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CÓDIGO: PA-01-01
GESTIÓN ACADÉMICA
VERSIÓN: 2.0
GUÍA DIDÁCTICA 5
¡HACIA LA EXCELENCIA… COMPROMISO DE TODOS…!
I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO
FECHA: 19-06-2013
PÁGINA: 1 de 5
Nombres y Apellidos del Estudiante:
Grado: DECIMO
Periodo: TERCERO
Docente: ALEXANDRA URIBE
Duración:
40 HORAS
Área: MATEMATICA
Asignatura: TRIGONOMETRIA
ESTÁNDAR:
 Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su
uso en una situación dada.
 Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y las de
sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas
numéricos
 Reconozco la densidad e incompletitud de los números racionales a través de métodos numéricos,
geométricos y algebraicos.
 Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras
ciencias.
INDICADORES DE DESEMPEÑO:
 Encuentra el valor exacto de una función trigonométrica a partir de identidades.
 Usa identidades de adición, y multiplicación para resolver ecuaciones.
EJE(S) TEMÁTICO(S):
IDENTIDADES Y ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
 IDENTIDAD
 FUNCIONES PARA ADICION Y MULTIPLICACION DE ANGULOS
 IDENTIDADES PARA ANGULOS DOBLES.
 ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
MOMENTO DE REFLEXIÓN / CRECIMIENTO PERSONAL/ SEGÚN EL TEMA
““.DEJA DE PENSAR EN TÉRMINOS DE LIMITACIONES Y EMPIEZA A PENSAR EN TÉRMINOS DE POSIBILIDADES”
”.
ORIENTACIONES
(Forma de trabajo y forma de evaluar la guía)
ESTA GUIA SE DESARROLLARÁ EN GRUPOS DE 2 ESTUDIANTES, REQUIERE DE COMPROMISO ACADEMI CO Y DE
COMPORTAMIENTO.
DEBE COMPLEMENTARSE REALIZANDO CONSULTAS, Y EJERCICIOS DE APRESTAMIENTO PARA ADQUIRIR
HABILIDADES EN PROCESOS DE RESOLUCION DE PROBLEMAS. DURANTE EL DESARROLLO DE LA GUIA SE
EVALUARÁ CON PRUEBAS OBJETIVAS TIPO ICFES.
EXPLORACIÓN
( Pregunta lectura /sopa de letras)
APTITUD MATEMATICA
: Resuelve el siguiente problema teniendo en cuenta las condiciones y las ayudas.
 Hay cinco casas, cada una de un color distinto.
 En cada casa viven una persona de una nacionalidad distinta.
 Cada uno de los habitantes de estas casas bebe una determinada bebida, fuma una determinada marca
de cigarrillo y posee un animal.
 Ninguna de las cinco personas coincide en sus costumbres de bebida y de cigarrillos, ni tiene el mismo
animal que algunos vecinos.
¿Quién es el propietario del pez?
UN PAR DE AYUDITAS:
 El inglés vive en la casa roja
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El sueco posee un perro.
El danés bebe té.
La casa verde esta a la izquierda de la casa blanca.
El propietario de la casa verde bebe café.
El fumador de pall Mall posee un pájaro.
El dueño de la casa de en medio bebe leche.
El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill.
El noruego vive en la primera casa.
El fumador de Marlboro vive al lado del que posee un gato.
El propietario del caballo vive al lado del que fuma Dunhill.
El fumador de Winfield bebe cerveza.
El noruego vive al lado de la casa azul.
El alemán fuma Rothmans
El fumador de Marlboro tiene un vecino que bebe agua.
CONCEPTOS PREVIOS: IDENTIDADES FUNDAMENTALES




IDENTIDADES RECIPROCAS: cot x =1 / tan x, sec x = 1 / cos x , cosc x = 1 / sen x
IDENTIDADES POR COCIENTE: tan x = sen x / cos x,
cot x = cos x / sen x
2
2
IDENTIDADES PITAGÓRICAS: sen x + cos x = 1 , 1 + tan2 x = sec2 x, 1 + cot2 x = cosc2x
IDENTIDADES DE ANGULOS COMPLEMENTARIOS: cos (π/2-x) = sen x, cot (π/2-x) = tan x,
csc ( π/2-x) = sec x
CONCEPTUALIZACIÓN
IDENTIDAD: Es una igualdad que siempre se cumple. Las igualdades con expresiones trigonométricas para
cualquier valor del ángulo se llaman IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.
