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UNIVERSIDAD JOSÉ CARLOS MARIATEGUI
I UNIDAD
ÁLGEBRA BOOLEANA Y COMPUERTAS LÓGICAS
1.1 Electrónica Digital
Obviamente es una ciencia que estudia las señales eléctricas, pero en este caso son
señales discretas, es decir, están bien identificadas, razón por la cual a un
determinado nivel de tensión se lo llama estado alto (High) o Uno lógico; y a otro,
estado bajo (Low) o Cero lógico.
Suponte que las señales eléctricas con que trabaja un sistema digital son 0V y 5V. Es
obvio que 5V será el estado alto o uno lógico.
1.2 Álgebra Booleana
El álgebra Booleana es una herramienta matemática que nos permite representar un
circuito en un equivalente matemático, de esta forma su análisis se realiza mediante
teoremas y axiomas, en esta álgebra de han definido dos operadores Suma Lógica y
Producto Lógico además de un operador complemento , estas operaciones. Cumplen
los siguientes postulados
1.2.1
ƒ
Postulados del Álgebra Booleana
P1 El álgebra Booleana es cerrada
a) ∀ X,Y ∈ B => X + Y ∈ B
b) ∀ X,Y ∈ B => X . Y ∈ B
ƒ
P2 El elemento de identidad con respecto a + (suma lógica) es 0 (cero lógico) y
respecto a . (producto lógico) es 1 (uno lógico).
a) ∀ X ∈ B => X + 0 = X
b) ∀ X ∈ B => X . 1 = X
No existe elemento de identidad para el operador NOT
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ƒ
P3 Los operadores + y . son conmutativos.
a) ∀ X,Y ∈ B => X + Y = Y + X
b) ∀ X,Y ∈ B => X . Y = Y . X
ƒ
P4 Los operadores + y . son distributivos uno con respecto al otro.
a) ∀ X,Y,Z ∈ B => X.(Y + Z) = X.Y + X.Z
b) ∀ X,Y,Z ∈ B => X + (Y.Z) = (X + Y).(X + Z)
ƒ
P5 Axioma del complemento
∀ X ∈ B ∃ X llamado complemento que cumple lo siguiente
a) X + X = 1
b) X . X = 0
X se denomina negado de X o complemento de X
ƒ
P6 + y . son ambos asociativos
a) ∀ X,Y,Z ∈ B => X + (Y + Z) = ( Y + X) + Z
b) ∀ X,Y,Z ∈ B => X . (Y . Z) = (Y . X).Z
Los postulados del álgebra Booleana han sido listados en pares, parte (a) y parte (b).
Una parte puede obtenerse a partir de la otra mediante el intercambio de los
elementos de identidad y las operadores lógicos. Esto se conoce como el Principio de
Dualidad gracias al cual, cualquier apartado de los postulados puede obtenerse a
partir del otro sin mas que intercambiar los operadores y los elementos de identidad.
Esta álgebra Booleana en la cual se han definido los dos elementos B={0,1} se le
denomina Álgebra Booleana Bivalente o de conmutación, esta álgebra cumple los
siguientes teoremas (además de los postulados descritos anteriormente):
T1) Teorema de Idempotencia
a)
X + X = X
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b)
X . X = x
T2)Teorema de los elementos dominantes
a)
X + 1 = 1
b)
X . 0 = 0
T3) Ley involutiva
(X) = X
T4) Teorema de Absorción
a)
X + X.Y = X
b)
X.(x+y) = X
T5) Teorema del Consenso
a) X + X.Y = X + Y
b) X · (X + Y) = X.Y
T6) Ley de DeMorgan
a) (X + Y) = X · Y
b) (X . Y) = X + Y
Estos teoremas permiten la simplificación de expresiones algebraicas Booleanas es
decir encontrar una expresión equivalente reducida que este conformada por la menor
cantidad de operadores lógicos.
1.3 Simplificación de Funciones Booleanas
Los teoremas y postulados descritos anteriormente sirven para simplificar las
expresiones Booleanas de manera que podamos encontrar una expresión lógica
equivalente a la original usando la menor cantidad de operadores lógicos.
