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IES El Cabanyal 2º de bachillerato Física
Examen global unidades 1: Vibraciones y ondas y 2: Campo gravitatorio
11/12/2013.
OPCIÓN A
CUESTIONES (1,5 ptos cada una)
C1A.- Una partícula de masa m vibra con movimiento armónico simple de frecuencia f y
amplitud A. Calcula la energía potencial elástica de la partícula en un instante dado, si ésta
es la mitad de la energía cinética en dicho instante.
C2A.- Explicar en qué consiste el efecto Doppler aplicado a ondas sonoras.
C3A.- (a) Enuncia la ley de gravitación universal
(b) Como sabes, en diciembre la Tierra se encuentra más cerca del Sol que en junio. Eso se
puede explicar bien si se tiene en cuenta que la Tierra se mueve más rápidamente en
invierno. Justifica estos hechos con ayuda de alguna de las propiedades de los campos
centrales.
C4.- Calcula el radio de la Tierra RT sabiendo que el potencial gravitatorio en su superficie
es -6,2 .107 J/kg go = 9,8 m/s2)
PROBLEMAS (2 ptos cada uno)
P1A.- Una onda armónica de 100 Hz de frecuencia viaja en una cuerda con una velocidad
de 20 m/s. En el punto origen (x = 0) en el instante inicial la perturbación es nula, mientras
que después de un cuarto de periodo es mínima y vale - 2 mm.
(a) Determina la frecuencia angular i el número de ondas. Escribe la ecuación de ondas.
(b) ¿Cuál es la velocidad de un punto de la cuerda en el instante t = 0,05 s en un punto de la
cuerda situado a 0,5 m de l’origen.
P2A.- Se desea colocar en órbita un satélite de comunicaciones, de tal forma que se
encuentre siempre sobre el mismo punto de la superficie terrestre (órbita "geoestacionaria").
Si la masa del satélite es de 1500 Kg, se pide calcular:
1. Altura sobre la superficie terrestre a la que hay que situar el satélite.
2. Energía necesaria para poner el satélite en órbita, si parte desde la superficie
terrestre.
Despréciese la velocidad de rotación de la Tierra en la base de lanzamiento.
Datos: go = 9,8 m/s2; RTierra = 6370 km
OPCIÓN B
C.1B.- Una partícula efectúa un movimiento armónico simple, cuya ecuación viene dado por
x(t) = 0,3 cos (2t + /6) (SI)
Calcula la velocidad y la aceleración en el instante inicial.
C.2B.- Una onda luminosa se reduce a la mitad al atravesar 50 cm de un medio
transparente. Determina el espesor que ha de atravesar una onda luminosa para que se
reduzca a la quinta parte.
C.3B.- Deduce el valor de la velocidad de escape de un cuerpo disparado desde la Luna,
cuyo valor de la gravedad en su superficie es la sexta parte que en la superficie de la Tierra
y el radio de la Luna 1,74.106 m.
go = 9,8 m/s2
C.4B.- El satélite Europa tiene un período de rotación alrededor de Júpiter de 85 horas y su
órbita, prácticamente circular, tiene un radio de 6,67·105 Km. Calcula la masa de Júpiter.
Dato: G = 6,67·10-11 (SI).
P1.B.- Dos fuentes sonoras iguales, A y B, emiten en fase ondas armónicas planas de igual
amplitud y frecuencia, que se propagan a lo largo del eje OX.
1. Calcula la frecuencia mínima del sonido que deben emitir las fuentes para que en un
punto C situado a 7 m de la fuente A y a 2 m de la fuente B, la amplitud del sonido
sea máxima.
2. Si las fuentes emiten sonido de 1530 Hz, calcula la diferencia de fase en el punto C.
¿Cómo será la amplitud del sonido en este punto?
Dato: Velocidad de propagación del sonido en el aire, 340 m/s
P2.- Un planeta tiene un radio igual a ¾ del radio terrestre y una masa igual a la mitad de la
terrestre.
(a) Calcula el valor de la gravedad en su superficie.
(b) Determina la velocidad que adquirirá un cuerpo dejado caer desde una altura igual a 1/10
del radio del planeta.
Datos: Radio de la Tierra, 6370 km; go = 9,8 m/s2.
(2 puntos)
Res: (a) La intensidad del campo gravitatorio en la superficie del planeta vienen dada por
gP 
Fg
m

