (condición de cota superior)
(o2 ) a → a = > (condición de reflexividad)
(o3 ) a → b = > y b → a = > entonces a = b (condición de asimetría)
(o4 ) a → b = > y b → c = > entonces a → c = > (condición de transitividad
débil)
Considerando una w-eo álgebra (P, →, >), se puede definir un orden ≤
sobre el conjunto P , el cual proporciona a (P, ≤) la estructura de conjunto
parcialmente ordenado. Esta relación se define como sigue:
a≤b
si y solo si
a → b = >, para todo a, b ∈ P
(4.1)
Directamente, ≤ es una relación de orden en P llamada orden natural en
P [60]. Obsérvese que el conjunto parcialmente ordenado (P, ≤) tiene un
elemento máximo que coincide con el elemento fijado > de P .
En [38, 60] se introducen otras estructuras interesantes que surgen cuando el conjunto parcialmente ordenado (P, ≤) asociado con la w-eo álgebra
1
Los nombres de estas propiedades son los que se usan en [60].
95
C APÍTULO 4. E STUDIO COMPARATIVO CON ÁLGEBRAS MULTIADJUNTAS
(P, →, >) es un retículo completo. En este caso, decimos que (P, →, >) es
una w-eo álgebra completa, de forma abreviada w-ceo álgebra, y escribiremos
L y en lugar de P y ≤, respectivamente.
Otra estructura importante es la w-ceo álgebra distributiva por la derecha.
Definición 4.6 ([38]). Sea (L, ) un retículo completo cuyo elemento máximo
es > y sea → : L × L → L una operación binaria. El triple (L, →, >) es una
w-ceo álgebra distributiva por la derecha, si es una w-ceo álgebra y verifica la
siguiente condición:
(d0r ) para cualquier a ∈ L, B ⊆ L : a →
^
b∈B
b=
^
(a → b)
b∈B
Una vez recordadas las nociones de w-eo álgebra y w-ceo álgebra distributiva por la derecha, presentaremos varios resultados que relacionan
estas nociones con los triples de implicación introducidos en [91] (Definición 4.1).
El siguiente resultado se obtiene porque la Equivalencia (4.1) coincide
con la propiedad de implicación forzada.
Proposición 4.6. Dado un conjunto parcialmente ordenado (P, ≤) con un elemento máximo > y → : P × P → P una implicación forzada sobre P , entonces
(P, →, >) es una w-eo álgebra.
Demostración. Como → : P × P → P es una implicación forzada sobre P ,
entonces la Equivalencia (4.1) se verifica, lo que claramente proporciona
las Propiedades (o1), (o2), (o3) y (o4).
Por tanto, si (P, ≤P , P, ≤P , >P , A, K, H) es un álgebra de adjunción entonces el triple (P, H, >P ) es una w-eo álgebra.
96
4.2. C OMPARACIÓN CON ÁLGEBRAS IMPLICATIVAS
El próximo resultado establece que cada triple de implicación sobre un
retículo completo proporciona una w-ceo álgebra distributiva por la derecha, si consideramos la implicación forzada H del triple de implicación
como el operador →.
Proposición 4.7. Sea (L, ) un retículo completo y (A, K, H) un triple implicación sobre (L, L). Entonces, el triple (L, H, >L ) es una w-ceo álgebra distributiva
por la derecha.
Demostración. Dado un triple de implicación (A, K, H) sobre (L, L), ya que
H es una implicación forzada sobre L, aplicando la Proposición 4.6 obtenemos que (L, H, >L ) es una w-eo álgebra. Además, al ser (L, ) un retículo
completo, podemos afirmar también que (L, H, >L ) es una w-ceo álgebra.
V
V
Por tanto, solo quedaría probar que H(a, b∈B b) = b∈B H(a, b), para todo
a ∈ L y B ⊆ L.
Teniendo en cuenta la monotonía de H, obtenemos que H(a,
V
b∈B
b) H(a, b) para todo a ∈ L y B ⊆ L. Ahora, aplicando la propiedad del ínfimo
V
V
se verifica que H(a, b∈B b) b∈B H(a, b).
La otra desigualdad se prueba a través de la siguiente cadena de desigualdades equivalentes, la cual se obtiene a partir de la propiedad de
adjunción y de la propiedad del ínfimo.
^
H(a, b) H(a, b)
b∈B
K(
^
H(a, b), a) b
b∈B
K(
^
H(a, b), a) b∈B
^
b
b∈B
^
H(a, b) H(a,
b∈B
^
b)
b∈B
Por tanto, concluimos que (L, H, >L ) es una w-ceo álgebra distributiva
por la derecha.
97
C APÍTULO 4. E STUDIO COMPARATIVO CON ÁLGEBRAS MULTIADJUNTAS
La siguiente proposición muestra que se necesita una propiedad extra
para obtener un resultado similar al anterior, pero ahora con respecto a la
implicación A.
Proposición 4.8. Sea (L, ) un retículo completo y (A, K, H) un triple de implicación sobre (L, L). Si K(x, >L ) = x, para todo x ∈ L, entonces (L, A, >L ) es
una w-ceo álgebra distributiva por la derecha.
Demostración. Teniendo en cuenta la Proposición 4.3 obtenemos que A es
una implicación forzada sobre L y, por tanto, la prueba es similar a la de
la Proposición 4.7.
Como consecuencia de la Proposición 4.7 y de la comparación entre triples adjuntos y triples de implicación, se demuestra el siguiente resultado.
Proposición 4.9. Dado un retículo completo (L, ) y un par adjunto por la
derecha (&, .) con respecto a L. Si > & y = y, para todo y ∈ L, donde > es el
elemento máximo en L, entonces (L, .op , >) es una w-ceo álgebra distributiva
por la derecha.
Demostración. En primer lugar, probaremos que (L, .op , >) es una w-eo
álgebra y el orden natural en L es . Por hipótesis, se cumple la igualdad
> & y = y para todo y ∈ P , y aplicando la Proposición 4.2, obtenemos que
.op es una implicación forzada y es el orden natural en L. Por tanto,
por la Proposición 4.6, el triple (L, .op , >) es una w-ceo álgebra.
Ahora, por la Proposición 3.3, podemos afirmar que se satisface la propiedad (d0r ) y por consiguiente (L, .op , >) es una w-ceo álgebra distributiva por la derecha.
Un resultado análogo se obtiene para pares adjuntos por la izquierda.
Proposición 4.10. Dado un retículo completo (L, ) y un par adjunto por la
izquierda (&, -) con respecto a L. Si x & > = x, para todo x ∈ L, donde > es
98
4.2. C OMPARACIÓN CON ÁLGEBRAS IMPLICATIVAS
el elemento máximo en L, entonces (L, -op , >) es una w-ceo álgebra distributiva
por la derecha.
Demostración. La prueba es totalmente análoga a la de la proposición anterior.
Para demostrar el recíproco de los resultados anteriores, se necesita un
operador conjuntor. En [38, 60], a partir de una w-ceo álgebra distributiva
por la derecha (L, →, >), los autores definen un operador ⊗ : L × L → L
como:
a⊗x=
^
{t ∈ L | x a → t}
(4.2)
para todo a, x ∈ L. Sin embargo, este operador no es el conjuntor de un
triple de implicación (A, K, H) sobre (L, L), si se considera H como el operador →. De hecho, por la Proposición 4.7, (L, H, >L ) es una w-ceo álgebra
distributiva por la derecha, y por tanto, el operador anterior que ahora es
denotado por ⊗H : L × L → L, se define como:
a ⊗H x =
^
{t ∈ L | x H(a, t)}
para todo a, x ∈ L. Claramente, ⊗H no es el operador K dado en la Definición 4.1, ya que usando las propiedades de los operadores residuados
V
éste se puede definir como K(a, x) = {t ∈ L | a H(x, t)}, para todo
a, x ∈ L. Además, ellos solo pueden coincidir cuando K o ⊗H son conmutativos.
Esto implica que las propiedades mostradas en la Proposición 4.1 de
[38], no se pueden relacionar con las propiedades de los triples de implicación presentadas en [1, 93] en general. Esta situación se evitaría si ⊗H o
K fuesen conmutativos.
Por otro lado, para todo a, x ∈ L, el operador K también se puede
V
definir como K(a, x) = {t ∈ L | x A(a, t)}. En este caso, si la igualdad
K(x, >L ) = x se cumple para todo x ∈ L, a partir de la Proposición 4.8
99
C APÍTULO 4. E STUDIO COMPARATIVO CON ÁLGEBRAS MULTIADJUNTAS
deducimos que el operador ⊗A y K coinciden. Ahora, es posible relacionar
por ejemplo la Proposición 4.1 de [38] con las propiedades de los triples de
implicación asociadas con K y A [1, 93]. Concretamente, las Propiedades
(4) y (8) de la Proposición 4.1 de [38] aparecen en la Proposición 1.1 de [1]
y la Propiedad (10) aparece en el Teorema 3.2 de [93].
Una vez hecho el estudio anterior y teniendo en cuenta que para definir
formalmente las álgebras de adjunción se necesita una segunda implicación, para simplificar, solo introduciremos el recíproco de las Proposiciones 4.7, 4.8 y 4.9 para las álgebras multiadjuntas.
Proposición 4.11. Sea (L, →, >) una w-ceo álgebra distributiva por la derecha.
Entonces, existe un operador & definido sobre L tal que (L, , &, →op ) es un
álgebra multiadjunta por la derecha. En particular, el conjuntor & verifica que
> & y = y, para todo y ∈ L.
Demostración. Considerando el álgebra (L, →, >), para todo x, y ∈ L definimos el operador & : L × L → L como:
x&y =
^
{z ∈ L | x y → z}
Como por hipótesis (L, →, >) es una w-ceo álgebra distributiva por la
derecha, el operador → satisface la Propiedad (d0r ). Aplicando la Proposición 3.3 al operador →op , obtenemos que (&, →op ) es un par adjunto por la
derecha.
La condición de frontera > & y = y para todo y ∈ L, se obtiene directamente a través de la Equivalencia (4.1) y la Proposición 4.2.
Siguiendo un razonamiento análogo al empleado en la demostración
de la Proposición 4.11, si el operador & : L × L → L se define ahora como
V
x & y = {z ∈ L | y x → z}, se obtiene que (&, →op ) es un par adjunto
por la izquierda y que la condición de frontera x & > = x se verifica para
todo x ∈ L. Por consiguiente, a partir de una w-ceo álgebra distributiva
100
4.2. C OMPARACIÓN CON ÁLGEBRAS IMPLICATIVAS
por la derecha también podemos obtener un álgebra multiadjunta por la
izquierda.
Finalmente, los resultados de esta sección pueden sintetizarse en los
siguientes corolarios.
Corolario 4.2. Sea (P, ≤) un conjunto parcialmente ordenado, con un elemento
máximo >, y (&, .) un par adjunto por la derecha con respecto a P . El conjuntor
satisface que > & y = y, para todo y ∈ P , si y solo si (P, .op , >) es una w-eo
álgebra y el orden natural en P es ≤.
Análogamente se tiene el siguiente resultado.
Corolario 4.3. Sea (P, ≤) un conjunto parcialmente ordenado, con un elemento
máximo >, y (&, -) un par adjunto por la izquierda con respecto a P . El conjuntor satisface que x & > = x, para todo x ∈ P , si y solo si (P, -op , >) es una
w-eo álgebra y el orden natural en P es ≤.
En vista de los resultados anteriores, podemos concluir que las álgebras multiadjuntas son estructuras más flexibles y que sus propiedades se
pueden considerar en marcos de trabajo en los que se usen las álgebras de
orden extendido.
4.2.2.
Álgebras de orden extendido con dos implicaciones
Las estructuras presentadas en [38] fueron enriquecidas con una operación binaria adicional lo que dio lugar a un triple. Esta sección compara
este triple con los triples de implicación y los triples adjuntos.
Dada una w-ceo álgebra distributiva por la derecha (L, →, >), el nuevo
operador introducido en [38] se denota por
: L × L → L y solo necesita
satisfacer la Equivalencia (4.3) para todo a, b, c ∈ L.
ab
c si y solo si a ⊗ b c si y solo si b a → c
101
(4.3)
C APÍTULO 4. E STUDIO COMPARATIVO CON ÁLGEBRAS MULTIADJUNTAS
Primeramente, observemos que dado un triple de implicación (A, K, H)
sobre (L, L), por la Proposición 4.7 obtenemos que (L, H, >L ) es una w-ceo
álgebra distributiva por la derecha y la implicación A coincide con
sa-
tisfaciendo la Equivalencia (4.3). Sin embargo, el recíproco no se verifica
como se muestra en el siguiente resultado.
Proposición 4.12. Sea (L, →, >) una w-ceo álgebra distributiva por la derecha,
: L × L → L el operador satisfaciendo la Equivalencia (4.3) y ⊗ : L × L → L
el operador definido por la Ecuación (4.2). Entonces, los operadores
, ⊗, → no
forman un triple de implicación sobre (L, L).
Demostración. Para probar que
, ⊗, → forman un triple de implicación,
necesitamos identificar estas aplicaciones con los operadores K, H y A
introducidos en la Definición 4.1.
Puesto que → es una implicación forzada, ésta debería identificarse
con H. Sin embargo, como se estudió previamente (en la Sección 4.2.1), el
conjuntor ⊗ no puede ser K. Por tanto, → debería identificarse con A, ⊗
con K y
con H, pero esto no es posible porque, por ejemplo,
no es
una implicación forzada.
Por consiguiente, concluimos que los operadores
un triple de implicación sobre (L, L).
, ⊗, → no forman
En cambio, si el operador ⊗ se cambia por otro operador residuado
entonces sí se obtiene un triple de implicación.
Proposición 4.13. Sea (L, →, >) una w-ceo álgebra distributiva por la derecha,
: L × L → L el operador satisfaciendo la Equivalencia (4.3) y ⊗0 : L × L → L
el operador definido como:
a ⊗0 x =
para todo a, x ∈ L. El triple (
^
{t ∈ L | a x → t}
, ⊗0 , →) es un triple de implicación sobre (L, L).
102
4.2. C OMPARACIÓN CON ÁLGEBRAS IMPLICATIVAS
Demostración. El operador ⊗0 coincide con el operador K dado en la Definición 4.1, ya que K puede ser definido a partir de H como K(a, x) =
V
{t ∈ L | a H(x, t)} y satisface la condición de adjunción dada en
la misma definición. Además, el operador → es una implicación forzada
por ser (L, →, >) una w-ceo álgebra distributiva por la derecha. Por tanto,
, ⊗0 , →) es un triple de impli-
aplicando el Corolario 4.1 obtenemos que (
cación sobre (L, L).
Con respecto a los triples adjuntos, la flexibilidad de estos últimos triples proporciona que ( , ⊗, →) sea directamente un triple adjunto.
Proposición 4.14. Dado un retículo completo (L, ), el triple ( , ⊗, →) es un
triple adjunto con respecto a L.
Demostración. La prueba se obtiene directamente a partir de la Equivalencia (4.3).
La siguiente estructura introducida en [38], la cual considera los operadores
y →, es la w-eo álgebra simétrica.
Definición 4.7 ([38]). Una w-eo álgebra (P, →, >) es simétrica si existe una
operación binaria
: P × P → P tal que (P,
, >) es una w-eo álgebra, → y
inducen el mismo orden y se verifica la Equivalencia (4.4), para todo b, x, y ∈ P .
y≤x
b
si y solo si x ≤ y → b
Las w-eo álgebras (P, →, >), (P,
, >) y sus implicaciones →,
(4.4)
se dicen
que son duales entre sí.
Debido al carácter simétrico de esta noción, (P,
, >) es simétrica si y
solo si (P, →, >) es simétrica [38].
Una vez presentada esta noción, vamos a estudiar qué relación existe entre esta estructura algebraica, los triples de implicación y los triples
adjuntos.
103
C APÍTULO 4. E STUDIO COMPARATIVO CON ÁLGEBRAS MULTIADJUNTAS
Dado un triple de implicación (A, K, H) sobre (P, P ), por la Proposición 4.6, obtenemos que (P, H, >P ) es una w-eo álgebra y los operadores
H y A satisfacen la Equivalencia (4.4). Sin embargo, (P, H, >P ) no es una
w-eo álgebra simétrica ya que A podría no ser una implicación forzada.
Por tanto, el siguiente resultado se obtiene directamente.
Proposición 4.15. Sea (P, ≤P , P, ≤P , >P , A, K, H) un álgebra de adjunción. Si
A es una implicación forzada, entonces (P, H, >P ) es una w-eo álgebra simétrica.
En lo que respecta a las álgebras multiadjuntas, la estructura más similar a la w-eo álgebra simétrica es el álgebra multiadjunta implicativa. Puesto que ambas implicaciones no tienen porqué ser implicaciones forzadas,
se debe asumir esta propiedad para obtener una w-eo álgebra simétrica.
Proposición 4.16. Dado un par de Galois débil (., -) sobre un conjunto parcialmente ordenado y acotado superiormente (P, ≤, >), donde . y - son implicaciones forzadas, entonces (P, .op , >) es una w-eo álgebra simétrica.
Claramente, las álgebras de adjunción no satisfacen el recíproco de la
Proposición 4.15 ya que una w-eo álgebra simétrica (P, →, >) no implica
la existencia de un conjuntor. Sin embargo, para álgebras multiadjuntas
implicativas el recíproco se obtiene de manera natural.
Proposición 4.17. Dada una w-eo álgebra simétrica (P, →, >), existe un operador - definido sobre P tal que (P, ≤, →op , -) es un álgebra multiadjunta implicativa.
En [38], la w-eo álgebra simétrica también se enriquece con la propiedad de la distributividad por la derecha, obteniéndose una w-eo álgebra
simétrica y distributiva por la derecha.
Es fácil comprobar que, dado un triple de implicación (A, K, H) sobre
(L, L), entonces (L, H, >L ) y (L, A, >L ) no son w-ceo álgebras simétricas y
distributivas por la derecha, ya que solo un operador del triple (A, K, H)
104
4.2. C OMPARACIÓN CON ÁLGEBRAS IMPLICATIVAS
es una implicación forzada. Asumiendo que A es una implicación forzada,
eliminaríamos este hecho y podríamos definir una w-ceo álgebra simétrica
y distributiva por la derecha.
Proposición 4.18. Sea (L, ≤L , L, ≤L , >L , A, K, H) un álgebra de adjunción. Si
A es una implicación forzada, entonces (L, H, >L ) y (L, A, >L ) son w-ceo álgebras simétricas y distributivas por la derecha.
El siguiente enunciado muestra que el recíproco de la Proposición 4.18
se satisface considerando el conjuntor ⊗ definido por la Ecuación (4.2).
Proposición 4.19. Sea (L, →, >) una w-ceo álgebra simétrica y distributiva por
la derecha y ⊗ : L × L → L el operador definido por la Ecuación (4.2), entonces
(→, ⊗,
) es un triple implicación sobre (L, L).
Demostración. Los operadores
, ⊗ y → satisfacen claramente la condi-
ción de adjunción de la Definición 4.1 identificando ⊗ con K,
→ con A. Además, ya que
rio 4.1, el triple (→, ⊗,
con H y
es una implicación forzada, por el Corola-
) es un triple implicación sobre (L, L).
Puesto que un triple de implicación es un caso particular de triple adjunto, también podemos afirmar que cada w-ceo álgebra simétrica y distributiva por la derecha siempre proporciona un triple adjunto.
Proposición 4.20. Sea (L, →, >) una w-ceo álgebra simétrica y distributiva por
la derecha y ⊗ : L × L → L el operador definido por la Ecuación (4.2), entonces
(→, ⊗,
) es un triple adjunto con respecto a L.
El recíproco del resultado anterior no es cierto por la Proposición 4.14.
A continuación, se muestran las propiedades que un álgebra multiadjunta birresiduada debe satisfacer a fin de obtener una w-ceo álgebra simétrica y distributiva por la derecha. Así pues, el siguiente resultado es
una extensión de las Proposiciones 4.16 y 4.17.
105
C APÍTULO 4. E STUDIO COMPARATIVO CON ÁLGEBRAS MULTIADJUNTAS
Proposición 4.21. Dado un retículo completo (L, ), existen tres aplicaciones
&, . y - definidas sobre L tales que los siguientes enunciados son equivalentes:
(1) (&, ., -) es un triple adjunto con respecto a L satisfaciendo que x & > =
x y > & y = y, para todo x, y ∈ L.
(2) (L, .op , >) es una w-ceo álgebra simétrica y distributiva por la derecha y
el orden natural en L es .
Demostración. Por las proposiciones 4.2, 4.3 y 4.16, podemos afirmar que
(L, .op , >) es una w-ceo álgebra simétrica. Además, por la Proposición 3.3,
se obtiene que (L, .op , >) y (L, -op , >) son w-ceo álgebras distributivas
por la derecha con el orden natural .
La otra implicación se deduce a partir de las Proposiciones 4.2, 4.3
y 4.20.
Con respecto a (L, -op , >) se obtiene un resultado similar.
En [38], también se presentan estructuras distributivas por la izquierda. De manera análoga, todos los resultados anteriores para estructuras
distributivas por la derecha y pares adjuntos se pueden reescribir para las
estructuras distributivas por la izquierda y los pares de Galois débiles. Por
lo tanto, no se considera necesario incluirlos.
En esta sección hemos comparado las álgebras de orden extendido, las
álgebras de adjunción y las álgebras multiadjuntas proporcionando interesantes resultados. Además de probar que las álgebras multiadjuntas son la
estructura más flexible en general, esta comparación ha mostrado cuándo
los desarrollos dados en un marco de trabajo se pueden usar en los otros.
4.3.
Comparación con álgebras conjuntivas
Otro conectivo lógico frecuentemente considerado como punto de partida para la construcción de estructuras algebraicas es la conjunción. Dicho
106
4.3. C OMPARACIÓN CON ÁLGEBRAS CONJUNTIVAS
conectivo posee interesantes similitudes con otras estructuras tales como
los operadores de agregación conservando supremos, los cuantales, las unormas y las uninormas. A continuación, presentaremos resultados y observaciones sobre la comparativa entre las álgebras multiadjuntas y las
álgebras conjuntivas que se derivan de los operadores citados anteriormente.
4.3.1.
Estructuras de agregación conservando supremos
Estos operadores se usaron para introducir uno de los marcos de trabajo más generales en los que se define una ecuación de relaciones difusas [9]. Recientemente, se han estudiado las soluciones minimales de estas
ecuaciones en [7].
En lo sucesivo, se presenta una comparación entre estos operadores y
los triples adjuntos y mostramos que éstos últimos son más generales, por
consiguiente, las ecuaciones introducidas en [9] son un caso particular de
las ecuaciones de relaciones multiadjuntas [43].
Definición 4.8. Una estructura de agregación conservando supremos (de
manera abreviada estructura de agregación) es una tupla (L1 , L2 , L3 , ), donde
Li = (Li , i ), con i ∈ {1, 2, 3}, son retículos completos y : L1 × L2 → L3 es
una función que conmuta con el supremo en ambos argumentos, esto es,
!
!
_
_
_
_
(aj b)
a
bj 0 =
(a bj 0 )
aj b =
j∈J
j 0 ∈J 0
j∈J
j 0 ∈J 0
para todo a, aj ∈ L1 (j ∈ J), b, bj 0 ∈ L2 (j 0 ∈ J 0 ).
El siguiente teorema se obtiene a partir de los resultados dados en [9].
Teorema 4.3. Dado el operador : L1 × L2 → L3 de una estructura de agregación (L1 , L2 , L3 , ), existen dos aplicaciones ◦ : L3 ×L2 → L1 y ◦ : L1 ×L3 →
107
C APÍTULO 4. E STUDIO COMPARATIVO CON ÁLGEBRAS MULTIADJUNTAS
L2 , satisfaciendo la equivalencia:
a1 a2 ≤3 a3
si y solo si a2 ≤2 a1 ◦ a3
si y solo si a1 ≤1 a3 ◦ a2 (4.5)
para todo a1 ∈ L1 , a2 ∈ L2 , a3 ∈ L3 .
Es fácil comprobar que la Equivalencia (4.5) es la propiedad de adjunción, por tanto el siguiente resultado se obtiene de manera directa.
Corolario 4.4. Dada una estructura de agregación (L1 , L2 , L3 , ), existen dos
aplicaciones ◦ : L3 ×L2 → L1 y ◦ : L1 ×L3 → L2 tales que el triple (, ◦, ◦ d ),
donde a3 ◦ d a1 = a1 ◦ a3 , para todo a1 ∈ L1 , a3 ∈ L3 , es un triple adjunto.
Sin embargo, el recíproco del corolario anterior no es cierto, ya que en
la definición de triples adjuntos solo son necesarios conjuntos parcialmente ordenados. Aunque en ecuaciones de relaciones multiadjuntas necesitamos considerar triples adjuntos relacionados con dos retículos completos
L1 , L2 y un conjunto parcialmente ordenado (P, ≤), éste último no necesita
ser un retículo completo. Por tanto, en el campo del análisis de conceptos
formales ambos triples no son equivalentes.
Por ejemplo, (P, ≤) puede ser un multirretículo [10, 20, 85, 90], lo que
muestra la gran importancia de la generalidad de (P, ≤). Concretamente,
una relación difusa interesante en un multirretículo se presenta en [90].
Además, a fin de resolver varios problemas en programación lógica
multiadjunta [42, 45], se necesitan diferentes triples adjuntos, lo que permite las ecuaciones de relaciones multiadjuntas.
Por consiguiente, podemos concluir que toda álgebra multiadjunta proporciona un marco de trabajo más flexible que las estructuras de agregación conservando supremos.
108
4.3. C OMPARACIÓN CON ÁLGEBRAS CONJUNTIVAS
4.3.2.
Cuantales
Desde que C. J. Mulvey [96] introdujera la estructura de cuantal en
los años 80, ésta ha sido ampliamente estudiada y aplicada [11, 64, 102,
109]. Esta sección comparará los cuantales con las álgebras multiadjuntas,
a través de sus operadores, y mostrará que los cuantales proporcionan un
ambiente más restrictivo.
Definición 4.9. Un par (Q, ∗) es un cuantal si Q = (Q, ) es un retículo
completo y ∗ : Q × Q → Q es una operación binaria y asociativa sobre Q que
preserva supremos2 en cada argumento, es decir,
!
!
_
_
_
_
xj ∗ x =
(xj ∗ x)
x∗
xj 0 =
(x ∗ xj 0 )
j∈J
j 0 ∈J 0
j∈J
j 0 ∈J 0
para todo x, xj , xj 0 ∈ Q, donde J y J 0 son conjuntos de índices arbitrarios.
A partir de la última definición, podemos comprobar fácilmente que
los cuantales son un caso particular de las estructuras de agregación conservando supremos cuando L1 = L2 = L3 y es un operador asociativo.
Por tanto, los siguientes resultados se obtienen directamente.
Proposición 4.22. Sea (Q, ∗) un cuantal, entonces (Q, Q, Q, ∗) es una estructura de agregación conservando supremos.
Corolario 4.5. Dado un cuantal (Q, ∗), existen dos aplicaciones ., - : Q ×
Q → Q, satisfaciendo que (∗, ., -) es un triple adjunto con respecto a Q.
Puesto que el conjuntor de un triple adjunto no necesita ser asociativo,
el recíproco de este resultado no es cierto en general. Por tanto, esta relación muestra que un cuantal es un caso particular de álgebra multiadjunta.
2
Obsérvese que en el marco de trabajo anterior, esta propiedad se menciona de la
siguiente forma: “conmuta con los supremos”.
109
C APÍTULO 4. E STUDIO COMPARATIVO CON ÁLGEBRAS MULTIADJUNTAS
4.3.3.
U-normas
Las u-normas se presentaron en [75] como una generalización de las siguientes tres funciones: media aritmética, t-norma continua arquimediana
y “fuzzy and” con γ < 1.
Definición 4.10. Una u-norma es una función U : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1], tal
que U (0, 0) = 0, U (1, 1) = 1, y U es estrictamente creciente en el conjunto
D = {(x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1] | 0 < U (x, y)}.
Es fácil comprobar que la t-norma Gödel no es una u-norma y por tanto, el conjuntor de un triple adjunto podría no ser una u-norma. A continuación, presentamos un ejemplo en el que se muestra que una u-norma
arbitraria no permite construir un triple adjunto.
Ejemplo 4.2. La media de pesos ponderados Mw1 ,w2 ,r con w1 , w2 ∈ [0, 1], r ∈ R
y w1 + w2 = 1 se define como:

(w xr + w y r )1/r
1
2
Mw1 ,w2 ,r (x, y) =
xw1 y w2
si r 6= 0
si r = 0
para todo x, y ∈ R. Si w1 , w2 > 0 y 0 < r < ∞, entonces este operador es una
u-norma [75]. Cuando consideramos w1 = w2 = 0.5 y r = 1, obtenemos que
M0.5,0.5,1 (x, y) = 0.5x + 0.5y,
para todo x, y ∈ R
es una u-norma que no tiene implicaciones adjuntas. Esto se debe a que el conjuntor de un triple adjunto verifica la igualdad ⊥ & y = ⊥ (Proposición 3.2(2)), y en
este caso, M0.5,0.5,1 (0, y) =
y
2
6= 0, para todo y ∈ R\{0}. Por tanto, M0.5,0.5,1 (x, y)
no puede ser el conjuntor de un triple adjunto.
Sin embargo, en [75] se utilizaron las u-normas para resolver ecuaciones de relaciones difusas. Ahora bien, los autores necesitaron considerar
110
4.3. C OMPARACIÓN CON ÁLGEBRAS CONJUNTIVAS
u-normas continuas para que estos operadores tuvieran implicaciones adjuntas [87]. Esto directamente muestra que las u-normas continuas son un
caso particular de conjuntor de un triple adjunto. Como consecuencia, el
marco de trabajo dado en [75] es un caso particular de ecuaciones de relaciones multiadjuntas.
Proposición 4.23. Si U : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] es una u-norma continua, entonces existen dos aplicaciones ., - : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1], satisfaciendo que
(U, ., -) es un triple adjunto con respecto a [0, 1].
4.3.4.
Uninormas
Otra generalización interesante de las t-normas y t-conormas son las
uninormas [114]. Estos operadores se caracterizan por tener un elemento neutro que no es necesariamente el 0 (como para las t-normas) ni el 1
(como para las t-conormas).
Definición 4.11. Una uninorma definida sobre ([0, 1], ≤) es una aplicación conmutativa, asociativa y creciente U : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] para la que existe un
elemento e ∈ [0, 1] tal que U (e, x) = x, para todo x ∈ [0, 1]. El elemento e recibe
el nombre de elemento neutro de U .
En [58], se demostró que para cada uninorma U definida sobre el intervalo unidad existe una t-norma TU y una t-conorma SU , definidas sobre ([0, 1], ≤), y dos aplicaciones crecientes y biyectivas φe : [0, e] → [0, 1],
ψe : [e, 1] → [0, 1] con inversa creciente, satisfaciendo que
(1) U (x, y) = φ−1
e (TU (φe (x), φe (y))), para todo x, y ∈ [0, e].
(2) U (x, y) = ψe−1 (SU (ψe (x), ψe (y))), para todo x, y ∈ [e, 1].
El comportamiento de una uninorma es similar al de una t-norma para
elementos menores o iguales que e y al de una t-conorma para elementos
111
C APÍTULO 4. E STUDIO COMPARATIVO CON ÁLGEBRAS MULTIADJUNTAS
mayores o iguales que e, como la propiedad anterior muestra [58]. Por
tanto, una uninorma no tiene porqué ser necesariamente el conjuntor de
un triple adjunto, como mostraremos a continuación.
Ejemplo 4.3. Sean x, y ∈ [0, 1] y e ∈ ]0, 1[, el operador Ue definido sobre
([0, 1], ≤) como