Desafortunadamente, no siempre es obvio que teoremas deben aplicarse para
producir el resultado mas simple. Además no existe manera sencilla de indicar si el
resultado se puede simplificar aun mas. Así la simplificación se convierte en un
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proceso de ensayo y error. Sin embargo con experiencia se pueden obtener buenos
resultados.
A continuación veremos algunos ejemplos del uso de los teoremas en la simplificación
de expresiones algebraicas Booleanas. De los ejemplos que veremos se puede
observar que el proceso de simplificación contiene dos etapas esenciales:
ƒ
La expresión original se pone en forma de suma de productos mediante la repetida
aplicación del teorema de DeMorgan y de la multiplicación de términos.
ƒ
Una vez que se encuentra en esta forma, los términos del producto se verifican
para ver si hay factores comunes y se realiza la factorización donde sea posible.
Con suerte, la factorización da como resultado la eliminación de una o más
variables.
Ejemplo 1
a) Simplificar la siguiente expresión A.(A + B)
A.(A + B)
Æ Aplicando la axioma de Distribución
A.A + A.B
Æ Aplicando el Teorema de Idempotencia al primer termino
A + A.B
Æ Factorizando el termino Común A
A.(1 + B)
Æ Aplicando el teorema del elemento Dominante
A
Æ Expresión simplificada
⇒ A.(A + B) = A
Ejemplo 2
b) Simplificar la siguiente expresión (A + B).(A + C)
(A + B).(A + C)
Æ Aplicando la axioma de distribución
A.A + A.C + B.A + B.C
Æ Aplicando el Teorema de Idempotencia al
primer termino
A + A.C + B.A + B.C
Æ Aplicando la Propiedad Conmutativa al tercer
termino
A + A.C + A.B + B.C
Æ Factorizando el termino común A
A.(1 + C) + A.B + B.C
Æ Aplicando el teorema del elemento dominante
al primer paréntesis
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A + A.B +B.C
Æ Factorizando el termino común A
A.(1 + B) + B.C
Æ Aplicando el teorema del elemento dominante
al primer paréntesis
A + B.C
Æ Expresión simplificada
⇒ (A + B).(A + C) = A + B.C
Ejemplo 3
c) Simplificar la siguiente expresión (X.(X.Y)).(Y.(X.Y))
(X.(X.Y)).(Y.(X.Y))
Æ Aplicando el teorema de Morgan
(X.(X.Y))+(Y.(X.Y))
Æ Aplicando el Teorema de Morgan a ambos paréntesis
x.(X + Y) + Y.(X + Y)
Æ Aplicando el teorema de Distribución para ambos
paréntesis
X.X + X.Y + Y.X + Y.Y
Æ Aplicando la axioma del complemento
X.Y + Y.X
Æ Expresión Simplificada
El uso de los teoremas del álgebra Booleana para la simplificación de expresiones es
un proceso que requiere el conocimiento de los teoremas y axiomas además de un
esfuerzo debido al procedimiento manual, existen otros métodos utilizados para la
simplificación de expresiones.
1.4 Compuertas Lógicas
Para que el Álgebra Booleana se torne útil al análisis de diseño de circuitos digitales
esta álgebra debe plantearse como un álgebra bivalente o de conmutación.
Las puertas lógicas son bloques de construcción básica de los sistemas digitales,
operan con números binarios, por lo que se denominan puertas lógicas binarias.
En los circuitos Digitales todos los voltajes a excepción de las fuentes de alimentación,
se agrupan en 02 posibles categorías: Voltajes Altos (uno lógico) y Voltajes Bajos
(cero lógico). Entre estos dos rangos de voltaje existe una zona denominada Prohibida
o de incertidumbre que las separa esta zona no puede ser considerada ni 1 ni 0.
Una tensión alta representa un “1”
Una tensión baja representa un “0”
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Todos los sistemas digitales se construyen utilizando básicamente 03 compuertas
lógicas básicas que representan las 03 operación definidas en el álgebra Booleana.
