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SOBRE LA EXISTENCIA
DE MEDIDAS DE ULAM
Comunicación efectuada
por el Académico Titular Dr. Julio H. G. Olivera
en la Academia Nacional de Ciencias de Buenos Aires,
en la sesión plenaria del 30 de mayo de 2005
Resumen
Demostramos aquí que la existencia de medidas de Ulam es incompatible con el axioma de elección. La prueba se basa sobre la equivalencia
entre el axioma de elección y el postulado según el cual el producto cartesiano de toda colección no vacía de conjuntos no vacíos es un conjunto no
vacío.
Abstract
On the existence of Ulam measures
We show here that the existence of Ulam measures is inconsistent with
the axiom of choice. The proof is based upon the equivalence of the axiom
of choice with the postulate that the Cartesian product of every non-empty
family of non-empty sets is non-empty.
1. Introducción
Una medida de Ulam sobre el conjunto I es una medida µ no trivial con valores en {0, 1} definida sobre el conjunto-potencia 2I tal que
µ({i}) = 0 , i ∈I.
El problema para la teoría de conjuntos es saber si las medidas
de Ulam existen (por ejemplo, [1] p. 282).
En esta nota se demuestra que el axioma de elección es incompatible con la existencia de medidas de Ulam.
A
2. Producto cartesiano
Sean A un conjunto de índices, {Xa}a∈A una colección de conjuntos. El producto cartesiano de los conjuntos Xa es el conjunto:
Π Xa = {x : A → ∪ Xa ⎮ x (a) ∈ Xa para cada a∈A}.
a∈A
a∈A
El axioma de elección equivale a este aserto: el producto cartesiano de una colección no vacía de conjuntos no vacíos es un conjunto no vacío ([4] p. 52).
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3. Axioma de elección y medidas de Ulam
LEMA 1. Sean A un conjunto arbitrario, {Va}a∈A una familia de espacios vectoriales sobre el cuerpo de los números complejos, F una funcional lineal no nula sobre el espacio-producto ∏aVa. Existe un
espacio-factor Va tal que la restricción de F a Va es no nula.
Esta propiedad resulta obvia cuando el conjunto A es finito,
pues en ese caso ∏aVa = ∑aVa, a = 1,…,n. La generalización se obtiene por inducción transfinita.
LEMA 2. Sean X un álgebra topológica compleja, Y un ideal bilateral de X, f una funcional lineal multiplicativa no nula definida sobre
Y. Entonces f se extiende de una manera única a una funcional lineal
multiplicativa continua definida sobre X.
El homomorfismo no nulo f es un epimorfismo, circunstancia que
garantiza la extensibilidad aseverada por el lema ([3] p. 292).
TEOREMA. Sean A un conjunto arbitrario, {La}a∈A una familia de
álgebras topológicas complejas funcionalmente continuas. Entonces
L = ∏aLa es un álgebra funcionalmente continua.
Consideremos una funcional lineal multiplicativa no nula F con
dominio L. Por el lema 1 hay un álgebra-factor La tal que F es no nula
sobre el ideal
Ja = {0}×…×{0}×La×{0}×…,
topológicamente isomorfo respecto de La. Puesto que la restricción de
F a Ja es continua, el lema 2 significa que lo es asimismo F.
COROLARIO. El axioma de elección excluye la existencia de las
medidas de Ulam.
En efecto, dada una colección {Xa}a∈A de álgebras funcionalmente
continuas, el álgebra-producto es funcionalmente continua si y sólo
si el conjunto A no admite ninguna medida de Ulam ([2] p. 453).
Para apreciar la importancia del resultado basta tener en cuenta
que el teorema de Tychonoff, descrito a menudo como teorema fundamental de la Topología, implica el axioma de elección.
4. Observaciones
I) El lema 1 puede probarse de modo no inductivo asociando al
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espacio vectorial V la topología “localmente convexa más fina”. El
dual algebraico coincide así con el dual topológico. Lo afirmado por
el lema surge entonces del hecho de ser V’ la suma directa de los
duales de los espacios Va.
II) El teorema de Mackey-Ulam ([1] p. 282) expresa que RA es
bornológico si y solo si el conjunto A no admite ninguna medida de
Ulam. Aquí R denota el cuerpo de los números reales. El corolario
deducido en la sección precedente posibilita una formulación no condicional: RA es siempre bornológico.
Referencias
[1] H. Jarchow, Locally convex spaces, Stuttgart, 1981.
[2] A. R. Larotonda, I. M. Zalduendo, Continuity of characters in products
of algebras, Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae,
24,3 (1983).
[3] W. Page, Topological uniform structures, New York, 1988.
[4] S. Willard, General Topology, Reading, 1970.
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