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Física
Campo Eléctrico
Ejercicio Resuelto
Un disco circular de radio R está cargado uniformemente con una densidad de carga
s C/m2. Determinar el campo eléctrico y el potencial en un punto del eje
perpendicular.
Consideremos un elemento de superficie formado por un sector de
apertura dq de una corona circular de radios r y r + dr . El valor de esa superficie
será:
dS = r. dq .dr
y la carga que contiene será:
dq = s. dS = s. r. dq .dr
Esta carga creará en un punto, del eje perpendicular, situado a una distancia z, un
campo eléctrico de valor:
dE = k. dq /u2
Este campo puede descomponerse en dos vectores: uno en la dirección del eje z y
otro perpendicular al anterior; esta ultima componente se anulará con la
componente producida por un elemento de carga situado en la posición simétrica
en el disco, por lo que sólo interesa la componente en el eje z:
dEz = dE . sen a = (k. dq /u2). (z /u) = k. z. dq /u3 = k. z. s. r. dq .dr /(z2 + r2)3/2
El campo total será la integral de la expresión anterior desde 0 a 2.p, respecto a q ,
y desde 0 a R, respecto a la variable r:
Ez = õõdEz = õõk. z. s. r. dq .dr /(z2 + r2)3/2 = k. z. s. 2.p . õr. dr /(z2 + r2)3/2 = - p
.s. k. z. (z2 + r2)-1/2 ]0R
Ez = p .s. k. z. [z-1 - (z2 + R2)-1/2 ] = p .s. k. [1 - z. (z2 + R2)-1/2 ]
El potencial en el punto debido al elemento de carga es:
dVz = k. dq /u = k. s. r. dq .dr / (z2 + r2)1/2
el potencial total se obtendrá integrando dos veces entre los mismos límites:
Vz = k. s. 2.p . õr. dr /(z2 + r2)1/2 = k. s. 2.p .[(z2 + r2)1/2 ]0R
Vz = k. s. 2.p . [ (z2 + R2)1/2 - z ]
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