máx(x, y) si x ≥ e e
Ue (x, y) =
mín(x, y) en otro caso
y≥e
es una uninorma. Si asumimos que Ue es el conjuntor de un triple adjunto, entonces su implicación adjunta . debe satisfacer, por la Proposición 3.3(4), que:
z . y = máx{x ∈ [0, 1] | Ue (x, y) ≤ z}
Si consideramos e = 0.5, y = 0.7 y z = 0.6, puede comprobarse que dicho máximo
no existe.
Por consiguiente, las implicaciones adjuntas de una uninorma podrían
no existir, lo que nos lleva a afirmar que una uninorma podría no formar
parte de un triple adjunto en general.
Sin embargo, las uninormas continuas por la izquierda, ampliamente
estudiadas y usadas en [2, 35], son un caso particular de conjuntores adjuntos ya que tienen implicaciones adjuntas.
Proposición 4.24. Dada una uninorma U definida sobre ([0, 1], ≤) y continua
por la izquierda , existen dos aplicaciones ., - : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1], satisfaciendo que (U, ., -) es un triple adjunto con respecto a [0, 1].
En cambio, el recíproco no es cierto, es decir, el conjuntor de un triple
adjunto no es una uninorma continua por la izquierda. De hecho, el conjuntor &∗P definido en el Ejemplo 4.1 no es una uninorma continua por la
izquierda puesto que no es ni conmutativo ni asociativo.
Por tanto, concluimos que las estructuras algebraicas con uninormas
continuas por la izquierda son casos particulares de álgebras multiadjuntas.
112
4.4. D IAGRAMAS COMPARATIVOS
4.4.
Diagramas comparativos
A modo de síntesis, finalizamos este capítulo incluyendo tres diagramas que proporcionan una visión global sobre las relaciones establecidas
entre las estructuras algebraicas estudiadas. El primer diagrama muestra
las relaciones sin restricciones. En el segundo y tercer diagrama se tienen
en cuenta las condiciones requeridas en los ambientes donde se definen
los retículos de conceptos multiadjuntos y la programación lógica multiadjunta.
Estos diagramas son transitivos, es decir, no se dibujan flechas que se
deducen por la transitividad de las relaciones ya representadas. Las estructuras algebraicas unidas por flechas con doble punta son estructuras
equivalentes. Cuando tenemos estructuras unidas por flechas con una sola punta esto indica que la estructura situada en el nodo de partida es un
caso particular de la estructura algebraica colocada en el nodo de llegada.
Es conveniente mencionar que se ha intentado que el flujo de las flechas
en los diagramas sea de abajo hacia arriba.
En la Figura 4.1, se muestran las relaciones existentes entre las estructuras estudiadas cuando éstas se definen en un ambiente general en el que,
a lo sumo, se pueden considerar tres conjuntos parcialmente ordenados
diferentes.
En cuanto a la Figura 4.2, en ella aparecen representadas las relaciones que se derivan de la comparativa realizada cuando se considera el
entorno de los retículos de conceptos multiadjuntos [86]. En este marco de
trabajo, el ambiente más general viene dado por dos retículos completos
(L1 , 1 ), (L2 , 2 ) y un conjunto parcialmente ordenado (P, ≤). Además, se
necesitan considerar, al menos, un par de operadores .i : P × L2 → L1 ,
-i : P × L1 → L2 verificando que (.i , -i ) son conexiones de Galois antítonas [47], los cuales se necesitan para definir los operadores de formación
de conceptos (Expresiones (3.1) y (3.2) de la Sección 3.2.2 del Capítulo 3).
113
C APÍTULO 4. E STUDIO COMPARATIVO CON ÁLGEBRAS MULTIADJUNTAS
Por lo tanto, si por ejemplo tenemos un álgebra conjuntiva con una uninorma entonces necesitamos que tenga dos implicaciones residuadas, por
lo que ésta debe ser una uninorma continua por la izquierda. Por este motivo, se dibuja una flecha con doble punta uniendo “uninorma” y “uninorma continua por la izquierda”. El resto de estructuras se relacionan de
manera similar.
Por último, en la Figura 4.3 se presentan las relaciones obtenidas en el
marco de trabajo de la programación lógica multiadjunta [88, 89]. Específicamente, en este ambiente, el marco más general es aquel en el que se
considera un retículo completo (L, ) y los operadores &i : L × L → L y
.i : L × L → L, satisfaciendo que (&i , .i ) son pares adjuntos por la derecha y que &i verifica las condiciones de frontera > &i x = x &i > = x, para
todo x ∈ L. En este caso, el álgebra conjuntiva con una uninorma solo
necesita una implicación residuada, por tanto, ésta debe ser una uninorma continua por la izquierda, la cual es un caso particular de una w-ceo
álgebra distributiva por la derecha y de un álgebra multiadjunta por la
derecha. Dado que estas últimas estructuras son equivalentes en este marco, solo se dibuja una flecha con una punta entre “uninorma” y “w-ceo
álgebra distributiva por la derecha”.
Obsérvese que la diferencia entre los diagramas presentados en las Figuras 4.1 y 4.2 viene dada por las aristas dibujadas en color azul, mientras
que en el diagrama dado en la Figura 4.3 estas diferencias se dibujan en
color rojo.
114
115
Distributiva Derecha
W-eo Álgebra Completa y
Simétrica
Distributiva Derecha y
W-eo Álgebra Completa,
Cuantal
Agregación
Estructura
Adjunción
de
Uninorma
Izquierda
Continua
Uninorma
Birresiduada
Multiadjunta
Álgebra
Derecha
Implicativa
Álgebra de
Multiadjunta
Multiadjunta
U-norma
Continua
U-norma
Izquierda
Multiadjunta
Álgebra
Figura 4.1: Diagrama comparativo en un entorno general donde P1 , P2 y P3 son distintos
Álgebra
W-eo
Simétrica
W-eo Álgebra
Álgebra
Álgebra
4.4. D IAGRAMAS COMPARATIVOS
116
Distributiva Derecha
W-eo Álgebra Completa y
Simétrica
Distributiva Derecha y
W-eo Álgebra Completa,
Cuantal
Agregación
Estructura
Adjunción
de
Uninorma
Izquierda
Continua
Uninorma
Birresiduada
Multiadjunta
Álgebra
Derecha
Implicativa
Álgebra de
Multiadjunta
Multiadjunta
U-norma
Continua
U-norma
Izquierda
Multiadjunta
Álgebra
Figura 4.2: Diagrama comparativo en el entorno de los retículos de conceptos multiadjuntos
Álgebra
W-eo
Simétrica
W-eo Álgebra
Álgebra
Álgebra
C APÍTULO 4. E STUDIO COMPARATIVO CON ÁLGEBRAS MULTIADJUNTAS
117
Distributiva Derecha
Cuantal
Agregación
Estructura
Uninorma
Izquierda
Continua
Uninorma
Birresiduada
Simétrica
W-eo Álgebra Completa y
Multiadjunta
Distributiva Derecha y
Adjunción
Álgebra
W-eo Álgebra Completa,
de
Derecha
Implicativa
Álgebra de
Multiadjunta
Multiadjunta
U-norma
Continua
U-norma
Izquierda
Multiadjunta
Álgebra
Figura 4.3: Diagrama comparativo en el entorno de la programación lógica multiadjunta
Álgebra
W-eo
Simétrica
W-eo Álgebra
Álgebra
Álgebra
4.4. D IAGRAMAS COMPARATIVOS
Capítulo 5
Negaciones Adjuntas
Los operadores de negación se han estudiado ampliamente desde un
punto de vista teórico en distintos trabajos [38, 52, 108, 110]. Dos de los
ambientes en los que estos operadores tienen una importancia notable son
la lógica difusa [19, 54, 57] y la programación lógica difusa [78].
En este capítulo introducimos un operador de negación nuevo y flexible, basado en los triples adjuntos, que llamaremos negación adjunta.
Además de proporcionar propiedades interesantes de estas negaciones,
presentaremos la comparación con las negaciones (ordinarias) estudiadas
por Trillas, Esteva y Domingo, con los pares de negaciones débiles introducidos por Georgescu y Popescu y con las negaciones dadas en las álgebras
de orden extendido analizadas por Della Stella y Guido.
Por último, teniendo en cuenta que uno de los principales objetivos de
la lógica difusa es proporcionar una base matemática formal para aplicaciones reales, y que las t-conormas se utilizan en muchas de estas aplicaciones, usaremos las negaciones adjuntas para definir la disyunción dual
(t-conorma dual) correspondiente a un conjuntor adjunto y presentaremos
varias propiedades.
C APÍTULO 5. N EGACIONES A DJUNTAS
5.1.
Negaciones adjuntas y principales propiedades
Comenzaremos introduciendo la noción de negación adjunta. Estos
operadores se obtienen a partir de un triple adjunto y generalizan la definición de negación residuada [18, 55, 103].
Definición 5.1. Sean (P1 , ≤1 ) y (P2 , ≤2 ) dos conjuntos parcialmente ordenados, (P3 , ≤3 , ⊥3 ) un conjunto parcialmente ordenado y acotado inferiormente y
sea (&, ., -) un triple adjunto con respecto a P1 , P2 y P3 . Las aplicaciones
nn : P1 → P2 y ns : P2 → P1 definidas, para todo x ∈ P1 , y ∈ P2 como:
nn (x) = ⊥3 - x
ns (y) = ⊥3 . y
reciben el nombre de negaciones adjuntas con respecto a P1 y P2 .
A los operadores ns y nn satisfaciendo que x = ns (nn (x)) e y = nn (ns (y)),
para todo x ∈ P1 y y ∈ P2 , los llamamos negaciones adjuntas fuertes.
Nótese que al poder definir los triples adjuntos (Definición 3.1) con respecto a tres conjuntos parcialmente ordenados diferentes, podemos definir
los operadores de negación adjunta sobre dos conjuntos parcialmente ordenados distintos, lo cual proporciona una definición menos restrictiva de
operador de negación.
A continuación, se muestra un ejemplo en el que las negaciones adjuntas se obtienen a partir de las implicaciones residuadas correspondientes a
la discretización de la t-norma Łukasiewicz, la cual se presentó en el Ejemplo 4.1 del Capítulo 4.
Ejemplo 5.1. Si consideramos la discretización de la t-norma Łukasiewicz definida sobre los intervalos granulados [0, 1]k , [0, 1]t y [0, 1]p , donde k, t, p ∈ N, esto
es &∗L : [0, 1]k × [0, 1]t → [0, 1]p , entonces los dominios de las negaciones adjuntas asociadas son ns : [0, 1]t → [0, 1]k y nn : [0, 1]k → [0, 1]t . Estas negaciones se
120
5.1. N EGACIONES ADJUNTAS Y PRINCIPALES PROPIEDADES
definen como:
ns (y) =
bk · (1 − y)c
k
nn (x) =
bt · (1 − x)c
t
para todo x ∈ [0, 1]k e y ∈ [0, 1]t . En este caso general, observamos que:
(a) Si t = k, entonces ns y nn son negaciones adjuntas fuertes.
(b) En caso contrario, las negaciones adjuntas obtenidas no tienen porqué ser
fuertes, como ocurre cuando t = 8 y k = 20.
Aunque en teoría de conjuntos difusos la estructura algebraica de valores de verdad más general es usualmente un retículo, en algunos ejemplos
surge la necesidad de una estructura más general. La teoría de multirretículos [10, 63] surgió intentando debilitar las restricciones impuestas sobre un retículo (completo), es decir, la “existencia de la menor de las cotas
superiores y la mayor de las cotas inferiores” se suaviza a la “existencia
de cotas superiores minimales y cotas inferiores maximales”. Esta estructura
ha sido considerada en programación lógica difusa [85] y, recientemente,
en análisis de conceptos formales difusos [81, 90]. Además, la operación
residuada también se ha estudiado en el marco de trabajo de los multirretículos [15]. A continuación, se introduce otro ejemplo de negaciones
adjuntas pero esta vez definidas sobre un multirretículo simple que se utilizó en [81] para decidir cuál es el mejor hotel de una ciudad.
Ejemplo 5.2. Sobre el multirretículo (M 6∗ , ) mostrado en la Figura 5.1, se define un triple adjunto (&, ., -) cuyos operadores se muestran a continuación.
Obsérvese que el conjuntor & es conmutativo y, por consiguiente, sus implicacio121
C APÍTULO 5. N EGACIONES A DJUNTAS
nes residuadas coinciden, esto es, .= -.




x si y = >





> si y ≤ z






y
si
x
=
>


z si y = >

x & y = ⊥ si x ∈ {⊥, b} e y 6= > z . y =




b si y ∈
/ {⊥, b, >} y z ∈ {⊥, b}






⊥
si
x
=
6
>
e
y
∈
{⊥,
b}


e en otro caso



a en otro caso
>
•
•e
c •H
@
@
@• d
HH
H
HH
a •@
•b
@
@•
⊥
Figura 5.1: Multirretículo M 6∗
A partir de este triple adjunto y teniendo en cuenta la Definición 5.1, podemos
definir las negaciones adjuntas ns y nn con respecto a M 6∗ de la siguiente manera:



> si y = ⊥




⊥ si y = >
ns (y) = nn (y) = ⊥ . y =


b si y ∈
/ {⊥, b, >}




e en otro caso
Una vez presentada la noción de negación adjunta y mostrado un par
de ejemplos, pasamos a exponer las principales propiedades de este tipo
de negación. Concretamente, la siguiente proposición se obtiene a partir
de la propiedad de adjunción y de la monotonía de los operadores . y -.
122
5.1. N EGACIONES ADJUNTAS Y PRINCIPALES PROPIEDADES
Proposición 5.1. Sean ns y nn negaciones adjuntas. El par (ns , nn ) forma una
conexión de Galois antítona entre P1 y P2 .
Demostración. Para demostrar que (ns , nn ) es una conexión de Galois antítona entre P1 y P2 , tenemos que probar que ns y nn son decrecientes y
que las desigualdades x ≤1 ns nn (x) e y ≤2 nn ns (y) se verifican, para todo
x ∈ P1 e y ∈ P2 .
En primer lugar, probaremos que si x1 , x2 ∈ P1 y x1 ≤1 x2 , entonces
nn (x2 ) ≤2 nn (x1 ). Supongamos que x1 ≤1 x2 , por la monotonía del operador - se obtiene que ⊥3 - x2 ≤2 ⊥3 - x1 , lo que es equivalente a
nn (x2 ) ≤2 nn (x1 ). La monotonía de ns se prueba de manera análoga.
Ahora demostraremos que x ≤1 ns nn (x), para todo x ∈ P1 . Claramente
se satisface que ⊥3 - x ≤2 ⊥3 - x, para todo x ∈ P1 . Aplicando la
propiedad de adjunción obtenemos que x &(⊥3 - x) ≤3 ⊥3 , y de nuevo
por la propiedad de adjunción se obtiene que x ≤1 ⊥3 . (⊥3 - x), o
lo que es lo mismo, x ≤1 ns nn (x). Para la desigualdad y ≤2 nn ns (y), la
demostración es análoga.
Debido a que el par (ns , nn ) es una conexión de Galois antítona, las
siguientes propiedades se obtienen directamente [39, 51, 115].
Corolario 5.1. Dados dos conjuntos parcialmente ordenados (P1 , ≤1 ) y (P2 , ≤2 ),
un conjunto parcialmente ordenado y acotado inferiormente (P3 , ≤3 , ⊥3 ) y las
negaciones adjuntas ns y nn , los siguientes enunciados se satisfacen:
(1) Si (P1 , ≤1 , ⊥1 , >1 ) y (P2 , ≤2 , ⊥2 , >2 ) son conjuntos parcialmente ordenados y acotados, entonces ns (⊥2 ) = >1 y nn (⊥1 ) = >2 .
(2) nn y ns son decrecientes.
(3) x ≤1 ns nn (x) e y ≤2 nn ns (y).
(4) ns nn ns = ns y nn ns nn = nn .
123
C APÍTULO 5. N EGACIONES A DJUNTAS
(5) ns nn y nn ns son operadores de clausura.
(6) x ≤1 ns (y)
si y solo si
y ≤2 nn (x), para todo x ∈ P1 , y ∈ P2 .
(7) ns (y) = máx{x ∈ P1 | y 2 nn (x)}, para todo y ∈ P2 .
(8) nn (x) = máx{y ∈ P2 | x 1 ns (y)}, para todo x ∈ P1 .
(9) Si el supremo y el ínfimo existen para X ⊆ P1 e Y ⊆ P2 , entonces
_
^
(a) ns (
y) =
ns (y);
y∈Y
(b) nn (
_
y∈Y
x) =
x∈X
^
nn (x).
x∈X
Es fácil comprobar que las propiedades dadas en el Corolario 5.1 se verifican siempre que (P1 , ≤1 ) y (P2 , ≤2 ) sean retículos completos. De hecho,
se cumplen las siguientes equivalencias.
Corolario 5.2. Dado un triple adjunto (&, ., -) con respecto a los retículos
completos (L1 , 1 ), (L2 , 2 ) y al conjunto parcialmente ordenado y acotado inferiormente (P3 , ≤3 , ⊥3 ). Entonces, los siguientes enunciados son equivalentes:
(1) (ns , nn ) es una conexión de Galois antítona entre L1 y L2 .
(2) ns (
W
y∈Y
y) =
V
y∈Y
ns (y), para todo Y ⊆ L2 .
W
V
(3) nn ( x∈X x) = x∈X nn (x), para todo X ⊆ L1 .
(4) ns (y) = máx{x ∈ L1 | y 2 nn (x)}, para todo y ∈ L2 .
(5) nn (x) = máx{y ∈ L2 | x 1 ns (y)}, para todo x ∈ L1 .
Obsérvese que la igualdad
W
y∈Y
ns (y) = ns (
V
y∈Y
y) no se satisface en
general, concretamente, para todo Y ⊆ L2 solo se verifica la desigualdad
W
V
y∈Y ns (y) 1 ns ( y∈Y y). En general, nn también verifica solo esta última
desigualdad. La proposición que se presenta a continuación muestra una
condición suficiente para que la igualdad se cumpla.
124
5.1. N EGACIONES ADJUNTAS Y PRINCIPALES PROPIEDADES
Proposición 5.2. La negación adjunta ns , obtenida a partir del triple adjunto
(&, ., -) con respecto a un semirretículo superior (P1 , ≤1 ), un semirretículo
inferior (P2 , ≤2 ) y un conjunto parcialmente ordenado y acotado inferiormente
(P3 , ≤3 , ⊥3 ), satisface las siguientes propiedades para todo Y ⊆ P2 :
(1)
_
y∈Y
ns (y) 1 ns (
^
y);
y∈Y
(2) Si ns y nn son negaciones adjuntas fuertes, entonces
_
y∈Y
ns (y) = ns (
^
y).
y∈Y
Demostración. (1) Si Y = ∅, entonces la desigualdad se obtiene claramente
ya que el supremo del conjunto vacío es el mínimo del retículo. En caso
contrario, cuando Y 6= ∅, aplicando la propiedad del ínfimo y la monotoV
nía de ., se verifica la desigualdad ⊥3 . y 0 1 ⊥3 . ( y∈Y y) para todo
Y ⊆ P2 e y 0 ∈ Y . Ahora, por la propiedad del supremo, obtenemos que
V
W
V
W
y∈Y ns (y) 1 ns ( y∈Y y).
y∈Y (⊥3 . y) 1 ⊥3 . ( y∈Y y), es decir,
(2) Aplicando el operador ns a la igualdad (9)(b) del Corolario 5.1, obW
V
tenemos que ns ( x∈X nn (x)) = ns (nn ( x∈X x)), para todo X ⊆ P1 . Como
V
ns es una negación adjunta fuerte, se cumple la igualdad ns ( x∈X nn (x)) =
W
x∈X x, para todo X ⊆ P1 .
Ahora, dado Y ⊆ P2 y aplicando la igualad previa a X = {ns (y) | y ∈
W
V
Y }, obtenemos que ns ( y∈Y nn (ns (y))) = y∈Y ns (y). Por consiguiente, coW
mo nn es una negación adjunta fuerte, podemos concluir que y∈Y ns (y) =
V
ns ( y∈Y y), para todo Y ⊆ P2 .
A continuación, presentamos un ejemplo en el que no se cumple la
igualdad mostrada en el enunciado (2) de la Proposición 5.2 puesto que ns
y nn no son negaciones adjuntas fuertes.
Ejemplo 5.3. Sea (L, ) el retículo mostrado en la Figura 5.2 y sea &G el conjuntor Gödel con respecto a L. Como (L, ) es un retículo distributivo, el conjuntor
Gödel tiene dos implicaciones residuadas .G y -G . Además, estas implicaciones
125
C APÍTULO 5. N EGACIONES A DJUNTAS
son iguales puesto que &G es conmutativo, esto es, .G =-G . Específicamente,
estos operadores se definen como:

> si y ≤ z
x &G y = ı́nf{x, y}
z .G y =
z en otro caso
para todo x, y ∈ L. Ahora, probaremos que existen dos elementos x, y ∈ L tales
que ns (x ∧ y) 6= ns (x) ∨ ns (y). Considerando x = a e y = b, obtenemos que:
ns (a ∧ b) = ns (⊥) = >
ns (a) ∨ ns (b) = (⊥ .G a) ∨ (⊥ .G b) = ⊥
>
•
a•
@
@
@•
b
@
@
@•
⊥
Figura 5.2: (L, )
Considerando la negación adjunta nn se obtiene un resultado análogo
al anterior.
Proposición 5.3. Sea (&, ., -) un triple adjunto con respecto a un semirretículo inferior (P1 , ≤1 ), un semirretículo superior (P2 , ≤2 ) y un conjunto parcialmente ordenado y acotado inferiormente (P3 , ≤3 , ⊥3 ). Para todo X ⊆ P1 , la
negación adjunta nn satisface los siguientes enunciados:
(1)
_
x∈X
nn (x) 2 nn (
^
x);
x∈X
(2) Si ns y nn son negaciones adjuntas fuertes, entonces
_
x∈X
126
nn (x) = nn (
^
x∈X
x).
5.1. N EGACIONES ADJUNTAS Y PRINCIPALES PROPIEDADES
A continuación, probaremos que cualquier negación (ordinaria) se puede obtener a partir de una negación adjunta. Con este propósito, recordamos la siguiente definición.
Definición 5.2 ([108]). Dada una aplicación n : [0, 1] → [0, 1], se dice que es
una negación (ordinaria) si las siguientes condiciones se verifican para todo
x, y ∈ [0, 1].
(1) n(1) = 0;
(2) Si x ≤ y entonces n(y) ≤ n(x);
(3) x ≤ n(n(x)).
En diferentes artículos [17, 54] este operador también recibe el nombre
de negación débil y simplemente negación en otros [52, 53, 56]. En [108],
Trillas llama “negación ordinaria” al operador negación que satisface la
condición x ≤ n(n(x)) y usa el término “negación débil” cuando se verifica
la condición n(n(x)) ≤ x. Éste es el principal motivo por el que escribimos
ordinaria entre paréntesis.
Una vez recordada esta noción, pasamos a introducir uno de los principales resultados de este capítulo, en el que se muestra que las negaciones
adjuntas son más generales que las negaciones (ordinarias).
Teorema 5.1. Si la aplicación n : [0, 1] → [0, 1] es una negación ordinaria, entonces existe un triple adjunto (&, ., -) con respecto al conjunto parcialmente
ordenado ([0, 1], ≤) satisfaciendo que n = ns = nn .
Demostración. Dada una negación ordinaria n : [0, 1] → [0, 1], definimos el
operador conjuntor &, para todo y, z ∈ [0, 1], de la siguiente forma:

1 si x n(y)
x&y =
0 si x ≤ n(y)
127
C APÍTULO 5. N EGACIONES A DJUNTAS
Haciendo uso de las Condiciones (2) y (3) de la Definición 5.2, se obtiene
la siguiente equivalencia, para todo x, y ∈ [0, 1].
x ≤ n(y) si y solo si
y ≤ n(x)
(5.1)
Por tanto, el conjuntor & es conmutativo como la siguiente cadena de
igualdades muestra:


1 si x n(y)
1 si y n(x)
x&y =
=
= y&x
0 si x ≤ n(y)
0 si y ≤ n(x)
Como consecuencia, ambas implicaciones residuadas coinciden. Por este
motivo solo vamos a definir una de ellas. Para todo y, z ∈ [0, 1], sea . la
implicación dada por la siguiente expresión:

n(y) si z =
6 1
z.y=
1
si z = 1
Ahora, probaremos que el triple (&, ., -) es un triple adjunto satisfaciendo que n(y) = 0 . y. Teniendo en cuenta la Proposición 3.3(5), solo
necesitamos comprobar que x & y = mı́n{z ∈ [0, 1] | x ≤ z . y}. Para ello,
distinguiremos dos casos:
Si x ≤ n(y), entonces cada z ∈ [0, 1] satisface que x ≤ z . y, ya que
z . y es 1 o n(y). Por tanto, x & y = ı́nf{z ∈ [0, 1] | x ≤ z . y} =
ı́nf{z ∈ [0, 1]} = 0. Además, 0 ∈ {z ∈ [0, 1] | x ≤ z . y}, luego x & y
es un mínimo.
En otro caso, cuando x n(y), la desigualdad x ≤ z . y solo se
satisface para z = 1. Por consiguiente, x & y = ı́nf{z ∈ [0, 1] | x ≤
z . y} = ı́nf{1} = 1. Además, 1 ∈ {z ∈ [0, 1] | x ≤ z . y} puesto
que x ≤ 1 . y = 1 por la definición anterior de .. De modo que,
x & y es un mínimo.
128
5.1. N EGACIONES ADJUNTAS Y PRINCIPALES PROPIEDADES
Finalmente, obtenemos que & es un conjuntor (conmutativo) y sus implicaciones residuadas . = - satisfacen la propiedad de adjunción:
x&y ≤ z
si y solo si x ≤ z . y
(5.2)
para todo x, y, z ∈ [0, 1].
Por tanto, a partir de la Equivalencia (5.2), concluimos que (&, ., -)
es un triple adjunto. Y además, aplicando la definición de los operadores
. y -, obtenemos que ns (y) = 0 . y = n(y) = 0 - y = nn (y).
Como consecuencia, podemos afirmar que cada negación ordinaria se
puede ver como una negación “residuada”. Este resultado se extenderá a
retículos en la próxima sección.
Por último, presentamos interesantes propiedades de las negaciones
adjuntas que generalizan las dadas para negaciones residuadas y ordinarias.
Proposición 5.4. Sea (&, ., -) un triple adjunto con respecto a dos conjuntos
parcialmente ordenados (P1 , ≤1 ), (P2 , ≤2 ) y el conjunto parcialmente ordenado
y acotado inferiormente (P3 , ≤3 , ⊥3 ). Para todo x ∈ P1 , y ∈ P2 , z ∈ P3 , las
negaciones adjuntas ns y nn , obtenidas a partir del triple adjunto, satisfacen que
ns (y) ≤1 z . y y nn (x) ≤2 z - x.
Demostración. Claramente se cumple que ⊥3 ≤3 z, para todo z ∈ P3 . Como
. es creciente en el primer argumento, la desigualdad ⊥3 . y ≤1 z . y se
verifica para todo y ∈ P2 y z ∈ P3 , lo cual es equivalente a ns (y) ≤1 z . y.
La prueba es análoga para la desigualdad nn (x) ≤2 z - x.
El siguiente resultado muestra que un elemento y su negación no pueden “coexistir” en este marco de trabajo.
Proposición 5.5. Dado un triple adjunto (&, ., -) con respecto a los conjuntos
parcialmente ordenados (P1 , ≤1 ), (P2 , ≤2 ) y el conjunto parcialmente ordenado
129
C APÍTULO 5. N EGACIONES A DJUNTAS
acotado inferiormente (P3 , ≤3 , ⊥3 ). Las negaciones adjuntas ns y nn , obtenidas a
partir de las implicaciones residuadas . y - , satisfacen las siguientes propiedades, para todo x ∈ P1 e y ∈ P2 .
(1) x & nn (x) = ⊥3 y ns (y) & y = ⊥3 .
(2) y ≤2 nn (x) si y solo si x & y = ⊥3 .
(3) x ≤1 ns (y) si y solo si x & y = ⊥3 .
Demostración. (1) La desigualdad ⊥3 ≤3 x &(⊥3 - x) es trivial para todo x ∈ P1 . Por tanto, solo queda probar que x &(⊥3 - x) ≤3 ⊥3 , lo que
se desprende de aplicar directamente la propiedad de adjunción a la desigualdad ⊥3 - x ≤2 ⊥3 - x. La prueba para ns se obtiene de forma
similar.
(2) Esta equivalencia se obtiene ya que la desigualdad y ≤2 nn (x) se
puede escribir como y ≤2 ⊥3 - x, y esto es equivalente a x & y ≤3 ⊥3 , por
la propiedad de adjunción. La equivalencia (3) se demuestra análogamente.
A continuación, se presentan condiciones suficientes para asegurar que
los operadores ns y nn sean iguales.
Proposición 5.6. Si ns y nn son negaciones adjuntas fuertes definidas sobre el
mismo conjunto parcialmente ordenado (P, ≤), satisfaciendo que nn (nn (x)) = x
o ns (ns (x)) = x, para todo x ∈ P , entonces coinciden.
Demostración. Sin pérdida de generalidad, asumimos que nn (nn (x)) = x,
para todo x ∈ P . Entonces, teniendo en cuenta esta igualdad y la Definición 5.1, la cadena de equivalencias mostrada a continuación se cumple:
nn (x) = ns (nn (nn (x))) = ns (x)
para todo x ∈ P . Por tanto, se alcanza la igualdad nn = ns .
130
5.2. C OMPARACIÓN CON OTROS OPERADORES DE NEGACIÓN
Además de introducir propiedades interesantes de las negaciones adjuntas, es importante compararlas con otros operadores a fin de saber cómo de útiles y generales son estas negaciones. Éste será el objetivo de la
siguiente sección.
5.2.
Comparación con otros operadores de negación
Esta sección compara las negaciones adjuntas con las dos nociones de
negación más generales: el par de negaciones débiles definido por Georgescu y Popescu, y los operadores decrecientes considerados por Della
Stella y Guido en las álgebras de orden extendido. A partir de esta comparativa, mostraremos que las negaciones adjuntas son más generales y,
como consecuencia, las propiedades de las negaciones adjuntas se satisfacen en estos campos de trabajo. De hecho, basándonos en los resultados
anteriores, mostraremos que algunos de ellos se obtienen requiriendo menos condiciones.
5.2.1.
Par de negaciones débiles
En lo sucesivo, estudiaremos la relación entre los pares de negaciones
débiles introducidos por Georgescu y Popescu en [59] y las negaciones adjuntas. Por ello, recordaremos la definición de pares de negaciones débiles
en primer lugar.
Definición 5.3 ([59]). Sea (P, ≤, ⊥, >) un conjunto parcialmente ordenado y
acotado y sean n1 : P → P , n2 : P → P dos funciones. El par (n1 , n2 ) recibe el
nombre de par de negaciones débiles sobre P , si para todo x ∈ P se verifican
las siguientes condiciones:
131
C APÍTULO 5. N EGACIONES A DJUNTAS
(1) n1 (>) = n2 (>) = ⊥;
(2) n1 y n2 son decrecientes;
(3) x ≤ n2 n1 (x) y x ≤ n1 n2 (x).
El siguiente resultado es una generalización del Teorema 5.1 que prueba que cada par de negaciones débiles se puede derivar de las implicaciones de un triple adjunto.
Teorema 5.2. Dado un par de negaciones débiles (n1 , n2 ) sobre (P, ≤, ⊥, >),
existe un triple adjunto (&, ., -) con respecto a P tal que n1 = ns y n2 = nn .
Demostración. Primeramente, definimos los operadores &1 y .1 como:


> si x n (y)
n (y) si z 6= >
1
1
x &1 y =
z .1 y =
⊥ si x ≤ n (y)
>
si z = >
1
para todo x, y, z ∈ P1 y probamos que &1 y .1 satisfacen la propiedad de
adjunción. Para ello, por la Proposición 3.3(5), solo es necesario probar la
igualdad x &1 y = mı́n{z ∈ P | x ≤ z .1 y}.
Para esto, debemos considerar los siguientes casos:
Si x ≤ n1 (y), entonces cada z ∈ P satisface x ≤ z .1 y, puesto que
z .1 y es > o n1 (y) y x ≤ n1 (y). Consecuentemente, x &1 y = ı́nf{z ∈
P | x ≤ z .1 y} = ı́nf{z ∈ P } = ⊥ y ⊥ ∈ {z ∈ P | x ≤ z .1 y}, por
lo que x &1 y es un mínimo.
Cuando x 6≤ n1 (y), entonces z = > es el único valor verificando
x ≤ z .1 y. Por tanto, x &1 y = ı́nf{z ∈ P | x ≤ z .1 y} = ı́nf{>} =
>. Además, teniendo en cuenta la definición de .1 , se cumple que
> ∈ {z ∈ P | x ≤ z .1 y} al ser x ≤ > .1 y = >, de modo que
x &1 y es un mínimo.
132
5.2. C OMPARACIÓN CON OTROS OPERADORES DE NEGACIÓN
Por consiguiente, obtenemos que &1 es un conjuntor y su implicación
residuada .1 satisface la equivalencia
x &1 y ≤ z
si y solo si x ≤ z .1 y
(5.3)
Ahora bien, considerando los operadores definidos a partir de n2 :
x &2 y =

>
si y n2 (x)
⊥
si y ≤ n2 (x)

