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9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC 9.1.
INTRODUCCIÓN En el capítulo anterior vimos como los circuitos resistivos con capacitancias o los
circuitos resistivos con inductancias tienen variables que son calculadas mediante
ecuaciones diferenciales de primer orden. Ahora vamos a ver que cuando en el
mismo circuito tenemos inductancias y capacitancias las ecuaciones diferenciales
resultantes serán de segundo orden, por lo cual los denominamos circuitos de
segundo orden.
También veremos cómo en circuitos con inductancias y capacitancias la energía
almacenada por uno de estos elementos puede ser transferida al otro. Esto puede
producir repuestas de tipo oscilatorio, incluso cuando no hay fuentes en el sistema.
El procedimiento para encontrar las ecuaciones diferenciales de estos circuitos es
el mismo que para los casos de orden uno. La solución de las ecuaciones
diferenciales también es muy similar, pero ahora tendremos dos raíces de la
ecuación característica, las cuales pueden ser reales diferentes, reales iguales o
complejas conjugadas (con parte real igual o diferente de cero). En función de esto
tendremos cuatro tipos de respuesta de estado cero: oscilatoria, subamortiguada,
sobreamortiguada y críticamente amortiguada. Lo que será un poco más complejo
ahora será el cálculo de las condiciones iniciales, ya que necesitaremos
adicionalmente las condiciones iniciales de la primera derivada de la variable de
interés.
9.2.
CIRCUITO LC – RESPUESTA DE ENTRADA CERO El circuito de la Figura 9-1 muestra un circuito muy simple de segundo orden
conformado por una capacitancia y una inductancia. Aunque este circuito no tiene
fuentes, puede tener energía almacenada (condiciones iniciales) en cualquiera de
los dos elementos o en ambos simultáneamente. La condición inicial del voltaje en
la capacitancia nos fija el valor del voltaje en la inductancia, así como la condición
inicial de la corriente en la inductancia nos determina la corriente en la capacitancia
(pero con signo contrario).
Voltaje en la capacitancia
Vamos a encontrar la ecuación diferencial del voltaje en la capacitancia y resolverla
(respuesta de entrada cero).
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
169
9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC
Figura 9-1
La ecuaciones que describen el circuito son:
i L = −i C = −C
Nodo:
dVC
dt
Derivando
d 2VC
di L
= −C
dt
dt 2
− VC + VL = 0
VC = VL = L
Malla:
diL
dt
di L 1
1
= V L = VC
dt
L
L
Igualando la derivada de la corriente de la inductancia tenemos:
diL
d 2VC 1
= −C
= VC
dt
dt 2
L
C
d 2VC 1
+ VC = 0
L
dt 2
d 2VC
1
+
VC = 0
2
LC
dt
Como no hay entrada la respuesta depende exclusivamente de las condiciones
iniciales con dos constantes indeterminadas A y B:
VC (t ) = Ae λ1t + Be λ2t
Para encontrar la solución homogénea para el voltaje en la capacitancia
necesitamos conocer dos condiciones iniciales que pueden ser
170
VC (t o ) y
dVC (t o )
.
