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Física 2º Bachillerato
Tema II. INTERACCIÓN GRAVITATORIA
1.- CONCEPCIONES DEL UNIVERSO
1.1 Modelo geocéntrico del universo:
Aristóteles (384-322 a.C.), Platón, Hiparco y Ptolomeo formularon modelos geocéntricos del
universo.
Consideraban la Tierra como centro del universo.
Ptolomeo (s.II d.C.) consideraba la Tierra como centro del Sistema Solar, para explicar el
movimiento de los planetas propuso una combinación compleja de movimientos circulares y
uniformes.
1.2. Modelo heliocéntrico del universo:
Aristarco de Samos (300 a.C.) fue el primero que propuso el modelo heliocéntrico,
consideraba el Sol como centro del universo, de esta manera parte de las dificultades que
existían para explicar el movimiento de los planetas desaparecían. Su teoría no prevaleció
debido al mayor peso intelectual de Platón y Aristóteles. El modelo geocéntrico prevaleció
hasta el s.XVI.
Nicolás Copérnico (1473-1543) impulsó la teoría heliocéntrica, y demostró que el
movimiento aparente del Sol, las estrellas y los planetas se podía explicar admitiendo que la
Tierra tiene tres movimientos circulares, el de rotación alrededor de su eje, el de traslación
anual alrededor del Sol y un movimiento cónico debido a la inclinación de su eje.
Tycho Brahe (1546-1601) realizó medidas muy precisas sobre las posiciones de los planetas.
Johannes Kepler (1571-1630) basándose en los datos de Tycho Brahe enunció tres leyes que
resumen la regularidad del movimiento de los planetas.
2.- VECTORES: PRODUCTO VECTORIAL
2.1 Expresión de un vector en función de sus componentes:




v  vx i  v y j  vz k

es equivalente a v  (v x , v y , v z )

2.2 Módulo de un vector: | v | v x2  v y2  v z2
2.3 Vector unitario:


v
uv  
|v |
2.4 Vector determinado por dos puntos
A(x0 , y0 , z0) y B(x1 , y1 , z1)

AB = B – A = (x1 , y1 , z1) - (x0 , y0 , z0)
2.5 Producto escalar (es un escalar):

  
 
a  b | a |  | b |  cos  o bien a  b  a x  bx  a y  b y  a z  bz
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2.6 Producto vectorial (es un vector):

  
Módulo | a  b || a |  | b! sen (si dos vectores son paralelos su producto vectorial es cero).
 
Dirección: Perpendicular al plano que contiene a los vectores a y b .
Sentido: Determinado por la regla de la mano derecha o del tornillo.
Si los vectores están expresados en sus componentes cartesianas, el producto vectorial es:

i
 
j k
 
a  b  ax a y az
bx b y bz
3.- DINÁMICA DE ROTACIÓN: FUERZAS CENTRALES Y CONSERVACIÓN DEL
MOMENTO ANGULAR.
2.1 Momento de una fuerza:
  
M  rF

( r es el vector de posición del punto de aplicación de la fuerza respecto al centro de giro)
  
2.2 Momento angular: L  r  p


en donde p  m  v (cantidad de movimiento)

( r es el vector de posición de la partícula respecto al centro de giro)


dL  
 r F  M
dt
2.4 Fuerzas centrales. Conservación del momento angular:


2.3 Relación entre L y M :
Las fuerzas centrales son las que están dirigidas siempre hacia un mismo punto con
independencia de la posición del cuerpo sobre el que actúan.
Conservación del momento angular:
El momento angular se conserva (permanece constante) en los siguientes casos:
1. El momento angular de una partícula sometida a una fuerza central permanece constante.


  

dL  
 r  F  M si la fuerza es central r es paralelo a F y r  F  0
dt


dL
 0 luego L = constante.
dt


2. Si no actúan fuerzas exteriores sobre la partícula M  0  L  cte.
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4.- LEYES DE KEPLER
Órbitas planas. Primera ley de Kepler:
Las órbitas de los planetas son planas y elípticas, y el Sol ocupa uno de sus focos. (El
perihelio es el punto de la órbita más cercano al Sol y afelio es el más alejado).
Justificación: Como los planetas se mueven bajo la acción de una fuerza central, su
momento angular permanece constante y la trayectoria del planeta y el centro de fuerzas

están contenidas en un plano perpendicular a la dirección de L .
Ley de las áreas. Segunda ley de Kepler
El radio vector, que une al planeta con el Sol, barre áreas iguales en tiempos iguales,
es decir, la velocidad aerolar se mantiene constante.
 
1   ds 1 | r  dr | 1  

 | r v |
Justificación: dS  | r  dr | ;
2
dt 2  dt
2

   


