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8 O L E 'I' I N O F 1 e 1 A L 1) E L E S T A,D~9
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Men~ndez,
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Pátina
nú~.
ertio SUárez
en 's1" rina.
20, de 2 de dicietnbre
4.° Cincuenta pesetas en efectiuación d.e excedente voluntario, I de 1939.
VO, en concepto de matricula. Esoí no reunir afias de servicio sufi"
De. las dieciséis plazas ,que se tán exceptuados 'del pago de maentes para ten.er derechos pasivos conv.ocan se reservan dos para l0.s tricula los solicitantes que hayan
cumplir los sesenta afios de edad opositores que tengan expresamen- sido beneficiados con plaza degraÍl 16 de agosto del corriente afio. te reconocido el derecho a eX9.1p.en cia y los individuos de Marineria y
10 digo a V. l. a 10,5 efecWsopor- de suficiencia. Orden ministerial de Tropa en servicio activo:
nos.
9 de marzo de 1940 (D. O. núm. 59).
5.° Certificado de soltería expeDios guarde a V. l. muchos aftas.
Articulo 1.° Para tomar parte dido por el Juzgado Municipai CQMadrid, 15 de julio de 1940.- en las oposiciones se necesita re- rrespondiente.
P. D.• José L. de Letona.
unir las siguientes condicione6:
6.° Certificado del Registro CenUrno. Sr, Direcwr general de Co,:,
a), Serc1u'dadano espafíol.
tral de Penados y Rebeldes del Mirreos y Telecomunicación.
',b) Ser soltero y: haber cumplido n~terio de Justicia,
no haber
dieciocho años y no los veintitrés cumplido 'condena ni estar decla-·
el 31 de ,diciembre de 1940.
rado en rebeldia.
.
7." Certificado de estudios del
Ilmo, Sr.: De conformidad con lo
..
c) Haber aprobado con validez Bachillerato ,(apartado e, articulo
propuesto por esa Di~eccI~nGerte- académica los cinco prlmer~B afios 1 o
ral, y ,a tenor de lo .dIspuesto en la del Bachillerato, de cualquiera de . \
'.
..
R. O. de 17 de nO~1embre de 1925, los planes vigeIites.
8. Los h1JOS de ml1~tares. se~:n
he tenido a bien dIsponer se decla- d) Tener aptittidfisica suftcien- huérfanos o no, ac:edltarán eSua
re baja en el Escalafón. del Cuer- I te y desarrollo proporcionado a su circuntancia ~co,mpañ.ando c~pia
¡:lQ, al Car,t:ro urbano don Adolfo edad, apreciado por una Junta de certifica~a del ultImo nombramlenGi,rau A1inmana, de. la c~tegor1a de Médicos nombrada aLefecto la que· to expedIdo. a. fav?r uel padre o de
pnmera clase, en sltuaclón de e~- apliGará a los candidatos el',cuadro la .Orden mmlstenal que se lo conc~dente vol~t~r1o, p.o~ no reumr de exenciones a Probado 01' Orden finó.
.
.
anos de serVIClO ~Uflclentes para de 2 de enero de 1939 (B.PO. núme-/' 9.° Los que hubIeran obtenido el
tener derechos paSIVOS al cumplir ro 4) con la excepción de todo! derecho a ocupa: plaza de gracia
los sesenta afios de edad en 27 de cuant e rel ci na
t 11 y
con su prerrogatlva a fin de exaagosto del corriente año.
t.
os
a ro ,con a a Vd men de suficiencia. deberán acrese ap
l
d
10 digo a V. 1. a los efectos 0POf- Maa'rqiue i
i lCtaraElediCt:ua ro de ditarlo citando en la solicitud la
t
.
ner a v gen e.
e amen e
. .
unos.
esta Junta tendra carácter defini- fecha de la Orden mInIsterial que
. Dios guarde a V. 1 muchos años. ti
.
1 bl
les confirió este beneficio y el «Dia"
lllape
a e", d i
Madirid, 15 de julio de 1940.- vo) e c
di
t rio'Oficiab en que fué publicada.
P. D., José L, de Letona,..
e
arecer d e t o o mpe men o
. .
.
.
para ejercer cargos públicos.
10. CertIficado de los servIcios
Ilmo. Sr, Director general de Co- f) No haber sido expulsado de prestados en la pasada campaña
rreos y TelecomunicaCióh.
ningún establecimiento oficial de en la Marina o el Ejército. por los
ensefíanza por faltas que afecten oPQsitores Que lo hayan ef~ctuado.
a la disciplina, aptitud 'militar o a a los efecto.s Que se determman en
la moral.
el artículo 4.° de esta convocatoria.
MINISTERIO D E g) Carecer de antecedentes pe- Art, 3.° Los sollcitantes que esMARINA
nales y no haber sido expulsado tén prestando servicio activo en la.
de ningÚn Cuerpo del Estado por Armada o el Ejército se conside"
ORDEN de 19 de jt¡lio de.1940 por fallo del Tribuna.l de Honor.
rarán exceptuados de presentar los
la que se convoca a concurso pa"
Art. 2.° Los que creyendo reunir. documentos a que se refieren los
ra cUbrir por oposición. con ca- las condiciones señaladas en el ar- puntos 3: y 5.° del articulo anterácter restringido, dieciséis pla- tlculo anterior, deseen ser admiti" rior, pero unirán a sus instancias
zas de Aspirantes de Intendencia dos a ,examen, lo solicitarán, den- copia de la parte de su libreta u
enZa Escuela Naval Militar. ' tro del ~érmino de la convocatoria, hoja de servicios en que constell:
I por medio de instancia, escrita por
L~ filiación del concursante, la
b Se convoca a concurso para cu- el propio solicitante y dirigida al hoja de castigos, los informes de
rir por opo.sic.lÓ?, eon carácter Excmo. Sr. Ministro de Marina. conducta y la constancia de no har:stringido, dleclseis plazas de As- 'acompafíada de los documentos si" ber contraido matrimonio antes de
plrantes de Intendencia en la Es- guientes:
su entrada en el servicio ni ducuela Naval Ml11tar..
1.0 Certificación del ,a,cta de na- rante éste.
Los exámenes se desarrollarán cimiento, expedida por el Registro Pata ser cursadas las instancias
con sujección a lo dispuesto en el Civil. debld~mente leg~l1zada.
de loa opositores, a que se refiere
Reglamento para el régim.en y go- . 2.° Una totograflade 54 x 40 este párrafo es condición indis en~
blerno de los Tribunales de exá- m111metros, del busto, firmada al sable que la concept1;laci6n d P _
menes para ingreso en la Escuela respaldo.
ducta s~a igual
; con
N
.
o super.. or ::lo
ava,1 M1l1t ar (C uerpo general 'de . 3.° Cédula
persona.l Que se de.. 4:bUeIU). t:
1~ Armada), P1Jblica~o en el «Dla- vo~veráal lntere$a.d.Q
ei menor
Les aiumnos del\Colegio de Huerno Oficia],) del M,imster10 de Ma- plazo posible.
fanos acreditarán este informe de
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BOL ~ ']' 1 N O F 1 e 1 AL D EL 11 STA. D
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24. juli'o l.9.¡U
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conducta por medio de certificado dedicados a convoyes, Ílavegan- ingreso en ella, sin perjuicio de
'sustitutivo expedido por el Direc- do por zona de guerra.
exigirseles, además, la l'esponsabt.
túr del Colegio.
Sin embargo, dada la compleji- lidad criminal correspondiente.
Art. 10. Los exámenes se cele·
Art. 4." Las catorce plazas saca- dad de los servicios prestados por
das a concurso para la oposición se estos últimos y con objeto de equi- brarán en la Escuela Naval Milidistribuirán en la siguiente pro- -parar en importancia los, méritos tal', dando comienzo el dia 10 de
porción:
que ~e'puedan haber contra'ido por octubre y todo lo que .con ellos se
Siete plazas pa.ra ex combatien- los opositores, el Estado Mayor de relacione y con la normas para
tes de Mar y Tierra. que hayan al- la Armada efectuará, para ,cada ca- adjudicar las plazas se ajustará a
canzado, por lo menos, la Medalla so, la clasificación de los servicios los' preceptos de esta disposición
de Campaña o reúnan la¡;condicio- que puedan ser considera,dos, como y del Reglamento aprobado por 01"
nesque para su obtención se pre- combatientes, a la vista' de los do- den mInisterial de 30 de noviem·
cumentos acreditativos que presen- bre de 1939 (B, O. núm. 20), a excisan.
. Dos plazas para los ex cautivos ten los opositores. sin que, en nin- cepción del coeficiente dos, que se
por la Causa Nacional que hayan guna' inanera,' tenga apelación la asignaba alas censuras de Mute·
luchado con las armas por ¡'a mis- resolución recaída.
mática, que, se suprime, rig'iendo
:ma o sufrido prisión en las cárceLos servicios computables a los los programas que figuran en el
les o campos rojos durante más de combatientes~de Tierra son los de Anexo lI, sobre las materias si·
tres meses, siempre que acrediten frente de Unidades de primera 11- guientes:'
su probaqa ádhesión al Movimien- nea.
I
Prueba de aptitud física CO. M.
to desde su iniciación y su lealtad
Art, 8. u Se hace mención ex- 6-12-939, D. Q, núm. 24).
al mismo durante el cautiverio.
presa de que sólo podrán ~oiicitar
«Aritmética»,
Las cinco pla:las restantes queda- tomar parte en la oposición los as«Algebra»,
1'án 1 ra los opositores no com- pirantes que a9rediten la posesión
«Geometria y Trigometria rectiprendidos en ;ninguno de los pá:' de los estUdios que taxativamente! linea»,
rrafos anteriores.
se señalan en los términos de esta
Las Tablas de Logaritmos que se
Art.5.0 Si no se presentasen pa-I convocatoria y reúnan las candi- emplearán
los examenes serán
ra 'cubrir las plazas 'que se indican ciones qUE' en ella se determinan. las de Cornejo. Graiño, Herrero y
número suficiente de aspirantes sin que la distribnción de plazas i Rivel'a, declaradas reglamentarias
clasificados o no se cubriesen los del articulo 4. prejuzgue la idea ¡ para los exúmenes de ,ingl'eso en
,cupos asignados en el articulo an- I de posesión de menores conocF- I las diferentes Escuelas de la Al'·
terior. se traspasa~'án las vaca'n- mientas de les que fi:?;uran en los ~ muda,
tes de unos clipos a otros por el pr- program:'1S. beneficio que se ~eser- i Art. 11. A fin de que los oposi~
den de prelación en- que aparec~n va solamente para, los oposItores tares con derecho a plaza de graqUe tienen ~ecanocldo el derecho cia cuenten con mayor probabiliincluidos en el articulo anterior.
