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EJERCICIOS RESUELTOS
VARIABLES ALEATORIAS
Ejemplo 1:
Sea X una variable aleatoria que representa el número de partes por estar mal
estacionado que sacan en una hora en días laborales en Talca. La distribución de
probabilidades de X es:
x
Probabilidad
a.
1
2
3
4
0,10 0,20 0,30
5
Complete la tabla, suponga que P(X=1)=P(X=5).
Respuesta:
P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0,6, por lo tanto:
0,40
P (X = 1) = P (X = 5) =
= 0,20
2
La distribución de probabilidades queda:
X
Probabilidad
1
0,20
2
0,10
3
0,20
4
0,30
5
0,20
La suma de las probabilidades es uno.
b.
¿Cuál es el número esperado de partes por estar mal estacionado en Talca?
Respuesta:
El número esperado de partes es:
E(X ) = 1 ∗ 0,2 + 2 ∗ 0,1 + 3 ∗ 0,2 + 4 ∗ 0,3 + 5 ∗ 0,2 = 3,2
Por lo tanto, el número esperado es de 3,2 partes.
c.
¿Cuál es la desviación estándar de X?
Respuesta:
Primero calculamos la varianza de X:
Var ( X ) = 12 ∗ 0,2 + 22 ∗ 0,1 + 32 ∗ 0,2 + 42 ∗ 0,3 + 52 ∗ 0,2 − (3,2)2
Var( X ) = 0,2 + 0,4 + 1,8 + 4,8 + 5,0 − 10,24
Var( X ) = 1,96 σ = 1,96 = 1,4
Por lo tanto la desviación estándar es: 1,4 partes.
d.
¿Cuál es la probabilidad de que en un día de la semana cualquiera se saquen
menos de 3 partes?
Respuesta:
La probabilidad de que en un día de la semana cualquiera saquen menos de 3
partes es:
P(X<3) = P(X=1)+P(X=2) = 0,2+0,1 = 0,3.
Ejemplo 2:
Los estudiantes de Psicología en general manifiestan que tienen mayor dificultad en los
cursos que involucren cálculos matemáticos. Experiencias anteriores han consistido en
exponer 5 palabras y 5 números ante los estudiantes durante 10 segundos al
comienzo de la clase y luego preguntar por ellos al final de la clase, obteniéndose las
siguientes distribuciones de probabilidades:
Cantidad de palabras que recuerdan
0
1
2
3
4
5
P(X=x)
0,05 0,15 0,20 0,25 0,30 0,05
0
1
2
3
4
5
Cantidad de números que recuerdan
P(Y=y)
0,10 0,30 0,20 0,20 0,10 0,10
a.
¿Qué es más probable que recuerden al menos 3 palabras o al menos 3
números? Justifique.
Respuesta:
La probabilidad que recuerden al menos 3 palabras es:
P(X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0,25 + 0,30 + 0,05 = 0,60
La probabilidad que recuerden al menos 3 números es:
P(Y ≥ 3) = P(Y = 3) + P(Y = 4) + P(Y = 5) = 0,20 + 0,10 + 0,10 = 0,40
Por lo tanto es más probable que recuerden al menos 3 palabras.
b.
En término medio (valor esperado), ¿Qué cantidad de palabras y qué cantidad
de números recuerdan los estudiantes?
Respuesta:
El promedio o valor esperado de palabras es:
µx = 0 (0,05) + 1 (0,15) + 2 (0,20) + 3 (0,25) + 4 (0,30) + 5 (0,05)
µx = 0 + 0,15 + 0,40 + 0,75 + 1,20 + 0,25
µx = 2,75 palabras
El promedio o valor esperado de números es:
µy = 0 (0,10) + 1 (0,30) + 2 (0,20) + 3 (0,20) + 4 (0,10) + 5 (0,10)
µy = 0 + 0,30 + 0,40 + 0,60 + 0,40 + 0,50
µy = 2,20 números
Los estudiantes recuerdan en promedio 2,75 palabras y 2,20 números.
c.
Si se sabe que recuerdan por lo menos 2 números, ¿Cuál es la probabilidad de
que recuerden 3 o 4 números?
Respuesta:
Es la probabilidad condicional de recordar 3 o 4 números dado que recuerdan 2
o 3 o 4 o 5:
P[ X = 3 o X = 4 / X = 2 o X = 3 o X = 4 o X = 5 ] =
P [( X = 3 o X = 4 ) ∩ ( X = 2 o X = 3 o X = 4 o X = 5 ) ]
=
=
P[ X = 2 o X = 3 o X = 4 o X = 5 ]
=
P[ X = 3 o X = 4 ]
=
P [ X = 2 o X = 3 o X = 4 o X = 5]
=
0,20 + 0,10
0,30
=
= 0,50
0,20 + 0,20 + 0,10 + 0,10
0,60
Ejemplo 3:
Suponga que los puntajes en la PSU de matemáticas se distribuyen en forma normal
con media 505 y desviación estándar 107. Si 10 mil alumnos rinden la PSU y para
postular a la Universidad se exige un mínimo necesario de 400 puntos:
a.
¿Cuántos alumnos podrán postular a la Universidad?
Respuesta:
X: puntaje en la PSU de matemáticas. X ~ N(µ = 505, σ = 107)
400 − 505
P(X > 400) = P(Z >
) = P(Z > −0,98) = P(Z < 0,98) = 0,8365
107
Luego: 0,8365 × 10.000 = 8.365 alumnos podrán postular a la Universidad
b.
Si a los alumnos que obtengan puntajes superiores al percentil 90 se les ofrece
una beca, ¿Qué puntaje será el mínimo para acceder a la beca?
Respuesta:
En la tabla Normal 0,9 corresponde a Z=1,28 (es el valor más cercano)
x − 505
Por lo tanto el puntaje mínimo será 1,28 =
= 1,28 × 107 + 505 = 641,96
107
Por lo tanto para recibir la beca los alumnos tendrán que sacarse por lo menos
642 puntos en la PSU de matemáticas.