dt
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9.2. CIRCUITO LC – RESPUESTA DE ENTRADA CERO
Para simplificar vamos a suponer que conocemos las condiciones iniciales del
circuito en cero para el voltaje de la capacitancia
( )= i
inductancia i L 0
−
condición inicial de
L0
( )
VC 0 − = VC 0 y la corriente en la
. A partir de estas condiciones debemos encontrar la
dVC (0 )
. Para esto hacemos uso de las relaciones entre
dt
voltaje y corriente en la capacitancia:
iC (t ) = C
dVC (t )
dt
Despejando la derivada del voltaje tenemos:
dVC (t ) iC (t )
=
dt
C
En el tiempo cero tenemos:
dVC (0 + ) iC (0 + )
=
dt
C
Ahora debemos conocer la corriente inicial en la capacitancia, y teniendo en cuenta
que iC = −i L y que la corriente en la inductancia es continua:
dVC (0 + ) iC (0 + )
i
i L (0 + )
i L (0 − )
=
=−
=−
= − L0
dt
C
C
C
C
De manera que ya tenemos las dos condiciones iniciales necesarias para resolver
la ecuación:
VC (0 + ) = VC 0
VC′ (0 + ) =
dVC (0 + )
i
= − L0
dt
C
Ahora encontramos la ecuación característica a partir de la ecuación diferencial
1 ⎞
⎛ 2
⎜D +
⎟VC = 0 :
LC ⎠
⎝
1 ⎞
⎛ 2
⎜λ +
⎟=0
LC ⎠
⎝
1
λ2 = −
LC
La solución tiene por supuesto dos raíces complejas conjugadas:
1
LC
1
λ2 = − j
LC
λ1 = + j
Así se obtiene la siguiente solución homogénea:
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
171
9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC
VCh (t ) = Ae λ1t + Be λ2t
j
VCh (t ) = Ae
1
t
LC
+ Be
−j
1
t
LC
Como no tenemos entrada el voltaje en el condensador es:
VC (t ) = Ae
j
1
t
LC
+ Be
−j
1
t
LC
Para encontrar las constantes indeterminadas utilizamos las condiciones iniciales:
VC (0 + ) = VC 0 = Ae 0 + Be 0 = A + B
Para simplificar digamos que la corriente inicial en la inductancia es cero i L 0 = 0 ,
así que:
( )
VC′ 0 + = −
iL0
1
1
= j
Ae 0 − j
Be 0 = 0 ⇒
C
LC
LC
A− B = 0 ⇒
A=B
Reemplazando en la primera condición:
A + A = VC 0
A=
VC 0
2
Solución final:
1
1
VC 0 j LC t VC 0 − j LC t
+
e
e
2
2
1
1
−j
t ⎞
V ⎛ j t
= C 0 ⎜ e LC + e LC ⎟
⎟
2 ⎜⎝
⎠
VC (t ) =
Usando la relación de Euler,
e jx = cos( x) + jsen( x); cos( x) =
e jx + e − jx
e jx − e − jx
,
; sin( x) =
2
2
podemos escribir:
VC (t ) =
VC 0
2
⎡
⎛ t ⎞⎤
⎟⎥
⎢2 cos⎜
⎝ LC ⎠⎦
⎣
⎛ t ⎞
VC (t ) = VC 0 cos⎜
⎟
⎝ LC ⎠
ω=
1
LC
θ =0
Como se aprecia la respuesta es una señal oscilatoria de tipo AC con la amplitud
de la condición inicial. La frecuencia de oscilación depende de los valores de L y C
y no de las condiciones iniciales.
Otra manera de resolverlo, dado que las raíces son complejas conjugadas, es
asumir una solución de tipo senoidal con constantes indeterminadas A y φ :
172
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
9.2. CIRCUITO LC – RESPUESTA DE ENTRADA CERO
VC (t ) = A cos(ωt + φ )
con
ω
igual a la parte imaginaria de la raíz
ω=
1
.
LC
De manera que VC (t ) = −ωA sen (ωt + φ )
'
Evaluando condiciones iniciales tenemos:
VC (0 + ) = A cos(φ ) = VC 0
A=
VC 0
cos(φ )
VC (0 + ) = −ωA sen (φ ) = −
'
sen (φ ) =
iL0
C
iL0
ωCA
De la segunda ecuación seno se concluye que si i L 0 = 0 entonces
φ = 0 , y que
A = VC 0 . Así que
VC (t ) = A cos(ωt + φ )
⎛ t ⎞
VC (t ) = VC 0 cos⎜
⎟
⎝ LC ⎠
tal como lo habíamos encontrado anteriormente.
