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Tema 7: Relaciones métricas en el triángulo
NOTA: Todos los ejercicios con asterisco (*) deberán ser entregados antes del 31 de enero del 2011.
Ejercicio 1 Calcula los lados y ángulos que faltan, el área y los radios de la inscrita y circunscrita en los
siguientes triángulos (longitudes en cm):
√
a) α = 105o b = 2 c = 1
b) a = 4 sen α =
3
, β = 30o
4
c) a = 5, b = 6 y c = 7
Ejercicio 2 En un triángulo prueba que:
a) [ABC] =
abc
4R
b) [ABC] = 2R2 sen α sen β sen γ
c) 2R sen α sen β sen γ = r(sen α + sen β + sen γ) (Usa el apartado anterior y una de las fórmulas del área).
Ejercicio 3 En un triángulo arbitrario prueba que se cumple que
tg
γ
π
Pista: = −
2
2
α+β
2
α
β
β
γ
γ
α
· tg + tg · tg + tg · tg = 1
2
2
2
2
2
2
Ejercicio 4 (Ecuación de Mollweide) Demuestra que en un triángulo arbitrario, se cumple que:
sen α−β
a−b
2
=
c
sen γ2
(Pista: Utilizando el teorema del seno, deducir que se cumple que
a−b
sen α − sen β
=
y de ahí deduce el
c
sen γ
resultado)
Ejercicio 5 (Fórmula de las tangentes) (*) El siguiente ejercicio va encaminado a demotrar que en un
triángulo arbitrario se cumple que
tg α−β
a−b
2
= α+β
a+b
tg 2
a
c
a−b
c−d
= entonces
=
(pista: divide el primer miembro entre b denominador
b
d
a+b
c+d
y numerados y el segundo entre d)
a) Demuestra que si
b) A partir del teorema del seno, deduce que se cumple que
a−b
sen α − sen β
=
a+b
sen α + sen β
c) Expresa las sumas del segundo miembro como productos y concluye que se cumple que
tg α+β
a−b
2
= α−β
a+b
tg 2
Ejercicio 6 Demuestra que en un triángulo arbitrario se cumple que:
r
α
(p − b)(p − c)
a) sen =
2
bc
1
Tema 7: Relaciones métricas en el triángulo
α
b) cos =
2
r
p(p − a)
bc
α
β
γ
sen sen
2
2
2
Ejercicio 7 Caracteriza los triángulos que cumplan las siguientes propiedades:
c) Deduce que entonces se cumple que r = 4R sen
a) sen α + cos α = sen β + cos β
b) sen α · cos α = sen β · cos β
c) sen α =
sen β + sen γ
cos β + cos γ
d) sen γ = cos α + cos β
Ejercicio 8 Demuestra que si en un triángulo se cumple que β = 2γ entonces:
a) b = 2c cos γ (Usa el teorema del seno)
b) ac = b2 − c2
4
Ejercicio 9 En un triángulo ABC se cumple que 3 sen α + 4 cos β = 6 y 4 sen β + 3 cos α = 1. Halla la medida
del ángulo γ.
Ejercicio 10 (*) Estás sobre un avión a 2500 m sobre la superficie de la Tierra ¿Hastá que distancia del
horizonte puedes ver? (distancia desde donde tú estás)
Ejercicio 11 (*) En un círculo llamamos cuerda a un segmento que una dos puntos de la circunferencia. Una
cuerda divide al círculo en dos regiones. Llamaremos sector circular a la región que no contiene el centro
de la circunferencia. Halla el área de un sector circular delimitado por una cuerda de longitud d en una
circunferencia de radio r.
Ejercicio 12 (Triángulo inscrito de mínimo perímetro) (*) Consideremos un triángulo arbitrario. Sean
4
HA , HB y HC los tres pies de las alturas. Llamamos triángulo órtico al triángulo HA HB HC . En este ejercicio
4
vamos a demostrar que el triángulo órtico es el triángulo de menor perímetro de todos los inscritos en ABC.
Para esto, antes hemos de demostrar que las alturas son las bisectrices del triángulo órtico.
a) Demuestra que la circunferencia que tiene diámetro BC pasa también por HB y HC .