  |L|
dS 1 | L |
dS
Como L  r  p  r  mv  | r  v |


como L  cte 
 cte
m
dt 2 m
dt
® Ejercicio 1 Un planeta gira alrededor del Sol con una trayectoria elíptica. Razona en qué
punto de dicha trayectoria la velocidad del planeta es máxima. (Junio 2010)
(B) Ejercicio 2 La Tierra en su órbita elíptica alrededor del Sol presenta dos puntos, el afelio y
el perihelio, en los que su velocidad es perpendicular a su vector de posición respecto del Sol. Si
en el afelio la velocidad de la Tierra es 30 km/ s y la distancia entre los centros de la Tierra y el
Sol es 152x10 6 km, calcular la velocidad de la Tierra en el perihelio sabiendo que en este punto
la distancia entre los centros de la Tierra y del Sol es 147x10 6 km . (Junio-1997) S:31,02 km/s
Ley de los periodos. Tercera ley de Kepler
Los cuadrados de los períodos de cada planeta son proporcionales a los cubos de los
semiejes mayores o radios medios de sus órbitas respectivas.(T 2= k r3)
T12 T22
 3
r13
r2
Esta ley fue deducida a partir de los datos que Tycho Brahe obtuvo acerca de los
planetas, mediante sus detalladas observaciones.
® Ejercicio 3 La distancia entre el Sol y Mercurio es de 57,9x10 6 km y entre el Sol y la Tierra
es de 149,6x10 6 km. Suponiendo que las órbitas de ambos planetas son circulares, calcular su
velocidad de rotación alrededor del Sol. (Junio-1998) S: 169858 km/h
(B) Ejercicio 4 Si la Luna siguiera una órbita circular en torno a la Tierra, pero con un radio
igual a la cuarta parte de su valor actual, ¿cuál sería su período de revolución?. Dato: Tomar el
período actual igual a 28 días. (Junio-2001) S: 3,5 días
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® Ejercicio 5: Sabiendo que el radio orbital de la Luna es de 3,8 · 10 8 m y que tiene un
periodo de 27 días, se quiere calcular:
a) El radio de la órbita de un satélite de comunicaciones que da una vuelta a la Tierra cada
24 horas. b) La velocidad de dicho satélite. (Junio 2007) S: a) 4,22x107m b) 3068,8 m/s
5.- LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
En 1687 Issac Newton propuso una descripción relativamente sencilla del Universo en la
que el movimiento de los cuerpos se explicaba por la existencia de una sola fuerza de tipo
central que decrece con el cuadrado de la distancia. Newton dedujo esta ley partiendo de las
leyes de Kepler.
La ley de Newton de la gravitación Universal dice: “En el Universo, dos masas
cualesquiera se atraen con una fuerza que es directamente proporcional a su producto e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros”.
La formulación matemática de esta ley es la siguiente:
F  G
m1  m2
r2
La constante de proporcionalidad G, que Newton incluyó en la expresión, recibe el
nombre de constante de gravitación universal y su valor es : G = 6,67·10-11 N·m2/kg2
® Ejercicio 6 Calcula la fuerza de atracción entre dos esferas de plomo de 1 m de radio
cada una situadas en contacto. La densidad del plomo es 11,4 g /cm3. S: 0,038N
(B) Ejercicio 7 Se afirma que la Tierra atrae a todos los cuerpos. Según esto, una piedra
lanzada horizontalmente desde cierta altura sobre el suelo es atraída por la Tierra, como
también lo es la Luna. La piedra cae al suelo, ¿por qué la Luna no se cae?
(B) Ejercicio 8 Enunciar las leyes de Kepler. Demostrar la tercera de ellas, para el caso de
órbitas circulares, a partir de las leyes de la mecánica newtoniana. (Septiembre-2001)
(B) Ejercicio 9 Para los planetas del sistema solar, según la tercera ley de Kepler, la
relación R3/T2 es constante y vale 3,351018 m3/s2, siendo R el radio de sus órbitas y T el
período de rotación. Suponiendo que las órbitas son circulares, calcular la masa del Sol.
Dato: G = 6,67x10-11 S.I. (Junio 2000) S: 1,98x1030 kg
® Ejercicio 10 Si la distancia entre la Tierra y la Luna es D=3,8x 10 5 km, se pide calcular el
tiempo que tarda la Luna en dar una vuelta completa a la Tierra.
Datos: G=6,67x10 -11 S.I.; MTierra = 5,98x10 24 kg (Septiembre-1998) S: 2,33x106 s
® Ejercicio11
El satélite Europa tiene un período de rotación alrededor de Júpiter de 85
horas y su órbita, prácticamente circular, tiene un radio de 6,67x105 km. Calcular la masa de
Júpiter. Dato: G = 6,67x10-11 S.I. (Septiembre-2001) S: 1,876x1027 kg
® Ejercicio12 Suponiendo que el planeta Neptuno describe una órbita circular alrededor del
Sol y que tarda 165 años terrestres en recorrerla. Calcula el radio de dicha órbita.
Datos: G=6,67x10 -11 N m 2kg -2 ; MSol = 1,99x10 30 kg (Junio 2011) S: 4,49x1012 m
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5.1Expresión vectorial de la L.G.U.
Consideremos dos masas puntuales m1 y m2, y que la primera está en el origen de
cierto sistema de referencia.

ur

r

F
m2
m1
La fuerza que el cuerpo m1 ejerce sobre el m2 estará aplicada sobre el centro de gravedad del
cuerpo m2 y dirigida hacia el cuerpo de masa m1. La posición del cuerpo m2 respecto al m1
viene dada por el vector r, como el sentido de la fuerza es contrario al del vector unitario ur,
la ley de gravitación universal se expresará vectorialmente de la forma:

m m 
F   G  1 2 2  ur
r
(B) Ejercicio 13
Dos masas, de 5 y 10 kg, respectivamente están situadas en los puntos
(0,3) y (4,0) m. Calcula el vector fuerza que actúa sobre la masa de 10kg debido a la acción
gravitatoria de la otra masa. S: (-1,07x10-10, 8,01x10-11) N
(B) Ejercicio 14 Una masa m1 de 1 kg se encuentra en el punto O (0,0) y otra masa m2 de 2
kg se encuentra en el punto B (2,0). Si colocamos en el punto C(2,1) una tercera masa
m =3kg, ¿qué fuerza sufre debido a la acción simultánea de las otras dos?
S: (-3,56x10-11, -4,19x10-10) N
6.- CAMPO GRAVITATORIO
Newton no encontró ninguna explicación a las fuerzas gravitatorias que, como sabes
son fuerzas a distancia. A lo largo del siglo XIX, para intentar explicar las características de
las fuerzas magnéticas y las fuerzas entre cargas, Faraday, Thomson y Maxwell, entre otros,
crearon el concepto de campo de fuerzas.
Decimos que en una región del espacio existe un campo de fuerzas cuando en cada
punto del espacio está definida una fuerza.
El campo gravitatorio terrestre es un campo de fuerzas, porque si colocamos un cuerpo
en cualquier punto del espacio que rodea la Tierra, actúa sobre él una fuerza. El campo
eléctrico es también un campo de fuerzas.
La existencia de un campo de fuerzas se explica admitiendo que el espacio se ha
perturbado de alguna manera adquiriendo propiedades que antes no tenía.
Un masa M crea a su alrededor una perturbación denominada campo gravitatorio. Se
dice que existe un campo gravitatorio en un punto cuando sobre una masa cualquiera situada
en dicho punto se manifiesta una fuerza gravitatoria.
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El campo gravitatorio es un campo radial o central porque la fuerza está dirigida en la
dirección del radio vector que une los centros de las masas.
M
2.1.-Intensidad de campo gravitatorio en un punto (g) : es la fuerza gravitatoria que actúa
sobre la unidad de masa situada en ese punto.

