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Introducción a la topología.
Curso 2010.
Práctico 5.
Facultad de Ciencias.
Centro de Matemática.
Relaciones de equivalencia y particiones.
Supongamos que tenemos un conjunto no vacío X y una relación de equivalencia R en X , sabemos que
las clases de R forman una partición del conjunto X . Ahora si X es un espacio topológico llamaremos X/R
al espacio topológico cociente que se obtiene de considerar en X la partición que genera R. Para el resto del
práctico adoptaremos esta convención.
1.
En este ejercicio consideraremos Rn con la topología producto, que sabemos que está dada por
la métrica que da la norma usual (k k). Llamaremos Zn al suconjunto de Rn formado por las n-uplas
tales que todas sus entradas son enteras. En Rn denimos la relación xRy sii x − y ∈ Zn .
El toro.
a) Probar que R es una relación de equivalencia.
b) Llamaremos Tn al cociente Rn /R con la topología cociente y πn : Rn → Tn a la proyección en el
cociente. Demostrar que Tn es de Hausdor y que πn es abierta.
c) Denamos d : Rn × Rn → R mediante d(x, y) = mín{kx − y + mk : m ∈ Zn }, demostrar que si
πn (x) = πn (z) y πn (y) = πn (w) entonces d(x, y) = d(z, w). Ahora se dene dn : Tn × Tn → R
dn (πn (x), πn (y)) = d(x, y), demostrar que dn es una métrica en Tn y que la topología dada por
esta métrica coincide con la cociente.
d) Llamaremos S 1 al círculo {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} con la topología relativa a R2 . Demostrar
que S 1 es homeomorfo a T 1 , y que S 1 × . . . (n) . . . × S 1 es homeomorfo a Tn .
Al espacio topológico Tn se le llama el toro de dimensión n, es interesante pensar lo siguiente: todo
punto de Tn tiene un entorno abierto que es homeomorfo a Rn (o lo que es equivalente, a una bola
abierta de Rn ).
2.
Consideremos Rn∗ = Rn − {0} con la topología relativa. En Rn∗ denimos la relación xRy
sii existe t > 0 tal que tx = y .
La esfera.
a) Probar que R es una relación de equivalencia.
b) Llamaremos S n−1 al cociente Rn∗ /R con la topología cociente y πn : Rn → S n−1 a la proyección
en el cociente. Demostrar que S n−1 es de Hausdor y que πn es abierta.
c) Llamaremos E n−1 a la esfera {x ∈ Rn : kxk = 1} con la topología relativa a Rn . Demostrar que
S n−1 es homeomorfo a E n−1 , concluir que S n−1 es metrizable.
Análogamente al caso del toro, al espacio topológico S n se le llama la esfera de dimensión n. También
sucede que todo punto de S n tiene un entorno abierto homeomorfo a Rn (por convención R0 consta
solamente de un punto con la topología indiscreta).
3.
El espacio proyectivo
En Rn∗ denimos la relación xRy sii existe t ∈ R tal que tx = y .
a) Probar que R es una relación de equivalencia.
b) Llamaremos RPn−1 al cociente Rn∗ /R con la topología cociente y πn : Rn → RPn−1 a la proyección
en el cociente. Demostrar que RPn−1 es de Hausdor y que πn es abierta.
c) Encontrar una relación de equivalencia en E n−1 de manera que el espacio cociente sea (homeomorfo a) RPn−1 , concluir que todo punto de RPn−1 tiene un entorno abierto homeomorfo a Rn−1 .
¾Es RPn−1 metrizable?.
d) Encontrar un heomeomorsmo entre S 1 y RP1 , pensar por qué para n = 2 se tiene que S n no es
homeomorfo a RPn .
4. Supongamos que X es un espacio topológico y T es una partición en X de manera que la proyección
al cociente π : X → X/T es abierta. Demostrar que si X es N1 entonces X/R también lo es, y que si
1
X es N2 entonces X/R también. Por otro lado demostrar lo siguiente: X/R es de Hausdor sii dados
dos puntos no relacionados x, y ∈ X , existe un entorno de x, U , y uno de y , V tales que ningún punto
de U está relacionado con alguno de V .
Como aplicación se tiene que Tn , S n y Pn son espacios N2 y Hausdor.
5. Supongamos que X es un espacio topológico y que R es una relación de equivalencia en X , probar que
si X es separable entonces el espacio cociente X/R también lo es.
6.
El plano pinchado, el cilindro y el toro.
En R2 denimos la relación (x, y)R(z, w) sii x − z ∈ Z.
a) Probar que R es una relación de equivalencia.
b) El cilindro, C , es el espacio cociente R2 /R con la topología cociente, y π : R2 → C es la proyección
canónica. Demostrar que C es homeomorfo a S 1 × R con la topología producto, y a R2∗ con la
topología relativa.
c) Probar que π(x, y)Sπ(z, w) sii y − w ∈ Z dene una relación de equivalencia en C y que el espacio
cociente que se obtiene es (homeomorfo a) T2 .
7. En Rn denimos la relación xRy sii existe t ∈ R, t 6= 0 tal que tx = y . Demostrar que R es una
relación de equivalencia y describir el espacio cociente con su topología. ¾Es el espacio cociente un
espacio métrico?
8. Diremos que obtener el espacio topológico Y a partir del X , es denir una partición en X de manera
que el espacio cociente resultante sea homeomorfo a Y . Para los siguientes espacios obtenga
El cilindro S 1 × R a partir de [0, 1] × (0, 1), y (por otro lado) R2 .
El cilindro S 1 × [0, 1] a partir de [0, 1] × [0, 1].
La esfera S 2 a partir del disco cerrado D := {x ∈ R2 : kxk 6 1}.
La esfera S n a partir de la bola unidad cerrada en Rn .
El toro T2 a partir del cuadrado [0, 1] × [0, 1]
9. ¾Qué puede decir de la partición T del espacio topológico X si el espacio cociente resulta discreto?.
10.
La botella de Klein y la banda de Möbius.
En el cuadrado [0, 1] × [0, 1] denimos la partición
T := {{x} : x ∈ [0, 1] × (0, 1)} ∪ {{(t, 0), (1 − t, 1)} : t ∈ [0, 1]}.
La banda de Möbius M es el espacio cociente [0, 1]×[0, 1]/T . Se dene la función f : [0, 2π]×[−1, 1] →
R3 de manera que
f (θ, t) = 2(cos(θ), sin(θ), 0) + t(cos2 (θ), cos(θ) sin(θ), sin(θ)).
Demostrar que la banda de Möbius es homeomorfa a la imagen de f con la topología relativa a R3 .
Pensemos S 1 = {x ∈ R2 : kxk = 1} con la topología relativa, denimos eti = (cos(t), sin(t)) para
t ∈ R. En el cilindro S 1 × [0, 1] denimos la partición
S = {{x} : x ∈ S 1 × (0, 1)} ∪ {{(e2πti , 0), (e2π(1−t) , 1)} : t ∈ [0, 1)}.
La botella de Klein es el espacio cociente S 1 × [0, 1]/S .
Lo que queremos probar a continuación es que la botella de Klein se obtiene pegando los bordes de
dos bandas de Möbius. Para eso consideremos dos bandas de Möbius disjuntas en R3 , pensemos en las
imágenes (disjuntas) de las funciones f y f + (0, 0, 3), unimos las dos imágenes y equipamos la unión
con la topología relativa, a tal espacio lo llamamos M . Lo que se pide es obtener la botella de Klein a
partir de M .
¾Es la botella de Klein isomorfa al toro T2 ?1
1
No porque tienen nombre distintos.
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