1 dades
Art. 6.° Para determinar dentro a examen de suficiencia.
de ingreso. se dispone Que
de cada grupo un orden de prefe- 'Art, 9.° Las solicitudes. que· se aquellos que. comprendidos en alrencia entre los concursantes, ca- I redactarán con arreglo al modelo gunO de los cupos que se deter·
so de Que surjan empates en las I reglamentario. deberán encontrar- minan en el artículo 4:.0, obteng3.n
calificaciones de los ejercicios. se: se en el Miqisterio de Marina ,(Se- una puntuación por la cual les cotendrá presente la siguiente esc:11a: 1 ción de Instrucción) antes de las ri'esponda alguna de las plazas or~
a) Los Caballeros de la Cruz de 1 veinticuatro horas del día 10 de dinarias. dejaran las extraordinaSan Fen19,ndo o Medalla Militar, septiembre. teniéndose como no rias que puedan corresponderles,
b) Haber obtenido mayores re,· presentadas las que se reciban des- que podrán, por ello, ser ocupadas
compensas militares.
pués ',de dicha fecha y hon~; En por otro.
','
e) La mayor permanencia en ellas se expresará:
Si como consecuencia de esta
unidades de combate de Mar o Tie:"
a) El nombre, apellidos, edad. medida no quedaran opositores su"
'rradestinadas a primera 'línea.
estado civil y domicilio del intere- ftcientes de e.sta clase. para cubrir
. d) En igualdad de condiciones. sado.
las plazas extraordinarias convoel que ostent,e mayor empleo o cab) No hallarse el solicitante cadas, se considerarán las plazas
tegoria militar y, en su defecto, la I proceso ado ni haber sufrido conde- no cubiertas como ordinarias y se
mayor edad.
. . na, en especial por desafección al concederán al resto de los candi·
e) Entre los ex cautivos, el ma- Movimiento Nacional, así como no datos. según lo que se preceptúa
yor tiempo de prisión.
!, estar tampoco declarado en rebel- en el articulo 5. 0
.
Art. 7." Se considerará como ex I día nI haber sido expulsado de ninArt. 12, Las oposiciones se concombiÁtiente de Mar a loS oposi-I gún establecimiento oficial de en- sidel'arán finiquitadas, con la 01'tares Que hayan prestado servicio! señanza.; en la inteligencia de que den. ministeríal que apruebe la pro~
embarcados 'en buques en plena ac- ! si lo que al hacer estas maniüis- puesta formulada por el' Tribunal
, tividad militar, cruc~rO~, destruc- tacíones incurriesen en Jalso tes~i- ,examinador y, en consecl~enci::\.
tares. cañoneros, minadores, sub- monio, perderán todos los d~~echos quedarán sin curso cuantas petimarinos, lanchas rápidas, cruceros que hayan podido adquirir, inclu-I cionE's se, promuevan pa,raalterar
auxiliares, patrulleros a r m a d o s,. so su plaza en la Escuela, si la fal- i aquéllas,en cualquier sentido que
dl"agamlnas Y . buques mercantes sedad se descu~riese después desu fuesen.
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NÚm.206
BOLE'rIN OFICIAL DEL ESTADQ
Art. 13. Los opositores que re- a.rtificio operativo. casos diversoa, abosulten admitid.os se presentarán en servac1ones, consecuencias. prue~.
Substracciones impl1cUas.
la E.scuela Naval M1l1tar el dla 10
Suma y reatas combim,d.ü.
.
de enero de 1941.
COmplemento aritmético. - DefinlPara los distintos efectos y co- ción; obtención y 8,¡plícaciones.
nocimiento, se hace <:onstar que los
Generalidad de la adición; substl'ac-
. dos primeros semestres de Aspirantes serán considerados como de
prueba, y que, en todo momento,
tanto en el desarrollo del curso como a la terminación del mismo, el
Comandante-Director de la Escuela Naval Militar podrá proponer,
por conducto reglamentario, al Excelentisimo Sr. Ministro de Marina.. la separación de la ya citada
Escuela de todo Aspirante que no
demuestre poseer la aptitud necesaria para la profesión.
Art. 14. El ingreso en la Escuela Naval Militar se efectuará en
calidad de Aspirantes de Administración .de ,la Armada equiparados
en un todo a los Aspirantes del
Cuerpo general y sometidos' a idénticos Reglamentos en cuanto no
afecte a 'la propia modalidad de
cióny complemento en base cualquiera.
Multiplicación. - Definición, algorlt-mas, .artificio operativo. casos diversos,
número de cifra del producto~ prueba.
Multiplicaciones implícitas.
Producto de varios fadores.-Propiedades.
Generalidad de la multiplicación en
base cualquiera.
División.-Definición, algoritmos, artificio elemental' operativo.-División
exacta e inexacta.-Propiedades d~l
l'esto,-Determinación de las unidades
de orden más elevado del cociente; ca.sos diversos. prueba, división por exceso, propiedad de los restos.
Divisiones en forma implícita.
Alteraciones de los términO/!> de la
división.
Número de cifras del cociente.
Generalidad de la división en base
cualquiera.
comÚIl múltiplo por descompo$ición en.
factores prlmos.
Fr~lones
ordinariM
PeftniCión.-Numeración de las' fraccíones.-Transformaciones de las fracciones por alteración de sus términos;
reducción de fracciones a un común
denominador.-Transformación de las
!raccionesmayores que la unidad.Simpliftcación de fracciones.-Rcducción de fracciones al mínimo corniffi
denominador.-Alteraciones de fracciones.
.
Operaciones con fracciones ordinarias.-Adición, substracción.-Multipli.caci6n.-Dlvisión.
Fracciones complejas
Deftnición.-Generalizac16n de pI1ncipios de la~ fracciones ordinarias.Operaciones. - Adición, substracción,
multiplicación y diViSión. - Igualdad
fraccionaria.-Definición; propiedades
de la igualdad fraccionaria.
Fracciones decimaJes y operaciones
Deftnición.-Generalización de la .representación de números enteros.Adición.. - Substracción. - MultipHPropiedades de los números
su ~ucaclón profesl00.al.
cación.-DivisiÓn.
Divisibilidad. - Propiedades fundaConversión de fracciones.-;DefiniMadrid, 19 de julio de 1940.
mentales de la divisibilidad.-Cal'acte- ciÓn.-procedimiento operativo.-ApliMORENO
res de divisibílldad.-Condición general, cación en cpnversión en fracción decide divisibilida.d.-Aplicaciones a diver- mal.-Fracciones decimales periódícas_
PROGRAMA DE .ARITMETlCA
sos módulos.-Pruebas de las opera- Su obtención de las fracciones ordina,
ciones por los módulos.-Generalidad l'ias.-ConversiÓn inversa. - Nociones
Números enteros
de la divisibilidad en la b~e cual- de cantidad inconmensurable.
Numeración.-Ol¡¡,sificación: nomen- quiera,
.
Potenciación
clatura y notación numérica. - NoMáximo común divisor.-Deftnición.
menclatura: neceSidad.~Fundamentos Principio fundamental; obtención del
Potencia. - Definición.-Potencia de
de la nomenclatura: base del sistema. máximo común divisor de dos núme- un número entero: idernde Llna fracinconVenientes y ventajas de' ser la ros.-Propiedades del máximo común ción; idem de un número decimal.base amplia o reducida; unidades de divisor y simplificaciones en su obten· Po~ncia de base impl1cita como prodiversos órdenes.
.
ción.
ducto. cociente y otra potencia.-~on­
Sistema adoptado.-Su exposición:
diciones depotencialicl.ad.-Condición
Máximo
común
divisor
de
varios
núdiferencias' entre nuestro sistema y el
de otros países.-Generalidad de la meros.-Principio fundamental; obten- de potencialidad de un Ilúmero ennomenclatura: aplicaciones a una base ción del máximo común divisor de va- tero; de una fl'acción.-Potencia de
menOl' y a otra mayor que diez.
. rios números.-Propiedades del máxi- relación. - Cuadrado. - DefiniciÓn.. Notación numérica: necesidad.-Fun. mo oom(m divisor de varios números. Propiedades.-Cuadrado de una suma,
etcetel'a.
damento de la notación numérica, reMínimo común múltiplo.-Definici6n.
Principio fundamental; obtención del
presentación .simbólica, cüra cero.
Raíz cuadra.da
Generalidad de la notación numé- mínimo común múltiplo de varios núrica: aplicación de una base menor y a meros.-Propiedades del mínimo roDefinición. - Algoritmos. - Procedimiento operativo.-Raiz cuadrada de
otra mayor que diez.
. mún múltiplo de varios números.
Resumen de la numeración: lectura
Números primos.-Definición; pro- números fl'aceianarios.-Pl'ueba.-Raiz
de un número escrito en cifras; es- piedades iniciales de los números pri- cuadrada en gene1'l.'Ü sin aproximación.
critura de un número enuncia'do.
mos; formación de una tabla de nú- Raíz cuadra.da con aproximación fijaCambios de base: de base diez ti. meros primos; reconocimiento de un da,-Definición; procedimiento opera·
cualquiera; . de base cualquiera" a base número primo.-Nuevas propiedades de Uvo.
diez; de base cualquiera a otra tam- los números primos.
bién cualquiera.
Sistema. métrico
Aplicaciones de los nÜIllero.s primos.
Descomposición en ta.ctores primos; inMetrologia.-Clases· de números absOperaciones fundamenta.les
vestigación de los factores primos de tractos y concretos.-Magnítuctes que
Ad.i~i6n.-Definici6n. algoritmos, ar- un número.-Divisibllidad por descom- se someten a.l cálculo.-C1asificación
tificio operativo, casos diversos, obsrtr- posición.-Obtención de todos los di- de lu med.1.d.aa.-ExpOsición ctel sLste.vi.CiQne,¡, co~uencia$. prueoa..
visores de un .número.---Obtención· <,tel mil. métrico.-Medi.d.as de longitl,ld.Sl.l.ostracci6n.-Definición, algoritmos, máximo comlm divisor y del núnimo Clasilicación.-Explicación de. e 11 a s.