Estas compuertas son OR, AND y NOT o combinaciones simples o muy complejas de
estos.
Estas combinaciones dan lugar a otros tipos de elementos digitales como las
compuertas NOR, NAND, OREX y NOREX, Multiplexores, Codificadores, Flip-Flop,
entre otros.
LA electrónica Digital Moderna es usada para realizar muchas funciones, aunque
estos pueden resultar muy complejas, en realidad se construyen de una combinación
muy grande de circuitos simples.
1.4.1
Compuerta OR
Del esquema mostrado podemos darnos
una
idea
del
funcionamiento
de
la
compuerta OR podemos notar que la
lámpara encenderá en caso cualquiera de
lo interruptores se cierre A ó B
A continuación podemos observar la
salida de S para cada combinación de los
interruptores A y B.
A
B
S
0
0
0
0
1
1
1
0
1
Simbología de la compuerta
1
1
1
OR
La expresión Booleana para esta función es una suma Lógica
S=A+B
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1.4.2
Compuerta AND
El esquema mostrado nos da una idea del
comportamiento de una compuerta AND,
podemos
notar
que
la
lámpara
S
encenderá en caso los interruptores A y B
se cierren o actúen en forma simultanea.
Si alguno de los interruptores esta abierto,
el circuito se interrumpe y la lámpara no
enciende.
A
B
S
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Simbología de la compuerta
AND
La expresión Booleana para esta función es un producto Lógica
S=A.B
1.4.3
Compuerta NOT
La compuerta NOT (inversora) posee una entrada y una salida tal
como se muestra en la figura, su función es producir una salida de valor inverso o
contraria en decir convertir el 0 en 1 o el 1 en 0.
A
A
0
1
1
0
La expresión Booleana para esta función es una suma Lógica
A
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1.4.4
Compuerta OR-EX
Esta compuerta lógica devolverá 1 solo en caso las entradas sean diferentes.
A
B
S=A⊕B
0
0
0
0
1
1
1
0
1
Simbología de la
1
1
0
compuerta OR-EX
1.4.5
Compuerta NOR
Compuerta NOR implementado con dos compuertas básicas
A
B
S
0
0
1
0
1
0
1
0
0
Simbología de la
1
1
0
compuerta NOR
1.4.6
Compuerta NAND
Compuerta NAND implementada con compuertas básicas
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A
B
S
0
0
1
0
1
1
1
0
1
Simbología de la
1
1
0
compuerta NAND
1.4.7
Compuerta NOR-EX
La compuerta NOREX es una compuerta OREX con la salida invertida
A
B
S
0
0
1
0
1
0
1
0
0
Simbología de la
1
1
1
compuerta NOREX
1.5 Convirtiendo una expresión algebraica en un su equivalente circuital
Para hallar un equivalente de la expresión algebraica usando compuertas lógicas es
necesario reemplazar los operadores lógicos con sus equivalentes en compuertas
Ejemplo 4
Implementar la expresión usando Compuertas Lógicas
A.B + A.B
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Implementando usando compuertas lógicas tenemos
1.6 Simplificación de circuitos Digitales
La simplificación permite implementar la misma función lógica usando menos
compuertas lógicas, para realizar esto es necesario realizar lo siguiente:
ƒ
ƒ
ƒ
Encontrar el equivalente algebraico del circuito lógico
Simplificar la expresión usando los teoremas del álgebra Booleana
Implementar la expresión simplificada obtenida usando compuertas lógicas
Ejemplo 5
Simplificar el siguiente circuito digital
Paso 1. Expresión algebraica equivalente
Salida = A.(A+C.B).B
Paso 2. Simplificación usando álgebra Booleana
A.(A + B.C).B
Æ Aplicando DeMorgan
A.(A.(B.C)).B
ÆOrdenando
A.A.(B.C).B
Æ Idempotencia
A.B.(B.C)
Æ Aplicando DeMorgan
A.B.(B+C)
Æ Aplicando Distribución
A.B.B + A.B.C
Æ Complemento
A.B.C
Æ Expresión simplificada
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Paso 3.Implementar la expresión simplificada
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