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Tema N° 1
En el último clásico del astillero (ganado por Barcelona 2 –1), se produjo un
enfrentamiento entre las hinchadas de los dos equipos, resultando las 2/7 partes
de la Sur Oscura (barra de Barcelona) y las 6/7 partes de la Boca del Pozo
(barra de Emelec) detenidos por la policía. Si fueron apresados igual número de
hinchas de la barra de Barcelona y la barra de Emelec. ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es verdadera? Justifique su respuesta.
a) El número total de integrantes de la Sur Oscura es cuatro veces el
número de integrantes de la Boca del Pozo
b) El número total de integrantes de la Boca del Pozo es el doble del número
de integrantes de la Sur Oscura
c) Existe igual número de hinchas en la Boca del Pozo y la Sur Oscura
d) El número total de integrantes de la Sur Oscura es el triple del número de
integrantes de la Boca del Pozo
e) No es posible determinar la proporción de las barras del Barcelona y
Emelec con los datos planteados en el problema
Resolución
Hinchas Barra Sur Oscura detenidos = Hinchas Barra Boca del Pozo detenidos
2
6
( Sur _ Oscura )  ( Boca _ del _ Pozo)
7
7
2( Sur _ Oscura )  6( Boca _ del _ Pozo)
( Sur _ Oscura )  3( Boca _ del _ Pozo)
El número total de integrantes de la Sur Oscura es el triple del número de
integrantes de la Boca del Pozo. Respuesta literal d.
Tema N° 2
Al rendir un examen de Matemáticas en la Academia de Ciencias Exactas
APOL, se puede obtener una calificación de 0 a 20 puntos (solamente números
enteros). Si el promedio de 3 exámenes que rindió Janine fue de 17 (exacto).
¿Cuál es el mínimo valor posible que pudo obtener Janine en dichos exámenes?
Resolución
Sean x1 , x 2 , x3 los exámenes que rindió Janine.
Para saber la mínima nota que pudo obtener en un examen (supongamos x1 ),
las otras dos notas deben ser máximas x2  x3  20 .
El promedio de los tres exámenes:
x1  x2  x3
 17
3
x1  20  20
 17
3
x1  40  173
x1  51  40
x1  11
La mínima nota que pudo obtener Janine fue 11.
Tema N° 3
Daniel Alejandro pensó tres números y empezó a jugar con ellos. Los agrupó de dos en dos
y sumó los números obteniendo: 40, 44 y 56. ¿Cuáles son los números que Daniel Alejandro
pensó?
Resolución
Sean x1 , x 2 , x3 los números que Daniel Alejandro pensó.
Agrupándolos de 2 en 2 y sumando cada grupo se obtiene las siguientes
ecuaciones:
1) x1  x2  40
2) x1  x3  44
3) x2  x3  56
 x1  x 2  40

 x1  x3  44
 x 2  x3  4
Resolviendo 1 y 2
 x 2  x3  56

x x 4
Sumamos 3 y 4  2 3
2 x3  60
Obtenemos la ecuación 4)  x2  x3  4
De ahí : x3  30
Como x3  30 y x2  x3  56 obtenemos x2  26
Como x3  30 y x1  x3  44 obtenemos x1  14
Los números que Daniel Alejandro pensó: 14, 26 y 30.
Tema N° 4
Sin efectuar operaciones hallar el valor de A.
A = ( 83.875’683.470 )2 – ( 83.875’683.469 x 83.875’683.471 )
Resolución
A = ( 83.875’683.470 )2 – ( 83.875’683.469 x 83.875’683.471 )
Asignando
entonces
y
Reemplazando
83.875’683.470 = x
83.875’683.469 = x – 1
83.875’683.471 = x + 1
A
A
=
=
=
=
x2 – (x – 1)(x + 1)
x2 – (x2 – 1)
x2 – x 2 + 1
1
Tema N° 5
Cuando Roberto realizó el siguiente producto:
15x14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 y dictó su resultado, una de las cifras
que anotó Marisol: 13076743□8000 (la novena, donde está el □), quedó borrosa y
no se sabe cuál es. Averigüe la cifra que falta sin necesidad de efectuar la
multiplicación. Justifique su respuesta.
Resolución
15x14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 13076743□8000
Como 9 es un factor de la multiplicación, el resultado debe ser divisible para 9.
Criterio de Divisibilidad para 9: Para que un número sea divisible para 9, al
sumar sus dígitos el resultado debe ser 9 o múltiplo de 9.
1+3+0+7+6+7+4+3+□+8+0+0+0 = 39 + □
Como □ es un dígito: 0 < □ < 9
Para que 39 + □ sea múltiplo de 9 ; □ = 6
39 + 6 = 45, lo que cumple con el criterio de divisibilidad.
Respuesta □ = 6
Nota: Se pueden usar otros criterios de divisibilidad
Tema N° 6
A lo largo del Malecón Simón Bolívar, los ciclos de los semáforos (verde –
amarillo – rojo) no duran lo mismo. Rubén, el experto conductor, se ha dado
cuenta que el de 9 de Octubre dura 45 segundos, el de Roca dura 35 segundos y
el de Loja dura 63 segundos. Rubén llegando al trabajo pregunta a Antonio: Si
los 3 semáforos mencionados comienzan su ciclo sincronizadamente a las 06h00
AM, ¿Cuántas veces más coincide el inicio del ciclo de los 3 semáforos hasta las
06h00 PM? Resuelva el problema planteado contestando la pregunta que
Antonio no supo responder.
Resolución
Los ciclos duran 45 segundos, 35 segundos y 63 segundos. Si empiezan
simultáneamente se vuelven a encender juntos al transcurrir en segundos el
mínimo común múltiplo de las 3 cantidades.
MCM (45,35,63) = 315 segundos.
Cada 315 segundos vuelve a coincidir el inicio del ciclo. De las 06h00 AM a las
06h00 PM transcurren 12 horas. Las veces que se encienden simultáneamente
son:
126060segundos  137,14
12horas