 F
M 
g   G  2  u r
m
r
El campo gravitatorio se representa gráficamente por las líneas de campo (líneas de fuerza),
que son líneas tangentes en cada punto al vector intensidad de campo.
Propiedades de las líneas de campo:
1. Su sentido es el del vector intensidad de campo. En el campo gravitatorio entran en la
masa que produce el campo.
2. Pueden ser cerradas(campo magnético) o abiertas (campos gravitatorio y eléctrico).
3. Las líneas de campo no se pueden cortar porque en cada punto el campo sólo puede
tener una dirección.
4. En los puntos o zonas donde las líneas están más juntas o tienden a converger, el
campo es más intenso, siendo menos intenso en aquellas zonas donde las líneas están
más espaciadas.
5. Si el campo es uniforme las líneas de campo son rectas paralelas.
6. Parten de manantiales o fuentes y llegan o convergen en sumideros.
(B) Ejercicio 15
Dibuja las líneas de campo del campo gravitatorio producido por dos
masas puntuales iguales separadas una cierta distancia. ¿Existe algún punto en el que la
intensidad del campo gravitatorio sea nula? En caso afirmativo indica qué punto.
2.2.-Principio de superposición (o principio de independencia de fuerzas): “Cuando un
cuerpo se ve sometido simultáneamente la acción de varias fuerzas, el efecto resultante es
igual a la suma de los efectos que experimentaría si cada una de ellas actuara
consecutivamente y por separado”.
Como consecuencia “cuando sobre una masa actúan simultáneamente los campos
gravitatorios creados por varias masas puntuales, el campo gravitatorio resultante es la
suma vectorial de los campos creados por cada una de ellas”.
n


g   gi
i 1
Es decir la interacción de dos masas no se ve influida por la presencia de otras
masas.
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(B) Ejercicio 16 Una partícula de masa 3M se coloca en el origen de un cierto sistema de
coordenadas, mientras que otra de masa M se coloca sobre el eje OX a una distancia de 1 m
respecto del origen. Calcula las coordenadas del punto donde el campo gravitatorio es
nulo.(Junio 2003) S: (0.634 , 0 )
(B) Ejercicio 17 Un objeto de masa m1 se encuentra situado en el origen de coordenadas,
mientras que un segundo objeto de masa m2 se encuentra en un punto de coordenadas (8,0) m
Considerando únicamente la interacción gravitatoria y suponiendo que son masas puntuales,
calcula:
a) La relación entre las masas m1 /m2 si el campo gravitatorio en el punto (2,0) m es nulo.
b) El módulo, dirección y sentido del momento angular de la masa m2 con respecto al origen de
coordenadas si m2 = 200 kg y su velocidad es de (0,100) m/s.


S: a) m1/m2 = 1/9 b) L  1,6  10 5 k kgm2s-1
® Ejercicio 18
Determinar el campo gravitatorio (módulo, dirección y sentido) resultante de los campos
gravitatorios individuales de la Tierra y del Sol, en un punto situado en la recta que une la
Tierra y el Sol, y a una distancia de 4x10 5 km del centro de la Tierra.
G =6,67x10-11 Nm2 kg -2; MTierra=5,98x10 24 kg; MSol=1,99x10 30 kg; DTierra-Sol=15x10 7 km