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Pi1tlna 512H
BOLETIN 'OFICIAL DEL E$TAIJO
medidas especiales,-M;edidas de superftcie.-Clasificación.-Explicación de
dlas.-Medidas especiales.-Medidas de
. volumen.-Clasificacíón. - Explicación
de ellas.-Medidas eSP€Ciales.-Medi·
das. de· capacidad. - EXiplicactón de
ellas.--Medidas de peoo.-~plicaci6n
de ellas.-M€didas de cambio.-Clasiticación.-Valores ·de las monedas.Sistemas monetarios.-Ley. - Talla.Pie.-Medida de la circunferencia.Olasificación,-Explicación de ellas.Medida d.el tiempo,
.
Pl'opiedades de l()s polinmuios enteroll
iCias.-MultiP1icaoíón.-Re€la de' $ignos,-Producto de varios factores.Su signo.-El orden de los factores· no
altera. ni el vaJor ni. el sigho del prodccto.-Variaci6n del signo del producto.-División,-Reglas de signos.Variación del signo del cociente.Elevación a potencias.-Signos de la
po!;encia.-Exl;:racción de las raices.Sig'nos de las l'afces.-FOlma i:maginaria.
Definición,-Teorems,s relativos a
los polimomios entel'os,~i un polinomio ent..ero respec.to a. x se am.lla p~.
ra x=a... Si "lUí polinomio entero y
del gra.do m se am.da para m .va-lo·
l·es... Sí se anula para más de m valores... Polinomio idénticamente- DU10.-8i un polinomio es idénticamente
nulo... Si, d o s po.Jinomios se hacen
iguaJles para. más de 112 valores, sien·
do mel mayor de los grados... Todo
polmomiq p u e d e descomponerse de
un solo modo en partes.
.
Dividir un polimonio entel'o con ¡'elación a x por el binomio a;-'-:a.-'Mé·
todo de los coeficientes indeterminados.-Ley de formación de los términos del cociente y del l'esto.-Fórmpla.
de un término cualquiera y del resto,
EX¡JI'esiones al¡:-ebraicas
Definición.-Monomio y' polinomio.
Términos semejantes.---Cantidad raciúna,! entera, fraccionaria e irraeíomiL-Valor numérico de una expresión algebraica..-Expresiones equivalentes,-Grado de una expresión, de
un monomio e'ntero, de un polinomio
entero, d-e una d'presión fraccionaria.
e irracional.-Polinoinio homogéneo.Ordenación de polinomios.-Letra 01'denatl'iz.-Polinomio comp[eto e incompleto.-Qué s u ce d e a-l ordenar
cuando el polimonio es homogéneo y
cointiene dos letras.-Caso que se tenga varios términos con el mismo exponente de la letra ordenatriz.--8im·
plifioación' de polinomio.
Reg11a ~l'áctica.
.
OperaclOnes .con las exp;'eSlOnes al·
gebraicas.-obJeto del calculo algebraico.-Carácte·¡: de las operaciones
algebl'aicas. - Adición. - Algoritmo y
p~'?cedimientos . o~era~iVos. - 1.0, ~diCIO~ de .n:ono~l1OS, 2.• de n:t0nOl;:110 y
polmotmo, ,3 .. de d?s. pol.lnomlO,s.-
Openldones COn los números concretos
Clasificación de los nÚmel'OB conere·
t-os,-Transformación en ellos.-Aplictlociones a métricos; sexag-esimales,
c.:Llales~uiel'a. Adición. - Substra'cción,-Multip!icación.-División.
Equivalencias entre números concretos.-Capacidad a volumen.-Volumcn
a peso.-Ca.pacidad a peso.-Arco sexagesimal a centesimal-Arco a tiempo.
Cálculo de las cantidades radicales
DefinjCión.-Algol'itmo. _ Neeesidad
de operar directamente cOIn los radicales.-Determinación aritmética de
un radical-Transformaciones de ra~
Magnitudes ]ll'oporcionales. - Razones
dicales: U', cuando la cantidad sub.
y propOl'ciones
l'adical pueda descomponerse en faeRazón. - Definición. -Algoritmos.
tares potencias perfectas del índice;
Procedimiento operativo.-Proporciona2.°, multiplicando o dividiendo el exlidad. - Definición.-Algoritmo.-Proponente y el inditcepor la misma can~
ced.imien tú opera tivo.-Reconocimiento
tidad.-Suma, resta, multiplicación , y
de la proporcionalídad.-Proporcionadivisión de radicalcs.-=--Racionalí2iación
lidad entre .,arias magnitudes.-Regla
de los denominadores de las expresio.
de tres.
nes
~levación a potencias.-DefiniciÓn.
Númcros, al~roximados' Y operacioncs
AIg'oritm{)-Potencia de un" monomio.
Regla.-Binomio· de Newton.-Propiecon .e1I~
Necesidad de considerar los núme- Regl~, g€nelal.-~OinSeCUenClas.~~lbs- dades de esta fórmula.-Potencias de
d
"o'e
menol'es.-l~ ... .
1"0l:> a.pl'oximados. - Error absoluto,- t.nlCClOn. - Algontmos. -PrOCed¡mlen- 1
.
M lt· r
''d
as can t'd
¡ a es ma J ¡ s y
Error relativo; .proposiciones del error tos operattvos.- u" lp lcaclO~ e .mO-¡l
'd d -Fórmula de la potencia de
rel:;¡tivo con las cifras exactas.-Ope- nomios. 'de monomIO y pohnomlO y a Un! .a , .
•
. . ..
raciones con los números aproxima- de dos polinomi05.-0bservaciones.- un I}Oh~0.~1l0.
ExtracClOlll de ralces.-Defmlcl.on.dos,-Cuestión directa e inversa.-Adi- Consecuencias.-Cambio de signo de
ción y subslracción.-Multiplicación.- una letl'a. - División. - Algoritmo.- Algoritmo.-RaÍC~sde los monomlQS:División.-Multiplicaci6n abreviada.'- Transformaciones y procedimiento Regla.-Variación de las raíces de una
División abreviada.-AplicaCión de la operativo.-l,°, división de potencias cantidad.
multiplicación y división abreviada a de la misma c-antildad.-División de
Proi'l-esiones D01' diferclicia
monomios enteros, de un polinomio
la teoJia de errores.
con un monomio, de un polinomio por
Definiciones.-Algoritl11o.-Propiedaotro. - Regla. - Observaciones. - Oon- des.-En toda progresión 1m término
PROGRAMA DE ALGEBRA
diciones para que un polinomio sea es igual... Recíproc'b... e u a n d o se
Definiciones
divisible por otra.-Ipivisión inexac-, éompare con ecr primero .. _
Función.-Ley matemática.-Problex m <t m
2,0 Los términos de una progrema.-Definición d e Algebra.-Forma ta.-Dividir - - - - determinando la. sl'o'n cI'ecl'ente l·ndef¡·nl·da.... 3,11 La s·(1implícita y explícita.-Conccpto de la
x - a
ma de los términos equidistal!ltes de
cualidad de 12. magnitud.-Notación al- ley del cociente y 1M coodiciones de los extremos... ·Suma de todos los térgebraica.-Fórmpla.-Cantidades post· la divisibilidad.
minos.-Aplicación a la suma de 'la
tiva.'l y negativas.-Valores absoluto.y
serie natural de los números y a la
l'~l,ativo.-Reuniónde ~ma cant~dad p~:
1"racciones l\l¡cbl'aicas
~-e l.os 1mpal'cs.-Interpolación di!esItwa y o t r a negatlva:-Dcmostr~I.
Definición. _ AlgoritMo. _ Trans- lenela!.
pl.·imero, ,que tod~ cantidad negatIva. formaci.ones..-.P I.· edimie.ntos ..operati':'
enol que cela y que toda otr~ I vos.--8¡mpllflCaclón y reducclOn a un
es
I~o/{resiolles 1)01' cociente
poslttva; segundo, que de dos negatl- i comúh denominador. - Suma, resta,
Dencion~. - Algoritmo. _ Proplevas, la mayor es la de menor valor I multiplicación y división: - Formas dades: 1.", un término e iguaL.. Reabsoluto.
.
simbólicas que proceden. de una I.loac- <lÍproco.-Cuarido ae compara con' el
a o a o o
.
.
l b··
""
p.i·imerci;:2.", los términ06 de una pl'u.CQncepto de laS" operacIOnes a ge nucas ción:....:Form·a.s:' _ _ _. ._ ~ y_o gr~sión 'Creciente indefinida y los dt:
..
~, b I Q.Q 1 . o I 0(1'
o llíIla' decreCIente: .. ; 3,°, 'el producto
, Necesidades de nuevas tlefiniCiones·1
Adición.-Procedimiento. - Cous€cuen.
delOB términos equidistantes' de las
I
.n:
'1
oc
_ .
I
\
N'üm. %06,
BOLETIN OFICIAL DEL ESTADO
P,á,gina. 5129
extremos.. ,; 4.°, el producto de todos tria dE simplificacib.. - Discusión. - ángulos opuestos p6r el vértice.-Los
ángulos opuestos por el vértice son
los términos eS igual...; 5.", la snma Ecuaciones homogéneas.
Sistema de ecuaciones,-piferentes iguales.-Definición de bisectriz de U~1
es igual... Interpolación proporcional.
Logar~tmo.-DefiniciQn.--SisUlma.­ clases de sistema determinados,. inde- ángulo.-Las bisectrices de dos ánguterminados e ,incompatibles. - Inter- los ac;lyacentes' suplementarios sonperBase. - Algoritmo: - Consecuencias .preta.ción
de los .v.alores de la incóg- pendicula res \entl'€ sí y las de los á,l\cuando la base eS mayor o menor que
la. unidad.-Logaritrno de un produc- nita en la resolución, de IOSP1,'Oble- gulas opl1e.<;tos por el vértice e.!;tán en
to coCiente, potencia y l'aíz.-Aplica- mas.-Aplicación al problema de 105 prolongación.