Si la corriente inicial en la inductancia no es cero, un análisis similar nos lleva al
siguiente resultado:
⎛ t
⎞
⎛ 2 L⎞
2
+φ⎟
VC (t ) = VC 0 + ⎜ i L 0
⎟ ⋅ cos⎜
C⎠
⎝
⎝ LC
⎠
⎛
iL0
⎝ ωCVC 0
φ = tan −1 ⎜⎜
⎞
⎟⎟
⎠
1
LC
En esta última formulación vemos que si i L 0 = 0 tenemos el mismo resultado
ω=
inicial.
Corriente en la inductancia
Con el resultado del voltaje sobre el condensador se puede obtener la corriente en
la inductancia i L (t ) :
i L = −i C = −C
( )= i
Para el caso en que i L 0
−
L0
dVC
dt
tenemos:
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
173
9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC
i L = −C
d ⎡
⎛ t ⎞⎤
⎟⎥
⎢VC 0 cos⎜
dt ⎣
⎝ LC ⎠⎦
C
⎛ t ⎞
VC 0 ⋅ sen⎜
⎟
LC
⎝ LC ⎠
=
i L (t ) = VC 0
9.3.
⎛ t
C
⋅ sen⎜⎜
L
⎝ LC
⎞
⎟⎟
⎠
CIRCUITO RLC SERIE Figura 9-2
Ecuaciones que describen el circuito
Nodo:
i R = iC = i L
V R + V L + VC = 0
Malla:
Ri R + LDi L +
iC
=0
CD
Ecuación diferencial para la corriente
Con las anteriores ecuaciones se obtiene la ecuación diferencial para iL
iL
CD
1
LD 2 i L + RDi L + i L
C
R
1
D 2 i L + Di L +
iL
L
LC
1 ⎞
⎛ 2 R
⎜D + D +
⎟i L
L
LC ⎠
⎝
Ri L + LDi L +
d 2iL
dt
174
2
+
=0
=0
=0
=0
R di L
1
+
iL = 0
L dt
LC
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9.4. CIRCUITO RLC PARALELO
9.4.
CIRCUITO RLC PARALELO Figura 9-3
Ecuaciones que describen el circuito
i R + i L + iC = 0
V
VR VL
+
+ C =0
1
R LD
CD
VR VL
+
+ CDVC = 0
R LD
Nodo:
KVL:
V R = V L = VC
Ecuación diferencial para el voltaje
Con las anteriores ecuaciones se obtiene la ecuación diferencial para VC (t ) .
LDVC + RVC + RLCD 2VC = 0
1
1
DVC +
VC = 0
RC
LC
1
1 ⎞
⎛ 2
D+
⎟VC = 0
⎜D +
RC
LC ⎠
⎝
D 2VC +
d 2VC
dt
2
+
1 dVC
1
+
VC = 0
RC dt
LC
9.5. COMPORTAMIENTO DE LA RESPUESTAS DE SEGUNDO ORDEN – ENTRADA CERO La forma general de ecuación diferencial homogénea de segundo orden es:
d 2 x(t )
dx(t )
+b
+ cx(t ) = 0
2
dt
dt
la cual se puede escribir usando el operador D como:
(D
2
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)
+ bD + c x = 0
175
9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC
La ecuación característica de esta ecuación será:
λ2 + bλ + c = 0
cuya solución es:
λ1 =
− b + b 2 − 4c
− b − b 2 − 4c
y λ2 =
2
2
De acuerdo a los valores que tengan λ1 y λ 2 la respuesta homogénea puede tener
distintas formas, como lo muestra la siguiente tabla.
Tabla 9-1. Diferentes tipos de respuesta homogénea según las
raíces.