GM P
RP2
(1)
Sabemos que RP = ¾ RT y que MP = MT/2, que sustituimos en la ecuación (1) y nos da
gP 
GM T / 2 GM T .4 2 8GM T 8


 go
( RT .3 / 4) Rt2 .32.2
9
9 RT2
gP = 9,8. 8/9 = 8,71 m/s2
(b) Al dejar caer un cuerpo desde un punto A situado a una altura h = RP/10, la energía
mecánica se conservará, es decir Em (A) = Em(B) , esto es:
Ec(A) + Ep (A) = Ec (B) + Ep (B), donde Ec (A) = 0
Tenemos 
GM P m
GM P m
 1 / 2mvB2 
RP  RP / 10
RP
1 / 2.v 2  
GM P
GM P
GM P


RP
11 / 10.RP 11RP
De ahí v 
2GM P
2GM T / 2

11.RP
11.RT . 3 / 4
(2)
(3), pero GMT = go.RT2, por lo que podemos
poner
v
2 g o RT2 / 2

11.RT .3 / 4
(1)
4.9,8.6,37.10 6
 2,75.10 3 m
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IES El Cabanyal 2º de bachillerato Física
Examen global unidades 1: Vibraciones y ondas y 2: Campo gravitatorio
11/12/2013.
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES
Opción A
CUESTIONES (1,5 ptos cada una)
C1A.- Una partícula de masa m vibra con movimiento armónico simple de frecuencia f y
amplitud A. Calcula la energía potencial elástica de la partícula en un instante dado, si ésta
es la mitad de la energía cinética en dicho instante.
Respuesta
Las fuerzas elásticas en un MAS son conservativas, esto es, la energía mecánica se
conserva.
Em = Ec + Ep = Ep en el extremo = Ec en el punto de equilibrio = ½ mvmax2
Pero vmax = A ; si Ep = Ec/2 (condición impuesta en ele enunciado)
 Ec + Ec/2=3/2 Ec = ½ mA22  Ec= 1/3mA22
Recordemos que la frecuencia está relacionada con :  = 2 f, quedará
Ec = (4/3) 2mA2f2
C2A.- Explicar en qué consiste el efecto Doppler aplicado a ondas sonoras.
Respuesta
El efecto Doppler consiste en el cambio de frecuencia que percibe el observador, respecto
de la frecuencia emitida por el foco emisor, cuando la fuente o el observador se mueven. En
el caso del sonido, cuando se acerca el foco al observador (o viceversa) se percibe el sonido
más agudo, es decir, de mayor frecuencia, mientras que si se aleja se percibe con menor
frecuencia (más grave). Ello ocurre porque los frentes de ondas que se emiten
sucesivamente lo hacen de forma menos espaciada que las emitidas cuando están en
reposo (la fuente ha avanzado mientras emite el siguiente). Ocurre lo contrario si se alejan.
Esto es, la longitud entre dos frentes de ondas se acortan en el espacio que se acerca al
observador y se alejan o espacian entre sí en el semiespacio contrario (véase figura). Dado
que la velocidad de propagación es la misma, la frecuencia percibida. La frecuencia
percibida ’, respecto de la emitida  están relacionadas mediante la ecuación:
'  
v  vobs
, donde la velocidad del observador es
v  v foco
Acercándose
al observador
positiva cuando la fuente se acerca al observador y la
velocidad del foco es positiva cuando se aleja del foco.
C3A.- (a) Enuncia la ley de gravitación universal
(b) Como sabes, en diciembre la Tierra se encuentra más cerca del Sol que en junio. Eso se
puede explicar bien si se tiene en cuenta que la Tierra se mueve más rápidamente en
invierno. Justifica estos hechos con ayuda de alguna de las propiedades de los campos
centrales.
Respuesta
(a) Todos los cuerpos del universo se atraen. Dos partículas puntuales se atraen con una
fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que la separa. La dirección de la fuerza es la de la
línea que une las masas puntuales. La fuerza entre dos masas puntuales m1 y m2 se
expresa matemáticamente

