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CONCURSO
“PROBLEMAS CON PREMIO”
Soluciones de los problemas del concurso celebrado con ocasión de la Semana de la
Ciencia 2009, en la carpa del Arenal en Bilbao.
1)
Aitor entró en una tienda para comprar un juguete pero
le faltaban 3 euros. Ahora bien, si el juguete costara
la mitad, le sobrarían 2 euros. ¿Cuál es el precio del
juguete y cuánto dinero tiene Aitor?
Si llamamos x al dinero que tiene Aitor, la primera
proposición indica que el precio del juguete es x+3
euros. De la segunda proposición obtenemos la ecuación
(x+3)/2=x-2
Al despejar la incógnita, deducimos que x=7 euros y el
juguete cuesta 10 euros.
2)
En un campamento escolar acude un grupo de niños.
Sabemos que los que vienen de Teruel son la mitad de
los que vienen de Oviedo, que, entre Oviedo y
Santander, vienen un total de ocho niños y que los que
vienen de Santander son el doble de los que vienen de
Logroño. ¿Cuántos niños hay en el campamento?
Si escribimos en forma de ecuación los datos
suministrados, tenemos:
T=O/2, O+S=8, S=2L, o bien T=O/2, O+S=8, L=S/2.
Sumando todas las ecuaciones, obtenemos el total de
niños en el campamento, porque
T+O+S+L=O/2+8+S/2=8+(O+S)/2=8+4=12.
3)
Un estudiante de matemáticas recibe la siguiente
oferta: por cada problema bien resuelto recibirá 8
euros y por cada problema mal resuelto pagará 5 euros.
Después de resolver 26 problemas, tiene tanto dinero
como al principio. ¿Cuántos problemas resolvió
correctamente?
Si llamamos x al número de problemas resueltos
correctamente e y al número de problemas mal
resueltos, el enunciado del problema nos conduce a las
ecuaciones
8x=5y
x+y=26.
De la primera ecuación, resulta que x debe ser
múltiplo de 5. Una sencilla comprobación nos permite
deducir que x=10, y=16.
4)
Con 1000 cubitos cuya arista mide 1cm formamos un cubo
más grande de arista 10cm. Lo pintamos y luego lo
descomponemos en los cubos originales. ¿Cuántos de
estos cubos tienen alguna cara pintada? ¿Cuántos de
ellos tienen sólo una cara pintada? ¿Cuántos cubos
tienen por lo menos dos caras pintadas?
Los ocho vértices del cubo grande corresponden a cubitos
que tienen tres caras pintadas.
Las doce aristas del cubo grande contienen ocho cubitos que
tienen dos caras pintadas; en total habrá 8·12=96 cubitos
con dos caras pintadas.
Por último, cada una de las seis caras del cubo contiene
8·8=64 cubitos con una cara pintada; en total habrá
64·6=384 cubitos con una sola cara pintada.
Los cubos interiores, que no tienen ninguna cara pintada,
forman un cubo grande de arista 8cm.
Así pues, habrá 8+96+384=488 cubitos con alguna cara
pintada, 384 cubitos con una sola cara pintada y 8+96=104
cubitos con más de una cara pintada.
- Intermedios:
5)
¿Cuántos números de cinco cifras, es decir
comprendidos entre 10000 y 99999, son capicúas?
¿Cuáles de ellos están más próximos entre sí y cuáles
están más alejados?
¿Cuál es el menor conjunto de números consecutivos que
contiene tres capicúas?
Todo número capicúa de cinco cifras tiene la forma
general xyzyx, donde x es cualquier número comprendido
entre 1 y 9, y es cualquier número entre cero y nueve,
y z es también cualquier número comprendido entre cero
y nueve. Así pues, el total de números capicúas es
igual al producto 9·10·10=900.
Dados dos números capicúas, si sus dos primeras cifras
coinciden, la menor diferencia entre ellos será 100
(por ejemplo, 45654-45554=100). Ahora bien, si las
tres cifras intermedias de ambos números son 000 y
999, respectivamente, su diferencia puede hacerse
igual a 11. Los ocho pares de números con dicha
distancia son 19991 y 20002, 29992 y 30003, …, 89998 y
90009.
Los más alejados serán, evidentemente, los extremos
del conjunto de números capicúas, concretamente 10001
y 99999, cuya diferencia es 89998.
Por último, dado el conjunto que incluye dos de los
números más próximos, buscamos el siguiente número
capicúa, añadiendo una unidad a la cifra de las
decenas. Conseguimos así un conjunto de 112 números
que contiene tres números capicúas. Los ocho conjuntos
de números consecutivos más pequeños con tres números
capicúas son {19991, …, 20002, …, 20102}, {29992, …,
30003, …, 30103}, … y {89998, …, 90009, …, 90109}.
6)
El número 7 x 541 tiene 30 cifras en notación decimal.
¿Es cierto o no que en esas treinta cifras hay alguna
que aparece por lo menos cuatro veces? Razonar la
respuesta.
Supongamos que ninguna cifra aparece por lo menos
cuatro veces. Como el número tiene 30 cifras y hay 10
cifras diferentes, deben aparecer todas las cifras
exactamente tres veces. Esto significa que el número
es múltiplo de tres, lo cual es imposible porque el
número dado sólo es divisible por 7 y por 5.
7)
A las tres en punto, el ángulo formado por la aguja
horaria y el minutero es de 90 grados. ¿Qué ángulo
formarán diez minutos después?