"
Perpendiculares y oblicuas.-Por un
cionesa una expresión cua:lquicrEl.- ,móviles.,
punto .fuera de una n~eta se le puede
Cualnto mayores SOn dos números y
:menor es .su diferencia, tanto menor
Teoría. de las desi¡ualdades
bajar una perpendicular y sólo u:t:la.-;es... La, diferencia, de los nü,meros
Definición.-Resultados d e sumar, Desde un punto exterior a una recta
no es pr~porcional a la de SUs -loga- restal", multiplicar o dividir, elevar a se le traza una perpendicular y varias
,ritmos..
una potencia', o extraer una raíz de oblicuas; comparar las longitudes 'de
'Logaritmos decimales. - DefiniCión. los dos miembros de una desigualdad. estas líneas, segün que disten del pie
El logaritmo de una potenci:a de 1... Resultados 'de sumar, re~tar multipli- de la p-erpendicular.~Recíproco;-Lu~
Características. - Mantisa. - Carac- cal' o dividir miembro a miembro dos gares geométricos; definición.-Lugar
terísticas :de los logaritmos de los nú- desigualdades.-Resolver una desigual- de los puntos que equidistan de los
m~ros mayores que la unidad.-Ca- dad con una incógnita y varias des- extremos de' una recta.-Lugar de los
.1'ac.teristic~ aumentada de. l~ menores \ igualdad{$ con una incógnita.-Aná- pun~os que equidistan de los lados de
q~e la umdad.-;-La mantIsa del loga- ¡lisis de los sistemas indetenninadosde un ángnlo. - Paralelas; definición....:.Propiedades de la secante que corta.
rltmo de \...'trl numero no se altera... primer grado.
Corolal'io.-Trausformaciones de logaa dos rectas paralelas.-Reciproco.ritmos 'considerando toda clase de caSegmento de paralelas compl'cndidQ.
Ecuaeiones de sc¡-undo Jtrado
l't\cteristic as,
entre paralclas.-Angulo con sus la:~
.
.. "
Resolución de la ecuación comple- dos paralelos o pCl1,endiculares.
Tablas de 10gantmos.--:-Dlsl,J0slClOn ta.-Forml'l genera1.-0btencíón de su
ge?eraI de la.s. tablas d.e lo~antmos.- fÓl1.Uula.-Regla.. _ Casos particulares.
Polígonos
1'1.ob~~mas dllcct.O e mvelSO. - Des- , Suma v producto de l"s raices,-Signo
c1'lp?:on Y lTI~~eJo de las ,tabl~s de de las' raices.-Deducirlo del número
Ddlniciones~' su clasific(ición.
Gr~mo, ;o~·neJo.'. ~er~ro ~ RI~~~r de variaciones y p~rmanencías. Triángulos.-Definiciones y su cIa·
~~a~~n ana~ cn a1 r~a ~:t 1~
Propiedades del trino~io de segun- ,silicacióñ.-Un lado de un triángulo
~ -.' e emp ea d ~ .~s ogall :n~s,
do grado.-DescomposiclOn en facto- ~s menor que la suma de los otros
Calc~~o ~~ una expl~SlOn cual~UleIa,- res,-Variaciones del si~no, según que I dos.-Compáración de lós lados de <lbs
~á~~l~lon y maneJo. de la, legla de las raí?es ~an re~les? de~igua1es',rea- triángulos que tienen un lado c.o~~n
A Ji '. . ' d l' 1 ,··tl1l
Re 1 les e 19l1a·les o Imagmanas.....:..Cuando y dos lados que se cortan.-VanaClon
~ cac~on ,e os ?g~u ln fiOS'.--:-. g a un número dado estará comprendido del lado opuesto a un ángulo de un
de mteres compuesoo.- e melon v
. 1
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'd'.··
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l' S
'1 - o no entre as ralces,.y cuan o sela tl'lángulo que aUl1lenta o dlsmmuye
0. enclOn. e, a
ormu a.-:-. ~ , ca c,u- superior o inferior a 'ellas.-EcuaciÓn permaneciendo constantes los dos lalbol·7Anudalldades't.-:- .?efinslclonr:-Plo- de los problenias.-Aplicaciones al pro- dos quefol'maiJ. dicho ángulo.-En un
emas e amor lzaClOn.- u ormu l a
d }. l
"
.
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1 p' bl
d" t l'
blema e as uces.
tna,ngulo, a mayor lado se opone maJ .~u ca cu 0.- 10 ema. e capi a izayor ángulo.-Reciprocas.-AplicaciÓn, a.
Clon.¿u forma y su calculo.
P'ROGRAl\IA DE ,GEOI\lETRIA
los triángulos equiláteros isósceles.Ecuaciones
Suma de los tres ángulos de un triá,n~
Principales términos empleados. 'e n gulo.-Pl'opiedad dc las perpendicula.Identida-d.-Ecuación. - Raíz.--SisGeometría.
res en los puntos medios de los lados
tenta de ecuaciones.-Solucián del sisAxioma, teorema, corolario, lema. de un triángulo.-Caso de triángulo
tema.-:-Ecuaciones y sistemas equiva- I postulado. eScolio, problema.-Teore- l'ectángulo.-Pl'opiedad de las tl'.es allentes.-Procedimiento para plantear 1 ma recíproco. contrario JI subcontra- turas y de las tres biseclriccs.-Caso
IQ5 prob]:emas.-Transformación de tina rio.':"-Porma de demostrar estos cua- del triángulo equilátero.-Igualdad de
ecuación según se le sume, reste. mul- tro tcorcmaS.-Pl'incipio de rcciproci- triángulos.-C2Sü de triángulos equit,iplique o diVida por una cantidad. se dad.-Definición de cuerpo,' súpcl'ücie, literos. isósceles ~r re~tángulos.-Pro­
eleven sus dos miembros a una po- linea y punto.-Definición de gcome- piedad, de la recta que \lne los PUllkncia o se le extraiga la misma raíz. tda.-Clasificación de la.." líneas y de tos medios de dos lRdos de un trianTrRl1sformaciones de un' sisUlma.- las superficics.-Definici6n de la línea "gulo.-Propiedad de las tres medillnas
St~bstituc.ión de una de las ecuaciones recta y axiomas que de su definición de un triángulo.-Caso de ser equilápor lo que resulta. de sumarla, l'estar- se deducen.
tero.
la" multiplicarla 0. dividirla, por cual· Lineas quebradas, poligonales, cónca- Cuadriláteros.-Definiciones.-Pl'opieqmel' otra delslStema, de sumarle vas y convexas,-principales propieda- dades· del para.1elogramo.-Redprocamiembro a miembro las potencias. o des.-Definición de ángulos, ángulos mente: un cuadri-látero es paralelola raíz de otra.-Forma general de la adyacentes, complementarios, suple- gramo cuando se verifican ciertas oon?cu~ci~n del 'prim~r, grado oo~ t:t: a mentarios y de ángulos iguales.-Mag- diciones.-Propiedades del rombo.-RelUcogmta.,-ResoluClon y descnpcion nitud angular.-Definición de perpen- ciproco.-Propiedades del rectángulo.
,
dicularf'...5 y oblicua.-Por un punto de Recípl'oco.-propiedades del cuadrado.
de. su fónnula.
'Eliminación.- Defmiciones. - Ne- una recta se la puede levantar una Propiedad de la recta que una los puncesidad de la elilllinación.-Mét<xlo de perpendicular y sólo una.-Todos los tos medios de los lados no paralelos
sustitución, igualación, reducció11 'y fac- ángulos l'ecto,s son iguales.-Unidad de un trapecio.---.lgualdad de paraletores 'indetel'lninados.-;-R:esolución; de elegida para medir angulos.-r,.a. suma logramos, rombos, rectángulos y cua.llUlecuaci<>l1e5· de primer grado, con de los ángulQ..c; adyac~ntes que forma dl.'ados.
. dci;" ille6gnlt.as, Porcualc¡,uiel';;' de i05 utu. recLa, al cae-r sobr-e05raequiya1e
l?Olíg01'I:l'l en gél1Cral.-N(lme:ro d#
ánterior,e5 ·metÓdÚl;....:.Fórmulafo.-5mte. a.' d05 án$'ul06 reetoe.-De-Mición de l cliag.Qnale6 de un pclfg-ol'l.o.-Suma. tte
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1
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SOL1!TIN OFICIAL DEL ESTADO
lo:;; ángulo$ de un polfgono convexo.Suma de los ángulos extemo.s.-Igualdad de polígonos: CRSOS de iguald!td.
Número mínimo decondlcione$ para
que dos polígonos seaniguales.-BlmetriR con relación a un centro o a.
un eje.
dor: medida de los arcos con el transportador.-Teorema sobre la proporcionalidad entre ángulos y los arcos
compt'endidos entre sus lado,s.-Evaluaelón qe los ángulos en grados.Angulos en el cálculo.~Angulo central: su medida.-Angulos excéntrIcos:
vértice en la. circunterencia.-Vé!'t!~
en el interior del círculo: vértice en el
exterior.-Medida de esto.:.; ángulos;
consecue~cias y oorolario.-Arco capaz
de un ángulo dado; definición y diversa" forma:! de construirlo.
que se necesitan.-Puntos y rectas he..
mólogas.-Re1ación entre' los perlme.
tros de dos polígonos semejantes._
Propiedad de un haz de rectas que
cortan dos rectas paralelas.-Reclproco.
Proyecciones
Deflnici6n.-Propiedades de la Perpendicular trazada sobre la hipo.knusa desde el vértice del ángulo recto
Definiciones. - Oircunferenchl. como
de un triángulo rectángulo; triángulos
lugar geométrico.--(kmsecuencias Inparclales que se. forman y sus divermediatas de la. definiciÓn.-Haecr paGas Propiedades...::....Ap]icaclón al cfrcusar POl: .tres puntos una. cIrcunterenlo.-Cuadrado del lado de un triángulo
cia.-Propiedades de los arcos de cIrcunferencia y las cuerdas correspon- IdeasreneraIes de los diferentes mé- opuesto a un ángulo agudo.-Cuadra.
dient€s.-Magnitud de una cuerda se- todos que existen para reSolver p1'o- do del lado de un ángulo obtuso.-Su.
blemas
roa y diferencia de los cuadrad,os q,e
gün lo que diste del centro.-Propledos lados de un triángulo con relaci6n·
dad del dIámetro perpendicular a una
Dlvislón.-Método8 generales y mé- a la median,a del tercer lado.-Lugares
ollcrda. - Consecuencias. - Tangente;
definición generaL-Tangente de pri- todos particulares o geométricos.-Mé- geométricos de los puntos en que la
merá espede.-Idem de segunda espe- todos generales: análisis y smtesis.- suma o diferencia de los cuadrados de
cie.-DiferencIas y casos en que no Métodos geométricos: división.-Méto- sus distancias a dos fijos es constantR.
ooinciden.-Tangenres a la circunfe- do de lugares geométricoo de :puntos: Suma de los cuadrados de los cUatro
rencia: propiedades.-Curvas convexas. método de figuras auxil1ares.-Método lados de un cuadriláte·ro.-Produc1:o
. 'Angulos de curvas.-Normales y obll- de figuras semejantes. -Método de de las diagonales de un cuadrilátero
cuas.-Longitud de la oblicua de un transformación de figuras (traslación inscri.ptible.-Relación de las diagona,.
punt,Q comparada con la de las nor- par!'lela, si~etría, rotación, inversión, les de un triángulo inscriptible.-Aplimales de dicho punto.-Recta5 para- etce~ra.-Metodo del problema c~n- caciones: calcular la cuerda de la sulelas, cortando a una circunferencia. trarlO.-~étodo algebraico. - Descrlp- ma. o diferencia de los arcos conocidas
Posiciones' relativas de doo circunftl- cl6n sucinta de los ins~rumentos ne- -'las cuerdas de estos arcoo.-Ca!Cula.r
rencias.-Propiedad de la línea. de les c~rlos en el dibujo ,lm.eaI.--'Aplica- las dfagonales de un cuadriláterolnscentros de dos circunferencias secan- c16n de lo expuesto a dIversos pro-· crípt~ble del que se conocen sus lados.