m .m 

F12  G 1 2 2 .u r , donde G es la constante de gravitación y ur el vector de posición de la
r12
partícula m2 respecto de la partícula m1.
(b) Las fuerzas de los campos centrales (por ejemplo, las del campo gravitatorio) tienen la
misma dirección que el vector de posición de la partícula, respecto del origen del campo, por
lo que el momento de la fuerza, respecto de dicho punto es nulo. Esto es, el producto
vectorial , por consiguiente el momento angular de la partícula, respecto de dicho punto es

constante L(o)  cte . El módulo del vector momento angular es constante, esto es



 
L(o)  r  mv  m r  v  rmv.sen  cte .
(1)
En diciembre (solsticio de invierno, la Tierra se encuentra
en el perihelio (punto P de la figura), mientras que en junio
se encuentra en el afelio (punto A de la figura).
vP
A
Por la ecuación (1), aplicada a ambos puntos rAmvA.sen90º
= rPmvP.sen 90º. En consecuencia:
rAvA = rPvP, lo que significa que si rA> rP , entonces
vA<vP
rA
rP
P
vA
C4.- Calcula el radio de la Tierra RT sabiendo que el potencial gravitatorio en su superficie
es -6,2 .107 J/kg go = 9,8 m/s2)
Respuesta
El potencial gravitatorio en un punto vienen dado por V = Ep/m`, donde m` es la masa de
prueba colocada en el campo. Dado que se trata de una masa esférica, el potencial es
V  G
M .m`
M
 G , pero go = GM/RT2, por lo que V = -go.RT = -6,2.107;
r.m`
r
RT = 9,8/6,2.107 = 6,33.106 m
PROBLEMAS (2 ptos cada uno)
P1A.- Una onda armónica de 100 Hz de frecuencia viaja en una cuerda con una velocidad
de 20 m/s. En el punto origen (x = 0) en el instante inicial la perturbación es nula, mientras
que después de un cuarto de periodo es mínima y vale - 2 mm.
(a) Determina la frecuencia angular i el número de ondas. Escribe la ecuación de ondas.
(b) ¿Cuál es la velocidad de un punto de la cuerda en el instante t = 0,05 s en un punto de la
cuerda situado a 0,5 m de l’origen.
Respuesta
La velocidad de propagación está relacionada con la frecuencia y la longitud de onda así: v
= .f (1)
  20/100 = 0,2 m.
La frecuencia angular o pulsación es :  = 2.f = 200  rad/s. y el número de ondas,
k = 2 /l = 2/0,2 = 10  rad/m
La ecuación de ondas viene dada por:
y(x,t) = A sen (t – kx + o), para una onda que se propaga en sentido positivo con fase
inicial o en la que se ha tenido en cuenta que en t = 0 y x = 0 la función es nula.
La fase inicial la obtenemos de las condiciones impuestas, es decir, en t = T/4 la función es y
= -A, por consiguiente, el argumento del seno, para que éste valga -1, ha de ser 3 + 2n
con n= 0, 1, 2, …Es decir, sen (200.0,01/4 + o) = -1
 /2 + o = 3/2, por consiguiente o =, la función de ondas queda:
y(x,t) = 0,002 sen (t – 10 x + ), (m si t en s)
(b) La velocidad transversal de un punto de la cuerda viene dad por
vy = dy/dt =0,002.200 [-cos(200 t – 10 x + )]; en x = 0,5 m y t = 0,05 s vale:
vy = 0,4 cos(200 .0,05 – 10 .0,5 + ) = 0,4 (m/s)
P2A.- Se desea colocar en órbita un satélite de comunicaciones, de tal forma que se
encuentre siempre sobre el mismo punto de la superficie terrestre (órbita "geoestacionaria").
Si la masa del satélite es de 1500 Kg, se pide calcular:
3. Altura sobre la superficie terrestre a la que hay que situar el satélite.
4. Energía necesaria para poner el satélite en órbita, si parte desde la superficie
terrestre.
Despréciese la velocidad de rotación de la Tierra en la base de lanzamiento.
Datos: go = 9,8 m/s2; RTierra = 6370 km
Respuesta
1.- El satélite geoestacionario tiene un período de T = 24.3600 = 8,64.104 s. El radio de
giro se obtiene de la fuerza gravitatoria, que es la fuerza centrípeta en una órbita circular.
Es decir:
m.
GM T
v 2 G.M T .m