S: 3,44  10 3 i N/kg
(B) Ejercicio 19 Existe un punto sobre la línea que une el centro de la Tierra con el centro de la
Luna en el que se cancelan las dos fuerzas gravitacionales. Calcular la distancia de este punto
al centro de la Tierra, sabiendo que la distancia entre los centros de la Tierra y la Luna es
D = 3,8x10 5 km y que MTierra = 81 MLuna. (Septiembre-1997) S: (3.42x108 , 0 ) m
2.3.- Campo gravitatorio en la superficie de la Tierra
La “esfera” terrestre, como ya demostró Newton, se comporta desde el punto de vista
gravitatorio como si toda su masa estuviese concentrada en su centro, y las distancias se
miden ahora desde el centro de masas de la esfera que coincide con su centro geométrico; por
eso podemos hallar fácilmente el valor de la intensidad del campo en la superficie terrestre.
Tomando RT = 6370 km y MT = 5,98·1024 kg
La fuerza con la que la Tierra atrae a un cuerpo de masa “m” situado en su superficie,
que sería el peso del cuerpo, es:
F
G  MT  m
RT
2
g0 
; la intensidad de campo gravitatorio es: g 0 
F
m
G  MT
al sustituir los valores de RT y MT queda g0 = 9,83 N/ kg.
2
RT
En ocasiones podemos prescindir de los valores de G y MT teniendo en cuenta que
G · MT = g0 · RT 2
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® Ejercicio 20
La masa del planeta Júpiter es, aproximadamente 318 veces la de la Tierra, y su
diámetro es 11 veces mayor. Calcula el peso en ese planeta de un astronauta cuyo peso en la
Tierra es de 750N. S: 1971 N
® Ejercicio 21 Si un cuerpo tiene un peso de 100 N sobre la superficie terrestre, calcular su
peso en la superficie de otro planeta cuya masa sea el doble que la de la Tierra y su radio sea
el triple que el de la Tierra. (Junio-1999) S: 22,2N
(B) Ejercicio 22 Determina la aceleración de la gravedad en la superficie de Marte sabiendo
que su densidad media es 0,72 veces la densidad media de la Tierra y que el radio de dicho
planeta es 0,53 veces el radio terrestre. Dato g0 = 9,8 m/s 2 S: 3,74 N/kg
(B) Ejercicio 23 Hay tres medidas que se pueden realizar con relativa facilidad en la superficie
de la Tierra: La aceleración de la gravedad en dicha superficie (9,8 m/s 2), el radio terrestre
(6,37x10 6 m) y el periodo de la órbita lunar (27 dias, 7 h, 44 s).
a) Utilizando exclusivamente estos valores y suponiendo que se desconoce la masa de la Tierra,
calcula la distancia entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna.
b) Calcula la densidad de la Tierra sabiendo que G = 6,67x10 –11 Nm 2 kg –2 (Junio 2009)
S: a) 3,828x108 m b) 5,51x103 kg/m3
2.4.- Factores que modifican el valor de la intensidad del campo gravitatorio terrestre
a) Variación de g con la altura
Al alejarnos del centro de la Tierra, el valor de “g” disminuye. Si subimos hasta una
altura “h”, la distancia “r” hasta el centro de la Tierra vendrá dada por r = RT + h:
g R
G  MT
 0 T 2
2
r
( RT  h)
2
g
(B) Ejercicio 24 Calcula como varía la intensidad del campo gravitatorio (g ) al elevarnos
500m sobre la superficie terrestre . ¿Hasta qué altura deberíamos ascender para que g se
reduzca en un 20%? S: g = -1,6x10-3 N/kg ; 752m
® Ejercicio 25 A qué altitud sobre la superficie terrestre la intensidad del campo
gravitatorio es el 20% de su valor sobre la superficie de la Tierra? Dato: RT = 6370 km
(Septiembre 2008) S: 7,87x106 m
® Ejercicio 26 ¿A qué distancia de la superficie terrestre un objeto, de 2kg de masa, tendrá un
peso de 10 N? Datos: G= 6,67x10-11 Nm2 kg -2; MTierra= 5,98x10 24 kg; RTierra=6370 km
(Septiembre-1999) S: 2,56x106 m
® Ejercicio 27 Calcular a qué altura sobre la superficie terrestre la intensidad del campo
gravitatorio se reduce a la cuarta parte de su valor sobre dicha superficie.
Dato: RTierra = 6370 km (Septiembre-1998) S: 6,37x106 m
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(B) Ejercicio 28
Un astronauta que se encuentra en un satélite en órbita alrededor de la Tierra a 250 km,
observa que no pesa. ¿Cuál es la razón de ese fenómeno? Calcula la intensidad del campo
gravitatorio a esa altura. Comenta el resultado.
Datos: G = 6,67x10 –11 S.I.; MTierra = 5,98x10 24 kg; RTierra = 6370 km. (Septiembre 2002)
S: 9,1 N/kg
b) Variación de g con la profundidad
Para los puntos situados por debajo de la superficie terrestre a una distancia r del centro
de la Tierra, hay que tener en cuenta que sólo la masa interior a una superficie esférica
de centro en la Tierra y radio r participa globalmente de la atracción.
El campo gravitatorio creado por una esfera hueca de masa M en su interior es nulo.
g
G  M int
r
r
R
La masa de la Tierra es MT = d · V
r3  MT
4
4
M T  d   R 3 y M int  d    r 3 de donde M int 
3
3
R3
g
de donde
GM T r
r
 ; g  g0 
2
R
R
R
® Ejercicio 29 Calcula la intensidad del campo gravitatorio terrestre a 1000 km de
profundidad. Considera RT = 6370 km S: 8,27 N/kg
c) Variación de g con la latitud
Si la Tierra fuese una esfera perfecta la intensidad del campo gravitatorio terrestre sería
constante e igual a: g0 = G·MT /RT 2
Como la Tierra se parece a una esfera que está achatada por los polos el radio terrestre
es menor en los polos que el ecuador, y la intensidad del campo gravitatorio terrestre
disminuirá a medida que nos desplacemos desde los polos hacia el ecuador ya que su
intensidad es inversamente proporcional al cuadrado del radio. Por tanto, al aumentar la
latitud el valor de g aumenta. Esta cuestión se complica más si tenemos en cuenta que
debido al giro de la Tierra alrededor de sí misma se produce una aceleración normal o
centrípeta dirigida hacia el eje de giro an =  2 · R . Si el cuerpo se encuentra en los polos
esta aceleración es nula por ser nulo el radio de giro, y no influirá en el valor de la intensidad
del campo gravitatorio. Por otra parte, si el cuerpo se encuentra en el ecuador, tendremos
que restar del valor de g0 el de an para obtener la intensidad de campo efectiva g.
g = g0 - an = G·MT /R 2 -  2 · R
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2.5.- Medida de la aceleración de la gravedad
Un método sencillo para medir la aceleración de la gravedad es determinando el
período de oscilación de un péndulo simple de longitud L. El período es el tiempo empleado
en dar una oscilación completa y viene dado por la expresión:
T  2 
L
g
® Ejercicio30 La masa de la Luna es 7,35·10 22 kg y su radio 1,74 ·106 m. ¿Cuál será en la
superficie lunar el período de oscilación de un péndulo cuyo período en la Tierra es de un
segundo? G=6,67·10-11 N·m2/kg2 S: 2,46s
3.- ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
Cuando una partícula material se encuentra en una posición determinada de un campo
de fuerzas, la fuerza ejercida por el campo realiza un trabajo si la partícula se mueve y además
si ese desplazamiento es en una dirección que no sea perpendicular a dicha fuerza.
Un campo de fuerzas se llama conservativo cuando el trabajo realizado por las
fuerzas del campo es independiente del camino elegido para ir de un punto a otro.
Como posteriormente veremos, el campo gravitatorio es un campo conservativo.
Características de los campos conservativos:
Hay tres formas diferentes de definir un campo de fuerzas conservativo:
1.- Cuando el trabajo realiza do por las fuerzas del campo no depende de la
trayectoria.
2.- Cuando el trabajo de las fuerzas del campo a lo largo de una trayectoria cerrada
vale cero.
3.- Cuando existe una función energía potencial Ep (r) tal que el trabajo realizado por
las fuerzas del campo para trasladar una partícula desde el punto A hasta el punto B, es igual
a la disminución de la energía potencial:
WAB = -Ep = - (EpB - EpA) = EpA - EPB
Una partícula, de masa m, situada en un campo gravitatorio, está sometida a la acción
de fuerzas gravitatorias y, debido a ello, posee una energía potencial gravitatoria.
(La partícula sometida a la acción de estas fuerzas puede producir transformaciones, trabajo).
Vamos a deducir ahora la expresión que permite calcular la energía potencial
gravitatoria que posee un cuerpo de masa m cuando lo situamos a una distancia r de otra
masa M que crea un campo gravitatorio.
Consideraremos la energía potencial nula cuando la separación entre las partículas es
infinita, ya que en este caso podemos suponer que no interaccionan.
El trabajo que realizan las fuerzas del campo al trasladar el cuerpo m desde el infinito
hasta r, es:
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Wr 

r

Wr  G  M  m 
Wr 
r

 
Fdr
r
dr
 1
 G  M  m    
2
r
 r
GM m GM m GM m


r

r
El trabajo que realizan las fuerzas gravitatorias depende sólo de la posición inicial y
final y no del camino seguido. Las fuerzas gravitatorias son fuerzas conservativas.
El trabajo que hacen las fuerzas conservativas se emplea en disminuir la energía
potencial:
Wcon = - Ep
Teniendo en cuenta lo anterior obtenemos para la energía potencial la siguiente
expresión:
Wr 


GM m
 E p   E p (r )  E p ()   E p (r )
r
E p (r )  
GM m
r
Vemos que la energía potencial gravitatoria existente entre dos masas es siempre
negativa. Cuanto mayor sea la distancia entre las masas mayor será su energía potencial.
Se define la energía potencial de una masa “m” en un punto como el trabajo que
tienen que realizar las fuerzas del campo para llevar la masa “m” desde ese punto al
infinito.
Todo cuerpo libre se desplaza en un campo gravitatorio hacia energías potenciales
decrecientes.
El trabajo realizado por las fuerzas del campo para trasladar una partícula de masa “m”
por cualquier trayectoria desde una posición inicial A a una distancia rA del centro del campo
originado por un cuerpo de masa M, hasta una posición final B a una distancia rB vendrá
dado por:
WAB = -Ep = - (EpB - EpA) = EpA - EPB
 GMm   GMm 
  