TIPO
RESPUESTA
Sobreamortiguada
λt
GRÁFICA
λt
1
2
Raíces reales x(t ) = k1e + k 2 e
diferentes:
Condiciones iniciales:
λ1 ≠ λ 2
x(0) = k + k
λ1 ∈ ℜ
λ2 ∈ ℜ
1
2
x ′(0 ) = λ1 k1 + λ 2 k 2
b 2 − 4c > 0
Críticamente
amortiguada
x(t ) = (k1 + k 2 t )e λt
Raíces reales
Condiciones iniciales:
iguales:
x(0) = k1
λ =λ =λ
1
2
λ∈ℜ
x ′(0) = λk1 + k 2
2
b − 4c = 0
176
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9.6. CIRCUITO RLC SERIE CON ENTRADA CONSTANTE
x(t ) = k1e
(σ + jω )t + k e (σ − jω )t
2
x(t ) = eσt [A cos(ωt ) + Bsen (ωt )]
Condiciones iniciales:
Subamortigu
ada
x(0) = A
x ′(0 ) = σA + ωB
Raíces
complejas
conjugadas:
Otra forma:
λ1 = σ + jω
λ 2 = σ − jω
Condiciones iniciales:
b 2 − 4c < 0
b≠0
x(t ) = Keσt cos(ωt + θ )
x(0 ) = K cos(θ )
x ′(0 ) = θK cos(θ ) − ωKsen (θ )
La relación entre las constantes es:
K = A2 + B 2
⎛
⎝
θ = tan −1 ⎜ −
No
amortiguada
Raíces
puramente
complejas:
λ1 = jω
λ 2 = − jω
b 2 − 4c < 0
b=0
9.6.
B⎞
⎟
A⎠
x(t ) = k1e jωt + k 2 e − jωt
x(t ) = A cos(ωt ) + Bsen (ωt )
x(t ) = K cos(ωt + θ )
Condiciones iniciales:
x(0) = A ; x ′(0) = B
CIRCUITO RLC SERIE CON ENTRADA CONSTANTE Figura 9-4
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177
9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC
Ecuaciones que describen el circuito
Nodo:
Malla:
i R = iC = i L
Vin = V R + V L + VC
= Ri R + LDi L + VC
Ecuación diferencial para el voltaje en el condensador
Con las ecuaciones (1) y (2) se puede encontrar la ecuación diferencial para el
voltaje en el condensador:
iC = CDVC
Vin = RiC + LDi C + VC
= RCDVC + LD (CDVC ) + VC
= LCD 2VC + RCDVC + VC
Vin
1
R
= D 2VC + DVC +
VC
LC
L
LC
d 2VC R dVC
1
1
+
+
VC =
Vin = Kte
2
L
dt
LC
LC
dt
Solución de la ecuación diferencial:
La ecuación diferencial es de la forma:
&x& + bx& + cx = F
donde b =
1
R
y c=
L
LC
La solución de esta ecuación diferencial es de la forma:
x = xh + x p
Solución homogénea:
De la ecuación diferencial se obtiene la siguiente ecuación característica:
λ 2 + bλ + c = 0
λ1, 2 =
− b ± b 2 − 4c
2
Si λ1 ≠ λ 2 Y se obtiene la siguiente solución homogénea:
x h (t ) = Ae
λ1t
+ Be
λ2t
Solución particular:
La solución particular es de la forma de la fuente, es decir, una constante:
178
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
9.6. CIRCUITO RLC SERIE CON ENTRADA CONSTANTE
x p = Kte
x& p = 0
&x& p = 0
Reemplazando en la ecuación diferencial se obtiene:
&x& p + bx& p + cx p = F
cx p = F
xp =
F
c
Solución completa:
La solución completa de la ecuación diferencial es:
x(t ) = x h (t ) + x p = Ae
λ1t
λ2t
+ Be
+
F
c
Reemplazando los valores de la ecuación diferencial del voltaje en el condensador
se obtiene:
Vin
+ LC
VC (t ) = Ae + Be
1
LC
λ1t
λ2t
VC (t ) = Ae + Be
+ Vin
λ1t
Condiciones iniciales:
(
λ2t
Caso 1: Raíces reales diferentes b 2 − 4c > 0
VC (t ) = Ae
λ1t
)
+ Be
λ2t
+ Vin
VC (0 ) = A + B + Vin
λt
λt
V&C (t ) = λ1 Ae 1 + λ 2 Be 2
V& (0 ) = λ A + λ B
C
1
(
Caso 2: Raíces complejas conjugadas b 2 − 4c < 0
2
)
x(t ) = e σt [A cos(ωt ) + Bsen (ωt )] + Vin
x(0) = A + Vin
x& (t ) = σ ⋅ e σt [A cos(ωt ) + Bsen (ωt )] + ω ⋅ e σt [− Asen (ωt ) + B cos(ωt )]
x& (0 ) = Aσ + Bω
x(t ) = Ke σt cos(ωt + θ ) + Vin
x(0) = F cos(θ ) + Vin
x& (t ) = σ ⋅ Ke σt cos(ωt + θ ) − ω ⋅ Ke σt sen (ωt + θ )
x& (0) = σ ⋅ K cos(θ ) − ω ⋅ Ksen (θ )
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
179
9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC
Ejemplo 9-1 . Circuito R y LC con interruptor.