n (x) si z 6= >
2
z -2 x =
>
si z = >
la Equivalencia (5.4) se obtiene análogamente.
x &2 y ≤ z
si y solo si y ≤ z -2 x
(5.4)
Además, por el enunciado (6) del Corolario 5.1, podemos afirmar que los
conjuntores &1 y &2 coinciden. Por lo tanto, a partir de las Equivalencias (5.3) y (5.4) concluimos que (&1 , .1 , -2 ) es un triple adjunto.
Finalmente, nos quedaría probar que n1 = ns y n2 = nn . Estas igualdades se obtienen aplicando las definiciones de los operadores ns , nn , .1 y
-2 , esto es:
ns (y) = ⊥ .1 y = n1 (y)
nn (x) = ⊥ -2 x = n2 (x)
Como consecuencia del teorema anterior, podemos afirmar que la definición de negación adjunta es más general que la de par de negaciones
débiles.
En el siguiente ejemplo, se mostrará un par de negaciones débiles usado en [59] a partir del cual obtendremos un triple adjunto satisfaciendo las
condiciones dadas en el Teorema 5.2.
133
C APÍTULO 5. N EGACIONES A DJUNTAS
Ejemplo 5.4. Sea (P = {0, a, b, 1}, ≤) un conjunto parcialmente ordenado tal
que el orden ≤ viene dado por 0 ≤ a ≤ b ≤ 1. Consideraremos un par de negaciones débiles (n1 , n2 ) sobre (P, ≤, 0, 1) definidas en la Tabla 5.1.
Aplicando el teorema anterior, obtenemos el triple adjunto (&, ., -), cuyos
operadores son los dados en la Tabla 5.2.
Tabla 5.1: Definición de n1 y n2
0 a
b
1
n1
1 a a
0
n2
1
0
b
0
Tabla 5.2: Definición de &, . y & 0
0 0
a
b
1
.
0 a
1
-
0 a
b
0
0 0
0
1 a a 0
0
1
b
0 0
a
0
0
0 1
a
1 a a 0
a
1
b
0 0
b
0
1
1 1
b
1 a a 0
b
1
b
0 0
1
0
1
1 1
1
1
1
1
1
1 1
1
b
1
1
1
Es fácil comprobar, a partir de las Tablas 5.1 y 5.2, que las negaciones adjuntas
ns y nn coinciden con n1 y n2 , respectivamente.
Puesto que las condiciones de frontera de los pares de negaciones débiles ns (>) = nn (>) = ⊥ no se satisfacen siempre en el marco adjunto,
se concluye que el recíproco del teorema anterior no es cierto en general,
como el siguiente ejemplo evidencia.
Ejemplo 5.5. Sea (L, ) un retículo completo lineal, donde L = {⊥, x1 , t, x2 , >}
y ⊥ x1 t x2 >. Sea & : L×L → L el conjuntor definido en la Tabla 5.3,
134
5.2. C OMPARACIÓN CON OTROS OPERADORES DE NEGACIÓN
y sean ., - : L × L → L las implicaciones residuadas del conjuntor & definidas
en la Tabla 5.4.
Tabla 5.3: Definición de &
&
⊥
⊥ x1
x2 >
t
⊥
⊥ ⊥ ⊥
⊥
x1 ⊥
⊥ ⊥ ⊥
⊥
⊥
t
t
t
x 2 ⊥ x1
t
t
x2
>
t
⊥
t
⊥ x1
x2 >
Tabla 5.4: Definición de . y .
⊥ x1
t
x2 >
-
⊥ x1
⊥
>
t
x1 x1 x1
⊥
>
> x1 ⊥
x1
>
> x1 x1 x1
x1
>
> x1 x1 x1
t
>
>
> x2
t
t
>
>
> x2
x2
>
>
>
> x2
x2
>
>
>
> x2
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
t
x2 >
⊥
t
>
Teniendo en cuenta la Definición 3.1, (&, ., -) es un triple adjunto con
respecto al retículo completo (L, ). Por tanto, las negaciones adjuntas ns y nn se
pueden definir a partir de este triple adjunto.
Directamente, por definición, los operadores ns y nn son decrecientes y, por el
Corolario 5.1, obtenemos que ns nn y nn ns son operadores de clausura. Entonces,
ns y nn satisfacen las Condiciones (2) y (3) de la Definición 5.3.
Sin embargo, es fácil observar que ns (>) = ⊥ . > = x1 6= ⊥. Por consiguiente, esta negación adjunta no satisface la condición de frontera ns (>) = ⊥
asumida en la definición de par de negaciones débiles.
135
C APÍTULO 5. N EGACIONES A DJUNTAS
Por tanto, podemos concluir que las negaciones adjuntas son una generalización de los pares de negaciones débiles. Así pues, podemos extender
los ambientes de trabajo en los que ellos se usan puesto que necesitamos
asumir menos condiciones. Los dominios y codominios pueden ser distintos y éstos pueden ser conjuntos parcialmente ordenados generales, sin necesidad de que sean lineales ni retículos. Obsérvese que, aunque los pares
de negaciones débiles se definen en un conjunto parcialmente ordenado,
las propiedades presentadas en [59] vienen dadas para una cadena acotada, lo que hace que estas negaciones sean más restrictivas a la vez que se
reduce su aplicabilidad. De hecho, la igualdad n1 (x ∧ y) = n1 (x) ∨ n1 (y),
para todo x, y ∈ P , considerada en la Proposición 3.1 de [59] no es cierta
en un retículo general, como mostró el Ejemplo 5.3.
5.2.2.
Álgebras de orden extendido con negaciones
En esta sección mostraremos una comparación entre los operadores de
negación presentados en [38] y las negaciones adjuntas. Los operadores
correspondientes al conectivo lógico de negación, introducidos por Della
Stella y Guido, fueron definidos considerando w-ceo álgebras simétricas
(Definición 4.7 del Capítulo 4).
Definición 5.4. Dada (L, →, >) una w-ceo álgebra, se define la operación unaria
[·]− : L → L, como x− = x → ⊥, para todo x ∈ L.
Si (L, →, >) es una w-ceo álgebra simétrica, entonces podemos definir un
operador unario más:
[·]∼ : L → L, definido como x∼ = x
⊥, para todo x ∈ L.
Ambas operaciones se llaman negaciones y son duales una de la otra.
La negación [·]− ([·]∼ , respectivamente) se dice que es involutiva si satisface
la igualdad estándar x−− = x (x∼∼ = x, respectivamente), para cada x ∈ L.
136
5.2. C OMPARACIÓN CON OTROS OPERADORES DE NEGACIÓN
Las negaciones [·]− y [·]∼ , y también la w-ceo álgebra simétrica, se dice que
son involutivas cruzadas si x∼− = x−∼ = x, para cada x ∈ L.
La proposición que viene a continuación muestra que estos operadores
son casos particulares de las negaciones adjuntas ns y nn .
Proposición 5.7. Dada (L, →, >) una w-ceo álgebra simétrica y distributiva a
la derecha, los operadores unarios definidos previamente, [·]− , [·]∼ , son negaciones
adjuntas.
Demostración. La prueba se obtiene directamente a partir de la Proposición 4.20 y las Definiciones 5.1 y 5.4.
Como consecuencia, las propiedades de las negaciones adjuntas se pueden aplicar a [·]− , [·]∼ sobre w-ceo álgebras simétricas y distributivas a la
derecha.
En [38], se establecieron propiedades básicas de las negaciones [·]− y
[·]∼ . Las negaciones adjuntas dadas en la Definición 5.1 satisfacen la mayoría de estas propiedades requiriendo menos condiciones. Concretamente, las Proposiciones 5.2, 5.3 y 5.4 generalizan la Proposición 6.2 de [38],
así como la generalización de las propiedades dadas en la Proposición de
6.3 [38] viene dada en la Proposición 5.5.
En cuanto a las propiedades mostradas en la Proposición 6.4 de [38],
éstas se han extendido a través del Corolario 5.1 y la Proposición 5.4. Finalmente, en la Proposición 5.6 se muestran las condiciones que los operadores nn y ns deben satisfacer a fin de generalizar la Proposición 6.5
de [38].
Otra propiedad que las negaciones adjuntas no necesitan satisfacer es
que ns (>) = ⊥ y nn (>) = ⊥. Sin embargo, los operadores de negación [·]−
y [·]∼ siempre cumplen estas condiciones: >− = ⊥ y >∼ = ⊥.
137
C APÍTULO 5. N EGACIONES A DJUNTAS
Por lo tanto, podemos concluir esta sección afirmando que las negaciones adjuntas son operadores más generales que los operadores de negación dados en [38], puesto que ns y nn satisfacen las mismas propiedades
pero requiriendo menos condiciones en general. Además, ns y nn se definen sobre dos conjuntos parcialmente ordenados diferentes.
5.3.
Disyunción dual de un conjuntor adjunto
Las t-conormas son usadas en multitud de aplicaciones reales en las
que la lógica difusa es básica. Un tipo especial de t-conorma, la cual recibe
el nombre de t-conorma dual de T , es la definida a partir de una t-norma y
la negación estándar en [0, 1], esta es, Ns (x) = 1 − x [71].
A fin de incrementar el poder expresivo de las lógicas en las que se
consideran triples adjuntos y negaciones, presentaremos la noción correspondiente a una t-conorma dual (o disyunción dual, en general) en este
marco de trabajo.
La disyunción dual de un conjuntor adjunto se define a través de las
negaciones adjuntas obtenidas a partir de un triple adjunto con respecto
a un conjunto parcialmente ordenado y acotado inferiormente. Dicha disyunción generaliza a la t-conorma dual de una t-norma. En lo sucesivo,
se presentarán varias propiedades relativas a este operador, entre las que
se encuentra la existencia de dos implicaciones residuadas asociadas a la
disyunción dual que satisfacen una equivalencia dual a la propiedad de
adjunción.
Definición 5.5. Dado un triple adjunto (&, ., -) con respecto a un conjunto
parcialmente ordenado y acotado inferiormente (P, ≤, ⊥), una disyunción dual
del conjuntor adjunto ⊕ : P × P → P , se define, a partir de los operadores de
negación ns : P → P y nn : P → P , de la siguiente forma:
x ⊕ y = nn (ns (x) & ns (y))
138
5.3. D ISYUNCIÓN DUAL DE UN CONJUNTOR ADJUNTO
Obsérvese que podrían darse definiciones alternativas usando cualquier negación adjunta, nn o ns , en cualquier lugar de la expresión anterior.
Directamente, a partir de las definiciones y propiedades de los operadores &, ns y nn , se obtienen propiedades interesantes de ⊕, como las que
se muestran a continuación.
Proposición 5.8. Sea (&, ., -) un triple adjunto con respecto a un conjunto
parcialmente ordenado y acotado inferiormente (P, ≤, ⊥). La disyunción dual del
conjuntor adjunto ⊕ cumple las siguientes propiedades:
(1) ⊕ es creciente en ambos argumentos, esto es, si x1 , x2 , x, y1 , y2 , y ∈ P tales
que x1 ≤ x2 , y1 ≤ y2 , entonces (x1 ⊕ y) ≤ (x2 ⊕ y) y (x ⊕ y1 ) ≤ (x ⊕ y2 ).
(2) Si (P, ≤, ⊥, >) es un conjunto parcialmente ordenado y acotado, entonces
>⊕y =>
y
x ⊕ > = >, para todo x, y ∈ P .
Demostración. (1) La prueba del crecimiento de ⊕ se obtiene directamente por la monotonía de los operadores &, ns y nn . Dados x1 , x2 , y ∈ P , si
x1 ≤ x2 obtenemos que ns (x2 ) ≤ ns (x1 ), ya que el operador ns es decreciente. Además, dado que & es creciente en ambos argumentos se deduce que
ns (x2 ) & ns (y) ≤ ns (x1 ) & ns (y). Aplicando ahora la monotonía del operador nn , se obtiene la desigualdad nn (ns (x1 ) & ns (y)) ≤ nn (ns (x2 ) & ns (y)), o
lo que es lo mismo, x1 ⊕y ≤ x2 ⊕y. La monotonía en el segundo argumento
se prueba de manera similar.
La siguiente cadena de igualdades prueba la propiedad (2):
(a)
(b)
> ⊕ y = nn (ns (>) & ns (y)) = nn (⊥ & ns (y)) = nn (⊥) = >
donde la igualdad (a) viene dada por la Definición 5.3, y la (b) por la Proposición 3.2(2). La demostración de la igualdad x ⊕ > = > es análoga. De aquí en adelante, consideraremos un conjunto parcialmente ordenado y acotado (P, ≤, ⊥, >) ya que en diferentes aplicaciones es interesante
que la disyunción dual satisfaga las condiciones de frontera anteriores.
139
C APÍTULO 5. N EGACIONES A DJUNTAS
El siguiente resultado técnico establece las condiciones que las negaciones adjuntas ns , nn y el conjuntor de un triple adjunto (&, ., -) deben
satisfacer para poder asegurar que ⊥ es el elemento identidad por la izquierda para ⊕.
Proposición 5.9. Sea (&, ., -) un triple adjunto con respecto a P tal que sus
correspondientes negaciones adjuntas ns y nn son fuertes. Si > es el elemento
identidad por la izquierda para &, esto es > & y = y para todo y ∈ P , entonces la
igualdad ⊥ ⊕ y = y se cumple para todo y ∈ P .
Demostración. La igualdad ⊥ ⊕ y = y se prueba a partir de la siguiente
cadena de igualdades:
(1)
(2)
(3)
⊥ ⊕ y = nn (ns (⊥) & ns (y)) = nn (> & ns (y)) = nn (ns (y)) = y
donde (1) se debe al Corolario 5.1, (2) viende dado por hipótesis y (3) se
satisface por ser ns y nn negaciones adjuntas fuertes.
Considerando la condición de frontera x & > = x para todo x ∈ P , se
obtiene que ⊥ es el elemento identidad por la derecha para ⊕ de manera
análoga.
Puesto que la disyunción dual ⊕ se define a partir de un conjuntor
& no conmutativo, podemos definir dos implicaciones residuadas duales
distintas, .⊕ y -⊕ , como se muestra a continuación.
Definición 5.6. Sea (&, ., -) un triple adjunto con respecto a P cuyas negaciones adjuntas ns y nn son fuertes. Para todo x, y ∈ P , se definen los siguientes
operadores:
z .⊕ y = nn (ns (z) . ns (y))
z -⊕ x = nn (ns (z) - ns (x))
El siguiente resultado muestra que los operadores anteriores son, de
hecho, las implicaciones residuadas asociadas a la disyunción dual del
conjuntor de un triple adjunto.
140
5.3. D ISYUNCIÓN DUAL DE UN CONJUNTOR ADJUNTO
Proposición 5.10. Dado un triple adjunto (&, ., -) con respecto a P y las
negaciones adjuntas fuertes ns y nn construidas a partir del triple. Se satisface
que existen dos aplicaciones .⊕ , -⊕ : P × P → P cumpliendo la equivalencia
z .⊕ y ≤ x si y solo si z ≤ x ⊕ y
si y solo si z -⊕ x ≤ y
(5.5)
para todo x, y, z ∈ P .
Demostración. En primer lugar, consideramos las implicaciones .⊕ y -⊕
dadas en la Definición 5.6, esto es,
z .⊕ y = nn (ns (z) . ns (y))
z -⊕ x = nn (ns (z) - ns (x))
Comprobemos que estas implicaciones verifican la Equivalencia (5.5). Para
todo x, y, z ∈ P , se satisface la siguiente cadena de desigualdades equivalentes.
z ≤ x⊕y
z ≤ nn (ns (x) & ns (y)) (Definición 5.5)
ns (nn (ns (x) & ns (y))) ≤ ns (z) (monotonía del operador ns )
ns (x) & ns (y) ≤ ns (z) (ns y nn negaciones adjuntas fuertes)
ns (x) ≤ ns (z) . ns (y) (propiedad de adjunción)
nn (ns (z) . ns (y)) ≤ nn (ns (x)) (monotonía del operador nn )
nn (ns (z) . ns (y)) ≤ x (ns y nn negaciones adjuntas fuertes)
z .⊕ y ≤ x (definición de .⊕ )
La prueba de la equivalencia: z ≤ x ⊕ y si y solo si z -⊕ x ≤ y, se
obtiene análogamente.
Al igual que ocurre con los triples adjuntos, la unicidad de las implicaciones residuadas duales .⊕ y -⊕ también se satisface, como muestra el
siguiente resultado.
141
C APÍTULO 5. N EGACIONES A DJUNTAS
Proposición 5.11. Sea ⊕ la disyunción dual de un conjuntor adjunto & y sea
(⊕, .⊕ , -⊕ ) un triple satisfaciendo la Equivalencia (5.5). Entonces, los operadores .⊕ y -⊕ son únicos.
Demostración. Supongamos que existen .⊕1 y .⊕2 satisfaciendo la propiedad de adjunción con respecto a la misma disyunción dual ⊕. Puesto que z .⊕1 y ≤ z .⊕1 y se cumple para todo y, z ∈ P , entonces
z ≤ (z .⊕1 y)⊕y. Ahora bien, aplicando la Equivalencia (5.5) con respecto
a la otra implicación, obtenemos que z .⊕2 y ≤ z .⊕1 y. Análogamente,
se prueba la desigualdad z .⊕1 y ≤ z .⊕2 y. Por tanto, concluimos que
z .⊕1 y = z .⊕2 y para todo y, z ∈ P .
La prueba sigue de manera similar para la implicación -⊕ .
Todas las propiedades presentadas, sobre la disyunción dual del conjuntor de un triple adjunto y sus respectivas implicaciones, hace que la
expresividad de aquellas lógicas en las que se utilizan triples adjuntos y
negaciones pueda ser más amplia.
142
Capítulo 6
Aplicación a un sistema de apoyo
a la decisión
El eje central de esta tesis ha sido el estudio de las álgebras multiadjuntas y los operadores que constituyen estas estructuras, los triples adjuntos.
Por este motivo, queremos terminar presentando una interesante aplicación de estas herramientas basada en el uso de las ecuaciones de relaciones difusas multiadjuntas como sistema de apoyo a la decisión en lógica
difusa.
Existen distintas situaciones en las que se necesitan recalcular los pesos de las reglas de un programa lógico. En este capítulo, probaremos que
el marco de las ecuaciones de relaciones difusas multiadjuntas proporciona un mecanismo para resolver este importante problema. Mostraremos
cómo un programa lógico multiadjunto se puede interpretar como un sistema de ecuaciones de relaciones difusas multiadjuntas y estudiaremos la
resolubilidad del sistema obtenido. Veremos cómo se interpretan las soluciones como las intensiones de los conceptos de un retículo multiadjunto
orientado a objetos [82].
Además, se proporcionarán dos tipos de soluciones aproximadas (una
C APÍTULO 6. A PLICACIÓN A UN SISTEMA DE APOYO A LA DECISIÓN
pesimista y otra optimista) para aquellos casos en los que la ecuación es
irresoluble y necesitamos conocer una solución aproximada del problema.
Finalmente, mostraremos un ejemplo real, estudiado en [72], en el que se
aplica la teoría desarrollada a lo largo del capítulo.
6.1.
Sistemas de apoyo a la decisión
En los últimos años, distintas áreas de investigación como por ejemplo
la informática, la ergonomía, las ciencias de la información, la organización y dirección empresarial y el análisis de decisiones han realizado un
gran esfuerzo para proporcionar apoyo a los procesos en los que se requiere tomar decisiones. Al final de la década de los 60, los investigadores
Raymond, Turban, Urban, Holt y Huber estudiaron cómo el uso de los ordenadores podría ayudar en la toma de decisiones. Este nuevo enfoque
condujo a lo que se conoce como Sistemas de Apoyo a la Decisión (DSS,
del inglés Decision Support Systems).
Los DSS se sustentan en el desarrollo de varias disciplinas relacionadas con las tecnologías de la información y los modelos de decisión, para mejorar la eficiencia con la que los usuarios toman una decisión y la
efectividad de dicha decisión. Aunque el término DSS parece simple e intuitivo, no existe una definición universalmente aceptada de lo que es un
DSS. De hecho, podemos encontrar en la literatura distintas definiciones
dependiendo del punto de vista del autor.