Ws.-Relaciones de magnitud entre la blemas,
ProporcIones
distancia de los centros y la suma ()
Proporción armónica·
diferencia de los radios.
Dividir una recta en partes proporDistancia entre, dos puntos .1'eferido clonales a varIas rectas o números daMedidas en general
a un orlgen.-Prin,cipio de Charles.- des.-Hallar la cuarta proporcional. a
•
Estudio de la relación de las distan- tres rectas dadas.-Hallar la tercera
MedIda de una magnItud: definl- clas de un punto m6vil a dos fijos.- proporcional a dos reoctasdadas.-Ha.ción.~Razón de dos magnitudes ho· Proporoión armón.fca.-Dividir un seg- llar la media proporcIonal. a d05 rectas.
mogéneas: definición.-Nueva definí· mento en una relación armónica da- dadas.-Hallar dos rectas de las Que
ción de medida de la magnitud.-Nue- da.-F'órmu1as .y d;""usión.-Ideas sood ~_
va. definición de razón de dos· mago
""'"
se conocen su suma y su pr UCw.-,nitudes.-Hallar la razón de dos mag- bre 1M relaciones inarmónicas, de las Encontrar dos rectas de las que 5e
que la proporción armónica es un caso conocen su diferencia y su producto.
l'litudes: l,tI, que sean conmensurables. particuI.ar.-Notacio·n.
.
D'lv}'d'Ir una rec t a en me d'la y eX t rema
Máxima medida común de dos magsegmentos proporcIona]es. _ Propie- razón.-;-Qonstruir un pol!gono semenitudes: la relación que las miden.- dad, de una sel'l'e de p'al'alel"" cortan- . te
t d~A2.0, que sean inconmensurables.-Me...,
Jan a o ro M.W, ya se conOllCa.1'l un
didas dirccta.'5 de las magnltudes.-Di- do a dos rectas cualesquierfl.-Teore- la.do o la relación de' semejanza.ma de Thales y su reclproco.-Propie- Construcción y uso de la escala.--COm.
flcultades e inconvenientes.-Medida dad de las bisectrices interior y ex-. pás de reducción: su objeto o uso.
indirecta: propOrcionalldad.-Forma de wrlor de un áng-Jlo de un triángulo.
conocer la proporciOllalldad directa e Ejemplo de figuras que !onnan punt06
Polígonos regulares.
inversa de dos magnitudes.-Mngnltud conjugados armónÍcos.---':Lugar geomé.
Deflniciones.-En una drCUllfel'en~
proporcionnl a otras varias: definición trico cuya relación de distancias a dos
y ejemp~O?-euándo una magnitud nJos es constante.-Rectas antipara~ cia se Puede siempre inscribir o ciI'es .~ropolclOna~ a otras VarIas, la re- lelas.-Propiedades de magnitud' de los cunscribir un polfgono regu1ar.-A toIaCl?n de 108 valores de una de ell,as segmentos de cuerdas que se _cortan do polígono regular se le puede cires Igual a la t:elación de los val~les fuera o dentro del cfrculo.-Potencial cunscribir e InSCIl"ibir una circunfere1lc?!reslJOndien~s de la. otra.-APllca: de un plinto con relación a un cfrcu- cia.-centro, radio, apotema. y ángulo
en el centro,-Los polígonos regulares
ClOn a l~ medIda. de una linea. recta. 10.-Variación de susva.lores.
caso prlmero, numero entero.--caso
de igual número de lados son seme~
segundo, número fracclonariO.-Caso
jantes.-Ideas sobre polígonos semirre, Fi&:,urü semejantes
tercero,números inconmensurable~.~
gulares.-En una circUnferencia, oS e
Ejemplo de' línea foota incorimensuraDeflnición.-Propiedad de toda pa- puede inscribir lm polígono .semil"reguble.-Práctica de la medición de lineas ralela a. un lado de un triángulo.- lar-€quiángu10.-Redprocamente. -" En
rectas.
Ca.sode semejanza. de triángulos.'- una circunferencia se puede circunsMedida de un a~.-D1.st1nt<Js con:. ciondIciones l'lue Só!l nooe.sitan.--caros cribir un polfgono sell'lirregl,11ar eqU.lceptos sobre la. medida. ele· un ltrco.- particUlal'ee del, triángulo rectángUlo látero.-Reciproeamente.-Tédo paUS'oPráctica. da la.· me4ida, de \U'l ueo.. y del tritnrulo ~lltS,-CI!o ~ ~ no !quilite!ro Ü'U:.eti!ptl~e. en ,un eireu...
Divisiones de fa ·e11·C'lU!I!erehel&.~ ·mejal'lW! 4e1!lOUsOttos ~1 míS'rlo h~­ lo e" ~lar,.. 'I'odo polt$~O eq¡.I14"
xagestn\a1 y eetesUnaa..-..'1"r~.. 11'l6ro· d..1I4(re;-N~ de ~eiOne6 rulo clieu~ib1e' a. t\U dtwlO' (ti
NÚm.20 6
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BOLETIN OFICIAL DEL ESTADO
regular... Todo polígono equiángulo gono regular: octógono regular, deCá-1rios.-por dos rectas que Sf cruz?n
'inscl'iptible e..<; regular o semirregular, gano 'regular, dodecágono regular en puede' siempl'e pasar un sistema. de
según sea impar o par el número de función: V', del lado; 2.°, del radio; planos para1elos: y nada más que uno.
sus ¡ados.-Todo polígono equilátero 3.°, de la apotema.
Corolario.-Dos ángulos cuyos lados
circunscri:ptible es regular o semirreFórmula de Simpson.-FÓrmula de sean, respectivamente, paralelos serán
guIar, según que dos ángulos contiguos PonceleL-Limite del error en la fór- iguaJes o suplemeritarios.-Dos ~egM
sean iguales o desiguales.-Dado un mula de Poncelet.-Area de un circu- mentos de dos paralelas comprendidas
polígono regular inscrito en una cir- 10.-Idem de un sector.-Idem de un entre planos paralelos son iguaIes.-':'"
cunfere~cia, inscribir en ella otro del segmento.
.
Tres planos para·lelos cortan a dos recdoble numero de lados, ca·lculando su
e '. " d ".
R 1 . '1 tas cuaIesquiera en partes proporcioo-Problema inverso-Dado un lJOM
ompalaClon e aleas.-:- eaClOl
1
Rec'.,
1d
a '
. .' . ' .
.
entre las áreas de dos paralelogramos na, es.Lploca.
ligono regular mscnto, cnfcunscl'l'bir
.
,"
.'.
otro semejante, calculando su lado.- o dos tna.r:~ulos,-Idem. entl€ las ~leas
Rectas y planos perpendiculares
Problema' inverso.-Conocido el radio de ~os tnangulos que tl~~en un a~gu­
y la apotema de un polígono regular, 1 10 19~a;l o suplemen~al lo.-Cuadl ado
Definición.-Si una recta es perpencalcular el radio y' la apotema del po- C~.r:iStl Uldo ,sob:e la hlpotenu~a de un dioula·r a otras dos no paralelas entre
ligono regular de doble número de 18.- tnangulo lectang.~}o.-Idem Id., S?bre sí, pero pa.ralelas al plano o situadas
dos isoperimetro.-Dados los perime-. un la~o de l~n tlla~~ulo CUalqUle~.~.­ en él, la recta primera es perpendicutros de dos polígonos regulares seme- ~1aClOn ent~e ,las aleas. ~e dos .tll~n­ lar al plano.-Si dos rectas son parajantes, uno inscrito y otro circunscrito ,;Ul?S CualqUleI~.:-RelaClOn e~tle .as lelas, todo plano pel'[:xmdicular a, una
a ·,ma misma circunferencia, calculal areas .de dos tnang~:l1os ~emeJa~tes.­ de ellas es perpendicular a la otra.~ .
los perímetros .de los polígonos de Idem Id. de ~os poh~onos semeJan~es. Si dos planos son páralelos, toda recta
iguales condiciones y doble número de Casos de I:?l1gonos legUl~res.-Pohgo­ perpendicular a uno de ellos ID
a:¡l
lados.:-Inscribir en una circunfel'en- n~, constrUldo .sobre la hlpo~nusa de o~rQ.-Recíproca.mente.-Por un punto
cia y ca-lcular el lado en fúnción del [ tna:lgulo rectan~ulo.-Rela?IÓn entre dado se puede siempre trazar una rec~
radio de los siguientes polí"'onos: cua- las ,areas de dos ~lrculos.-elrculo c~~s­ ta perpendicular a un' plano, y. sólo
fu'ado, octógono y, en ge~eral, polí- trUldo sob.re la. hlpotenus~ ,de un tnan- una.-Si una recta es pel'pendicu.Jar. a
gono de 2 11 lados.-Triángulo eqUilá-¡' gu1? re(ta~gulo:?mo dlametro.-~e­ un plano, toda perpendicular a la rectero. exágono y. en genera1, polígono 1.aclO~ entle las al~as de dos sectoles ta, o es paralela al plano, 0 está .o;ide 3 x 2 n lados.-Pentágono. decá~' stmeJ:mt~s.-=.-Idem Id. de d~s segmen- tuada en él.-Corolario.-Desde II n
punto exterior a un plano se baja unagono )T, en general, po.ligono de 5 x 2 n tos semejantes.
perpendicular y varias oblicuas:. comlados.-Pentadecágono y, en general,
Dcterminadón de un plano
l?a:rar la longitud de €st::tS rectas se· .
polígono de 3 x 5 x 2 11 lados.-Pow
lígono de n lados.-Método a¡pl'oxiPosiciones relativas de dos rectas.- gún lo que disten de la perpendicu.
ma.Q.o.