975segundos
315segundos
Por lo tanto de las 06h00 AM a 06h00 PM vuelven a coincidir los inicios de los
ciclos de los semáforos 137 veces.
Tema N° 7
¿Cuánto vale la suma de los dígitos del número 100 25  25 ?
Resolución
Sabiendo que:
101 = 10
10025 – 25
102 = 100
(102)25 – 25
103 = 1000
1000...000 – 25
:
50 ceros
:
999...99975
1050 = 1000...000
48 nueves
50 ceros
De ahí la suma de los dígitos es: (48 x 9) + 7 + 5 = 444
Tema N° 8
Hallar el valor de: 1111111111 22222 .
Resolución
1111111111  22222  1111100000  11111  22222  11111(100000  1  2)
(11111)(10000  1)  (11111)(99999)  (11111)(9)(11111)  (9)(11111) 2
(3) 2 (11111) 2 
(3)(11111)2
 (3)(11111)  33333
Tema N° 9
Nicole jugando en el jardín de su casa observa que tres hormigas salen
caminando desde un mismo punto y en línea recta hacia una pared con
direcciones distintas. Al llegar a la pared se detienen. La hormiga A caminó en
dirección perpendicular a la pared y recorrió 15 cm, la hormiga B recorrió 17 cm
y la hormiga C recorrió 25 cm ¿Cuáles son los posibles valores de la distancia
entre B y C al finalizar el movimiento de las hormigas?
Resolución
Primera Situación:
Por Pitágoras:
AB  17 2  152  64  8
AC  252  152  400  20
Luego: BC  AB  AC  8  20  28
Segunda Situación:
Por Pitágoras:
AB  17 2  152  64  8
AC  252  152  400  20
Luego: BC  AC  AB  20  8  12
Los posibles valores para la distancia BC son: 28 y 12
Tema N° 10
Hay que distribuir los números
1,2,3,4,5,6,7 uno en cada círculo del
diagrama de modo que la suma de los
tres números ubicados en tres círculos
alineados sea siempre la misma. ¿Qué
número es imposible ubicar en el
círculo C?
Aclaración: los círculos alineados son: ABE, ACF, ADG, BCD, EFG.
Resolución
Sean a,b,c,d,e,f,g los números ubicados en
los círculos A,B,C,D,E,F,G respectivamente.
Las sumas de los círculos alineados deben
ser iguales, de ahí:
(a  b  e)  (a  c  f )  (a  d  g )  (b  c  d )  (e  f  g )
Como las sumas de los círculos alineados deben ser iguales, si sumamos todas
ellas el resultado será múltiplo de 5 (debido a que da lo mismo sumar las cinco
cantidades que tomar una de ellas y multiplicarla por 5).
De ahí: (a  b  e)  (a  c  f )  (a  d  g )  (b  c  d )  (e  f  g ) es múltiplo de 5
3a  2b  2c  2d  2e  2 f  2 g
Reordenando:
 a  2a  2b  2c  2d  2e  2 f  2g 
 a  2a  b  c  d  e  f  g 
 2a  b  c  d  e  f  g   a
a  b  c  d  e  f  g  1  2  3  4  5  6  7  28
Recordemos que:
De ahí:
2a  b  c  d  e  f  g   a  2(28)  a  56  a
Como 56  a tiene que ser múltiplo de 5 y 1 < a < 7, entonces el único valor que
satisface es a = 4.
Por eso en todas las soluciones el valor ubicado en A tendrá que ser 4.
Considerando los posibles valores a ubicar en C, son c = 1,2,3,5,6 y 7.
4
4
4
7 2 3
7 3 2
2 7 3
1
6
5
c=2
1
5
6
c=3
6
1
c=1
4
4
4
1 6 5
6 1 5
1 5 6
7
c=6
2
3
2
5
7
3
c=7
El único valor imposible para ubicar en C es 4.
7
c=5
3
2