Sabemos que la aguja del minutero gira 6º cada minuto
y la aguja horario gira medio grado cada minuto.
Por tanto, diez minutos después de las tres, el
minutero habrá girado 6·10=60 grados, y la aguja
horaria habrá girado ½·10=5 grados. El ángulo formado
por ambas agujas será ahora 90-60+5=35º.
8)
Para dividir un pastel entre 16 invitados se corta en
el centro una porción circular de 3 cm. de radio y el
resto se divide en 15 porciones iguales, que resultan
del mismo tamaño que la porción central. Si
quisiéramos dividir el mismo pastel y con el mismo
procedimiento entre 25 invitados, ¿cuál debería ser el
radio de la porción central?
Si llamamos x al radio del pastel, al cortar una
porción circular de radio 3cm, el área restante es
igual a  ( x 2  9) , de modo que el área de cada trozo
es  ( x 2  9) / 15  9 .
Despejando el valor de x, obtenemos x=12cm.
Si queremos repartir el pastel entre 25 invitados, el
área de cada porción será igual a 144 / 25   (12 / 5) 2 .
Como la porción central es un círculo de área  r 2 ,
la longitud de su radio es igual a 2,4 cm.
- Menos fáciles:
9)
¿Cuáles son las dos últimas cifras de 2222?
Si calculamos las dos últimas cifras de las diferentes
potencias de dos, observamos que siguen una secuencia
de periodo 20. Concretamente, las unidades se repiten
cada cuatro potencias pues toman los valores 2, 4, 8 y
6 en forma secuencial. Como 222 = 4 · 55 + 2, el resto
de la división de 222 entre 4 es 2, los posibles
valores de las dos últimas cifras son 04, 64, 24, 84 y
44, repetidos de cinco en cinco. Como además el resto
de la división de 55 entre 5 es cero, las dos últimas
cifras de 2222 son 04.
10)
Dos amigos lógicos se encuentran. Uno de ellos propone
al segundo el siguiente problema.
- Un granjero dejó en herencia a sus tres hijos un
campo rectangular de dimensiones 6 y 7 kilómetros.
Los tres hermanos dividieron el terreno en tres
rectángulos, cada uno de ellos con una cantidad
entera de kilómetros por lado, de modo que el área
de cada parte sea igual a la edad de cada uno.
Sabiendo que cada uno tiene edades distintas,
¿cuáles son las edades de los hijos?
- No puedo saberlo. Me faltan datos.
- Es cierto, todos nacieron el mismo día que tú.
- Bien, ahora ya sé la respuesta.
¿Cuáles son las edades de los hijos?
El rectángulo dado puede descomponerse en tres
rectángulos de alguna de las formas siguientes:
7x 6 a b
7xb
a x6
bx6
7 a b x6
7xa
7 a xb
a xb
a x 6 b
7 a x6
7x 6 b
a xb
Dando valores arbitrarios, pero enteros, a los
parámetros “a” y “b”, se obtienen distintas soluciones.
El hecho de saber que los hijos nacieron el mismo día
que el amigo no proporciona información adicional salvo
que el día de nacimiento sea el 29 de febrero. Esto
quiere decir que la diferencia de edades entre los hijos
debe ser múltiplo de cuatro. Como sólo hay una solución
en que la diferencia de áreas es múltiplo de cuatro, que
es la mostrada en la figura siguiente, las edades de los
hijos son 30, 10 y 2 años.
2x5
5x6
2x1
11)
Dado un número primo mayor que 5, se eleva al
cuadrado, al resultado se le suma 17 y se divide el
nuevo resultado por 12. Probar que el resto de la
división es seis.
Si llamamos p a un número primo mayor que 5, debemos
probar que p 2  17  12q  6 , donde q es entero.
Los posibles restos de la división de un primo por 12
son 1, 5, 7 y 11, de modo que basta comprobar la
igualdad sólo para estos casos.




Si
Si
Si
Si
p=12n+1, p 2  17  144n 2  24n  18  12(12n 2  2n  1)  6.
p=12n+5, p 2  17  144n 2  120n  42  12(12n 2  10n  3)  6.
p=12n+7, p 2  17  144n 2  168n  66  12(12n 2  14n  5)  6.
p=12n+11, p 2  17  144n 2  264n  138  12(12n 2  22n  11)  6.
En todos los casos se obtiene la igualdad deseada.
12)
En un tablero cuadriculado de 100 filas y 100
columnas, se numeran las filas del 1 al 100, de arriba
abajo, y las columnas del 1 al 100, de izquierda a
derecha. A continuación, en cada columna se pintan las
casillas correspondientes a las filas cuyo número es
divisor del número de la columna (por ejemplo, en la
columna 4 se pintan las casillas de las filas 1, 2 y
4). ¿Cuántas casillas se han pintado en la
décimotercera fila? ¿Cuántas casillas se han pintado
en todo el tablero?
Con la
son:
(1,1),
fila;
(2,2),
dos;
(3,3),
tres;
…
información suministrada, las casillas pintadas
(1,2), …, (1,100):
todas las de la primera
(2,4), (2,6), …, (2,100):
(3,6), …, (3,99):
casillas de dos en
casillas de tres en
(100,100):
única casilla en la última fila.
Al sumar todos estos valores, obtenemos:
100+100/2+[100/3]+[100/4]+…+[100/100]
=
100+50+33+25+20+16+14+12+11+10+9+8+2·7+2·6+4·5+5·4+8:3
+17·2+50·1
= 482.
(El símbolo [·] representa la parte entera del
número.)