En el circuito de la Figura 9-5 el interruptor se cierra en t = 0 . Encontrar:
Figura 9-5
a. La ecuación diferencial para i L (t ) cuando el interruptor está cerrado.
b. La ecuación diferencial para vC (t ) cuando el interruptor está cerrado.
( ) e i′ (0 ) al cerrar el
v (0 ) = V y i (0 ) = I .
c. vc′ 0 +
L
+
−
c0
c
L
−
interruptor si las condiciones iniciales son
L0
Solución
Parte a)
La ecuación diferencial para i L (t ) la encontraremos usando el operador D:
1
⋅ LD
LD
CD
L // C :
=
2
1
+ LD 1 + LCD
CD
LD
⎛
⎜
2
vin ⋅ ⎜ 1 + LCD
LD
⎜
R+
⎜
v
1 + LCD 2
⎝
iL = L =
LD
ZL
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠ =v ⋅
in
LD
1 + LCD 2
LD ⎞
⎛
LD ⋅ ⎜ R +
⎟
1 + LCD 2 ⎠
⎝
vin
1
i L = vin ⋅
=
2
2
R 1 + LCD + LD RLCD + LD + R
(
)
(RLCD + LD + R )⋅ i
2
L
= v in
v
1
1 ⎞
⎛ 2
D+
⎟ ⋅ i L = in
⎜D +
RLC
RC
LC ⎠
⎝
v
d 2iL (t ) 1 diL (t ) 1
+
+
iL (t ) = in
2
RC dt
LC
RLC
dt
180
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
9.6. CIRCUITO RLC SERIE CON ENTRADA CONSTANTE
Parte b)
LD
⎛
⎜
2
Z L // C
vC = vin
= vin ⋅ ⎜ 1 + LCD
LD
⎜
R + Z L // C
⎜R+
1 + LCD 2
⎝
(RLCD
2
⎞
⎟
LD
⎟ = vin
⎟
LD + R + RLCD 2
⎟
⎠
)
+ LD + R vc = LDvin
1
1 ⎞
1
⎛ 2
D+
Dvin
⎜D +
⎟v c =
RC
LC ⎠
RC
⎝
d 2 vc (t )
1 dvc (t )
1
1 dvin (t )
vc (t ) =
+
+
2
RC dt
LC
RC dt
dt
Parte c)
−
El circuito equivalente, antes de cerrar el interruptor t = 0 , se muestra en la
Figura 9-6(a). Como el interruptor está abierto no hay corriente por la resistencia y
la fuente de voltaje no tiene efecto, así que solo debemos examinar lo que ocurre
( )=V
con la inductancia y la capacitancia. Las condiciones iniciales son v c 0
( )
−
c0
e
+
iL 0 − = I L 0 . Ahora debemos encontrar las condiciones en t = 0 , al cerrar el
interruptor. En ese momento intervienen la fuente y la resistencia. El circuito
equivalente en t = 0
tenemos:
+
se muestra en la Figura 9-6(b). Por continuidad en C y L
( )
( )
vc 0 − = VC 0 = v c 0 + y I L (0 − ) = I L 0 = I L (0 + )
A partir de estos valores podemos encontrar las condiciones en t = 0
(a)
+
(b)
Figura 9-6
i.