π
b) Deduce que ∠CHC HB = ∠HB BC = − ∠BCA
2
π
c) Aplica lo mismo al segmento CA ahora, para deducir que ∠CHC HA = ∠CAHA = − ∠BCA
2
d) Concluye que la altura hC es bisectriz de ∠HA HC HB
Una vez demostrado esto vamos a demostrar que el órtico es el triángulo de menor perímetro de todos
los inscritos:
4
e) Sea un triángulo inscrito UVW con U en a, Y en B y W en c. Sean U0 y U00 los reflejados de U con ejes
b y c respectivamente. Justifica que AU = AU0 = AU00 y que ∠U00 AU0 = 2α
4
f) Demuestra que el perímetro de UVW es mayor o igual que U00 U0 (compáralo con U00 V + VW + WU00 )
g) Demuestra que U00 U0 = 2AU sen α
4
h) Concluye que si AU es mínimo y U00 V + VW + WU00 = U0 U00 entonces UVW es de perímetro mínimo.
i) Para terminar, utiliza que las alturas son bisectrices del órtico para demostrar que el órtico cumple la
pripiedad anterior.
2
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Los ejercicios con asterisco (*) son de entrega voluntaria, pero la entrega tendrá que ser antes del 20 de
febrero.
Ejercicio 16 En un triángulo rectángulo la bisectriz
del ángulo recto divide la hipotenusa en razón 2 : 3.
Determina el valor de los otros dos águlos.
Ejercicio 13 Resuelve los siguientes triángulos, es
decir, halla los otros tres elementos, r, R y [ABC]:
a) a = 2, α = 30o , β = 40o
Ejercicio 17 En un triángulo isósceles la base mide
30 cm y los ángulos iguales miden 63o . Inscribimos
un cuadrado de forma que uno de los lados yace sobre
la base y los otros dos vértices tocan cada uno un lado.
Halla el lado de dicho cuadrado.
b) a = 1, b = 2, γ = 30o
c) a = 1, b = 1, c = 1, 5
d) b = 5, β = 45o , γ = 60o
o
e) c = 3, α = 37 , β = 54
4
Ejercicio 18 En un triángulo ABC tenemos que
a − c = 22 cm y sen α, sen β y sen γ están en relación 63 : 25 : 52. Halla lo que miden los lados y los
ángulos.
o
f) a = 3, c = 4, β = 50o
g) b = 5, c = 10, α = 30o
h) a = 3, b = 5, α = 32
Ejercicio 19 Basándote en el siguiente diagrama:
o
i) a = 2, b = 3, c = 4
j) b = 2, c = 4, γ = 63o
k) c = 2, a = 1, β = 108o
Ejercicio 14 ¿Puede suceder que dos triángulos que
tengan dos lados iguales y tres ángulos iguales no sean
congruentes? Dí qué condiciones han de cumplir para
que eso suceda.
Ejercicio 15 Queremos medir el radio R de un lago
circular, para lo cual fijamos tres puntos A, B y C
sobre su costa y otro punto D fuera de él.
4
demuestra que dado un triángulo ABC se cumple siempre que:
a
α
sen ≤
2
b+c
4
4
Pista: Considera los triángulos ABD y ACF
Ejercicio 20 En un triángulo los lados están en relación 9 : 10 : 17. Halla los radios de la inscrita y de la
circunscrita sabiendo que el área es 144 cm2
4
Ejercicio 21 Demuestra que en un triángulo ABC se
cumple que:
tg α + tg β + tg γ = tg α · tg β · tg γ
Ejercicio 22 El objetivo final de este ejercicio es
probar que en un triángulo arbitrario se cumple que
α
β
γ
1
sen · sen · sen ≤ . Para ello vamos a tener que
2
2
2
8
desarrollar una desigualdad bastante utilizada:
Las medidas que hacemos nos dan los siguientes
resultados: AD = 20 m, BD = 30 m ∠ABC = 30o ,
∠ADC = 45o
¿Cuánto vale el radio R del lago?
3
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√
√ 2
a) A partir de que
a − b ≥ 0 (¿Por qué?)
prueba que se cumple que si a y b son dos nú√
a+b
meros positivos ab ≤
¿Cuándo se da la
2
igualdad?
4
Ejercicio 24 Dado un triángulo ABCprueba que:
a) sen2
1
A la desigualdad anterior la conocemos como desigualdad aritmético-geométrica (la media aritmética de dos números positivos es menor o
igual que la aritmética).
b) En el siguiente dibujo tienes otra demostración
del mismo hecho ¿Podrías justificarla?