Posiciones relativas.de una rect~ y un lau.·.-Recíprocos.
plano.-Posiciones relativas de do s
Medida de la llmgitud de una curva planos,
Planos perpendiculares
Definición de quebrados inscritos o
Definición.-8i una reda es perpenRectas paralelas
circunscritos corr~pondientes.-Limite
di'Cular a un plano que pase 'POr ella
o qu-e le sea pa~·alelo. será perpendicude los quebrados Inscritos y cil'cunsp.
d d dI'
critos en una curva plana.-Definición i
01 un punto
a o e espaCIo se lar al pl'im~ro.-Col'olarios.~Si dos
de longitud de una linea curva.-Apli- ' puede ~l'a?:ar una pal'~lela a .una recta planos son perpendicula~-es entre sí,
cación a una circunferencia.-La rela- I dada J solo una.-Sl dos lectas son toda perpendicular a uno de ellos esción de la circunferencia al diámetro' paralelas, todo plan~. que corte a un~ tará situada en el otro o le será
es constante.-Diversos valores de Te de ellas, corta tJRmblen a la otra.-Sl talela.-Si dos planos son perpendicuRectificación gráfica de la circunfe- dos rectas paralelas, toda recta para- lúes entre sí, y en uno de ellos se
renda: varios métodos.
lela a una de ellas es paralela a la tra~a la perpendicular a la común inotra o se confunde co.n ella.
terseccion, esta perpendicular lo será
Cálculo d~ 1t
también al otro plano.-8i dos pianos
Paralelismo de rectas y ¡llanos
son
perpendiculares a un tercero, la
Métodos geométricos e1eme11tales para hallar '!t.-Método de los pcrimeSi una recta es. paralela a otra si- intersección también 10 sel'á.-Coro1a~ .
tros.-Reduceíón por este método de. \:LIada en un plano, es paralela al pla- l'ios.-Horizontales y verticalcs.-Defi.la l'~gla de Schwab.-Método de' los I na.-Si una recta es paralela a un pla- niciones.
isop<;:rímetros.-Teoremas dc Schwah. no, y por un punto de éste se traza
~royecciones
El'l'ores al calcular 7t por los métodos llna paralela a aquella, la parale}a es.anteriores.
tará' contenida en el. plario.-Si una
Definiciolles.....,-La proyección de una
recta es paralela a un plano y se hace
línea recta sobre un plano es una rec~
pasar
por
ella
un
plano
que
corte
al
Al' e as
pl1mero, la intersección .es paralela a ta.-Recíproca.-Si dos rectas son paDefiniciones.-E n todo rectángulo. la situad'a· fuera del plano.-8i una ralelas, sus proyecciones sobre un mis-con una dimensión común, sus áreas- reota es para..lela a un plano y por mo plano son paralelas.-Reciproca.~
son proporcionales a las dos dimen- varios puntos de ella se tiran parale- Si dos rectas son perpendiculares y
siones.-Area de un rectángulo.-Idem las q.ue 10 encuentra, los segmentos una de ellas es para.lela a un pláno¡
de un paralelogramo.-Idem de un de estas rectas comprendidas entre las las proyecciones sobre dicho plano son
triángulo.-Idem de un polígono cual- rectas y el plano paralelo son iguales. perpendiculares. - Corolarios. - ReGÍ.
prooa.-Dados dos planos que ~e corquiera.-Idem de un trapecio.-Divertan y una perpendicular a tÚl0 de
sas expresiones del área de un triánPlanos paralelos
Ellos. su proyección sóbre el ot.ro pla-'
gulo.-:Area.. de un polígono regular.Idem de un poligonocualquiel'a.--,"Ex~ De.flnición.-8i dos. planos son pal"~­ no es perp~;ndicular a la intersección
presión del al:ea del triángulo e(Ltlilá lelos, t.oda: rect::L o p:ano qlleCOl'tea de .allloos.~~~~il'roco.
te-l'O, cuadrado, pentágono regu~ar, exá- uno de ellos cort::L a.l otro.-Corola-
!
es
pa-
M
..
J::'ª,&', ¡na 51$~
BOLETIN OFICIAL DEL ESTADO
2~
julio 194i
--.,.--~--,--.....:...._-----------:---....,.-----_.'----'----
I
pla.110 tangente; plano normal.-Angu- los polígonos esféricos análogos a lo¡
•
'
',"
10 de oontingencia: plano osculador; de los ángulos poliedros.-Triángulo¡
Menor a.ngulO qt¡.e forma lf1~a recta, ángulo de torsión; puntos singulares.- esféricos polares.-Definicion.-R e e¡,
con las que pasen por su pIe en un Generación de las superficies.-Gene.. procidad de le,s triánguk.:; esfericos po.
planlil.-Dados dos planos que ~ coro ratriz..:....Haoer ver que una misma' su~ lares.-Suma del valor de un lado de
tan, ~contrar la recta. que, pasando perfide puede ser eQg€ridrada de di- un triángulo polar.--81¡ma de los án.
por, un punto de uno de ellos: forma fel'en~s modos.-Definición de tangcn- gulas de un triángulo esférico.~ti-a!
las de los án.
m~y?r ángul~ con elotro.-Lmea de te a. una superficie en un punto..,..;..To- propiedades análogar
maXlma. p.en<:llente.
I das las tangentes que se, le pueden gulos triGdros.-~Igualdad de triángulo
casos.
trazar ,a, üna superficie por !ln mismo esférico:
¡
lUÍnimas distancias
punto estAn, en general, en un mismo
Fi¡-uras en la superficie esférica.
Definiciones. - Minlntlti) distancias plano.-1'fombre del plano.-:-Nornial y
entre dos rectas que se cruzan,
plano nonnaJ a ~na' superficie por ~n
Distancia .más corta ootre dos puno
punto.
tos de la. supel'ficie esférica.~Desde un
Angulos diedros
Superficie.'; de revOlución.-MeHdia- punto de la juperfide eSférica se tra.
Defi:p.iciones. :..... ~ti]jnea correspon- nos y paralclos.-Propiedad del plano zan un arco de círculo máximo per,
diente a un diedró.-8i dos diedros tangente a una superficie de revolu- pendicular y otros varios obUcu{)s a
son' iguales; lo son sus rectilineos co- ción.-Todos 108 merídianoo so'n igua- oti-os arcos de circulas máximos dado:
comparar las longitudes de estos aro
rr€.?paJ,1.~en.tes. - Rec1pl'Oca.---:..ldea so,. les.
.'
,
9re la magnitud y generación de un , Superficies regladas.-Oefinición y cos.---Recíprocas.-Lugar geométrico de
diedro.-Angulo diedro r~cto.-Conse- cla.ses.-Superficies gaucha,s.-Superfi· los puntos situados en la esfera que
cuencias 'Que se dedu<lEm' de la corres- cles desarrollables.-F!ropiedad. del pIa· equidistan de dos lados también Sóbre
pon,denci~ entre los died1'o,s y, sus rec- 110 tangente a. ambas superflcieiS des- la esfer,a.-En un triángulo etiérico
rectángulo cada cateto y su ángulo
tilíneos COn'l~spo.ndientes.-Medida de arrolllllbles.-Arlsta":e retroceso.
ángulos, diedrqs,-Demostrar la proSuperficitl& cónicas.;--Definiciones.- opuesto son de' la misma especie.
porc'ianalidad entre, lOS diedros y los Oono: cla~>iflcaclón.-Se<:clones ,paraterectilíneos correspoI1diente5.-Plano bl- las y a.ntiparalelas a la base en, un
Problemas sobre la esfera.
sector de un diedro como lugar geo- cono oblicuo de base circular.-Plano
'. ,
,
.
Hallar el raQlO de u~la t!.~~era sol.l.
métrico.-Pr0piedades de l(Js ángulos I tangen te,-peB3lTollo de la superficie
diedros, que, se, for~na:, al co¡:tar dos de, un cono: casos.-8U, perficie cilin-¡ da.-Dadus dos puntos en la ..uperficle
. pia.nos por un tercero.-Reciproco.- dr:ca: definiciones,-Cilindros: 'clasifi- d~ una es~era, haC,e~', pasar por ,ellos un
Di€dr98 ton EUS ca.ras para.lelas.
I cación.-Secciones en una superficie aleo de. Cll'C.U~~. maxl1no._Dado en U?8
o.i1íridric¡¡. Por planos paralclos,-Pla- SUP€:iicle eSf?l:ca un punto y un alcq
Angulos polJedros en gener¡l.l
no tángente.-Desarrollo de la super- diE! circulo maxmlO, .hace[· p~s~r por el
flcie de un cHi,ndroj oasos,-Definición punto un arco de CIrculo maXlmo pero
Definiciones y nomenclatura.-An- y OOl15trucclón de la elipse' hipérbola pendicular al lado.-Trazar 1.111- arco
gulas poliedros, cóncavos ~7 convexos. y parábola.
"
de c.irculo y otro que le ~a per.,
Pl'~~ie~~d~ de unos ~ ,otros.-olasüiSUp€rficie esférica. _ Definiciones.- pendicular en, s,u punto medlo.-Ha.
caClOn de angulas pohedros.
'Determinación de una esfera.---Seccio- Ha;r el polo del cH'culo menor que pasa
~ngu~~ t~'iedros.-.-~.efiniciones.-An- nes en una. esfera por un plano.--Re- 1 ¡)O~ tres .~.untos.-DadLo'; en una super·
gu.os tlledros slmetllcos. - Angulos lación entre el radio de una esf~ra I ficle esfellca un p¡mto y un arco de
triedros suplemeI1tario~.-RelaCión ~n-: el Cié un 'circulo trazado
ella ~7 s~ ,circulo máximo trazar ~or el, punto
tre las caras de. un trlearo y los dne- distancia 811 cen~ro de la.' esfera ,-Con- . otro arco ~e circulo máXImo qu~ fordros 'corresopondlentes del suplementa- secuen~ias.-PoIQl'l. de un circulo en la me con el ado. un ángulo C~~lOCIdo.­
r\e>.-Una pata de U1~ triedro es menor esfera.-propiédad de loo puntos de Construir un tnán~ulo esfériCO, dado:
q~e lA &Uln~ de las otras dos.-l!l9tu- una circunferencia. trazRda en la es. un lado y los dos angulas adyac~n tes.
dl~r las variaciones de
cara. de un rera. con relación a &us polos.-Distan- Do~ lados y el ánguIQ comprendldo.tnedro opuesta a un dIedro que aU~ cla polar y radios esféricos.
