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Unidad II
ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN
Contenido
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Definición.
Postulados fundamentales.
Propiedades y teoremas básicos.
Funciones de conmutación.
Origen
• El algebra de conmutación, también llamada algebra de boole, En honor al matemático Inglés George Boole, utiliza sólo dos posibles valores para cada variable.
Axiomas
• Abstracción digital
– X=0 si X≠1
– X=1 si x≠0
• Complemento
– Si X=0 entonces X´=1
– Si X=1 entonces X´=0
Operación AND
• Se conoce como multiplicación lógica y se indica como X∙Y=Z
• Tabla de la verdad:
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
Z
0
0
0
1
Operación OR
• Se conoce como suma lógica y se indica como X+Y=Z
• Tabla de la verdad:
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
Z
0
1
1
1
Teoremas
• Identidad
– X+0=X
X∙1=X
• Elemento nulo
– X+1=1
X∙0=0
• Potencia idéntica
– X+X=X
X∙X=X
• Involución
– (X’)’=X
• Complemento
– X+X’=1
X∙X’=0
Teoremas
• Conmutatividad
– X+Y=Y+X
X∙Y=Y∙X
• Asociatividad
– (X+Y)+Z=X+(Y+Z)
(X∙Y)∙Z=X∙(Y∙Z)
• Distribuitividad
– X∙Y+X∙Z=X∙(Y+Z)
(X+Y)∙(X+Z)=X+Y∙Z
• Cubierta
– X+X∙Y=X
X∙(X+Y)=X
Teoremas
• Combinación
– X∙Y+X∙Y´=X
(X+Y)∙(X+Y´)=X
• Consenso
– X∙Y+X’∙Z+Y∙Z=X∙Y+X’∙Z
– (X+Y)∙(X´+Z)∙(Y+Z)=(X+Y)∙(X´+Z)
• Teorema de Morgan
– (X1∙X2∙…∙Xn)’= X1’+ X2‘ +…+Xn’
– (X1+ X2+…+Xn)’= X1’∙ X2‘ ∙…∙Xn’
Principio de dualidad
• Cualquier teorema o identidad en el algebra de conmutación continua siendo verdadero si tanto 0 y 1 como ∙ y + son intercambiado en todas las partes
• Ejemplo: todos los todos los teoremas anteriores
Tabla de la verdad
• Se representa el valor de las entradas y su correspondiente valor de salida
• Tiene 2n renglones, donde n es el número de entradas.
• Ejemplos tabla de la verdad de las operaciones AND y OR
Ejemplo
• Hallar la tabla de la verdad para la siguiente expresión: F=((X+Y’)∙Z)+(X’∙Y∙Z’)
X
Y
Z
0
0
0
F