α
β
γ
α
β
γ
+ sen2 + sen2 + 2 sen sen sen =
2
2
2
2
2
2
b) sen2
α
β
γ
3
+ sen2 + sen2 ≥
2
2
2
4
c) cos2
α
β
γ
9
+ cos2 + cos2 ≤
2
2
2
4
4
Ejercicio 25 En un triángulo ABC, prueba que se
cumple:
a) r = 4R sen
α
β
γ
sen sen
2
2
2
b) Deduce que entonces en cualquier triángulo se
cumple que
R
r≤
2
c) a cos α + b cos β + c cos γ =
d) p = 4R cos
abc
2R 2
α
β
γ
cos cos
2
2
2
√
3 3
e) p ≤
R
2
c) Como aplicación de lo anterior, demuestra que
a+b+c
para tres números a, b y c con p =
se
2
tiene que:
p
a
(p − b) (p − c) ≤
2
r
(p − b) (p − c)
α
d) Sabiendo que sen
=
de2
bc
muestra que:
sen
f)
1
1
1
1
+
+
=
ha hb hc
r
g) ha + hb + hc =
h) ha +hb +hc =
ab + bc + ca
2R
[ABC]
(cosec α + cosec β + cosec γ)
R
Ejercicio 26 En un paralelogramo con ángulo agudo
o
30
cociente entre la longitud de las diagonales es
p y el
√
2− 3
p
√ halla el cociente entre las longitudes de los
2+ 3
lados.
α
a
≤ √
2
2 bc
4
e) Concluye que en un triángulo ABCse cumple que
sen
Ejercicio 27 Demuestra que en cualquier triángulo
se tiene que:
α
β
γ
1
sen sen ≤
2
2
2
8
cos α + cos β + cos γ ≤ 1 +
Ejercicio 23 (*) Construye un triángulo rectángulo
conociendo la medida de la hipotenusa a y r.
Pista: El vértice A ha de estar en la circunferencia
de diámetro a (¿Por qué?) y la bisectriz del ángulo recto cortará a dicha circunferencia en el mismo punto
que la mediatriz de a (¿Por qué?).
4
r
R
Ejercicio 28 En un triángulo ABC, a = 10, β = 60o
y γ = 45o . Halla r, la longitud de la bisectriz bβ y la
longitud de la mediana ma
4
Tema 7: Relaciones métricas en el triángulo
4
Ejercicio 29 Un rombo de ángulo agudo α es circunscrito en una circunferencia de radio r. Halla el
área del rombo en función de α y r.
Consideremos ahora un triángulo ABC, con I su
incentro, O su circuncentro, d la distancia entre
los dos y Γ la circunferencia circunscrita.
4
Ejercicio 30 (*) Consideremos un triángulo ABC, en
este ejercicio vamos a demostrar que si d es la distancia entre su incentro y su circuncentro, entonces se
cumple que
d2 = R2 − 2Rr
. Para ello vamos a necesitar algún resultado extra.
a) Demuestra que si la bisectriz del ángulo α corta
a la circunferencia circunscrita en P, entonces
se cumple que PB = PI = PC (demuestra que el
4
triángulo PCI es isósceles).
b) Sea una circunferencia Γ y un punto P arbitrario.
Supongamos dos rectas r1 y r2 que pasan por P
y cortan a Γ1 en A y B y C y D respectivamente.
Demuestra que se cumple que
PA · PB = PC · PD
4
(demuestra primero que los triángulos APD y
4
CPB son semejantes, el resultado es una consecuencia inmediata).
c) Demuestra, considerando DE, que Pot(I, Γ ) =
(R + d) (R − d)
Al número PA · PB lo llamaremos potencia de P
respecto de Γ , Pot(P; Γ ). Por lo que hemos visto arriba da el mismo valor para cualquier recta
que tomemos que pase por P y corte a Γ , luego es
independiente de la recta que consideremos.
d) Demuestra, considerendo la bisectriz bα , que
Pot(I, Γ ) = IA · IP donde P es el otro punto de
corte de bα con Γ .
e) Demuestra que PB = 2R sen
α
2
f) Si llamamos F al punto de tangencia de la circunferencia inscrita con el lado c, demuestra que se
r
tiene que IA =
α
sen
2
g) Utilizando todo lo anterior deduce que
d2 = R2 − 2Rr
h) Como consecuencia de lo anterior, deduce otra
vez que R ≥ 2r
5