i L′ (0 + )
vC (t ) = v L (t ) = L
di L (t )
= Li L′ (t ) ⇒
dt
( )
i L′ 0 + =
( )
i L′ 0 +
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
iL′ (t ) =
1
vC (t )
L
( )
1
vC 0 +
L
1
= VC 0
L
181
9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC
( )
v c′ 0 +
ii.
iC (t ) = C
dVC (t )
dt
dVC (t ) 1
1
= iC (t ) = [i R (t ) − i L (t )]
dt
C
C
1 ⎡ v (t ) − vC (t )
⎤
vc′ (t ) = ⎢ in
− i L (t )⎥
C⎣
R
⎦
v c′ (t ) =
( )
( )
⎤
1 ⎡ vin 0 + − vC 0 +
− iL 0 + ⎥
⎢
C⎣
R
⎦
1 ⎡ v − VC 0
⎤
− iL0 ⎥
vc′ 0 + = ⎢ in
C⎣
R
⎦
( )
vc′ 0 + =
( )
( )
Ejemplo 9-2 . Circuito RC y L con interruptor.
El circuito de la Figura 9-7 tiene una fuente de voltaje Vs de tipo D.C.; el interruptor
ha estado cerrado por un largo tiempo antes de t 0 = 0 y alcanzó el estado estable.
En t0 se abre el interruptor y se deja así por un corto tiempo hasta el instante t1
(sin llegar a estado estable). Encontrar para t ≥ t 0 :
a. la ecuación diferencial para vC (t ) .
−
−
+
+
+
b. vC (t 0 ) , iL (t0 ) , vC (t 0 ) , i L (t 0 ) , vC ' (t 0 )
+
+
c. vC (t1 ≥ t ≥ t 0 ) , vC (t1 ) , vC ' (t1 )
d. vC (t ≥ t1 ) , si R = 2 Ω, L = 1 H y C = 1/8 F y Vs = 10V.
Figura 9-7
182
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
9.6. CIRCUITO RLC SERIE CON ENTRADA CONSTANTE
Solución
Parte a)
[
Tenemos que partir el problema en dos intervalos de tiempo: t 0 ,t1
]
y t ≥ t1 y
encontrar la ecuación diferencial de cada caso, con sus respectivas condiciones
iniciales y resolverla.
[
]
En t 0 ,t1 :
Como el interruptor está abierto tenemos el circuito equivalente de la Figura 9-8,
que corresponde a la descarga de la capacitancia a través de la resistencia y que
es un circuito RC de primer orden cuya ecuación diferencial ya la conocemos del
capítulo anterior:
dvC (t )
1
+
vC (t ) = 0
dt
RC
Figura 9-8
+
Para resolver esta ecuación vamos a necesitar la condición inicial en t 0 : vC (t 0 ) .
Para t ≥ t1 :
Al cerrar el interruptor volvemos a tener un circuito de segundo orden.