WAB   
rA  
rB 

Si el trabajo es positivo, Wcampo  0 lo realizan espontáneamente las fuerzas del campo
Interacción gravitatoria / 11
Física 2º Bachillerato
Si el trabajo es negativo, Wcampo  0 el proceso es forzado y para desplazar la masa “m” se
necesita un agente externo. El trabajo realizado por las fuerzas externas al campo es igual y
de signo contrario al realizado por el campo.
Wext = - Wcampo
Conservación de la energía mecánica:
Como hemos visto, el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria es igual a la
disminución de la energía potencial. Si esta fuerza es la única que actúa o si es la única que
realiza trabajo sobre la partícula, el trabajo realiza es por la fuerza es también igual al
incremento de la energía cinética.
- Ep = + Ec 
Ep + Ec =0 ; Epf - Ep0 + Ecf – Ec0 =0
Ec0 + Ep0 = Ecf + Epf ; EM0 = EMF
Principio de conservación de la energía mecánica: Cuando sobre un sistema sólo
actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica permanece constante.
(B) Ejercicio 31Un meteorito se encuentra inicialmente en reposo a una distancia sobre la
superficie terrestre igual a seis veces el radio de la Tierra. ¿Con qué velocidad llegaría a la
superficie terrestre si prescindimos del rozamiento con la atmósfera? Datos: RT =6370 km;
g0=9,8m/s2. S: 10344,8 m/s
® Ejercicio 32 Explicar por qué para valores de h pequeños, la energía potencial se puede
calcular mediante la expresión Ep = mgh.
4.- POTENCIAL GRAVITATORIO
Se llama potencial de un campo gravitatorio en un punto a la energía potencial de la
unidad de masa situada en ese punto. Esta magnitud representa una descripción energética
del campo gravitatorio, y es una magnitud escalar.
Ep
GM
m
r
representa el potencial gravitatorio creado por una masa M en un punto situado a una
distancia r. Su unidad es el J /kg.
V

® Ejercicio 33¿Cuál es el valor del potencial gravitatorio en un punto situado en la
superficie terrestre? S: -6,24x107 J/kg
Si el campo lo crean varias masas puntuales, el potencial en un punto dado es la suma
de los potenciales creados por cada una de las masas.
V = V1 + V2 + V3 + . . . =
V
i
i
El trabajo realizado por las fuerzas del campo para trasladar una partícula de masa “m”
desde una posición inicial A hasta una posición final B vendrá dado por:
Interacción gravitatoria / 12
Física 2º Bachillerato
WAB = -Ep = - (EpB - EpA) = EpA - EPB
 GMm   GMm 
  
 
WAB   
rA  
rB 

WAB = m · ( VA - VB)
Superficies equipotenciales: Una superficie equipotencial es el conjunto de puntos del campo
que se encuentran al mismo potencial. Sus características son las siguientes:
1.- El trabajo realizado para trasladar una masa “m” entre dos puntos A y B de una
superficie equipotencial es nulo. Como VA = VB
WAB = -Ep = EpA - EPB = m ·(VA – VB) = m · 0 = 0
2.- El vector intensidad de campo es perpendicular en cada punto a la superficie
equipotencial. Sean dos puntos A y B de una superficie equipotencial:

 
B 


Como WAB =0 ;  F  dr  0 luego F es perpendicu lar a dr como F y g tienen la
A


misma dirección y dr es tangente a la superficie, g y la superficie equipotencial son
perpendiculares.
3.- Las superficies equipotenciales no se pueden cortar, ( si fuese así habría en un
mismo punto dos potenciales diferentes. Para el campo creado por una masa puntual o una
esfera, son superficies esféricas.
® Ejercicio 34 Dos masas puntuales M y m se encuentran separadas una distancia d. Indica si
el campo o el potencial gravitatorios creados por estas masas pueden ser nulos en algún punto
del segmento que las une. Justifica la respuesta. (Septiembre 2009)
(B) Ejercicio 35 Sean dos masas puntuales de 100 kg y 150 kg, situadas en los puntos A(-2,0) m
y B(3,0) m, respectivamente. Se pide calcular: 1. Campo gravitatorio en el punto C(0,4) m.
2.Trabajo necesario para desplazar una partícula de 10 kg de masa desde el punto C(0,4)m
hasta el punto 0(0,0)m. Dato: G = 6,67x10-11 S.I. (Septiembre-2000)
S: 1) (9,1x10-11 , -6,86x10-10) N/ kg 2) 3,18x10-8 J
® Ejercicio 36
Una partícula puntual de masa m1 = 10 kg está situada en el origen O de un cierto
sistema de coordenadas. Una segunda partícula puntual de masa m2 = 30 kg está situada,
sobre el eje X, en el punto A de coordenadas (6,0) m. Se pide:
1.-El módulo, la dirección y el sentido del campo gravitatorio en el punto B de coordenadas
(2,0) m.
2.- El punto sobre el eje X para el cual el campo gravitatorio es nulo.
3.- El trabajo realizado por el campo gravitatorio cuando la masa m2 se traslada desde el
punto A hasta el punto C de coordenadas (0,6)m. G =6,67x10 –11 Nm2/kg2.
S: 1) (-4,17x10-11 , 0 )N/kg 2) (2.19 , 0 ) m 3) 0J
® Ejercicio 37:
Disponemos de dos masas esféricas cuyos diámetros son 8 y 2 cm respectivamente.
Considerando únicamente la interacción gravitatoria entre estos dos cuerpos, calcula:
Interacción gravitatoria / 13
Física 2º Bachillerato
a) La relación entre sus masas m1/m2 sabiendo que si ponemos ambos cuerpos en contacto,
el campo gravitatorio en el punto donde se tocan es nulo.
b) El valor de cada masa sabiendo que el trabajo necesario para separar los cuerpos desde
la posición de contacto hasta otra donde sus centros distan 20cm es: W= 1,6 · 10 –12J.
Datos: G= 6,7 · 10 –11Nm2 /kg2 (Junio 2008) S: a) 16 b) m1 = 0,16 kg , m2 = 0,01 kg
(B) Ejercicio 38: Dos partículas puntuales con la misma masa m1 = m2 = 100 kg se
encuentran situadas en los puntos (0,0) y (2,9) m respectivamente. Se pide:
a) ¿Qué valor tiene el potencial gravitatorio en el punto (1,0) m? Tómese el origen de
potenciales en el infinito. Calcula el campo gravitatorio, módulo, dirección y sentido, que
generan esas dos masas en el punto ( 1,0) m.
b) Si la masa m2 se dejara en libertad, la fuerza gravitatoria haría que se acercara a la masa
m1. Si no actúa ninguna otra fuerza, ¿qué velocidad tendrá cuando esté a una distancia de 30
cm de m1? Datos: G= 6,7 · 10 –11Nm2 /kg2 (Septiembre 2005)
S: a) – 7,44x10-9 J/kg ; (-6,7x10-9, 8,1x10-11) ; 6,7x10-9 N/kg b) 2,1x10-4 m/s
® Ejercicio 39:
Un objeto de masa M1 = 100 kg está situado en el punto A de coordenadas (6,0) m. Un
segundo objeto de masa M2 = 300 kg está situado en el punto B de coordenadas (-6,0) m.
Calcular:
a) El punto sobre el eje OX para el cual el campo gravitatorio es nulo.
b) El trabajo realizado por el campo gravitatorio cuando la masa M1 se traslada desde el
punto A hasta el punto C de coordenadas (-6,6) m
Datos: G= 6,7 · 10 –11Nm2 /kg2 (Junio 2007) S: a) (1.61 , 0) b) 1,66x10-7 J
(B) Ejercicio 40: Un sistema estelar es una agrupación de varias estrellas que interaccionan
gravitatoriamente. En un sistema estelar binario, una de las estrellas, situada en el origen de
coordenadas, tiene masa m1 = 1x10 30 kg, y la otra tiene masa m2 = 2x10 30 kg y se encuentra
sobre el eje X en la posición (d,0), con d = 2x10 6 km. Suponiendo que dichas estrellas se
pueden considerar como masas puntuales, calcula: 1) El módulo, dirección y sentido del
campo gravitatorio en el punto intermedio entre las dos estrellas.
2) El punto sobre el eje X para el cual el potencial gravitatorio debido a la masa m1 es igual
al de la masa m2. 3) El módulo, dirección y sentido del momento angular de m2 respecto al
origen, sabiendo que su velocidad es (0,v) siendo v = 3x10 5 m/s.
Datos: G= 6,7 · 10 –11Nm2 /kg2 (Junio 2009)