A pesar de las distintas interpretaciones que puede tener el término
DSS, es posible identificar las principales características de esta noción teniendo en cuenta el enfoque de Alter [4]:
Los DSS están diseñados específicamente para facilitar los procesos
de decisión.
144
6.1. S ISTEMAS DE APOYO A LA DECISIÓN
Deben proporcionar soporte más que automatizar la toma de decisiones.
Tienen que responder a las necesidades cambiantes de los usuarios
que toman las decisiones.
Aunque la historia de los DSS es relativamente breve, los conceptos y
tecnologías relativos a este marco de trabajo todavía están evolucionando.
Recientemente, potentes herramientas tales como el almacenamiento de
datos, OLAP (procesamiento analítico en línea) y la minería de datos han
desempeñado un papel importante en el desarrollo, aplicación e impacto
de los DSS [106].
La popularidad de los DSS se ha incrementado significativamente ya
que se aplican en multitud de ambientes multidisciplinarios: negocios [97],
industria [70], ingeniería [117], modelización medioambiental [36, 101] y
medicina [74, 76], entre otros.
En lo que respecta a la disciplina matemática, un importante DSS viene dado por las ecuaciones de relaciones difusas, introducidas por E. Sanchez [104]. Dichas ecuaciones se usan para investigar aspectos teóricos y
aplicados de la teoría de conjuntos difusos [41], tales como el razonamiento aproximado, pronóstico de series temporales, la toma de decisiones y el
control difuso, como una herramienta adecuada para la manipulación y el
modelado de formas no probabilísticas de incertidumbre. Estas ecuaciones
se han estudiado en profundidad en diversos artículos [6, 9, 34, 41, 99, 100].
Ahora, nuestro objetivo es aplicar una generalización de dichas ecuaciones, las ecuaciones de relaciones difusas multiadjuntas [44], como sistema de apoyo a la decisión en sistemas de conocimiento en lo que usamos
la programación lógica multiadjunta. Con este propósito, introducimos la
siguiente sección en la que se presentan algunas nociones sobre programación lógica, completando las dadas en la Sección 3.2.1 del Capítulo 3.
145
C APÍTULO 6. A PLICACIÓN A UN SISTEMA DE APOYO A LA DECISIÓN
6.2.
Algunas nociones de Programación Lógica
La estructura algebraica considerada en este entorno es el retículo multiadjunto (L, , &1 , .n , . . . , &n , .n ), el cual ya se ha definido en el Capítulo 3. A partir de dicha estructura, se define el programa multiadjunto
como un conjunto de reglas ponderadas y hechos de un lenguaje dado F.
Definición 6.1. Un programa lógico multiadjunto P es un conjunto de reglas
de la forma h(A .i B), ϑi tales que:
(1) La regla (A .i B) es una fórmula de F;
(2) El factor de confianza ϑ es un elemento (un valor de verdad) de L;
(3) La cabeza de la regla A es un átomo;
(4) El cuerpo de la regla B es una fórmula construida a partir de átomos
B1 , . . . , Bn (n ≥ 0) usando conjuntores, disyuntores y operadores de agregación.
(5) Los hechos son reglas cuyo cuerpo es >.
Como se ha mencionado al inicio del capítulo, el objetivo que se persigue consiste en mostrar las ecuaciones de relaciones difusas multiadjuntas
como un sistema de apoyo a la decisión en sistemas de conocimiento en los
que se usa lógica difusa. Para facilitar la compresión del contenido del trabajo, partiremos de un programa lógico simple en el que nos apoyaremos
a lo largo del capítulo. En dicho programa, no se considerarán símbolos de
funciones en las fórmulas y las reglas se definirán de un conjunto de átomos, que llamamos hipótesis (H), a otro que llamamos átomos observados
(O), siendo O ∩ H = ∅, como puede verse en el ejemplo que mostramos a
continuación.
146
6.2. A LGUNAS NOCIONES DE P ROGRAMACIÓN L ÓGICA
Ejemplo 6.1. Consideremos el retículo multiadjunto
h[0, 1], ≤, &G , .G , &P , .P , @i
donde &G y &P son los conjuntores Gödel y producto, respectivamente, y .G , .P
sus implicaciones residuadas correspondientes. Además, estamos utilizando un
operador extra @ que es el operador de agregación definido como @(x, y, z) =
(2x + y + 3z)/6, para todo x, y, z ∈ [0, 1]. Dicho operador proporciona la preferencia más alta al tercer argumento y después al primer argumento, siendo el
segundo argumento el menos significante.
En primer lugar, definimos el conjunto de símbolos de predicado:
Π = {high_fever, normal_fever, high_muscle_pain, normal_muscle_pain,
high_headache, high_nasal_congestion, high_vomit, flu, ebola}
Los primeros seis símbolos de predicado se escribirán de manera abreviada como
hf, nf, hmp, nmp, hh, hnc y hv, respectivamente.
El siguiente conjunto de reglas da lugar a un programa lógico multiadjunto
que puede servir para representar algún conocimiento general sobre los síntomas
de ciertas enfermedades, como son la gripe y el ébola, y el diagnóstico final dado
con respecto a estos síntomas.
hflu(t, p, h, c) .G hf(t) &G nmp(p), 0.9i
hflu(t, p, h, c) .P hh(h) &P (hnc(c) &G nf(t)), 0.7i
hebola(t, p, v) .P hf(t) &G hmp(p), 0.6i
hebola(t, p, v) .G @(hf(t), nmp(p), hv(v)), 0.8i
La semántica de estos programas lógicos requieren una noción de consecuencia (implicación).
147
C APÍTULO 6. A PLICACIÓN A UN SISTEMA DE APOYO A LA DECISIÓN
Definición 6.2. Una interpretación es una aplicación que va de la base de Herbrand del programa al retículo multiadjunto de valores de verdad L. El conjunto
de todas las interpretaciones de las fórmulas se denota por IL .
Por ejemplo, la Figura 6.1 muestra la interpretación de los átomos hipótesis del programa P anterior. Concretamente, la interpretación de hf(t)
y nf(t) está en la gráfica titulada Fever; nmp(p) y hmp(p) en la gráfica Muscle
Pain; hh(h), hnc(c) y hv(v) en las gráficas Headache, Nasal Congestion y Vomit, respectivamente. Estas aplicaciones se denotarán con un punto sobre
.
.
.
.
.
.
.
el nombre, esto es, hr(t), nf(t), hmp(p), nmp(p), hh(h), hnc(c) y hv(v).
El orden de los valores de verdad se puede extender fácilmente al conjunto de interpretaciones.
Definición 6.3. Dada una interpretación I ∈ IL , decimos que una regla ponderada hA .i B, ϑi se satisface por I si y solo si ϑ Iˆ (A .i B), donde para una fórˆ ) = ı́nf{I(F θ) | θ es una sustitución básica1 }.
mula dada F obtenemos que I(F
Definición 6.4. Una interpretación I ∈ IL es un modelo de un programa lógico
multiadjunto P si y solo si todas las reglas ponderadas en P se satisfacen por I.
Uno de los procedimientos más importantes a fin de obtener el modelo
minimal de un programa lógico multiadjunto viene dado por el operador
de consecuencias inmediata, el cual es una generalización del propuesto
por van Emden y Kowalski [50].
Definición 6.5. Sea P un programa lógico multiadjunto. El operador de consecuencias inmediata TPL : IL → IL se define, para cada interpretacion I y cada
átomo básico A, como:
n
o
i
ˆ
TP (I)(A) = sup ϑ&i I(Bθ) | hC. B, ϑi ∈ P donde A = Cθ
1
Una sustitución básica es una aplicación que reemplaza las variables de un átomo
por constantes.
148
6.2. A LGUNAS NOCIONES DE P ROGRAMACIÓN L ÓGICA
Figura 6.1: Interpretación de los átomos hipótesis en el programa P
La semántica de un programa lógico multiadjunto P viene dada por el
menor modelo, el cual coincide con el menor punto fijo de TPL , y se puede
calcular iterando el operador TPL a partir de la interpretación mínima ∆.
Si TPL es continuo, entonces el menor punto fijo se puede alcanzar en un
número finito de pasos de la iteración mencionada. En [86], se prueba la
monotonía y la continuidad de TPL en el ambiente de la lógica de primer
orden.
A continuación presentamos un ejemplo ilustrativo, basado en el pro149
C APÍTULO 6. A PLICACIÓN A UN SISTEMA DE APOYO A LA DECISIÓN
grama del Ejemplo 6.1, en el que se calcula el menor punto fijo de TPL a
fin de conocer con qué factor de confianza podemos diagnosticar que una
persona padece gripe, teniendo en cuenta la temperatura y el nivel de congestión nasal de dicha persona.
Ejemplo 6.2. El siguiente programa lógico, consistente en dos reglas multiadjuntas, nos servirá para representar algún conocimiento general sobre la diagnosis de
la gripe:
hflu(t, c) .G hf(t), 0.9i
hflu(t, c) .P hnc(c), 0.7i
Para conocer el valor de flu(t0 , c0 ), siendo t0 una determinada temperatura
y c0 un cierto nivel de congestión nasal, consideraremos además de las reglas
anteriores, la sustitución θ definida como θ(t) = t0 , θ(c) = c0 y la interpretación
.
.
I definida como I(hf(t)θ) = hr(t0 ), I(hnc(c)θ) = hnc(c0 ), cuyo valor se obtiene
a partir del operador de consecuencias inmediata como:
.
.
TP (I)(flu(t0 , c0 )) = (0.9 &G hr(t0 )) ∨ (0.7 &P hnc(c0 ))
.
.
donde hr(t0 ) y hnc(c0 ) son los valores dados por las aplicaciones high_fever y
high_nasal_congestion representadas en la Figura 6.1.
Ya solo queda calcular el menor punto fijo del operador de consecuencias inmediata a partir del modelo mínimo para conocer el valor de flu(t0 , c0 ) .
Supongamos que nos preguntamos si a una persona con temperatura t0 =
39.2 y congestión nasal c0 = 6.5 se le puede diagnosticar gripe, entonces tenemos
que calcular el valor de flu(39.2, 6.5) asumiendo como hechos esa temperatura
y congestión nasal. Por consiguiente, introducimos en el programa los siguientes
hechos:
hhf(39.2) . 1, 0.8i
hhnc(6.5) . 1, 0.5i
150
6.2. A LGUNAS NOCIONES DE P ROGRAMACIÓN L ÓGICA
Estos hechos significan que una persona con una temperatura de 39.2◦ C y
con una puntuación de 6.5 con respecto al nivel de congestión nasal, tiene fiebre
.
alta con factor de confianza hr(39.2) = 0.8 y congestión nasal alta con factor de
.
confianza hnc(6.5) = 0.5.
Ahora, aplicando la Definición 6.5 e iterando a partir de la interpretación mínima ∆ (que asigna el valor 0 a cada predicado), obtenemos la siguiente tabla:
∆ TP (∆) TP2 (∆) TP3 (∆)
hf(t0 )
0
0.8
0.8
0.8
hnc(c0 )
0
0.5
0.5
0.5
flu(t0 , c0 )
0
0
0.8
0.8
Los cálculos terminan en la tercera iteración puesto que TP2 (∆) = TP3 (∆),
por lo que TP2 (∆) es el menor punto fijo. Por tanto, teniendo en cuenta el modelo
minimal del programa P, podemos afirmar que el valor de flu(39.2, 6.5) es 0.8, es
decir, el factor de confianza con el que podemos asegurar que dicha persona padece
gripe es 0.8.
Ahora bien, supongamos que un experto analiza el resultado obtenido (a partir de los valores de entrada) del programa del ejemplo anterior.
Tras analizarlo, asegura que dicho resultado no es correcto y modifica el
valor de salida. Esto implica que se debe readaptar el programa a fin de
considerar el valor modificado recalculando, por ejemplo, los pesos de las
reglas.
Otra situación análoga podría darse cuando se necesitan calcular los
pesos de las reglas a partir de valores de entrada y de salida conocidos.
El objetivo principal que se persigue en este capítulo es resolver este
tipo de problemas.
151
C APÍTULO 6. A PLICACIÓN A UN SISTEMA DE APOYO A LA DECISIÓN
6.3.
Triples adjuntos en ecuaciones de relaciones
difusas
Los triples adjuntos son los operadores básicos de cálculo en el ambiente de los retículos de conceptos multiadjuntos orientados a objetos, teoría
en la que se fundamentan los principales resultados que vamos a recordar
sobre la resolubilidad de las ecuaciones de relaciones difusas multiadjuntas y que se publicaron en [43]. Las ecuaciones de relaciones difusas multiadjuntas jugarán un papel clave como sistema de apoyo a la decisión.
Comenzaremos con un ejemplo que facilite la comprensión del problema que nos planteamos.
Ejemplo 6.3. Nuestro problema consiste en recalcular los pesos de las reglas del
programa considerado en el Ejemplo 6.2, a partir de instancias experimentales de
las variables. Esto significa que el valor de flu es conocido para observaciones
particulares y no sabemos o no estamos seguros de que los pesos de las reglas sean
0.9 y 0.7, respectivamente. Por tanto, consideraremos que los pesos de las reglas
son dos variables desconocidas ϑ1 y ϑ2 , lo que da lugar al siguiente programa
lógico:
hflu(t, c) .G hf(t), ϑ1 i
hflu(t, c) .P hnc(c), ϑ2 i
el cual se denotará como Pϑ .
Dados los niveles de gripe (l1 , . . . , lm ), las temperaturas (t1 , . . . , tm ) y los niveles de congestión nasal (c1 , . . . , cm ), obtenemos que el sistema asociado a flu
viene dado por el Sistema (6.1), donde ϑ1 y ϑ2 son pesos desconocidos asociados a
las reglas con cabeza flu.
.
.
flu(l1 ) = (ϑ1 &G hr(t1 )) ∨ (ϑ2 &P
..
..
..
.
.
.
.
.
flu(lm ) = (ϑ1 &G hr(tm )) ∨ (ϑ2 &P
152
.
hnc(c1 ))
.
hnc(cm ))
(6.1)
6.3. T RIPLES ADJUNTOS EN ECUACIONES DE RELACIONES DIFUSAS
Ahora, el significado de flu no depende directamente de los valores de hf y hnc.
Cada tupla de observaciones (tj , cj ) con j ∈ {1, . . . , m}, se puede interpretar como una sustitución básica2 θj : {t, c} → [36, 44.5] × [0, 10] definida como
θj (t) = tj , θj (c) = cj , y a partir de cada sustitución θj se puede introducir un
conjunto de hechos.
Por ejemplo, dada la sustitución básica θ0 : {t, c} → [36, 44.5] × [0, 10] definida como θ0 (t) = 39.2, θ0 (c) = 6.5, asumimos los siguientes hechos:
.
hhf(θ0 (t)) . 1, hr(θ0 (t))i = hhf(39.2) . 1, 0.8i
.
hhnc(θ0 (c)) . 1, hnc(θ0 (c))i = hhnc(6.5) . 1, 0.5i
considerados también en el Ejemplo 6.2.
El programa constituido por Pϑ y el conjunto de hechos proporcionado por
una sustitución básica θj , se denotará como Pϑ,θj .
La definición del programa Pϑ,θj , dada en el ejemplo anterior, se puede extender fácilmente a cualquier programa lógico multiadjunto P, con
pesos desconocidos ϑ y una sustitución básica θj . Por tanto, de aquí en
adelante usaremos esta notación en general.
El Sistema (6.1) puede verse como un caso particular de ecuación de relaciones difusas multiadjuntas. Siguiendo la filosofía del paradigma multiadjunto, estas ecuaciones se introdujeron en [43] como una generalización
de las ecuaciones de relaciones difusas usuales [34, 41, 100]. Sin embargo,
en este caso la matriz de variables está en el lado izquierdo de la ecuación,
por tanto la resolución es diferente.
Por tanto, necesitamos introducir definiciones nuevas y desarrollar un
procedimiento nuevo de resolución, basado en la teoría de los retículos de
conceptos multiadjuntos orientados a objetos, para resolver esta ecuación.
2
Obsérvese que el rango de la temperatura se ha considerado entre 36◦ C y 44.5◦ C y
los niveles de congestión nasal entre 0 y 10, donde 0 significa que no se padece congestión
nasal y 10 que el nivel de congestión nasal en el individuo es crítico.
153
C APÍTULO 6. A PLICACIÓN A UN SISTEMA DE APOYO A LA DECISIÓN
Debido a que el procedimiento es muy parecido al dado en [82], éste no
será estudiado en profundidad.
6.3.1.
Resolviendo ecuaciones de relaciones difusas
Desde este momento, la estructura algebraica sobre la que se presentarán las definiciones y los resultados será el marco multiadjunto orientado
a objetos (L1 , L2 , P, &1 , . . . , &l ) presentado en el Capítulo 3.
Definición 6.6. Dados los universos U , V y W , las relaciones difusas S : V ×
W → P y T : U × W → L2 , la relación difusa desconocida R : U × V →
L1 y una aplicación σ : V → {1, . . . , s} que relaciona cada elemento de W con
un triple adjunto, una ecuación de relaciones difusas multiadjunta (MARE,
del inglés Multi-adjoint Relation Equations) con sup-&-composición es la
ecuación:
R σ S = T
(6.2)
la cual también puede expresarse como
_
(R(u, v) &v S(v, w)) = T (u, w)
con
u ∈ U, w ∈ W
(6.3)
v∈V
donde &v representa el conjuntor adjunto asociado a v por σ.
Es importante destacar que la aplicación σ : V → {1, . . . , s} proporciona un grado extra de flexibilidad a la hora de resolver problemas reales
mediante ecuaciones de relaciones difusas.
Regresando al marco de la programación lógica multiadjunta, dado un
programa P y varias instancias experimentales de cada átomo dado en
el programa, las cuales pueden interpretarse con diferentes sustituciones
básicas, se puede obtener una ecuación de relaciones difusas multiadjunta
como la del Ejemplo 6.3.
154
6.3. T RIPLES ADJUNTOS EN ECUACIONES DE RELACIONES DIFUSAS
Definición 6.7. Sea P un programa lógico finito, D(P) el conjunto de todas las
variables en el programa, Σ = {θ1 , . . . , θm } el conjunto de instancias básicas
definidas sobre D(P), el cual representa diferentes observaciones, una para cada
j ∈ {1, . . . , m}, sea A = P(x1 , . . . , xr ) un átomo y Aθj los valores observados
para la instancia, denotados como O(Aθj ). El sistema formado por cada átomo
A = P(x1 , . . . , xr ):
O(Aθ1 ) =
..
..
.
.
(ϑ1 &i1 B1 θ1 ) ∨ · · · ∨ (ϑn &in Bn θ1 )
..
.
(6.4)
O(Aθm ) = (ϑ1 &i1 B1 θm ) ∨ · · · ∨ (ϑn &in Bn θm )
donde cada elemento en el supremo de cada ecuación anterior es un elemento en
P(Aθj ) = {ϑ &i Bθj | Cθj = Aθj y hC .i B, ϑi ∈ P}, con j ∈ {1, . . . , m},
recibe el nombre de MARE asociado al programa P y al predicado P, y lo
denotaremos como EP,Σ (P). Esta ecuación también se puede escribir como:


B1 θ1 . . . Bn θ1
 .
.. 
...
..
(ϑ1 , . . . , ϑn ) σ 
. 

 = (O(Aθ1 ), . . . , O(Aθm ))
B1 θm . . . Bn θm
o equivalemente como ϑ σ BΣ = O(AΣ).
Nótese que en la ecuación anterior los universos U , V y W , pueden
ser {A}, {B1 , . . . , Bn } y Σ, respectivamente, y las relaciones difusas S : V ×
W → L, T : U × W → L y R : U × V → L vienen representadas por las
matrices O(AΣ), BΣ y ϑ, respectivamente.
El siguiente ejemplo muestra que el Sistema (6.1) presentado en el Ejemplo 6.3 es el MARE asociado al programa P y al predicado flu, esto es,
EP,Σ (flu).
Ejemplo 6.4. Teniendo en cuenta que en el Ejemplo 6.3
h[0, 1], ≤, .G , &G , .P , &P i es el marco multiadjunto orientado a objetos
considerado.
155
C APÍTULO 6. A PLICACIÓN A UN SISTEMA DE APOYO A LA DECISIÓN
Los universos U , V y W se pueden identificar, respectivamente, con los conjuntos {flu(l)}, {hf(t), hnc(c)} y {θ1 , . . . , θm }, donde θj (l) = lj , θj (t) =
tj y θj (c) = cj para todo j ∈ {1, . . . , m}.
σ es la aplicación que asocia hf(t) al conjuntor &G y hnc(c) al conjuntor
&P .
Las relaciones difusas R : U × V → [0, 1], S : V × W → [0, 1] y T : U ×
W → [0, 1] se definen como R(flu(l), hf(t)) = ϑ1 , R(flu(l), hnc(c)) =
.
.
ϑ2 , S(hf(t), θj ) = hr(θj (t)), S(hnc(c), θj ) = hnc(θj (c)) y T (flu(l), θj ) =
.
flu(θj (l)), para todo j ∈ {1, . . . , m}.
Podemos concluir que el Sistema (6.1) se puede expresar como R σ S = T .
El recíproco de la Ecuación (6.2) es una ecuación de relaciones difusas multiadjunta con ı́nf-.-composición, esto es:
(6.5)
E /τ R = F
o lo que es lo mismo
^
(R(u, v) .w E(v, w)) = F (u, w)
con
u ∈ U, w ∈ W
(6.6)
v∈V
siendo E : V ×W → P , F : U ×W → L1 relaciones difusas y R : U ×V → L2
una relación difusa desconocida. Obsérvese que en la Ecuación (6.6), la
aplicación τ se define sobre W .
El siguiente teorema proporciona un mecanismo, basado en la teoría
de retículos de conceptos multiadjuntos orientados a objetos, para saber
cuándo una ecuación de relaciones difusas multiadjunta es resoluble.
Teorema 6.1. Sea u ∈ U y gu ∈ LW
2 un subconjunto difuso definido como
gu (w) = T (u, w), para todo w ∈ W . La Ecuación (6.2) es resoluble si y solo
si hgu , gu↑N i es un concepto de MN Π (V, W, S, σ), para todo u ∈ U . En este caso,
156
6.3. T RIPLES ADJUNTOS EN ECUACIONES DE RELACIONES DIFUSAS
la matriz R, definida por R(u, v) = gu↑N (v) para todo u ∈ U , v ∈ V , es la mayor
solución.
Análogamente, dado u ∈ U y el subconjunto difuso fu ∈ LW
1 definido como
fu (w) = F (u, w), para todo w ∈ W , la Ecuación (6.5) es resoluble si y solo si
Π
hfu↓ , fu i es un concepto de MN Π (W, V, E, τ ). Ahora, la matriz R definida por
Π
R(u, v) = fu↓ (v), para todo u ∈ U y v ∈ V , es la menor solución.
Demostración. La prueba es similar a la introducida en [43] para los retículos de conceptos multiadjuntos orientados a propiedades.
A partir de las definiciones y resultados previos, se obtiene el teorema
que introduce la primera respuesta a nuestro problema.
Teorema 6.2. Dado un programa lógico multiadjunto Pϑ , en el que los pesos
de las reglas son desconocidos y se escriben como un vector ϑ, dado un conjunto de instancias básicas Σ y un predicado P. Si la ecuación EPϑ ,Σ (P) tiene
una solución ϑ0 , entonces los modelos minimales Mj de Pϑ0 ,θj satisfacen que
Mj (Aθj ) = O(Aθj ) para todo j ∈ {1, . . . , m}.
Demostración. Puesto que estamos considerando programas lógicos multiadjuntos sin ciclos ni anidamientos tales que O ∩ H = ∅, los valores de
los átomos Aθj solo dependen de los átomos en el sistema EPϑ ,Σ (P). Por
tanto, la igualdad Mj (Aθj ) = O(Aθj ) se obtiene directamente para todo
j ∈ {1, . . . , m}.
Para facilitar la comprensión de la teoría desarrollada hasta el momento, presentamos el siguiente ejemplo en el que trabajaremos sobre el programa lógico considerado a lo largo del capítulo.
157
C APÍTULO 6. A PLICACIÓN A UN SISTEMA DE APOYO A LA DECISIÓN
Ejemplo 6.5. En primer lugar, necesitamos considerar un conjunto de datos experimentales:
.
.
.
flu(l1 ) = 0.4, flu(l2 ) = 0.7, flu(l3 ) = 0.4
.
.
.
hr(t1 ) = 0.4, hr(t2 ) = 0.6, hr(t3 ) = 0.6
.
.
.
hnc(c1 ) = 0.4, hnc(c2 ) = 0.8, hnc(c3 ) = 0.3
para resolver el sistema dado en el Ejemplo 6.3:
.
.
flu(l1 ) = ((ϑ1 &G hr(t1 )) ∨ (ϑ2 &P
.
.
flu(l2 ) = ((ϑ1 &G hr(t2 )) ∨ (ϑ2 &P
.
.
flu(l3 ) = ((ϑ1 &G hr(t3 )) ∨ (ϑ2 &P
.
hnc(c1 ))
.
hnc(c2 ))
.
hnc(c3 ))
donde ϑ1 y ϑ2 son variables desconocidas.
A partir del Ejemplo 6.4 y el Teorema 6.1, podemos afirmar que el contexto multiadjunto orientado a objetos que tenemos que considerar es (V, W, S, σ),
donde V = {hf(t), hnc(c)}, W = {θ1 , θ2 , θ3 } (correspondiente a las tres observaciones), S : V × W → [0, 1] es la relación dada por la Tabla 6.1 y σ es la aplicación
que asocia el átomo hf(t) con el conjuntor Gödel y hnc(c) con el conjuntor producto.
Tabla 6.1: Relación S
θ1
θ2
θ3
high_fever
0.4
0.6
0.6
high_nasal_congestion
0.4
0.8
0.3
Consideremos el subconjunto difuso gflu : W → [0, 1] asociado a flu, definido a través de los datos experimentales como gflu (θ1 ) = 0.4, gflu (θ2 ) = 0.7,
gflu (θ3 ) = 0.4. Interpretando gflu como la matriz (gflu (θ1 ), gflu (θ2 ), gflu (θ3 )) =
(0.4, 0.7, 0.4) y aplicando el Teorema 6.1, tenemos que el sistema
(ϑ1 , ϑ2 ) σ S = gflu
158
6.3. T RIPLES ADJUNTOS EN ECUACIONES DE RELACIONES DIFUSAS
↑N
tiene una solución si hgflu , gflu
i es un concepto de MN Π (V, W, S, σ). Por lo tanto,
Π
↑N ↓
= gflu se satisface.
debemos comprobar si la igualdad gflu
En primer lugar, calculamos (gflu )↑N .
(gflu )↑N (hf(t)) = ı́nf{gflu (θ1 ) .G S(hf(t), θ1 ), gflu (θ2 ) .G S(hf(t), θ2 ),
gflu (θ3 ) .G S(hf(t), θ3 )}
= ı́nf{0.4 .G 0.4, 0.7 .G 0.6, 0.4 .G 0.6}
= ı́nf{1, 1, 0.4} = 0.4
(gflu )↑N (hnc(c)) = ı́nf{0.4 .P 0.4, 0.7 .P 0.8, 0.4 .P 0.3}
= ı́nf{1, 0.875, 1} = 0.875
Π
Ahora, el subconjunto difuso (gflu )↑N ↓ se obtiene de la siguiente forma:
Π
(gflu )↑N ↓ (θ1 ) = sup{(gflu )↑N (hf(t)) &G S(hf(t), θ1 ),
(gflu )↑N (hnc(c)) &P S(hnc(c), θ1 ))}
= sup{0.4 &G 0.4, 0.875 &P 0.4}
= sup{0.4, 0.35} = 0.4
↓Π
(gflu )↑N (θ2 ) = sup{0.4 &G 0.6, 0.875 &P 0.8}
= sup{0.4, 0.7} = 0.7
Π
(gflu )↑N ↓ (θ3 ) = sup{0.4 &G 0.6, 0.875 &P 0.3}
= sup{0.4, 0.2625} = 0.4
Π
↑N ↓
↑N
Obviamente, gflu
= gflu . Por tanto, podemos afirmar que hgflu , gflu
i es un
concepto de MN Π (V, W, S, σ) y el sistema considerado se puede resolver, de hecho,
la solución mayor es (gflu )↑N , es decir, ϑ0 = (ϑ1 , ϑ2 ) = (0.4, 0.875).
Como el sistema (ϑ1 , ϑ2 )σ S = gflu tiene una solución ϑ0 , aplicando el Teore.
ma 6.2, obtenemos que los modelos minimales de Pϑ0 ,θj verifican Mj (flu(θj (l)) =
.
.
O(flu(θj (l)) = gflu (θj ), para todo j ∈ {1, 2, 3}. Por consiguiente, Mj (flu(l1 )) =
.
.
0.4, Mj (flu(l2 )) = 0.7 y Mj (flu(l3 )) = 0.4.
159
C APÍTULO 6. A PLICACIÓN A UN SISTEMA DE APOYO A LA DECISIÓN
Cuando la ecuación EPϑ ,Σ (P) es irresoluble, podemos calcular una aproximación de los pesos como se muestra en la siguiente sección.
6.3.2.
Soluciones aproximadas
Hasta el momento, hemos probado que el marco MARE proporciona
un mecanismo para volver a calcular los pesos de las reglas de un programa lógico, pero ¿qué ocurre cuando necesitamos la solución de un MARE
irresoluble? La respuesta a esta pregunta viene dada por los resultados
desarrollados en este apartado, los cuales ofrecen dos soluciones aproximadas (una aproximación optimista y otra pesimista) de las ecuaciones
irresolubles.
En primer lugar, mostraremos el teorema sobre la solución aproximada
pesimista para la ecuación irresoluble EPϑ ,Σ (P). Para obtener dicha solución, el procedimiento más sencillo es calcular el interior del vector obserΠ
vado O(AΣ). Concretamente, calculamos el vector3 O(AΣ)↑N ↓ e intercambiamos O(AΣ) por este nuevo vector en el Sistema (6.4).
Teorema 6.3. Dado un programa lógico multiadjunto Pϑ en el que los pesos de
las reglas son desconocidos y vienen expresados en un vector ϑ, un conjunto de
instancias básicas Σ y un predicado P, la ecuación
Π
O(AΣ)↑N ↓ = ϑ σ BΣ
es resoluble y su mayor solución es ϑg = O(AΣ)↑N . Además, los modelos mínimos
Mj de Pϑg ,θj satisfacen que Mj (Aθj ) 2 O(Aθj ), para todo j ∈ {1, . . . , m}.
Demostración. La demostración se obtiene de manera directa a partir de
Π
que ↑N ↓ es un operador interior y los Teoremas 6.1 y 6.2.
3
Π
Nótese que, aunque los operadores ↑N y ↓ se aplican sobre subconjuntos difusos de
objetos y atributos, respectivamente, ellos se pueden aplicar trivialmente sobre vectores
considerando dichos vectores como las imágenes de subconjuntos difusos.
160
6.3. T RIPLES ADJUNTOS EN ECUACIONES DE RELACIONES DIFUSAS
Existen otras posibilidades para obtener una solución aproximada, sin
embargo son computacionalmente más complejas. A continuación, introducimos un mecanismo basado en los conceptos cuya extensión es mayor
que O(AΣ). En este caso, necesitamos considerar un retículo de conceptos
orientado a objetos finito. Como consecuencia, el conjunto
↑N
G = {g ∈ LB
i ∈ MN Π }
2 | O(AΣ) 2 g y hg, g
es vacío o tiene elementos minimales.
El siguiente resultado introduce una solución aproximada optimista.
Teorema 6.4. Dado un programa lógico multiadjunto Pϑ en el que los pesos de
las reglas son desconocidos y vienen representados por un vector ϑ, un conjunto
de instancias básicas Σ y un predicado P, la ecuación
gm = ϑ σ BΣ
donde gm es un elemento minimal de G, es resoluble y los modelos minimales Mj
de Pϑm ,θj , donde ϑm es una solución de esta ecuación, verifican que O(Aθj ) 2
Mj (Aθj ) para todo j ∈ {1, . . . , m}.
Además, no existen otras aproximaciones que proporcionen modelos minimales con valores entre O(Aθj ) y Mj (Aθj ), es decir, no existe una función g0 tal
que la ecuación g0 = ϑ σ BΣ sea resoluble, con solución ϑ0 , y O(Aθj ) 2
M0,j (Aθj ) 2 Mj (Aθj ), donde M0,j son los modelos minimales de Pϑ0 ,θj para
todo j ∈ {1, . . . , m}.
Demostración. La prueba se obtiene a partir de la definición de G, del hecho
de que gm sea un elemento minimal en este conjunto y de los Teoremas 6.1
y 6.2.
Para ilustrar la teoría anteriormente desarrolla se introduce el siguiente
ejemplo.
161
C APÍTULO 6. A PLICACIÓN A UN SISTEMA DE APOYO A LA DECISIÓN
Ejemplo 6.6. Volviendo al Ejemplo 6.5 pero considerando ahora el subconjunto
difuso gflu : W → [0, 1], definido como gflu (θ1 ) = 0.4, gflu (θ2 ) = 0.5, gflu (θ3 ) =
↑N
0.3, podemos comprobar fácilmente que hgflu , gflu
i no es un concepto multiadjun-
to orientado a objetos. Por tanto, la ecuación gflu = (ϑ1 , ϑ2 ) σ S no es resoluble.
Así pues, calcularemos una aproximación de los pesos ϑ1 y ϑ2 haciendo uso de los
Teoremas 6.3 y 6.4.
Para obtener una solución aproximada pesimista, escribiremos el vector
Π
Π
Π
Π
(gflu )↑N ↓ = (gflu )↑N ↓ (θ1 ), (gflu )↑N ↓ (θ2 ), (gflu )↑N ↓ (θ3 ) = (0.3, 0.5, 0.3)
Π
en lugar de gflu , obteniendo la siguiente ecuación (gflu )↑N ↓ = (ϑ1 , ϑ2 ) σ S.
Aplicando el Teorema 6.3, podemos afirmar que dicha ecuación es resoluble y que
su mayor solución es ϑg = (gflu )↑N = (0.3, 0.625).
Ahora bien, para calcular una solución aproximada optimista necesitamos un
retículo de conceptos multiadjuntos orientado a objetos finito. Por tanto, consideraremos el intervalo granulado [0, 1]10 y la discretización de los conjuntores Gödel y producto con respecto a [0, 1]10 . Asimismo, fijamos el contexto multiadjunto
orientado a objetos (V, W, S, σ) del Ejemplo 6.5, pero en esta ocasión la aplicación
σ esta asociada a los conjuntores anteriores.
El retículo (MN Π , ≤), cuyo diagrama de Hasse se muestra en la Figura 6.2,
tiene los siguientes conceptos:
C0 = h{0/θ1 , 0/θ2 , 0/θ3 }, {0/hf(t), 0/hnc(c)}i
C1 = h{0.1/θ1 , 0.1/θ2 , 0.1/θ3 }, {0.1/hf(t), 0.1/hnc(c)}i
C2 = h{0.1/θ1 , 0.2/θ2 , 0.1/θ3 }, {0.1/hf(t), 0.2/hnc(c)}i
C3 = h{0.2/θ1 , 0.3/θ2 , 0.1/θ3 }, {0.1/hf(t), 0.3/hnc(c)}i
C4 = h{0.2/θ1 , 0.2/θ2 , 0.2/θ3 }, {0.2/hf(t), 0.2/hnc(c)}i
C5 = h{0.2/θ1 , 0.3/θ2 , 0.2/θ3 }, {0.2/hf(t), 0.3/hnc(c)}i
C6 = h{0.2/θ1 , 0.4/θ2 , 0.2/θ3 }, {0.2/hf(t), 0.5/hnc(c)}i
C7 = h{0.3/θ1 , 0.3/θ2 , 0.3/θ3 }, {0.3/hf(t), 0.3/hnc(c)}i
C8 = h{0.3/θ1 , 0.5/θ2 , 0.2/θ3 }, {0.2/hf(t), 0.6/hnc(c)}i