Figura 9-9
Usando el operador D podemos hacer el divisor de voltaje con en los otros
ejemplos. Esta vez vamos a calcular KCL en el nodo entre RC y L y la malla entre
la fuente C y L:
− VS + vC + v L = 0
v L = VS − vC
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
183
9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC
i R + iC − i L = 0
⎞
⎛
⎛ VC ⎞ ⎜ vC ⎟ ⎛ v L ⎞
⎜ ⎟+⎜
⎟⎟ − ⎜⎝ LD ⎟⎠ = 0
⎝ R⎠ ⎜1
⎝ CD ⎠
⎞
⎛
⎛ VC ⎞ ⎜ vC ⎟ ⎛ VS − vC ⎞
⎜ ⎟+⎜
⎟⎟ − ⎜⎝ LD ⎟⎠ = 0
⎝ R⎠ ⎜1
⎝ CD ⎠
V
1 ⎞
⎛1
⎜ + CD +
⎟VC = S
LD ⎠
LD
⎝R
V
1 ⎞
⎛1
RLD⎜ + CD +
⎟VC = RLD S
LD ⎠
LD
⎝R
2
LD + RLCD + R ⋅ VC = RVS
(
)
D
1 ⎞
1
⎛ 2
+
VS
⎜D +
⎟ ⋅ VC =
RC LC ⎠
LC
⎝
Pasando al dominio del tiempo tenemos entonces la siguiente ecuación diferencial
de orden dos:
d 2VC (t )
1 dVC (t )
1
1
+
+
VC (t ) =
VS
2
RC dt
LC
LC
dt
Para resolver esta ecuación vamos a necesitar las condiciones iniciales en
+
+
t1 : vC (t1 ) y vC ' (t1 ) .
Parte b)
Para el intervalo de tiempo anterior a t 0 = 0 no hace falta escribir la ecuación
diferencial ya sabemos que en t 0 = 0 se alcanzó el estado estable y que como la
fuente es de tipo D.C. el condensador está abierto y la inductancia en corto circuito.
Esto nos permite encontrar las condiciones iniciales.
−
En t 0 :
Figura 9-10
−
+
vC (t 0 ) = VS = vC (t 0 ) = vC 0
184
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
9.6. CIRCUITO RLC SERIE CON ENTRADA CONSTANTE
−
−
iL (t0 ) =
−
vR (t0 ) VS (t0 ) VS
=
=
R
R
R
+
En t 0 :
Figura 9-11
Por continuidad del voltaje en la capacitancia y dado que se alcanzó el estado
estable en t 0 tenemos:
+
−
vC (t 0 ) = vC (t 0 ) = vC 0 = VS
Aquí ya no es válida la continuidad de la corriente en la inductancia ya que el
interruptor está abierto y se debe respetar KCL:
−
i L (t 0 ) =
VS
+
≠ i L (t 0 ) = 0
R
+
Para encontrar vC ' (t 0 ) usamos la relación entre corriente y voltaje en la
inductancia y el hecho de que el interruptor está abierto que implica que iC = −i R :
iC (t ) = C
dvC (t )
dt
dvC (t ) iC (t )
=
dt
C
+
v R (t 0 )
+
dvC (t 0 ) iC (t 0 )
i R (t 0 )
v R (t 0 )
+ '
R
vC (t 0 ) =
=
=−
=−
=−
dt
C
C
C
RC
+
+
+
Como R y C están en paralelo:
+
vC (t 0 ) ' = −
+
vC (t 0 )
V
=− S
RC
RC
Parte c)
Para encontrar las condiciones iniciales en t1 necesitamos resolver la ecuación del
[
]
voltaje en la capacitancia vC (t ) en el intervalo t 0 ,t 1 y evaluarla en t1 .
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
185
9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC
dvC (t )
1
+
vC (t ) = 0
dt
RC
+
vC (t 0 ) = VS
Ya vimos en el capítulo anterior que la solución es:
vC (t ) = VC 0 e
[
−
1
RC
(t −t0 )
]
En t 0 ,t1 :
vC (t ) = VS e
−
1
RC
(t −t0 )
Evaluando en t1 :
VC1 = VC (t1 ) = VS e
−
1
RC
(t1 −t0 )
1
(t −t0 )
−
1
vC ' (t ) = −
VS e RC
RC
1
(t1 −t0 )
−
1
1
vC ' (t1 ) = −
VS e RC
=−
VC1
RC
RC
Parte d)
[
]
La solución de vC (t ) en el intervalo t 0 ,t1 dependerá de las raíces de la ecuación
característica de la ecuación diferencial encontrada para este intervalo de tiempo
con R = 2 Ω, L = 1 H y C = 1/8 F y Vs = 10V.
