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LÓGICA Y CONJUNTOS
LÓGICA: Ciencia que se basa en las leyes, modalidades y formas del
conocimiento científico se conoce bajo el nombre de lógica. Se trata de una
ciencia de carácter formal que carece de contenido ya que hace foco en
el estudio de las alternativas válidas de inferencia. Es decir, propone
estudiar los métodos y los principios adecuados para identificar al
razonamiento
correcto
frente
al
que
no
lo
es.
LÓGICA MATEMÁTICA: La lógica matemática es una parte de la lógica y
la matemática, que consiste en el estudio matemático de la lógica, y en la
aplicación de dicho estudio a otras áreas de la matemática y de las ciencias.
La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la
computación y la lógica filosófica.
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo
en el que codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos
como conjuntos, números, demostraciones,
y algoritmos,
utilizando
un lenguaje formal.
LÓGICA PROPOSICIONAL: (Lógica de orden cero): En ella existe símbolos
para variables proposicionales.
PROPOSIONES: Son frases o afirmaciones bien elaboradas, con sentido, a
las cuales siempre es posible asignarles uno de dos valores de verdad.
VALOR DE VERDAD: Los valores de verdad, son
VERDADERO: V: 1
FALSO: F: 0
NOMBRE DE LAS PROPOSICIONES:
Toda proposición se puede nombrar con letras minúsculas, así:
Proposición: Hoy es viernes, al darle o asignarle un nombre, puede lucir así:
p: Hoy es viernes, por ser una proposición verdadera (Dado que la clase se
orientó el viernes 13 de febrero), su valor de verdad es 1. Entonces, p:1.
PROPOSICIONES COMPUESTAS: Están formadas por dos ó más
proposiciones simples, unidas por conectivos lógicos.
Así como en álgebra las variables que representan cantidades pueden
formar expresiones más complejas mediante el uso de las operaciones
básicas de aritmética y algunas funciones, en lógica podemos relacionar
proposiciones mediante los conectivos lógicos.
Los conectivos lógicos son símbolos usados para combinar proposiciones
simples dadas, produciendo así otras llamadas proposiciones compuestas.
Los conectivos lógicos son:
SÍMBOLO
NOMBRE
y
CONJUNCIÓN
ó
DISYUNCIÓN (Inclusiva)
óó
DISYUNCIÓN (Exclusiva)
Si…entonces
IMPLICACIÓN
Si y sólo si
EQUIVALENCIA (Doble implicación)
Negación
NEGACIÓN
TABLAS DE VERDAD PARA LOS CONECTIVOS LÓGICOS:
NEGACIÓN
P
P̃
1
0
0
1
P
1
1
0
0
CONJUNCIÓN
q
p q
1
1
0
0
1
0
0
0
P
1
1
0
0
DISYUNCIÓN
(Inclusiva)
q
p q
1
1
0
1
1
1
0
0
P
1
1
0
0
DISYUNCIÓN
(Exclusiva)
q
p q
1
0
0
1
1
1
0
0
P
1
1
0
0
IMPLICACIÓN
q
p
q
1
1
0
0
1
1
0
1
EQUIVALENCIA
P q
p
q
1 1
1
1 0
0
0 1
0
0 0
1
Ejemplos de proposiciones simples:
P: 3x5=15
1
q: los divisores de un número son infinitos 0
r: El MCD de 15, 30 y 45, es 2 0
Ejemplos de proposiciones compuestas:
P: 3x5=15
1
q: los divisores de un número son infinitos 0
r: El MCD de 15, 30 y 45, es 2 0
p
r
q: SI 3x5=15 ENTONCES los divisores de un número son infinitos (0)
p: Ó El MCD de 15, 30 y 45, es 2
Ó 3x5=15 (1)
1. En la oración “el frijol es amarillo o negro” Se puede comprobar que el
frijol es de un color u otro y la proposición se divide solo entre amarillo y
negro del cual se debe desprender la verdad.
2. En la oración “Saludos” no existe proposición, de la cual se puede
desprender una disyuntiva de verdadero o falso, solo es una afirmación que
dice lo que es.
3.- La oración, “¡auxilio!” no existe proposición.
4. La oración, “Sube” no existe proposición.
5. La oración “la computadora es negra o blanca” tiene una discrepancia que
puede cargar la veracidad en un sentido u otro.
6. La oración “el cielo está rojo” la verdad o concepto direccionado está
implícito.
EJERCICIOS: Construir las
proposiciones compuestas:
1.
2.
tablas
de
verdad
para
las
siguientes
3.
4.
5. Visitar los siguientes Links:
https://www.youtube.com/watch?v=Cnz-w72E8Js
https://www.youtube.com/watch?v=gfDvwvPoLSg
6. Completar las siguientes tablas de verdad:
EVALUACIÓN
LÓGICA
