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1.2.4
Principio de superposición de los estados
Como fue demostrado en la sección 1.2.1 cualquiera función de onda de Broglie correspondiente estado estacionario puede ser
representada como un grupo o un paquete de ondas monocromáticas. En ausencia de las fuerzas externas y la interacción mutua entre
partículas diferentes estados estacionarios de cada partícula se definen por valor y la dirección del momento lineal. Dadas condiciones
iniciales la partícula puede estar en un estado con función de onda dada en una forma de un paquete, pero este paquete puede cambiar
su forma bajo una fuerza externa o debido a la interacción con otras partícula que perturban este estado inicial. Después de interacción
la función de onda vuelve ser estacionaria en un estado diferente dado por otro paquete. Es decir en cualquier momento la función de
onda de una partícula puede ser representada como una superposición de ondas De Broglie monocromáticas  p  e 
i p x  Et 
. Este caso
de superposición es una expresión de un principio general de superposición de los estados que es un fundamento de toda mecánica
cuántica.
Este principio se puede formularse de manera siguiente. Si algún sistema que consiste de una partícula o un ensamble de las partículas
puede estar en un estado descrito por una función de onda  1 y en otro dado por la función de onda  2 entonces este sistema puede
estar en los estados dados por las funciones   C11  C2 2 , donde C1 , C2 son dos constantes arbitrarias, que definen las amplitudes
y fases de estados particulares  1 y  2 las cuales en caso general son números complejos. Por lo tanto,
si para un sistema existe un conjunto de los estados permitidos con diferentes energías, momentos lineales o angulares, etc., dados
por las funciones de ondas 1, 2 , entonces son permitidos también los estados dados por la función de onda dada por:
  C11  C2 2 
(1)
 Cn n 
con los coeficientes complejos C1, C2 , C3 arbitrarios. Los estados cuyas funciones de onda tienen la forma (1) se llaman “mixtos” en
los cuales a diferencia de los estados “puros” dados por funciones de ondas 1, 2 , los parámetros tales como energías, momentos
lineales o angulares no están fijas a priori y pueden ser definidos solamente en el proceso de medición. Con las probabilidades
el sistema se encuentra en uno de los estados dados por funciones de ondas 1, 2 ,
coeficientes deben cumplir la condición:
2
2
p1  C1 , p2  C2 , p3  C3
2
2
2
C1  C2  C3 
2
1
y por eso los
(2)
Si el espectro de las funciones que caracterizan diferentes estados es continuo entonces en las fórmulas anteriores las sumas se
reemplazan por las integrales. Esto se refiere a un caso muy importante cuando onda De Broglie es viajera cuando en la calidad de
parámetro no numerable es conveniente usar el vector del momento lineal p  px , p y , pz con los componentes que forman un continuo


sobre toda eje real px , p y , pz  R  ,  . Correspondientes a este parámetro estados se dan por la función de onda De Broglie para
una partícula libre: normalizada
1
 p  r, t    p  x, y , z, t  
exp i p  r  E  t 
 2 3 2
Aquí factor  2

(3)
3 2 garantiza que funciones de onda sean ortonormalizadas (ver Apéndice 1)
Entonces cualquiera onda viajera puede ser representada como una superposición de estas ondas De Broglie:


1
  x, y, z, t      c px, , p y , pz , t  p  x, y, z, t  dpdp y dpz 
c p x , p y , p z exp i p  r  E  t   dp x dp y dp z
32   

 2  








Aquí c px, p y , pz son amplitudes de ondas De Broglie monocromáticas con el momento lineal p  px , p y , pz .
(4)
Es evidente que
representación (4) es una transformación de Fourier triple de una función de tres variables. Para ver este hecho más claro usemos la
denotación
(5)
 px, p y , pz , t  c px , p y , pz , t exp   i  E  t 

 

Entonces la fórmula (4) se reduce a la siguiente

  x, y, z, t        px, p y , pz , t  exp i  px  x  p y  y pz  z 




dpx dp y dpz
 2 3 2
(6)

En consecuencia, uno para hallar la función incógnita  px, p y , pz , t puede utilizar la transformación de Fourier inversa:

  px, p y , pz , t       x, y, z, t  exp i  px  x  p y  y pz  z 

 dxdydz

 2 3 2
(6)
o




c px, p y , pz , t  eiEt /     x, y, z, t  exp  i px  x  p y  y pz  z


 dxdydz

 2 3 2
(7)
De esta manera, nosotros vemos la función de onda de cualquier estado extendido puede ser representado como una superposición de
ondas De Broglie monocromáticas con diferentes momentos lineales con amplitudes dadas por la fórmula (7).