S: 1) 66,7 i 2) (6,67  10 8 , 0) 3) 1,2  10 45 k kg  m 2 s 1
5.- SATÉLITES ARTIFICIALES
5.1.- Velocidad orbital
Para un satélite de masa m, situado a una distancia r del centro de la Tierra, orbitando
alrededor de ésta en una órbita circular, la velocidad con que se mueve (velocidad orbital)
viene determinada por el valor del campo gravitatorio. La fuerza que actúa sobre el satélite es
la fuerza gravitatoria y es de acuerdo con la segunda ley de Newton es igual al producto de la
masa por la aceleración (en este caso la aceleración centrípeta ac):


F  ma ;
Fgrav = m · ac
Interacción gravitatoria / 14
Física 2º Bachillerato
La velocidad orbita, el periodo y el radio de la órbita los podemos calcular;
(I )
2
m vorbital
G MT m

r
r2
 vorbital 
el período de rotación es T 
2


2
v/r
G MT
r

o bien, vorbital 
T
g 0 RT2
r
2 r
;
v orbital
2   R
4   r 2
2
sustituyendo en ( I ) queda G  M T  T 2  4   2  r 3
vorbital 
; vorb 
2
T
T
4 2  r 3
o bien
T2 
g 0 RT2
2
(B) Ejercicio 41
Un satélite de 500 kg de masa se mueve alrededor de Marte, describiendo una órbita
circular a 6x10 6 m de su superficie. Sabiendo que la aceleración de la gravedad en la superficie
de Marte es 3,7 m/s2 y que su radio es 3400 km, se pide:
1. Fuerza gravitatoria sobre el satélite. 2. Velocidad y período del satélite.
3.¿A qué altura debería encontrarse el satélite para que su período fuese el doble?(Junio 2002)
S: 1) 242N 2) 2132,9 m/s ; 27690 s 3) 1,15x107 m
5.1.2.- Energía total
La energía total de un satélite, situado en órbita a una distancia r del centro de la
Tierra, es la suma de sus energías cinética y potencial:
E
1
 GM m 1 GM GM m
mv2  

 m
2
r  2
r
r

 E
1 GM m
2 r
® Ejercicio 42
Calcula el cociente entre la energía potencial y la energía cinética de un
satélite en órbita circular. (Junio 2003) S: -2
® Ejercicio43
Una sonda espacial de masa m = 1200kg se sitúa en una órbita circular de radio r=6000km,
alrededor de un planeta. Si la energía cinética de la sonda es Ec =5,4·10 9J, calcula:
1. El período orbital de la sonda. 2. La masa del planeta.
Dato: G = 6,7 x 10 –11 Nm2/kg2 (Junio 2006) S: 1) 1,26x104 s 2) 8,1x1023 kg
(B) Ejercicio 44 Un objeto de masa m=1000 kg se acerca en dirección radial a un planeta
de radio Rp =6000km, que tiene una gravedad g=10 m/s2 en su superficie. Cuando se observa
ese objeto por primera vez se encuentra a una distancia R0 = 6 Rp del centro del planeta. Se
pide: a) ¿Qué energía potencial tiene ese objeto cuando se encuentra a la distancia R0?
b) Determina la velocidad inicial del objeto v0, o se cuando está a la distancia R0, sabiendo
que llega a la superficie del planeta con una velocidad de 12 km/s. (Septiembre 2005)
S: a) –1010J b) 6633,4 m/s
Ejercicio 44 (bis): Se sabe que la energía mecánica de la Luna en su órbita alrededor de la
Tierra aumenta con el tiempo. Escribe la expresión de la energía mecánica de la Luna en
función del radio de su órbita, y discute si se está alejando o acercando a la Tierra. Justifica
la respuesta prestando especial atención a los signos delas energías. (Junio 2012)
Interacción gravitatoria / 15
Física 2º Bachillerato
5.1.3.- Trabajo necesario para poner en órbita un satélite
Situar un satélite en órbita requiere el aporte de un trabajo exterior W. Antes de su
lanzamiento, en la superficie de la Tierra, el satélite posee una energía potencial gravitatoria
(podemos despreciar la energía cinética debido a la rotación de la Tierra). Una vez situado en
órbita a una distancia r del centro de la Tierra (para lo cual debemos realizar un trabajo W)
posee energía potencial y cinética.
Se ha de verificar que:
0
EM0 + W = EMF ; Ec0 + Ep0 + W = EcF + EpF