~8.dos los tres lados.--Dados los tres
mente cuando las caras que forman
angulos.-Dador:; dos lados y el é.n~ulo
€ste diedro per:nanl';cen 'Constantes.opuestos a unr¡ de ellos.-Dados dos
Triedros con ias caras igtIBles.-Suma Tangentes y planos tangenks a la ángulos y el lado opu~to a' uno de
, de las caras de un triedro.-Suma de
esfera
ellos.
~lano tangente a la esfera.-Propie..
los diedros d~ un tl'iedro.-Igualdad
Policdl'os
de triedros,
dad de la tangente a la superficie e5Angulas poliedros. -,Definiciones. - férioa.-consoouen'Cia.-Cono Y ciHnDefiniciones y claslficación.-Pirá~tulgulos pOliedl'06' suplementarioS.-8i dro círcunoorito Il, la. esfera..-Posicio- mides: definiciones.
un ángulo poliedro essuplemental'io nes -rel9JtivWs' de dos esfel'Bs......;Al1g'ulos
T€traedros.-Propiedad de los plade otro, ~te lo es de aquél.-En dos- de doo arcos de círculo máximo..:....Lu- nos bisectores de los seis diedros de
ángulos poliedros suplementarios, los grur geométrico de los polos de los un tetraedro.-Esferas inscritas en un
diedros de uno son s'Uplem(imtarios de ciroulos máximos cuya circunferencia tetraedro.-Propiedad de los planos
las 'caras del otro.-Una cara cuaJquie- fOl1na un ánguJo d<ado con otra 011'- perpendiculares en los puntosnleciio
ra de un ángulo poli-edro es menor cunferencia de cil'cu'¡o máximo fijo.- de las aristas de un tetl'aedro.-Esfel'a •
qUé la suma de toda.s 'las demás.,...-su- Condición para que dos círculos má· circunscrita 1:1, un tetraedro.-Propiedad
rna de las caras de un ángulo polie-, >timos sean perpehulculal'e$ entr€ 51, de la reCta que une los' vértices de uh
dr{¡.-Suma d~ lOS diedros de 'L¡.n án-I Ahgulos esféric06 adyacentés y opues- tetraedro con los pUn t,f)5 de illter~c­
gula ¡tkJliec:lr<J.~Igualda4 de 'á.ngoulos tGS por el, vértiOé.
ciónde las l11edianas 'dé las caras
poEedl·os.
opuéStas.
Poligonos esféricos
Pirámides.~Dada. Ul'la l)irán1ide se
Líneas y sqperfipi~ en I'ene:r~
~iOl'l~ y' clasl1J.C3.(;ión.~Anguloo QOttt!- ¡¡pr ~ pl~nó pa.n.~elo ~'la b~~:
Generación d~ un~ línea ,,.,.,..Ta.n.~~I!1té I péli~J~ lWrres~dier¡.tes.~~~~os Ptop~ei1ª"4e~ q~é ~ ver41~.~p.~as
y norma.l a' una. ourva. .cua.lquiera.: ,ésf ér~C4!ls ~im.étri~,...".,:rrop~e44.deS cie ¡as pirámides de la n'11tm'la altur.1 se
Angulos de rectas con planos
en
I
;a.
Núm.
----
BOLf:TIN OFICIA~ J)E~ ~StADO
~Ob
_ _ o_
~---------
cortan por planos paralelos :. la base I
•
.;...,.
V~lumen
'Páginá,5133
. , . . . -_ _. . ; . . . . . . " . _ . . . . , . -_ _
de un cilindr .,,-Volumen del tomando el .;adio por unidoo.-R,.a·
un tronco de cilindro,-Volum~? de un, dia.l.---conv.ers16n de 1.ll'!-0 a otTO _ m6:
dad que SE verifica.
cono· -Caso de ser de revoluciOn.-Vo-1 dulo.-Medlda de. los ang~10s.-eoor
Pl"ismas;~Definiciones y clasific.a- lumen de un tronco de . . ono de bases denadas de un arco y su angula.
ción. -Paralelep1pedo.,..... Principales paralelas.--Caso de ser el tronco de
propiedades de os paralelepípedos.- l'evolución.-Volumen engendrado por' Funciones trigonométricas en -:general
Oaso de Que sean rectángulos.-Rela- un triángulo que gin.. alrededor de
Definición de las funciones trigonocionar en un paralele¡Jipedo rectángu- un eje con ciertas I'ondiciones.-Vo· métricas....:....Funciones directas y' comlo la medida de. unll diagonal con la lumen engendradu puun sector poli- plementarias, directas e inversas.de sus tr~s dimensíones.--Caso del:J.u- g??al regular qu~ gira alrededor de un Fundones trigonométricas se cundabo....:...SecClones
Lusadas en u: pns- dlametro extenor.-Volumen de un rias: seno coseno, subseno y subcoma por planos paralelos. -Prisma cor~ sector esfé~·i~o.-Volumen de una re-: seno.-Per1ocidad de las funciones tritado por un plan~ paralelo a f~ .base. b~~ada esfenca y de un segmento es-! gonométricas: ' signo.-Repre5€ntación
.Igualdad de polledl'os.--DefimclOnes. fenco.-Volmnen _ de la: .esfera.-Volu-· gráfioa de las funciones trigonoméM
Igualdad je tetl'ap(l"os: casos.-Igual- men de una cun~ esfcnca.-Volumen I tricas de un ángulo.-Dado el valor
dad de pirámides: cas.o rle ser regu- de un cuerp~ cualquiel'a.-Volumen de I de una función trigonométrica. dedu. I eir el valor de la.'5 demás.-Expresar
lares,-Igua.ldad de pn;;mas: caso. de u.n tone1.-F~rmula de Simpson.
ser rectos.--Igualdad e paralclcPlPclas funciones trigonométricas de un
dos rectángulos.--Cubos .' troncos de Comparación de " eas v ,'olúmenes ángulo positivó cualquiera por medio
prismas: caso de Ser reo:;tos.-Igualdad
Relación entre las b; eas laterales y de las de un ángulo del primer cua.
de p~ralelepipedos rec1<logulos. cubos totales de los siguientes sólidos, seme- drante.-Funciones trigonométricas de
y tro~cos ~.e pr'<:l1las rectos.-Igual- jantes entre si: Dos poliedros cual- 106 ángulos de 18u , 301>, 360, 45" Y SOo.
dad de. poliedros.
'. .
quieni..-Dos cilindros (e revolución.-:
.,
_
_
SemeJanza de pohed.l0s.-e...CS,SOS ,de Dos conos de revolución.-Dos troncos¡ Valores de las f~nclOnes tng:onomesemejanza de tetraedros. - Pirámlde de cono de revolución,-Dos zonas es~ \
trlca-s
Expresiones generales de los ángu.
cortada por un .p~~n) par-alel.o a la ba- fél'icas. _ Dos husos esféricos.-Dos
se.-:-Dé~compo~lc~on..de poliedros se· triángulos esféricos.--E,elación entre. los que tienen igual seno y coseno,
~eJ~ntes en t~etJ~~~Zl~O'::l~~:'~;i~~a_ las ál;eas d? dos esferas.-Rela?ión el1;~ ~ cos€{Jant.e y secante, tangente. y co. un os y rec s
"
' . tre lo~ vollllnenes de dos pn.smas o ta.ng€l1te.-Variac\ones de los valores
des.
: pirámides cualesquiera.-Relac16n e~- de 113S funciones trigonometricas, camtre los volúmenes dl 101' siguj(;mtes 150- bios OC signos valores máximos y núAreas de superficies poliédricas y !idos, semeiantes 1"- ~re -::.í: Dos pirá- nimos de CUI¡:li<. mm cuando el ángulo
.curvas
'midcs.-DOS polied' ("' cual~squiera.- I varia de O a 2 'Tt.-Ourvas analíticas
. Area de la. superrtcie lateral y toral Dos cilindros de l'evoluciÓn.-Dos co- I de estas funciones: sinusoide, conside los siguientes cuerpos: pirámide re- nos de revolución.- Dos tróncos de nusoide, tangentoide, etc ,-Funciones
guIar, tronco de pirámlde, prisma, ¡ cono de revolución.-Dos sectores es- trigonométricas de los ángu10s nega~
prisma recto, tetraedro regular ~. cubo,' féricos.-Dos cuñas esféricas.-Relación
sen O
cono de revolución. tronco de cono de . entre e~ volumen de dos esferas.· ~ tivos.-";'Limite de las rt31aciones
revolueión, cilindro. cilindro de revolu- Comnandón de las áreas y de los voo
ci6n; tl·Otl.Cú de cilindro de revolución. lúrn"Deo: p""emi,"?oo-c: oor un ci,-r'lllo y tag o
i
Area.~ de "úl'le 1'fjr " .1'1l1·VP<· lI,~.(>l'! flp el trián'?"ul0 eaullátero· y CUi'ldrado cir- y ..
cuando. O ti ~nde ha.da cero.
la. super:t\cie enqendrada por una rec- cUllscrito al mismo il.1 ¡¡;irA" alrededor
O
t~ que gira alrededor de .: ~ra. reunien· de una, 'altura de triángulos.
do ciertas. condiciones. -o\rea ~e la su-¡
,
.
Proyecciones'
perticie engendrada por una. lmea po- PROGRAMA· DE TRIGONOMETRIA
'.
1
ligon,al' regula.r que gira alredeqor de
. ..
.
F:ro~nedant:es,-A:h...<lClSa. ortogona ."-un eje que pasa por sus centros y
FunCiOnes
Vec~.ore5.-Lmea de aCClón: vectores
reúne ciertas cQnrliciones.-Area de
Funciones y val'iables.-Funciórt pe- eqUlPotente~ "j' opuest~.~p:?}~h)n
unE!- wna esférica.--Area de un caso riódica.-Trigonometria: d€finidón y ~ ;.t!l1 radIO V€CJtor: d1SCUS~011.-Pro­
quete.-Area de la sun3rtlcie esférica. división.-Posición de un punto en Y€CClón. ·de un vector cualqUle~a.-An­
Area de un huso.-Area de un trián- uria: línea: origen y abscisa'.--8igno guloa de un vector con 105 eJes. CllI'gulo esférico.-Area de un polígono de la abscisa.-Distancía .entre dos: tes-ia!nQs y con los pl:anos. COOfIJ.enaesférico.
puntos de abscisa conocida.-Princi- dos.-~esultal1te die un SlSt.\?m8, de
PÍO' d~' Dcsce.rtes.-Posición de un vectores.