d 2 vC (t )
1 dvC (t )
1
1
+
+
vC (t ) =
VS
2
RC dt
LC
LC
dt
La solución homogénea será:
λ2 +
1
1
λ+
=0
RC
LC
1
=0
1
1
2⋅
1⋅
8
8
2
λ + 4λ + 8 = 0
λ2 +
1
λ+
− 4 + 42 − 4 ⋅ 8
− 4 − 42 − 4 ⋅ 8
y λ2 =
2
2
λ1 = −2 + j 2 y λ2 = −2 − j 2
Como las raíces son de la forma λ1 , 2 = σ ± jω la solución homogénea tendrá la
λ1 =
forma
186
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
9.6. CIRCUITO RLC SERIE CON ENTRADA CONSTANTE
vCh (t ) = Keσt cos(ωt + θ )
Donde
K y θ son constantes indeterminadas.
vCh (t ) = Ke −2t cos(2t + θ )
La solución particular será:
⎛ 1
⎞
VS ⎟
⎜
F
LC ⎠
vCh (t ) = = ⎝
= VS
1
c
LC
Así que la solución completa es para t ≥ t1 :
vC (t ) = Ke −2t cos(2t + θ ) + VS
vC (t ) = −2 Ke −2t cos(2t + θ ) − 2 Ke −2t sen (2t + θ )
'
Ahora evaluamos condiciones iniciales:
VC1 = vC (t1 ) = VS e
−
1
RC
(t1 −t0 )
1
(t1 −t0 )
−
1
1
vC ' (t1 ) = −
VS e RC
=−
VC1 = −4VC1
RC
RC
vC (t1 ) = Ke
− 2 t1
cos(2t1 + θ ) + VS = VC1 = VS e
−
1
RC
(t1 −t0 )
vCh (t1 ) = −2 Ke − 2t1 cos(2t1 + θ ) − 2 Ke − 2t1 sen (2t1 + θ ) = −4VC1
'
⎧
VS ⋅ e −4(t −t0 )
, para [t 0 , t1 ]
vC (t ≥ t 0 ) = ⎨ −2t
⎩ Ke ⋅ cos(2t + θ ) + VS , para t ≥ t1
⎧
10 ⋅ e −4(t −t0 ) V
, para [t 0 , t1 ]
vC (t ≥ t 0 ) = ⎨ −2t
⎩ Ke ⋅ cos(2t + θ ) + 10V , para t ≥ t1
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
187
9. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN LC Y RLC
9.7.
SIMULACIONES 9.7.1. RESPUESTA DE CIRCUITO RLC A DIVERSAS ENTRADAS. Figura 9-12
Descripción
Esta simulación permite mostrar el comportamiento de circuitos RLC de segundo
orden, las raíces de la ecuación característica, y el comportamiento del circuito en
función del tipo de raíces obtenidas. También permite analizar el comportamiento
en función de los parámetros de los componentes RLC, de las condiciones iniciales
y del tipo de entrada AC y DC.
Uso educativo
Esta simulación se presenta como un complemento a la clase presencial, para
estudiantes de primeros semestres de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Mecánica.
Una vez los estudiantes manejan los conceptos de circuitos RLC o segundo orden,
representación de circuitos por ecuaciones diferenciales, condiciones iniciales,
respuesta natural y respuesta particular, el estudiante puede variar las condiciones
iniciales en la inductancia y la capacitancia y la señal de entrada y observar sus
efectos en la respuesta del circuito en tiempo real. Los cambios se pueden dar el
188
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
9.7. SIMULACIONES
cualquier momento, lo que permite observar el comportamiento para cambio
brusco en la señal de entrada o los cambio en la constante de tiempo. El sistema
muestra las raíces de la ecuación característica según los valores definidos para R,
L y C. También permite tener condiciones predefinidas para tener circuitos con
respuesta no amortiguada, subamortiguada, sobreamortiguada y críticamente
amortiguada.
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
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