 1

GM m
1
1
 GM m

 W  mv 2   

  W  GMm
R
2
r 

 RT 2( RT  h) 
(B) Ejercicio 45 Un satélite artificial de 2 t de masa describe una órbita circular a 400 km de
la superficie terrestre. Se pide: 1. Velocidad orbital del satélite. 2.Si se lanza desde la
superficie terrestre, calcular la energía necesaria para situar el satélite en órbita.
Datos: G= 6,67x10 9 S.I.; MTierra = 5,98x10 24 kg; RTierra = 637O km (Junio-1997)
S: 1) 7675,7 m/s 2) 6,63x1010 J
® Ejercicio 46 Calcula el mínimo trabajo que hay que realizar para poner en una órbita
circular, un satélite artificial de 500kg desde la superficie de la Tierra hasta una altura
h = RT /5. ¿Qué suposiciones hay que hacer? S: 5,2x109 J
® Ejercicio 47 Se quiere situar un satélite en órbita circular a una distancia de 450 km desde la
superficie de la Tierra. a) Calcula la velocidad que debe tener el satélite en esa órbita.
b) Calcula la velocidad con la que debe lanzarse desde la superficie terrestre para que alcance
esa órbita con esa velocidad (supón que no actúa rozamiento alguno).
Datos: G= 6,67x10 9 S.I.; MTierra = 5,98x10 24 kg; RTierra = 637O km (Junio-2011)
S: a) 7647,5 m/s b) 8170 m/s
® Ejercicio 48
Un satélite artificial de 500 kg de masa se lanza desde la superficie terrestre hasta una
altura H de dicha superficie. En esa posición se le comunica una velocidad de 5000 m/s para
ponerlo en órbita circular alrededor de la Tierra. Se pide:
1.
Altura H a la que debe situarse el satélite, para que las órbitas sean circulares.
2.
Energía necesaria para llevarlo hasta dicha altura H.
Datos:G=6,67x10-11 SI; MTierra = 5,98X1024 kg; RTierra=6370 km (Junio-1999)
S: 1) 9,58x106 m 2) 1,88x1010
J
5.1.4.- Satélites geoestacionarios: Los satélites geoestacionarios tienen un período que
coincide con el de rotación terrestre, (dan una vuelta a la Tierra cada 24 horas). La órbita
geoestacionaria es circular y se encuentra en el plano ecuatorial, a cierta altura sobre la
superficie terrestre.
(B) Ejercicio 49
Calcula la altura, h, medida desde la superficie de la Tierra a la que habría de situar
un satélite para que fuese geoestacionario, es decir que mantuviese la misma posición
relativa respecto a la Tierra. Calcular también con qué velocidad se movería.
RT = 6,37 · 106 m ; G = 6,67·10 –11 S.I. ; MT =5,98·1024 kg S: 3,6x107 m
Interacción gravitatoria / 16
Física 2º Bachillerato
® Ejercicio 50
Calcular a que distancia sobre la superficie terrestre se debe situar un satélite artificial
para que describa órbitas circulares con un período de 24 horas.
Datos: G = 6,67x10-11 S.I.; MTierra = 5,98x10 24 kg; RTierra = 6370 km S: 3,6x107 m
(Septiembre-1997)
® Ejercicio 51
Se desea colocar en órbita un satélite de comunicaciones, de tal forma que se encuentre
siempre sobre el mismo punto de la superficie terrestre (órbita geoestacionaria). Si la masa del
satélite es de 1500 kg, se pide calcular:
1. Altura sobre la superficie terrestre a la que hay que situar el satélite
2. Energía total del satélite cuando se encuentre en órbita.
Datos: G = 6,67x10-11 S.I.; MTierra = 5,98x1024 kg; RTierra =637O km (Septiembre-2000)
S: 1) 3,6x107 m 2) –7,09x10 9 J
5.1.5.- Velocidad de escape:
Es aquella velocidad que permite a un cuerpo escapar de la atracción terrestre. Ello
requiere que la energía total sea como mínimo nula, es decir:
1 2  GM m
mv   
0v
2
R 

2G M
 v  2 g0 R
R
como vemos es independiente de la masa del cuerpo. Si se lanza el cuerpo desde la superficie
de la Tierra, la velocidad de escape resulta ser de unos 11 km /s.
Si inicialmente el cuerpo posee cierta cantidad de energía, la velocidad de escape la
podemos calcular aplicando la conservación de la energía como el trabajo que habría que
suministrar en forma de energía cinética par que la energía mecánica final del cuerpo fuese
cero:
EM0 + Wext = 0
EC 0

EP0

1 2
mvesc  0
2
1 2  GMm  1 2
mv   
  mvesc  0
2
r  2

½ m v2esc = ½ GMm/r =1/2 mv2  vesc = v
Luego para un cuerpo situado en una órbita de radio r, la velocidad de escape es igual a la
velocidad orbital.
® Ejercicio 52 Explica brevemente el significado de la velocidad de escape. ¿Qué valor
adquiere la velocidad de escape en la superficie terrestre? Calcúlala utilizando
exclusivamente los siguientes datos: RT = 6,4 x 10 6 m ; g0 = 9,8 m/s 2 S: 11173 m/s
(B) Ejercicio 53: Una sonda espacial de 200kg de masa se encuentra en órbita circular
alrededor de la Luna , a 160 km de su superficie. Calcula: a) La energía mecánica y la
velocidad orbital de la sonda. b) La velocidad de escape de la atracción lunar desde esa
posición.Datos: G= 6,7 · 10 –11Nm2 /kg2, MLuna = 7,4 ·10 22 kg , RLuna = 1740 km.
(Junio 2008) S: a) –2,6x108J ; 1615 m/s b) 1615 m/s
Interacción gravitatoria / 17
Física 2º Bachillerato
® Ejercicio 54
Febos es un satélite que gira en órbita circular de radio r = 14460 km alrededor del
planeta Marte con un período de 14 horas, 39 minutos y 25 segundos. Sabiendo que el radio
de Marte es RM = 3394 km, calcula:
1. La aceleración de la gravedad en la superficie de Marte.
2. La velocidad de escape de Marte de una nave situada en Febos. (Junio 2006)
S: 1) 3,72 m/s2 2) 1722,2 m/s
® Ejercicio 55: ¿Cuál debería ser la velocidad inicial de la Tierra para que escapase del Sol y
se dirigiera hacia el infinito?
Supóngase que la Tierra se encuentra describiendo una órbita circular alrededor del Sol.
Datos: Distancia Tierra-Sol = 1,5x1011 m; MSol = 2x1030 kg; G = 6,67x10-11 Nm2/kg2.
(Junio-2001) S: 29821,7 m/s
(B) Ejercicio 56: Un satélite artificial de 500kg de masa se mueve alrededor de un planeta
describiendo una órbita circular con un periodo de 42,47 horas y un radio de 429.000 km. Se
pide:
1.- Fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite.
2.- La energía cinética, la energía potencial y la energía total del satélite en su órbita.
3.- Si, por cualquier causa, el satélite duplica repentinamente su velocidad sin cambiar la
dirección, ¿se alejará éste indefinidamente del planeta. Razona la respuesta. (Junio 2004)
S: 1) 362,2N 2) 7,77x1010J , -1,55x1011J ; -7,77x1010J 3) EM > 0 Escapa
® Ejercicio 57: Un satélite se sitúa en una órbita circular alrededor de la Tierra. Si su
velocidad orbital es de 7,6x10 3 m/s, calcula: a) El radio de la órbita y el período orbital del
satélite. b) La velocidad de escape del satélite desde ese punto. (Septiembre 2010)
Datos: RT = 6,4 x 10 6 m ; g0 = 9,8 m/s 2 S: a) 6,95x106m ; 5746s b) 7,6x103 m/s
® Ejercicio 58 La Tierra gira alrededor del Sol realizando una órbita aproximadamente
circular. Si por cualquier causa, el Sol perdiera instantáneamente las tres cuartas partes de su
masa, ¿continuaría la Tierra en órbita alrededor de éste? Razona la respuesta. (Septiembre 2002)
S: v=1,41 vesc Escapa
OTROS EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD
® Ejercicio 59
Se determina, experimentalmente, la aceleración con la que cae un cuerpo en el campo
gravitatorio terrestre en dos laboratorios diferentes, uno situado al nivel del mar y otro situado
en un globo que se encuentra a una altura h = 19570 m sobre el nivel del mar. Los resultados
obtenidos son g = 9,81 m/s2 en el primer laboratorio y g = 9,75 m/s2 en el segundo laboratorio.
Se pide:
1.
Determinar el valor del radio terrestre. (1,2 puntos)
2.
Sabiendo que la densidad media de la tierra es dT = 5523 kg/m3, determinar el valor de
la constante de gravitación G. (0,8 puntos) (Junio-2002)
S: 1) 6,36x106m 2) 6,67x10-11 Nm2kg-2
® Ejercicio 60 Calcular el trabajo necesario para trasladar una masa de 40 Kg, desde la
superficie de la Luna hasta una altura de 25 m. Comparar el resultado obtenido con el trabajo
que habría que realizar si el proceso se llevase a cabo en la Tierra. (g=9,8 ms-2).
Datos: G=6,67x10-11 Nm2 kg -2; MLuna =7,3x10 22 kg; RLuna=174O km (Septiembre-1999)
Interacción gravitatoria / 18
Física 2º Bachillerato
RESUMEN DE FÓRMULAS CAMPO GRAVITATORIO