(1)  v 2 
2
r
r
r
(2) , donde r es el radio de la órbita.
Si se tiene en cuenta que la rapidez es v 
2. .r
T
(3), sustituyendo en la ecuación
(2) se obtiene:
G.M T .T 2
4. 2 .r 2 G.M T
3
(4) El producto G.MT se puede poner en función


r

r
T2
4. 2
G.M T
de go y RT2, dado que g o 
 g o .RT2  G.M T (5). Con esto y la ecuación (4):
2
RT
r3
g o .RT2 .T 2 3 9,8.(6,37.10 6.8,64.10 4 ) 2

 4,22.10 7 m
2
2
4.
4.
2.- La energía necesaria es igual a la diferencia entre el radio en la órbita y la energía en
la superficie de la Tierra en el Ecuador.
Si no se tiene en cuenta el giro terrestre, la energía en el Ecuador es solamente la
energía potencial, por lo que Wext  Emec  Eorb  EpST
(6). La energía en la órbita
es (véase la deducción en el problema P1A, ecuación (3)):
Eor  
g .R 2 .m
GM T .m
 o T
2.ror
2.ror
(7), y la energía potencial en la superficie de la Tierra:
Ep  
g .R 2
GM T .m
  o T .m
RT
RT
(8). De modo que la ecuación (6) queda
Wext
 g .R 2 
 1
g o .RT2
1
.m    o T .m  g o .RT2 .m

2ror
RT 
 RT 2.ror


 2.r  RT
  g o .RT2 .m or

 RT .2ror
6
 2.r  RT 
 2.42,2.10 6  6,37.10 6 
  9,8.1,5.10 3.6,37.10 .
 
 g o .m.RT  or
2.42,2.10 6


 2.ror 
Wext  Emec  
= 8,66.1010 J



Opción B
CUESTIONES
C.1B.- Una partícula efectúa un movimiento armónico simple, cuya ecuación viene dado por
x(t) = 0,3 cos (2t + /6) (SI)
Calcula la velocidad y la aceleración en el instante inicial.
Respuesta
La velocidad en el MAS es v = dx/dt, esto es, laderivada respecto del tiempo, de la
elongación.
v = dx/dt = 0,3.2 [-sen(2t + /6)]; en t = 0 v = - 0,6 sen /6 = - 0,3 m/s
La aceleración es la derivada de la velocidad, respecto del tiempo, por lo que
A = - 0,6. 2 cos (2t + /6); en t = 0, a = -1,2 cos /6 = -1,04 m/s2.
C.2B.- Una onda luminosa se reduce a la mitad al atravesar 50 cm de un medio
transparente. Determina el espesor que ha de atravesar una onda luminosa para que se
reduzca a la quinta parte.
Respuesta
De acuerdo con la ley de absorción, la intensidad de la onda después de atravesar cierto
espesor x, es
I = Io e–.x, que aplicamos a x = 0,5 m y a x desconocido
Io
I
Io/2 = Io .e-.0,5,
Io/5 = Io e-.x
(1)
(2)
Dividiendo ambas, queda 5/2 = e(.0,5/.x),
Que, tomando logaritmos, nos da x = 0,5 . 2,32 = 1,16 m
C.3B.- Deduce el valor de la velocidad de escape de un cuerpo disparado desde la Luna,
cuyo valor de la gravedad en su superficie es la sexta parte que en la superficie de la Tierra
y el radio de la Luna 1,74.106 m.
go = 9,8 m/s2
Respuesta:
Se llama velocidad de escape a la velocidad que debe dotarse una masa situada en la
superficie del planeta o del satélite (en este caso, la Luna) para que justo “escape” de dicho
campo gravitatorio, es decir, para que a una distancia muy grande (r  ∞) la energía
cinética tiende a cero (la energía potencial, por definición, también tiende a cero). Esto es la
energía mecánica es cero y se conserva en el campo gravitatorio. Por consiguiente E m = Ec
+ Ep = 0, esto es,
G.M L .m
GM L .m
2.GM L
1
1
m.ve2 
 0, (1);  m.ve2 
, (2);  ve2 
, (3)
2
RL
2
RL
R
Ecuación en la que GML es desconocida. No obstante, este producto está relacionado con el
radio de la Luna y con gL, dado que:
gL 
ve 
g
GM T
 GM L  g L .RL2  o .RL2
2
6
RL
(4) que sustituida en la ecuación (3) se tiene:
2.g o .RL2
 2.g o .RL / 6  2.1,63.1,741.10 6  2384m / s
6.RL
C.4B.- El satélite Europa tiene un período de rotación alrededor de Júpiter de 85 horas y su
órbita, prácticamente circular, tiene un radio de 6,67·105 Km. Calcula la masa de Júpiter.
Dato: G = 6,67·10-11 (SI).
Respuesta
La masa de Júpiter se podrá calcular a partir de la fuerza gravitatoria sobre el satélite, pero
la fuerza centrípeta en la órbita circular es la fuerza gravitatoria. Esto es,
FC  mE
M .m
M
v2
 Fg  G J 2 E  v 2  G J
r
r
r
(1), pero la rapidez es la distancia
recorrida en una vuelta entre el período (tiempo que tarda en dar una vuelta). Por
consiguiente,
v2 
MJ
4. 2 .r 2
4. 2 .r 3
4. 2 .(6,67.10 8 ) 3