La igualdad tan x = sen x /cos x. Se satisface para todo valor de x, lo cual significa que la expresión es una
identidad, además por comparar valores de las funciones trigonométricas es un ejemplo de IDENTIDAD
TRIGONOMETRICA
La igualdad 2sen x = sen 2x, se satisface para infinitos valores de x, por ejemplo para x=0, x= , ……x=4π, x=4π, no se trata sin embargo de una identidad porque existen valores de x para los cuales la igualdad no se cumple.
Poe ejemplo x= π/4.
Las igualdades trigonométricas que se cumplen para algunos valores de x, pero no para todos, reciben el nombre de
ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
Un paso fundamental en el manejo de las identidades es el conocimiento de procesos útiles para transformar una
expresión dada en otra utilizando propiedades algebraicas e identidades trigonométricas fundamentales.
VERIFICACION DE IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS: Verificar una identidad trigonométrica significa
transformar una expresión en otra, Para lo cual debemos tener en cuenta:

Simplificar la expresión que aparenta ser más compleja
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De ser posible factorizar, adicionar fracciones, desarrollar binomios o racionalizar algún denominador
Emplear las identidades fundamentales
En algunos casos, escribir toda la expresión en términos de coseno o seno.
De ser necesario, trabajar las dos expresiones hasta obtener un resultado común.
EJEMPLO MODELO: Verifiquemos que la expresión sen2 x - sen4 x = sen2 x. cos2 x.
sen2 x - sen4 x = sen2 x ( 1 – sen2 x )
= sen2 x . cos2 x
FUNCIONES PARA ADICION Y MULTIPLICACION DE ANGULOS.
Sen (45 + 30)?
Cos (90 - 30)?
Tan (30+ 20)?
Cos (40. 50)?
¿Cómo encontrar la imagen, mediante una función trigonométrica, de una suma de ángulos?
OBSERVA:
(
SEN (
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
Ejemplo modelo: Si
SEN
(
(
) (
) (
sen 30= ,
sen 60 =
)
)
√
sen 45=
√
√
cos 30=
cos 60=
√
Cos 45=
RESUELVE: SEN ( 45 + 30 )= SEN 45.COS30 + COS45.SEN30
=
√
√
+
√
√
√
√
√
IDENTIDADES PARA ANGULOS DOBLES. Las identidades para las funciones trigonométricas de los ángulos
dobles: sen 2x, cos 2x, tan 2x, y las recíprocas se deducen de las expresiones ya analizadas del seno, coseno y
tangente de la suma de ángulos.
1. Seno del doble de un ángulo: sen 2x = 2senx. cosx
2. Coseno del doble de un ángulo: cos 2x = 2 cos2 x -1.
3. Tangente del doble de un ángulo: tan 2x = (2tanx)/(1-tan2 x)
EJEMPLO MODELO. SEN 2X = 2 SEN X COS X DEMOSTREMOS :
SEN 2X = SEN ( X + X) APLICANDO CONCEPTOS ANTERIORES
= SEN X. COS X + COS X. SEN X EXPRESIONES IGUALES
= 2 SEN X. COS X
ECUACIONES TRIGONOMETRICAS. Son igualdades de expresiones trigonométricas que se cumplen
únicamente para ciertos ángulos.
Resolver una ecuación trigonométrica consiste en encontrar los ángulos que hacen verdadera la igualdad, por tanto
es necesario emplear algunas técnicas utilizadas en algebra, como agrupación de términos semejantes, factorización,
extracción de raíces y desde luego el uso de identidades que permitan escribir unas funciones en términos de otras.
Las técnicas de factorización permiten encontrar las soluciones de una ecuación en general a partir de las soluciones
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de ecuaciones simples.
