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TEMA 7: TRIGONOMETRÍA
7.1 MEDIDA DE ÁNGULOS. RELACIÓN ENTRE GRADOS Y RADIANES
Dada una circunferencia, el ángulo central tiene su vértice en el centro de la misma y
sus lados son dos radios. Para medir ese ángulo podemos utilizar:
•
El grado es la medida de cada uno de los ángulos que resultan al dividir el
ángulo recto en 90 partes iguales. Su símbolo es º. El sistema de medida se llama
sistema sexagesimal, y a parte del grado se utilizan las unidades minutos (‘) y
segundos (‘’)
1º=60’
•
1’=60’’
1º=3600’’
El radián es la medida del ángulo central de una circunferencia cuyo arco tiene
la misma longitud que el radio. Su símbolo es rad.
Existe una relación entre grados y radianes:
360º = 2π radianes
Ejemplo: Expresa las siguientes medidas de ángulos en radianes
a) 180º
b) 90º
Ejemplo: Expresa las siguientes medidas de ángulos en grados
a)
b)
2π
rad
5
π
5
rad
7.2 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO EN
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Las razones trigonométricas de un ángulo agudo
seno de α =
α en un triángulo rectángulo son:
longitud del cateto opuesto a α
longitud de la hipotenusa
cos eno de α =
longitud del cateto contiguo a α
longitud de la hipotenusa
tan gente de α =
longitud del cateto opuesto a α
longitud del cateto contiguo a α
x
sen α =
y
h
cos α =
x
h
tan α =
y
x
Hay más razones trigonométricas (cosecante, secante, cotangente,…) pero este curso no
las vamos a ver.
En las calculadoras, el seno suele aparecer como sin, y a la tangente la podemos escribir
tan, tag o tg.
Ejemplo: Calcula las razones trigonométricas de los siguientes triángulos
rectángulos
a)
5
3
α
4
b)
β
17
15
α
8
7.3 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS 0°, 30°, 45°, 60° Y 90°
0°
30°
45°
60°
90°
seno
coseno
tangente
7.4 RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
En este curso vamos a estudiar tres relaciones entre las razones trigonométricas.
Dado un ángulo cualquiera
sen 2α + cos 2 α = 1
tan α =
sen α
cos α
α se verifica:
Ecuación fundamental de la trigonometría
1 + tan 2 α =
1
cos 2 α
Sabiendo estas relaciones, dada una razón trigonométrica de un ángulo es posible
calcular las otras dos razones.
Ejemplo: Sea
dos razones.
α un ángulo agudo, sabiendo que sen α =0’35, calcula las otras
De la relación fundamental de la trigonometría podemos deducir que:
− 1 ≤ sen α ≤ 1
− 1 ≤ cos α ≤ 1
La tangente puede tomar cualquier valor real.
Ejemplo: Si tan α =1'29 , calcula las otras dos razones sabiendo que
agudo.
α es
Hasta ahora hemos calculado razones trigonométricas de ángulos agudos, pero existen
ángulos no agudos de los cuales también podemos calcular sus razones.
7.5 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA
Para calcular las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera vamos a utilizar un
sistema de coordenadas cartesianas y una circunferencia de centro el origen de
coordenadas y radio 1.
A esta circunferencia se le llama circunferencia goniométrica.
90° Eje Y
Segundo cuadrante
Primer cuadrante
RADIO = 1
0° = 360°= 2π
Eje X
π=180°
Tercer cuadrante
Cuarto cuadrante
270°
Al dibujar un ángulo en cualquiera de los cuadrantes se puede construir un triángulo
rectángulo cuya hipotenusa vale siempre 1, igual que el radio. Los catetos x e y serán las
coordenadas cartesianas, positivas o negativas dependiendo del cuadrante en el que esté
el ángulo.