1. La lógica matemática se encarga de:
A. Estudiar los sistemas formales en relación con el modo en el que
codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos
como conjuntos, números, demostraciones, y algoritmos, utilizando
un lenguaje formal.
B. Estudiar los sistemas informales en relación con el modo en el que
codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos
como conjuntos, números, demostraciones, y algoritmos, utilizando
un lenguaje formal.
C. Estudiar los sistemas anormales en relación con el modo en el que
codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos
como conjuntos, números, demostraciones, y algoritmos, utilizando
un lenguaje formal.
D. Estudiar los sistemas intuitivos en relación con el modo en el que
codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos
como conjuntos, números, demostraciones, y algoritmos, utilizando
un lenguaje formal.
2. En la lógica matemática encontramos conceptos tan importantes como las
proposiciones. A ellas las podemos definir como:
A. Enunciados ó afirmaciones con sentido a las cuales se les puede
asignar varios valores de verdad.
B. Enunciados ó afirmaciones con sentido, a las cuales se les puede
asignar uno de dos valores de verdad.
C. Enunciados, preguntas, órdenes ó exclamaciones con sentido, a las
cuales se les puede asignar uno de dos valores de verdad.
D. Enunciados, preguntas, órdenes ó exclamaciones con sentido a las
cuales se les puede asignar varios valores de verdad.
3. Es posible combinar dos o más proposiciones simples unidas con
conectivos lógicos para obtener nuevas proposiciones, por ejemplo: ocho
es Nº par y 7 es múltiplo de dos. Éstas son llamadas.
A. Proposiciones aleatorias
B. Proposiciones lógicas
C. Proposiciones compuestas
D. Proposiciones verdaderas o falsas
4. La conjunción es una proposición compuesta que es verdadera sólo
cuando:
A. Las dos proposiciones simples son verdaderas
B. Las dos proposiciones simples son falsas
C. Una de las dos proposiciones simples es falsa
D. Una de las dos proposiciones simples es verdadera
5. Aquellas tablas de verdad compuestas en cuyo resultado se obtienen sólo
valores de verdad verdaderos, se conoce como:
A. Una contradicción
B. Una tautología
C. Una indeterminación
D. Una composición
LÓGICA Y CONJUNTOS
CONJUNTOS: Se puede definir como una colección, reunión o agrupación de
elementos, personas o animales que comparten una o varias características
comunes.
Los conjuntos se pueden representar gráficamente mediante diagramas de
VENN
NOMBRE DE LOS CONJUNTOS: Los conjuntos se deben nombrar con letras
mayúsculas
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS: Los conjuntos se pueden determinar por
COMPRENSIÓN o por EXTENSIÓN.
COMPRENSIÓN:
Se cita una o varias características del conjunto.
A=(X/X es una vocal)
B=(X/X es un color)
EXTENSIÓN: Se citan los elementos del conjunto.
A=(a, e, i, o, u)
B=(rojo, verde, amarillo…azul)
Relación de contenencia
Sea G el conjunto de los animales que viven en la granja Fíjate en los
subconjuntos que podemos formar.
El conjunto A está contenido en el conjunto G = A
G
El conjunto N está contenido en el conjunto G = N
G
SUBCONJUNTO
Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }
En este caso decimos que B está contenido en A, o que B es subconjunto de
A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un
subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.
Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B
subconjunto de A se indicará con una diagonal Ë .
Note que
A. Si B no es
se utiliza sólo para conjuntos.
Relación de pertenencia:
Para indicar que un objeto es un elemento de un conjunto se utiliza el
símbolo ∈. Por ejemplo, para el conjunto A = {1,2,3,4,5,6}, podemos escribir
1 ϵ A, 2 ϵ A, …, 6 ϵ A.
Si un objeto no es un elemento del conjunto, lo indicaremos con el símbolo
∉. Así, para el conjunto anterior, escribiremos 0 ∉ A, - 3 ∉ A, ...
CLASES DE CONJUNTOS:
Según el número de elementos que conforman un conjunto, éstos se
clasifican en:

Universal o referencia.

Vacío.

Unitario.

Finito.

Infinito.
Conjunto universal o referencia
El conjunto universal o referencia, es el formado por un amplio número de
elementos, como puede ser el conjunto de los números naturales o por
letras del abecedario. Estos conjuntos sirven de base para crear más
conjuntos.
Para representar que un conjunto es universal se utiliza la vocal U
mayúscula.
Ejemplo:
El conjunto formado por las letras del abecedario.
U = {X/X es una letra del abecedario }
Gráficamente:
Del conjunto U se puede formar el conjunto V de vocales y conjunto C de
consonantes.
Conjunto vacío
El conjunto vacío es aquel que no tiene elemento alguno.
Ejemplos:
A={}
El conjunto A no posee ningún elemento.
B = {números impares entre 5 y 7}
No existe ningún número impar entre los números 5 y 7.
Gráficamente:
Generalmente el conjunto vacío se representa mediante un paréntesis { }
(corchete sin elemento), o por el símbolo
Conjunto unitario
El conjunto unitario es
aquel
que
posee
solamente
un
Ejemplos:
El conjunto de números naturales mayores de 8 y menores de 10:
C={9}
El único elemento es el número 9.
. Conjunto de satélites naturales de la Tierra
elemento.
S = {Luna}
El conjunto está formado por un solo elemento, porque la Tierra solo posee
un satélite natural, la Luna.
Conjunto finito
Un conjunto es finito, cuando posee un comienzo y un final, en otras
palabras, es cuando los elementos del conjunto se pueden determinar o
contar.
Ejemplos:
Conjunto de números pares entre 10 y 40:
R = { 10,12,14,16,18,20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40 }
Conjunto de las páginas de un libro:
T = {X/X Páginas de un libro}.
Conjunto de vocales.
V = {a, e, o, i, u }
Conjunto infinito
El conjunto es infinito, cuando posee un inicio pero no tiene fin. Es decir,
que la cantidad de elementos que conforman el conjunto no se puede
determinar.
Ejemplos:
El conjunto de los números naturales:
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,...}
El conjunto de los números naturales es infinito, puesto que no es posible
contar la totalidad de elementos (números) que conforman el conjunto.
TALLER
CONJUNTOS
Tomado de (http://www.paraprin.com/pertenencia-y-no-pertenencia-teora-deconjuntos.html)
1. Según el diagrama completa con el símbolo de pertenencia o no
pertenencia
a……….F
b……….F
e……….F
p……….F
l……….F
m……….F
c……….F
d……….F
2. Representa entre llaves al conjunto M con el nombre de tus hermanos y el
tuyo.
M = {…………………………………………………………… }
Escribe
el
símbolo
de
pertenece
o
no
pertenece:
¿Perteneces
al
conjunto
M?
……….
¿Pertenece
tu
papá
al
conjunto
M?
……….
¿Pertenece
tu
mamá
al
conjunto
M?
……….
¿Perteneces
tu
hermano
al
conjunto
M?
……….
¿Perteneces tu primo al conjunto M? ……….
3. Dado el diagrama completa con el símbolo de pertenece o no pertenece
1……………C
2……………C
1……………B
2……………B
7……………B
3……………B
6……………C
7……………C
4……………B
4……………C
5……………C
6……………B
B
=
{…………………………………………………}
C = {…………………………………………………}
4. Observa el diagrama y escribe V ó F
a pertenece a R …………( )
a no pertenece a S ……. ( )
b no pertenece a S …….. ( )
c no pertenece a S ……. ( )
d no pertenece a R ……. ( )
c pertenece a R ……….. ( )
g pertenece a S ……….. ( )
f no pertenece a R …… ( )
5. Dado el diagrama y las proposiciones: Decir cuales son verdaderas y
cuáles son falsas:
I. 1 pertenece B
II. 4 no pertenece C
III. 2 no pertenece A
IV. 6 pertenece C
a) VFFV
b) FVVF
c) N.a.
6. Observa el diagrama: Decir cuál es la respuesta correcta:
a) M = { 1;3,4;5;6,7 }
b) N = { 4;5;7 }
c) P = { 2;3 }
7. Si A es el conjunto de los números pares menores que 20. Decir cuál es la
respuesta correcta.
a) 15 pertenece A
b) 20 pertenece A
c) 18 pertenece A
8. Según el diagrama completa con el símbolo pertenece o no pertenece:
A= {………………………………………………………..}
B= {………………………………………………………..}
C= {………………………………………………………..}
3.B
2.C
2.B
4.A
2.A
4.B
1.C
8.B
7.C
1.B
5.B
1.A
Nota: Visitar los siguientes links
https://www.youtube.com/watch?v=mhft0I_eLk0
https://www.youtube.com/watch?v=NzcyLx0U0jM