EJEMPLO MODELO:
RESUELVE LA ECUACION TRIGONOMETRICA: 2COS2 X + 3 SEN X -3 = 0 SOLUCIONANDO
2( 1-SEN2 X) + 3 SEN X - 3 = 0
2 – 2 SEN2 X + 3 SEN X - 3 = 0
2 SEN2 X – 3 SEN X + 1 = 0
Recordando la factorización del trinomio ax2 +bx + c = o, tenemos:
2 SEN2 X -3 SEN X + 1 = ( 2 SEN X – 1 )( SEN X – 1 ) = 0
De lo anterior obtenemos dos ecuaciones simples : 2SEN X -1 = 0 Y SEN X -1 = 0 Resolviendo cada
ecuación obtenemos:
SEN X = 1 , ASI X = π/6 Y X = 5π/6, Y SEN X = 1/2 De donde X= π/2.
Luego la solución a la ecuación planteada es:
EJEMPLO MODELO:
de donde
SEN2 X + SEN X = 2
π/6, 5π/6, y π/2
Esta ecuación trigonométrica es de la forma x2 + bx + c = 0
SEN2 X + SEN X -2 = 0 Al resolver el caso de factorización obtenemos.
SEN2 X + SEN X - 2 = ( SEN X + 2 )( SEN X - 1 ) = 0
OBSERVA
Dos ecuaciones simples que pueden resolverse despejando así:
SEN X + 2 = 0 ENTONCES SEN X = -2 PERO NINGUN NUMERO TIENE -2 POR SENO.
SEN X -1 = 0 ENTONCES SEN X = 1, ESTO CORRESPONDE A UN ÁNGULO DE 90 GRADOS O
π/2.
SOLUCION A LA ECUACION ANTERIOR X= π/2
ACTIVIDADES DE APROPIACIÓN
(Taller: Tener en cuenta competencias - Glosario)
VERIFICO
IDENTIDADES.
DEMUESTRO: (FUNCIONES PARA ADICION Y MULTIPLICACION DE
ÁNGULOS
1.
2.
3.
–
1. Cos ( A+B) + COS ( A-B) = 2COS A.COS B
2. SEN ( A +B) + SEN ( A-B ) = 2SEN A .SEN B
(
)
3.
(
)
4. Tan2 α + 4 = sec2 α + 3
(
4.
5. Tan4 x = tan2 x sec2 x- tan2 x
5. (
)
(
(
)
)
)
IDENTIDADES PARA ANGULOS DOBLES:
VERIFICO IDENTIDADES:
2.
3.
4.
5.
1. COS2 π = ( 1 + COS 2π)/ 2
1/2 (sen 2x) = sen x. cos x
( sen x + cos x )2 - sen 2x = 1
cot x –tan x = 2 cot 2x
( 1-sen 2x)/(sen x – cos x)= sen x –cos x
ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
RESUELVO: 1. COS 2X = 2 SEN2 X.
4. TAN X + COT X = 4
2. SEC2 X = 2 TAN2 X
5. 2 TAN X. SENX –TAN X = 0
3. 2 SEN2 X + COX - 1 = 0
6. TAN2 X - COT 4X= 0
SOCIALIZACIÓN
(Verificación de la aprehensión de los contenidos y revisión de la solución de la actividad)
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REVISION DEL TRABAJO REALIZADO, ACLARACION DE CONCEPTOS Y DUDAS, APORTES DE
ESTUDIANTES LIDERES
DE GRUPO.
COMPROMISO
(Actividades extracurriculares – consultas – trabajos)
CONSULTA:



COSENO DE LA MITAD DE UN ANGULO.
SENO DE LA MITAD DE UN ANGULO
TANGENTE DE LA MITAD DE UN ANGULO
DESARROLLO DE TALLERES. PAGINAS: 120-126-127 TEXTO MATEMATICA 2000 EDITORIAL VOLUNTAD
DE DECIMO GRADO
DESARROLLO DE TALLERES PAGS 106-107-111-117-121 MATEMATICA ALFA 10 CON ESTANDARES
EDITORIAL NORMA DECIMO GRADO.
ELABORÓ
REVISÓ
NOMBRES
MARINA CLARO GARCIA
CARGO
Docentes de Área
19
06
APROBÓ
ALEXANDRA URIBE
Jefe de Área
2013
26
05
Coordinador Académico
2014