Volúmenes de cuet'llOS
punto en un plano.-Coordenadas· poFunciones trlgollometricas
Poliedros.--Volumen dJ un pal'alele~ lares: coordenadas carteshmas; disSeno y cooe'11o de la sum,a, y dlfepipedo .rectángulo: Teoremas en que taliCÜ. de un punto al origen; disSe'funda su obtención.-Volumen de un taneia. entre dos puntos; determina- nmcia de los ángu~oo y su genera1i~
eubo~-Volumen de un paraleleplpedo ción de una recta; ecuación de una zaci6n.-Suma. y diferencia de drn; recúe.lquié1:a..-T']oremas en, que se fun- re<:tta.-Posición ~ un punw en el nos y dos cosenos y 3.'€la.ción entre
da su obtenciÓn.-VolUlnen do. un pris- espacio. -Coordenadas cartMianas.- el1os.-Inte~p~t.a.ci61'l geométrica de
ma cualquiera.-Volumen de una pi-. Distancia de un punto al orig~D:'- estas fómlUla.s.-TangentE de la. surá.mide: .principioL ",n que sr funda su I Distal1cL.I. entre dos puntos,'"-PoslclÓn roa y diferencia de dos..ángulos..-Suobtenci6n.-vnlume' ...2 un t,ronco de de un pl.mto en la superficie estérí- ma y dUro"encia de ClOS tangentes y
prisma tl'iangular.---Volumel'l de un ,. ca; coordenadas terre-st;res;cooi'dena- !relaciones entre enlis.-Relacion€s en..
tetra,~ro
regular.- Volumen de "1"l'l das celestes ecuatoriales; coordenadas I t-re las fundones t.irgonOl'l1étricas de
trOtlOO de paralelepipedo.- Ve' .unen de. horarias.-Rosa de los vientos.-Mag- un ángulo y las de su mítad....,.RepreM
un 'tetraedro regular.-·V6lumen de un 'nitu.d angul~r y s~ medida.; a.rcos ¡Jo- sentMi6n geométriea de estas hrmutroncél ele ¡Jir.mide 4e bases. p~r~lel~~. sitivl)~ y négativóS.-Grªd.:y.a..~i6n se-- 14S.~o, ()OSetto y ~nte d~l ánYoNm~;n 4e ~~ poli~r- e~~lqu~~r&':.
x~esYtt~l~~1'11(1uaei6n ~~~im41.-. ¡u,lo 3 a. ~n ~unCión del seno, coseno
V-olum~ de l~ eueI!'T'OS.~Ondos.- M~ída.en tie~pG.--.Med~d~a.na1itica y: ta.t!gen«l, réspectiva.n¡ente, del án.
y equidistante de los vértices:
pr~pie-
I
I
I
BOLE'rIN OFICIAL D EL E STA DO
gulo a.-Fórmula de MOivee.--Ecua.!
ciOll€S trigonométricas. Verdadero
valor de las exp.resiones de forma in.
determinaaas pai~a, ciertos valores de
la. variable.-Ldentidades trigonométricas. - ]dientidades trigonométricas
condiciona,les.--Series trigonométricas.
Suma de 10$ términos de una progre.
si6n -t.rigonométrica.-Fundones b'igonométl'icas inversas. - Iden·tidade.e
en,tiee:llipresiones trigonométricas Inversas.
24 julio 1940
otro opuesto.~Eje-rcicios de resolución
D. Benedicto Hevia Suárez.
cuando .se dan entre los datos eleD. Buenaventura Amores Fermentos secundarios o combinaciones nández.
de elementos principales.
D. B.ernardo Ferreras Pérez.
D. Claudio López Ma1agón.
d "¡
D. José Guzmán Salmerón.
D.
Francisco Crespo Tena.
MINISTERIO QEL AIRE
D. Francisco Bravo Heredia.
D. Francisco Eiriz Sáenz de TeTITULOS
jada.
D. José Martfnez Martínez.
ORDEN de 19 de julio de 1940 por
D. Jesús Retana Martin.,
, la que se pone en conocim.iento
Madrid, 20 de julio de 1940:
de los poseedores del Titulo de
Exposición elemental de los princIpios teóricos fundamentales ae la cons·
VrGON
'Piloto de Turismo, que debiendo
rtrucción de eIlas.-Funciones trigono.
procederse a la revalidq.dón del
métricas que comprenden las ro á .e
Destinos
mismo han de presentarlo en la
usua'les y disposición general de· las
Dirección General de Aviación
mismas.-Descripcióll detallada, expliORDEN de 20 de jlllio de 1940 po-r
Civil.
cación y uso de las ta,blas de Graiño.
la que pasan a ocupar los destiCornejo" Herrero y Ribera, en todos
Se' pone ,en conocimiento de tonos que se indican el Comandanlos casos a que se aplican.
dos' los poseedores del título de
te don Carlos Fernánclez de CórFUoto d,e turismo que.. debiendo
daba y los Capitanes don AlfrePreparación para. el calculo logarítmico pro/jederse a la urgente revalidado Gut'lé'rre.z López y don Ramón
PrePRl'Rció~ para el cálculo logal'ít- ción del mismo, han de presen- Linaza Corsini.
mico de las ex:pl'esiones de la fórmula' tal' en la Dirección General de ¡ P
e l' 10" destinos que
d 1
'
,
asan a. s rv T ..,
· .. C"l
A
I
a- h
I
VIaC10n IV~: Mag a ena, nume- I se indican, el Jefe y los Oficial~s
x
;¡ + b, x = --_.'-., x = a sen i ro 12, sus tItulas actuales o dot " ' n e relacionan'· .
1
.
.
1
que a con ll1UaClO s
,
.'
iI
. )
,
.
cu.mento que acredite haber o p~Comandante don Carlos Fernán-.j-- b (:os O ~Ol'. medlO de las funs~ldo. antes del 31 de agosto pro- dez de Córdoba Lamo d,e Espinosa,
c~ones t1'lgonometncas. - Regla de xImo, en horas de nueve a trece. a Jefe de Antiaeronáutica de la
calculo
Madrid, ,19 de julio de 1940.
tercera Región Aérea, sin perjuíVIGON
cio
d·e su actual destino.
T.tiánguIos re«Jtilí.neos
Capitán don Alfred'O Gutiérrez
Fórmulas que ligan sus elementos
'Ascensos
López, del 24 Grupo del 23 R·egipor intel'U1.edio de las funciones tri~
I
miento, al 21 Regimiento (FJ ..
gonométricas.
ORDEN de 20 de julio de 1940 por
Capitán don Ramón Lizana CorRe.s?lución de los t1'iángl1los rectán-/ la que se promueve al empleo de sini, de la Dirección General de
gulos.-Triángulos -rectángulos. - FórBrigadas de{ Arma de Aviación. Antiaeronáutica de este Ministe~
mulas que ligan sus lUdos y ángulos
a los que figuran 'en la relación i rio. a Jefe de Antiaeronáutica de
por medio de las. funciones trigonoR j' 1
métricas. :..- Fórmulas de Molweide.~
(me empiéza 'por clan
a ae la Zona Aérea del Atlántico (V.).
Fónnu1las qll€ relacionan est<;>s elemc·nCastro Al'évalo y termina por . Madrid, 20 de julio de 1940.
tos con los elementos secundarios'; al..:
don Jesús Reta-na Martin.
vrGON
turas medianas. bisectrices, perímetro,
Como :ampllución a la Orden de
radio de los CÍrculos inscritos y cirR.ectificaciones
cunscritos.-Fórmula del área.-Res0~ 10cte julio actual mOLETIN OFIlución de los triángulos rectángulos. CIAL 1961. son promovidos al em~: ORDEN de 22 de julio, de 1940 por
eRSOS gen€l'ales.-Resolución· en caso~ pleo de Brigadas del Arma de 1 la que se amplía la de 17 de ju~
en que· se. conocen elementos sec1Jn- Aviación, los Sargentos don Runia (B. Q. mímero 173) relativa
darios o cOlnbinacioneselementos prinfael
Castro
Aréva10, don Antonio
al
destino del soldado DominaD
cipales.-Area.-Triáng-úlos isósceles;Caballero
Buiz3..
don
Miguel
~rLameiro
Rodríguez, en el seniiResolución de los triángulos rectilíte:g~
l?ominguez,.
aon
FranCISCO
do
de
que
dicho destino surtirá
neos oblicuángulos,-Tl"iángulos rectiefectos administrativos a partir
líneos oblicuángll'los.-Resolución de los E.lr1Z Saenz de TeJad~ y don Frande 1.0 de mavo último.
triángulos en general en los casos si- CISCO Bravo HeredIa, quedando
.
guientes (obtención de las fórmulas): rectificado el orden de colocación
Primer caso, dados los tres lados.-Se- como figura a continuación:
Queda ampliada la Orden de fegundo caso, dados sus lados Y el án- . D. Ra,fael Castro Arévalo.cha 17 de junio 'próximo pasado,
gulo compr€ll.1dido. ......: Resolución de
D. Antonio Caballero Buiza.
publicada en el B. O. núm. 173.
triá¡ngulos en genera1 en los casos siD. Manuel Rincón López.
relativa al destino del Soldado de
~uient€s (obten'oión de las fórmulas).
D. Gabriel Company Lasarte.
Aviación Domingo Lameiro RoTercer caso, dados los lados Y: el ánD.
Juan
Aguirre
Laredó.
driguez,
a las Tropas de la' Casa
gulo opuesto a uno de elIos.-Cuarto
D. Francisco Cabello Terrón.
Militar 'de S.E.· el Generalisimo
0050. dados un lado y los dO~k ángUlos
D. MÚiuej· Ortega Dominguez.
y Jete '. del Es.tado, en el sentido
adyacentes.-Quinto C&W. dados un lado y dos állgulos, Ullo adyacente y .el.
D. Gregario Verdú Verdú.
,de. que .dleho destino su.rtira. efee-
Tablas de l.o&,aritmos
= -
?
.+