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El arte de la aritmética
Se muestran algunos patrones curiosos que trasladan el contenido de la
aritmética a la forma de la estética.
www.math.com.mx
José de Jesús Angel Angel
[email protected]
c 2007-2008
MathCon °
Contenido
1. Algunos patrones curiosos
1.1. Ejemplo 1 . . . . . . .
1.2. Ejemplo 2 . . . . . . .
1.3. Ejemplo 3 . . . . . . .
1.4. Ejemplo 4 . . . . . . .
1.5. Ejemplo 5 . . . . . . .
1.6. Ejemplo 6 . . . . . . .
1.7. Ejemplo 7 . . . . . . .
1.8. Ejemplo 8 . . . . . . .
1.9. Ejemplo 9 . . . . . . .
1.10. Ejemplo 10 . . . . . .
2. Algunos números mágicos
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2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
6
1
Algunos patrones curiosos
1.1.
Ejemplo 1
1·1
11 · 11
111 · 111
1, 111 · 1, 111
11, 111 · 11, 111
111, 111 · 111, 111
1, 111, 111 · 1, 111, 111
11, 111, 111 · 11, 111, 111
111, 111, 111 · 111, 111, 111
1.2.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1
121
12, 321
1, 234, 321
123, 454, 321
12, 345, 654, 321
1, 234, 567, 654, 321
123, 456, 787, 654, 321
12, 345, 678, 987, 654, 321
Ejemplo 2
(1 · 8) + 1
(12 · 8) + 2
(123 · 8) + 3
(1234 · 8) + 4
(12345 · 8) + 5
(123456 · 8) + 6
(1234567 · 8) + 7
(12345678 · 8) + 8
(123456789 · 8) + 9
=
=
=
=
=
=
=
=
=
9
98
987
9876
98765
987654
9876543
98765432
987654321
1.3. Ejemplo 3
1.3.
3
Ejemplo 3
12345679 · 9
12345679 · 18
12345679 · 27
12345679 · 36
12345679 · 45
12345679 · 54
12345679 · 63
12345679 · 72
12345679 · 81
1.4.
111, 111, 111
222, 222, 222
333, 333, 333
444, 444, 444
555, 555, 555
666, 666, 666
777, 777, 777
888, 888, 888
999, 999, 999
Ejemplo 4
987654321 · 9
987654321 · 18
987654321 · 27
987654321 · 36
987654321 · 45
987654321 · 54
987654321 · 63
987654321 · 72
987654321 · 81
1.5.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
08, 888, 888, 889
17, 777, 777, 778
26, 666, 666, 667
35, 555, 555, 556
44, 444, 444, 445
53, 333, 333, 334
62, 222, 222, 223
71, 111, 111, 112
80, 000, 000, 001
Ejemplo 5
(0 · 9) + 1
(1 · 9) + 2
(12 · 9) + 3
(123 · 9) + 4
(1234 · 9) + 5
(12345 · 9) + 6
(123456 · 9) + 7
(1234567 · 9) + 8
(12345678 · 9) + 9
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1
11
111
1, 111
11, 111
111, 111
1, 111, 111
11, 111, 111
111, 111, 111
1.6. Ejemplo 6
1.6.
4
Ejemplo 6
(0 · 9) + 9
(9 · 9) + 7
(98 · 9) + 6
(987 · 9) + 5
(9876 · 9) + 4
(98765 · 9) + 3
(987654 · 9) + 2
(9876543 · 9) + 1
(98765432 · 9) + 0
1.7.
8
88
888
8, 888
88, 888
888, 888
8, 888, 888
88, 888, 888
888, 888, 888
Ejemplo 7
1·8
11 · 88
111 · 888
1111 · 8888
11111 · 88888
111111 · 888888
1111111 · 8888888
11111111 · 88888888
111111111 · 888888888
1111111111 · 8888888888
1.8.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
8
968
98568
9874567
987634568
98765234568
9876541234568
987654301234568
98765431901234568
987654321791234568
Ejemplo 8
9·9
99 · 99
999 · 999
9, 999 · 9, 999
99, 999 · 99, 999
999, 999 · 999, 999
9, 999, 999 · 9, 999, 999
=
=
=
=
=
=
=
81
9801
998001
99980001
9999800001
999998000001
99999980000001
1.9. Ejemplo 9
1.9.
5
Ejemplo 9
999, 999 · 1
999, 999 · 2
999, 999 · 3
999, 999 · 4
999, 999 · 5
999, 999 · 6
999, 999 · 7
999, 999 · 8
999, 999 · 9
999, 999 · 10
1.10.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0, 999, 999
1, 999, 998
2, 999, 997
3, 999, 996
4, 999, 995
5, 999, 994
6, 999, 993
7, 999, 992
8, 999, 991
9, 999, 990
Ejemplo 10
1
1+2+1
1+2+3+2+1
1+2+3+4+3+2+1
1+2+3+4+5+4+3+2+1
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1
1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1
1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1
1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1
2+2
3+3+3
4+4+4+4
5+5+5+5+5
6+6+6+6+6+6
7+7+7+7+7+7+7
8+8+8+8+8+8+8+8
9+9+9+9+9+9+9+9+9
= 1 · 1 = 12
= 2 · 2 = 22
= 3 · 3 = 32
= 4 · 4 = 42
= 5 · 5 = 52
= 6 · 6 = 62
= 7 · 7 = 72
= 8 · 8 = 82
= 9 · 9 = 92
2
Algunos números mágicos
1. El número 1089:
a) Tome cualquier número de 3 dígitos diferentes, por ejemplo el 567.
b) Invierta el orden 765.
c) Cálculo la diferencia del mayor menos el menor.
d) 765-567=198.
e) Invierta de nuevo el orden 891.
f ) Sume los dos últimos 891 + 198 = 1089.
2. Otro ejemplo:
a) Tome cualquier número de 3 dígitos diferentes, por ejemplo el 246.
b) Invierta el orden 642.
c) Cálculo la diferencia del mayor menos el menor.
d) 642-246=396.
e) Invierta de nuevo el orden 693.
f ) Sume los dos últimos 396 + 693 = 1089.
3. Por otra parte, los primeros múltiplos de 1089 son:
1089 · 1
1089 · 2
1089 · 3
1089 · 4
1089 · 5
1089 · 6
1089 · 7
1089 · 8
1089 · 9
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1089
2178
3267
4356
5445
6534
7623
8712
9801
2. Algunos números mágicos
4. El número 22:
a) Tome cualquier número de 3 dígitos diferentes, por ejemplo el 123.
b) Sumar todos los números de 2 dígitos que pueden ser formados a partir de los 3 dígitos dados.
c) 12+13+23+21+31+32=132
d) Sumar los 3 dígitos del número original 1+2+3=6.
132
= 22
e) Efectuar la división
6
5. Otro ejemplo:
a) Tome cualquier número de 3 dígitos diferentes, por ejemplo el 789.
b) Sumar todos los números de 2 dígitos que pueden ser formados a partir de los 3 dígitos dados.
c) 78+79+89+87+97+98=528
d) Sumar los 3 dígitos del número original 7+8+9=24.
528
e) Efectuar la división
= 22
24
6. Números terminados en 9:
a) Tome cualquier número de 4 dígitos que termine en 9.
b) Digamos 2349
c) Entonces 2349 = (234 · 9) + (234 + 9)
7. Otro ejemplo:
a) Tome cualquier número de 4 dígitos que termine en 9.
b) Digamos 7389
c) Entonces 7389 = (738 · 9) + (738 + 9)
7