Las razones trigonométricas no dependen del radio de la circunferencia
y y
sen α = = = y
h 1
x x
cos α = = = x
h 1
tan α =
y
x
Por lo que
senα = y
cosα = x
tan α =
Primer cuadrante
sen α = y ≥ 0
cos α = x ≤ 0
tan α =
y
≤0
x
Tercer cuadrante
sen α = y ≤ 0
cos α = x ≤ 0
tan α =
y
≥0
x
y
x
Segundo cuadrante
sen α = y ≥ 0
cos α = x ≥ 0
tan α =
y
≥0
x
Cuarto cuadrante
sen α = y ≤ 0
cos α = x ≥ 0
tan α =
y
≤0
x
Ejemplo: Dado sen α = 0'46 con 90º ≤ α ≤ 180º , calcula las otras dos razones
trigonométricas.
Ejemplo: Dada tan α = −3'25 con 270º ≤ α ≤ 360º , calcula las otras dos
razones trigonométricas.
Ejemplo: Sea cos α = −0'82 con π ≤ α ≤
3π
, calcula sen α y tan α
2
7.5 RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
CIERTOS ÁNGULOS
En algunos ejercicios se va a pedir calcular las razones trigonométricas de ángulos
relacionados con un ángulo agudo, como por ejemplo 90 + α , 180 − α , 270 + α , − α ,
etc.
Para calcular estas razones trigonométricas hacemos los mismos pasos:
- Dibujamos los dos ángulos con sus elementos.
- Calculamos la razón trigonométrica pedida con sus elementos.
- Comparamos ese resultado con los elementos de α .
- Ajustamos el signo.
Para estos ejercicios utilizamos la circunferencia goniométrica.
Ejemplo: Sabiendo que senα = 0'75 , calcula las razones trigonométricas
siguientes con 0 ≤ α ≤ 90º :
a) cos(90 + α)
b) sen( 270 −α)
c) tan(180 −α)
d) cos(180 + α)
Ejemplo: Sabiendo que cos α = 0'43 , siendo
a) sen( 270 + α )
α un ángulo agudo, calcula:
b) sen(−α)
c) cos( 270 + α)
7.6 CÁLCULO DEL ÁNGULO CONOCIDA LA RAZÓN TRIGONOMÉTRICA
Para calcular el ángulo se utilizan funciones inversas a las razones trigonométricas.
Dichas funciones son arcoseno, arcocoseno y arcotangente, ya que los ángulos son la
medida de los arcos en una circunferencia.
senα = 0'24 →
cos α = − 0'79 →
Para calcular
α es el arco cuyo seno vale 0’24
α es el arco cuyo coseno vale -0’79
α se escribe:
α = arcsen 0'24
α =arccos(−0'79)
En las calculadoras son las mismas teclas de sin, cos, tan pero en su segunda función,
así que hay que darle primero a SHIFT, INV o 2nd Función
Ejemplo: Calcula los ángulos de las siguientes razones:
sen α = 0’72
tan α = 2`39
cos α = 0’31
sen α = – 0’70
cos α = – 0’27
7.7 PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA
Ejemplo: Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos del
siguiente triángulo rectángulo.
y=6
β
h = 10
α
α
x=8
Ejemplo: Desde la ventana de su casa Juan ve un gato que está a 30m de su
edificio. Si lo ve con un ángulo de 50º, ¿a cuántos metros está la ventana del
suelo?
Ejemplo: En lo alto de un árbol hay un nido con un pájaro. Marta está a 40m del
árbol y ve el nido con un ángulo de 60º, ¿qué altura tiene el árbol?
Ejemplo: Una escalera está apoyada en la pared con un ángulo de 25º. Si la
altura a la que se apoya la escalera es de 3’2m, ¿qué longitud tiene la escalera?
Ejemplo: Luis abre un compás formando un ángulo de 56º. Si la distancia entre
las ramas es de 9’2cm, ¿cuánto mide cada rama? (Suponemos las ramas iguales)
Ejemplo: En un castillo, al bajar el puente, éste se queda atascado a una altura de
2’5m formando un ángulo con la horizontal de 30º ¿cuánto mide el puente?
Ejemplo: Isabel está mirando un cartel en un edificio con un ángulo de 40º.
Decide acercarse 18 metros y ahora lo ve con un ángulo de 65º. ¿A qué altura
está el cartel? ¿A qué distancia inicial estaba Isabel del edificio del cartel?