162
6.3. T RIPLES ADJUNTOS EN ECUACIONES DE RELACIONES DIFUSAS
C9 = h{0.3/θ1 , 0.4/θ2 , 0.3/θ3 }, {0.3/hf(t), 0.5/hnc(c)}i
C10 = h{0.3/θ1 , 0.5/θ2 , 0.3/θ3 }, {0.3/hf(t), 0.6/hnc(c)}i
C11 = h{0.4/θ1 , 0.4/θ2 , 0.4/θ3 }, {0.4/hf(t), 0.5/hnc(c)}i
C12 = h{0.3/θ1 , 0.6/θ2 , 0.3/θ3 }, {0.3/hf(t), 0.7/hnc(c)}i
C13 = h{0.4/θ1 , 0.5/θ2 , 0.4/θ3 }, {0.4/hf(t), 0.6/hnc(c)}i
C14 = h{0.4/θ1 , 0.7/θ2 , 0.3/θ3 }, {0.3/hf(t), 0.8/hnc(c)}i
C15 = h{0.4/θ1 , 0.6/θ2 , 0.4/θ3 }, {0.4/hf(t), 0.7/hnc(c)}i
C16 = h{0.4/θ1 , 0.5/θ2 , 0.5/θ3 }, {0.5/hf(t), 0.6/hnc(c)}i
C17 = h{0.4/θ1 , 0.8/θ2 , 0.3/θ3 }, {0.3/hf(t), 1.0/hnc(c)}i
C18 = h{0.4/θ1 , 0.7/θ2 , 0.4/θ3 }, {0.4/hf(t), 0.8/hnc(c)}i
C19 = h{0.4/θ1 , 0.6/θ2 , 0.5/θ3 }, {0.5/hf(t), 0.7/hnc(c)}i
C20 = h{0.4/θ1 , 0.8/θ2 , 0.4/θ3 }, {0.4/hf(t), 1.0/hnc(c)}i
C21 = h{0.4/θ1 , 0.7/θ2 , 0.5/θ3 }, {0.5/hf(t), 0.8/hnc(c)}i
C22 = h{0.4/θ1 , 0.6/θ2 , 0.6/θ3 }, {1.0/hf(t), 0.7/hnc(c)}i
C23 = h{0.4/θ1 , 0.8/θ2 , 0.5/θ3 }, {0.5/hf(t), 1.0/hnc(c)}i
C24 = h{0.4/θ1 , 0.7/θ2 , 0.6/θ3 }, {1.0/hf(t), 0.8/hnc(c)}i
C25 = h{0.4/θ1 , 0.8/θ2 , 0.6/θ3 }, {1.0/hf(t), 1.0/hnc(c)}i
Atendiendo al diagrama de Hasse (Figura 6.2), podemos comprobar fácilmente
que el conjunto de conceptos de (MN Π , ≤) cuyas extensiones son mayores que
gflu (θj ) = (0.4, 0.5, 0.3) para todo j ∈ {1, 2, 3} es:
G = {C13 , C14 , C15 , C16 , C17 , C18 , C19 , C20 , C21 , C22 , C23 , C24 , C25 }
Dicho conjunto tiene dos elementos minimales: C13 y C14 . Por consiguiente, por
el Teorema 6.4, existen dos soluciones aproximadas optimistas. Estudiemos dichas
soluciones por separado.
Considerando la extensión de C13 , la cual puede interpretarse como la matriz
fila g1 = (0.4, 0.5, 0.4), obtenemos que la ecuación g1 = ϑ σ S se puede resolver,
siendo su mayor solución la intensión del concepto hg1 , g1↑N i, y esta es ϑ1 = g1↑N =
(0.4, 0.6). Por tanto, una solución aproximada optimista de la ecuación original
es ϑ1 = (ϑ1 , ϑ2 ) = (0.4, 0.6).
163
C APÍTULO 6. A PLICACIÓN A UN SISTEMA DE APOYO A LA DECISIÓN
C25
C23
C24
C20
C21
C22
C17
C18
C19
C14
C15
C16
C12
C13
C10
C11
C8
C9
C6
C7
C5
C3
C4
C2
C1
C0
Figura 6.2: Diagrama de Hasse de (MN Π , )
Por otro lado, la solución más grande de la ecuación g2 = ϑ σ S, donde
g2 = (0.4, 0.7, 0.3) es la extensión del concepto C14 , es ϑ2 = g2↑N = (0.3, 0.8). Por
consiguiente, otra solución aproximada optimista es ϑ2 = (ϑ1 , ϑ2 ) = (0.3, 0.8).
Nótese que para comparar las aproximaciones optimistas con la pesimista, ne164
6.4. A PLICACIÓN A UN EJEMPLO PRÁCTICO
cesitamos que ésta última sea calculada en el caso finito del intervalo granulado
[0, 1]10 . Para ello, resolvemos la ecuación gp = ϑ σ S en el ambiente finito, donde
gp = (0.3, 0.5, 0.3) es la extensión de C11 . En este caso, la solución aproximada
pesimista es ϑp = (ϑ1 , ϑ2 ) = (0.3, 0.6), la cual como era de esperar es menor que
las aproximaciones optimistas.
Una vez calculadas las soluciones aproximadas pesimista y optimista, el usuario puede elegir qué solución es la mejor en el semirretículo inferior dado por el
menor elemento (0.3, 0.6) y los elementos maximales (0.4, 0.6) y (0.3, 0.8) del retículo [0, 1]10 × [0, 1]10 . En este caso, el semirretículo inferior solo tiene cuatro
elementos: {(0.3, 0.6), (0.4, 0.6), (0.3, 0.8), (0.3, 0.7)}.
A continuación, se muestra un ejemplo real (recientemente estudiado
en [72]) en el que se aplica el procedimiento desarrollado a lo largo del
capítulo.
6.4.
Aplicación a un ejemplo práctico
Esta sección considera un sistema de reglas difusas, introducido en [72],
que representa el proceso de razonamiento de un vendedor, indicando si
éste debería aceptar/rechazar la oferta del comprador. En [72], los autores definen un mecanismo de apoyo a la decisión basado en lógica difusa,
con el fin de manejar la incertidumbre en el proceso de negociación. Además, ellos prueban que este enfoque incrementó la eficiencia elevando la
utilidad del vendedor en las negociaciones.
A continuación, trabajaremos con un pequeño subconjunto de reglas
difusas del sistema considerado en [72] y mostraremos cómo el procedimiento desarrollado a lo largo del capítulo se puede aplicar como un sistema de apoyo a la decisión en este tipo de ejemplos reales.
Comenzamos presentando las variables del sistema en la Tabla 6.2.
Los valores que toman las variables de entrada y salida son expresio165
C APÍTULO 6. A PLICACIÓN A UN SISTEMA DE APOYO A LA DECISIÓN
nes lingüísticas definidas en los conjuntos difusos T D, BE, P D, N B, A ∈
{Low, M edium, High} a través de funciones trapezoidales. Ver [72] para
más detalles.
Tabla 6.2: Variables de entrada y salida
Variables de entrada
t
Diferencia entre el tiempo real de negociación y
la fecha límite del vendedor.
b
Creencia sobre la expiración de la fecha límite
del comprador.
d
Diferencia de precio entre la propuesta del
comprador y la siguiente oferta del vendedor.
N
Número de compradores esperando/interactuando
al/con el vendedor.
Variable salida
AD
Grado de aceptación.
Una vez fijadas todas las variables que el sistema considerará, mostramos la forma general de las reglas difusas (IF...THEN) tal y como se
introdujeron en [72].
R : IF t es T D(j) AND b es BE(j) AND d es P D(j) AND N es N B(j) THEN AD es A(j)
donde j representa a cada valor lingüístico.
El conjunto de reglas difusas representando el conocimiento del vendedor y su decisión vienen definidas por expertos y son dadas en [72]. En
este capítulo, solo vamos a considerar el siguiente subconjunto de éstas:
R1 : IF t es High AND b es Low AND d es High AND N es LowTHEN AD es Low
R2 : IF t es High AND b es Low AND d es MediumTHEN AD es Medium
R3 : IF t es Low AND b es High AND d es Low AND N es HighTHEN AD es High
166
6.4. A PLICACIÓN A UN EJEMPLO PRÁCTICO
Ahora, pasamos a interpretar estas reglas difusas como un programa
lógico. Para ello, nos vamos a fijar en las reglas R1 , R2 y R3 anteriores.
En primer lugar, nos centraremos en la primera regla R1 . Como salida,
debemos dar un valor para el grado de aceptación, por lo tanto vamos a
considerar el átomo AL (v, w, x, y) - Grado de aceptación Bajo - que depende de los valores iniciales de “diferencia entre el tiempo real de negociación y la fecha límite del vendedor"(v), “creencia sobre la expiración de la
fecha límite del comprador"(w), “diferencia de precio entre la propuesta
del comprador y la siguiente oferta del vendedor"(x) y “número de compradores esperando/interactuando al/con el vendedor"(y).
Para representar las variables de entrada, parece natural considerar los
átomos T DH (v), BEL (w), P DH (x), NL (y) para representar Diferencia de
Tiempo Alta, Creencia de Expiración Baja, Diferencia de Precio Alta y Número de compradores Bajo, respectivamente.
También debemos establecer qué operadores se utilizarán en las reglas.
Teniendo en cuenta la semántica asumida en el sistema [72], consideraremos el conjuntor Gödel definido sobre el intervalo unidad [0, 1] y su implicación residuada.
De esta forma, obtenemos la siguiente regla en el marco de la programación lógica:
R1 : hAL (z) ←G (T DH (v) &G BEL (w) &G P DH (x) &G NL (y)), ϑ1 i
donde ϑL es una variable desconocida en [0, 1]. Análogamente, se lleva a
cabo la transformación para las otras dos reglas y se obtiene el siguiente
programa lógico multiadjunto P :
R1 : hAL (v, w, x, y) ←G (T DH (v) &G BEL (w) &G P DH (x) &G NL (y)), ϑ1 i
R2 : hAM (v, w, x, y) ←G (T DH (v) &G BEL (w) &G P DM (x)), ϑ2 i
R3 : hAH (v, w, x, y) ←G (T DL (v) &G BEH (w) &G P DL (x) &G NH (y)), ϑ3 i
167
C APÍTULO 6. A PLICACIÓN A UN SISTEMA DE APOYO A LA DECISIÓN
donde ϑL , ϑM , ϑH ∈ [0, 1].
Con el fin de obtener un programa lógico multiadjunto asociado al problema presentado en [72], quedaría calcular los pesos de las reglas. Por
tanto, tomaremos valores particulares de las variables tdj , bej , pdj , nj , aj ,
con j ∈ {1, . . . , m}, para T D, BE, P D, N y A, respectivamente. Esto es,
consideraremos m sustituciones Σ = {θ1 , . . . , θm }. Entonces, a partir de
este programa, surgen tres sistemas MARE triviales EP,Σ (AL ), EP,Σ (AM ) y
EP,Σ (AH ), uno para cada tipo de grado de aceptación.
.
AL (aj ) = ϑL &G BL θj , con j ∈ {1, . . . , m}
.
AM (aj ) = ϑM &G BM θj , con j ∈ {1, . . . , m}
.
AH (aj ) = ϑH &G BH θj , con j ∈ {1, . . . , m}
(6.7)
(6.8)
(6.9)
donde ϑL , ϑM y ϑH son los pesos deconocidos asociados a cada sistema y
.
.
.
.
BL θj = T DH (tdj ) &G BEL (bej ) &G P DH (pdj ) &G NL (nj )
.
.
.
BM θj = T DH (tdj ) &G BEL (bej ) &G P DM (pdj )
.
.
.
.
BH θj = T DL (tdj ) &G BEH (bej ) &G P DL (pdj ) &G NH (nj )
para todo j ∈ {1, . . . , m}.
Para el Sistema (6.7), los universos son UL = {AL (a)}, VL = {BL } y
W = {θ1 , . . . , θm }, donde θj (a) = aj , θj (td) = tdj , θj (be) = bej , θj (pd) = pdj
y θj (n) = nj , para todo j ∈ {1, . . . , m}.
La aplicación σ relaciona cada elemento en V con &G y las relaciones
difusas R : U ×V → [0, 1], S : V ×W → [0, 1] y T : U ×W → [0, 1] se definen
.
como R(AL (a), BL ) = ϑL , S(BL , θj ) = BL θj y T (AL (a), θj ) = AL (θj (a)),
para todo j ∈ {1, . . . , m}. Por tanto, el Sistema (6.7) se puede escribir como:
.
.
(ϑL ) σ (BL θ1 . . . BL θm ) = (AL (θ1 (a)) . . . AL (θm (a)))
y la solución se puede calcular aplicando el Teorema 6.1. Los otros dos
sistemas se estudiarían de manera análoga.
168
6.4. A PLICACIÓN A UN EJEMPLO PRÁCTICO
Así pues, a partir de la teoría desarrollada en este capítulo, el sistema
se puede resolver y el factor de confianza de las reglas se puede calcular,
por lo que se obtiene un programa lógico que simula el proceso de razonamiento de un vendedor. Por tanto, podemos concluir que a partir de
MARE obtenemos un programa lógico que simula las negociaciones de
los vendedores. Y por consiguiente, podemos afirmar que MARE es un
mecanismo de apoyo a la decisión en este ejemplo concreto.
169
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Índice alfabético
Álgebra de Heyting, 41
Álgebra de adjunción, 86
Álgebra multiadjunta
birresiduada, 53
implicativa, 45
por la derecha, 45
por la izquierda, 45
Ínfimo, 21
isótona, 26
Conjunto parcialmente ordenado, 20
coherente, 24
Contexto multiadjunto, 65
orientado a objetos, 67
Cota
inferior, 21
superior, 21
Cuantal, 109
Adjunción, 26
Cuerpo, 146
Adjunto
inferior, 27
Diagrama de Hasse, 20
superior, 27
Disyunción dual, 138
Anticadena, 23
Elementos incomparables, 20
BL-álgebra, 42
Estructura de agregación, 107
Cabeza, 146
Factor de confianza, 146
Cadena, 23
Fuzzy and, 40
Cadena adjunta, 87
Concepto multiadjunto, 66
orientado a objetos, 68
Hecho, 146
Implicación
Condición de adjunción, 87
forzada, 87
Conexión de Galois
residuada, 38
antítona, 27
Interpretación, 148
Í NDICE ALFABÉTICO
Máximo, 21
dual por la izquierda, 81
Mínimo, 21
por la derecha, 44
Marco multiadjunto, 65
por la izquierda, 45
orientado a objetos, 67
Par de Galois débil, 45
MARE, 154–156
dual, 81
Modelo, 148
Par negaciones débiles, 131
Multirretículo, 23
Par residuado, 38
completo, 24
MV-álgebra, 42
Negación, 36, 136
Principio de intercambio, 55
Programa lógico multiadjunto, 146
Propiedad de adjunción, 38, 44
adjunta, 120
Regla, 146
adjunta fuerte, 120
Retículo, 22
débil, 36, 127
completo, 22
fuerte, 36
de adjunción, 87
involutiva, 36, 136
de adjunción completo, 87
involutiva cruzada, 137
distributivo, 25
ordinaria, 36, 127
multiadjunto, 64
residuado, 41
Operador
agregación, 39
Retículo de conceptos
clausura, 31
multiadjunto, 66
consecuencias inmediata, 148
multiadjunto orientado a objetos,
68
interior, 32
Orden
dual, 27
Semirretículo, 23
inferior, 23
natural, 95
parcial, 19
total, 20
superior, 23
Solución aproximada
optimista, 161
pesimista, 160
Par adjunto, 63
dual por la derecha, 81
Subretículo, 25
186
Í NDICE ALFABÉTICO
Supremo, 21
T-conorma, 35
dual, 138
T-norma, 33
arquimediana, 35
Triple adjunto, 44
dual, 81
Triple de implicación, 87
por la derecha, 92
por la izquierda, 91
total, 92
U-norma, 110
Uninorma, 111
W-eo álgebra, 95
completa, 96
distributiva derecha, 96, 104
simétrica, 103, 104
187