G

M


 1,876.10 27 kg
J
r
T2
G.T 2
6,67.10 11.(85.3600) 2
PROBLEMAS
P1.B.- Dos fuentes sonoras iguales, A y B, emiten en fase ondas armónicas planas de igual
amplitud y frecuencia, que se propagan a lo largo del eje OX.
3. Calcula la frecuencia mínima del sonido que deben emitir las fuentes para que en un
punto C situado a 7 m de la fuente A y a 2 m de la fuente B, la amplitud del sonido
sea máxima.
4. Si las fuentes emiten sonido de 1530 Hz, calcula la diferencia de fase en el punto C.
¿Cómo será la amplitud del sonido en este punto?
Dato: Velocidad de propagación del sonido en el aire, 340 m/s
Respuesta
(a) El sonido procedente de las dos fuentes sonoras (focos coherentes) llegan a un mismo
punto e interfieren, de manera que la amplitud es máxima. Para que en el punto C la
amplitud sea máxima hace falta que las ondas lleguen en fase, es decir, que la diferencia de
caminos sea un número entero de longitudes de onda. r2 –r1 = n, donde n es un número
natural (0, 1, 2, …). En este caso se impone la condición de que se trate de la frecuencia
mínima, lo que implica que la longitud de onda ha de ser la máxima posible, esto es n = 1.
Por esto,  r2 –r1 = 5 m. La frecuencia correspondiente es f = v/ = 340/ 5 = 68 Hz
(b) Si la frecuencia fuera f2 = 1350 Hz, dado que f2 = v/2  2 = v/f2 = 335/1350 = 0,25 m.
Es decir, la longitud de onda es 20 veces mayor que en el primer caso, por lo que el desfase
sigue siendo nulo.
n r2 –r1 = 5 m  n = 20,  se encuentran en fase
P2.- Un planeta tiene un radio igual a ¾ del radio terrestre y una masa igual a la mitad de la
terrestre.
(a) Calcula el valor de la gravedad en su superficie.
(b) Determina la velocidad que adquirirá un cuerpo dejado caer desde una altura igual a 1/10
del radio del planeta.
Datos: Radio de la Tierra, 6370 km; go = 9,8 m/s2.
(2 puntos)
Res: (a) La intensidad del campo gravitatorio en la superficie del planeta vienen dada por
gP 
Fg
m

GM P
RP2
(1)
Sabemos que RP = ¾ RT y que MP = MT/2, que sustituimos en la ecuación (1) y nos da
GM T / 2 GM T .4 2 8GM T 8


 go
( RT .3 / 4) Rt2 .32.2
9
9 RT2
gP 
gP = 9,8. 8/9 = 8,71 m/s2
(b) Al dejar caer un cuerpo desde un punto A situado a una altura h = RP/10, la energía
mecánica se conservará, es decir Em (A) = Em(B) , esto es:
Ec(A) + Ep (A) = Ec (B) + Ep (B), donde Ec (A) = 0
Tenemos 
GM P m
GM P m
 1 / 2mvB2 
RP  RP / 10
RP
1 / 2.v 2  
GM P
GM P
GM P


RP
11 / 10.RP 11RP
De ahí v 
2GM P
2GM T / 2

11.RP
11.RT . 3 / 4
(2)
(3), pero GMT = go.RT2, por lo que podemos
poner
v
2 g o RT2 / 2

11.RT .3 / 4
(1)
4.9,8.6,37.10 6
 2,75.10 3 m
33