Conservación: | L0 || LF | mv0 r0 =mvr
   

1. Momento angular: L  r  p  r  mv
2. Tercera ley de Keppler:
T12 T22
 3
r13
r2
3. Fuerza gravitatoria:

m m 
F   G  1 2 2  ur
r

 F
M 
4. Intensidad de campo: g   G  2  u r
m
r
5. Campo gravitatorio terrestre: g 0 
G  MT
RT
2
; G · MT = g0 · RT 2 ; g 
G  MT
r
2
r = RT + h
E p (r )  
6. Energía potencial gravitatoria:
7. Potencial gravitatorio:
V
Ep
m

GM m
r
GM
; V = V1 + V2 + V3 + . . . =
r
V
i
i
8. Trabajo realizado por el campo: WAB = -Ep = - (EpB - EpA) = EpA - EPB
WAB = m · ( VA - VB) ; Wcampo  0
espontáneo; Wcampo  0 forzado; Wext = - Wcampo
9. Conservación de la energía mecánica:
Si sólo actúan las fuerzas del campo Ec0 + Ep0 = Ecf + Epf ; EM0 = EMF
10. Satélites artificiales: Fgrav = m · ac
2
m v orbital
G MT m
;

r
r2
T
2 r
v orbital
11. Energía total:
1
1 GM m
 GM m 1 GM GM m
E  mv2  

 E
 m
2
r  2
r
r
2 r

12. Energía para poner un satélite en órbita :
0
EM0 + Wext = EMF ; Ec0 + Ep0 + Wext = EcF + EpF
13. Velocidad de escape: EMF =0 ; EM0 + Wext = 0
Ec0 + Ep0 + 1/2 m v2esc = 0
Interacción gravitatoria / 19
Física 2º Bachillerato
EJERCICIOS DE REPASO
1) Una partícula de masa m1 = 2x10 15 kg está situada en el origen de un sistema de
referencia y otra partícula de masa m2 = 4x10 15 kg está colocada en el punto A(6,0)m.
Calcula:
a) El vector intensidad de campo gravitatorio, módulo, dirección y sentido en el
punto B(3,4).
b) El punto en el que el campo gravitatorio se anula.
c) Si abandonamos la m2, y sólo tenemos en cuenta la interacción entre las masas,
qué velocidad llevará cuando se encuentre en el punto (2,0)m
Dato: G = 6,67 · 10 –11 N · m 2/kg 2.
2) La Estación Espacial Internacional (ISS) describe una órbita prácticamente circular
alrededor de la Tierra a una altura h =390km sobre la superficie terrestre, siendo su masa
m = 415 toneladas.
a) Calcula su periodo de rotación, en minutos, así como la velocidad con la que se desplaza.
b) ¿Qué energía se necesitaría para llevarla desde su órbita actual a otra a una altura doble?
¿Cuál sería el periodo de rotación en esta nueva órbita?
Datos: g0 = 9,8 m/ s2 RT = 6370 km
3) Se lanza desde el ecuador un satélite artificial de masa 500 kg que se sitúa en una órbita
circular geoestacionaria. Se desea saber:
a) La altura sobre la superficie de la Tierra a la que está el satélite. La energía que
habrá que comunicar al satélite para colocarlo en esa órbita, despreciando el
rozamiento con la atmósfera.
b) El suplemento de energía que habrá que aportar al satélite para, una vez en órbita
escape del campo gravitatorio terrestre.
Datos: g0 = 9,8 m/ s2 RT = 6370 km
4) Un satélite artificial de 100kg gira en una órbita circular a una altura h sobre la superficie
terrestre. Sabiendo que a esa altura el valor de la gravedad es la quinta parte de su valor en
la superficie de la Tierra, determina:
a) La altura h a la que se encuentra el satélite.
b) La velocidad orbital y el período del satélite.
c) c) Si el satélite se dejase caer sin velocidad inicial desde esa altura, ¿con qué velocidad
llegaría a la superficie de la Tierra, si despreciamos el rozamiento con el aire?
Datos: g0 = 9,8 m/ s2 RT = 6370 km
5) La órbita de una de las lunas de Júpiter, Io, es aproximadamente circular con un radio
de4,20 ·10 8m. El periodo de la órbita es de 1,53 · 10 5s. Calcula:
a) La masa de Júpiter.
b) El valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de Júpiter.
c) La velocidad de escape desde la superficie de Júpiter.
Datos: G = 6,67 · 10 –11N · m2/ kg 2 ; RJúpiter = 71400 km.
Interacción gravitatoria / 20
Física 2º Bachillerato
Interacción gravitatoria / 21
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