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2.1.- Formalización de enunciados en lenguaje ordinario
Una de las tareas más importantes para poder aplicar la lógica a los diferentes campos del saber
humano es la formalización, también conocida como codificación. De manera muy simple, podemos
decir que la formalización es la traducción de proposiciones dadas en lenguaje ordinario a fórmulas
lógicas bien formadas. En este quehacer nos enfrentaremos con lo que muchos autores conocen como
la “tiranía del lenguaje coloquial”, que tiene que ver con las ambigüedades y la dependencia que
tienen los significados de los contextos donde se presentan, ya que ambas son características propias
del lenguaje natural.
Para Redmon (1) una regla empírica para formalizar desde el lenguaje ordinario al simbolismo lógico
es: traduzca el sentido, no las palabras. La finalidad es que la oración-proposición del lenguaje
ordinario y la fórmula lógica expresen el mismo sentido, es decir, que la fórmula lógica represente de la
manera más fiel posible lo que la oración quiere decir. Es importante apuntar aquí que estamos dando
por hecho que todas las oraciones que queremos formalizar son proposiciones, de ahí la denominación
oración-proposición.
2.1.1.- Formalización de proposiciones simples
Sabemos que toda oración está compuesta por sujeto y predicado. Por ejemplo, en la oración Napoleón
es emperador de Francia, Napoleón es el sujeto y es emperador de Francia es el predicado. En la
oración Andrés es futbolista, el sujeto es Andrés y el predicado es es futbolista. En la oración Juan se
enfermó, el sujeto es Juan y se enfermó es el predicado. Todas estas oraciones afirman un sólo hecho,
es decir, son proposiciones simples. Este tipo de proposiciones simples pueden formalizarse con la
codificación Ps, donde P es el predicado y s el sujeto.
Es decir, Napoleón es emperador de Francia se codifica como En (que se lee emperador Napoleón),
Andrés es futbolista se formaliza como Fa (que se lee futbolista Andrés), y Juan se enfermó, se
formaliza como Ej (que se lee enfermó Juan).
2.1.2.- Formalización de proposiciones compuestas
Aquellas oraciones donde aparece al menos un conectivo lógico implica que se formalizarán como
proposiciones compuestas. En este caso, es común representar cada proposición atómica por una letra
minúscula, y relacionarlas entre si por el conectivo adecuado.
Recuerda que los conectivos lógicos son: la negación (no esto, es falso esto), la conjunción (esto y
aquello, esto pero aquello, esto que aquello), la disyunción (esto o lo otro), la implicación (si esto
entonces aquello, aquello si esto, aquello sólo si esto) y la doble implicación lógica (esto si y sólo si
aquello).
Por ejemplo: Napoleón no es emperador de Francia. Sea p = Napoleón es emperador de Francia. Por
tanto Napoleón no es emperador de Francia se codifica como ~p.
Otro ejemplo: Andrés es futbolista y Juan se enfermó. En este caso, sea p = Andrés es futbolista y q =
Juan se enfermó. La proposición compuesta es: p ∧ q.
Un ejemplo más: París está en Francia si el cielo es azul. Sea p = París está en Francia, y q = el cielo
es azul. Por tanto, esta proposición se codifica como: q → p.
Nota en este caso, que esta oración puede re-expresarse como Si el cielo es azul, entonces París está en
Francia, que es el sentido que codificamos. Es decir, la parte de la oración que sigue al “si”, debe ir al
lado izquierdo del símbolo de la implicación.
Otro ejemplo: Luis murió ayer, pero no estaba enfermo. Sea p = Luis murió ayer y q = Luis estaba
enfermo. Esta proposición compuesta se formaliza como p ∧ ~q. Nota que la palabra “pero” se
interpreta como “y”.
La oración José estudia periodismo o Luis estudia ingeniería se codifica como p ∨ q, siendo p = José
estudia periodismo y q = Luis estudia ingeniería.
La oración Si llueve y hay sol se ve el arcoiris, se codifica como p ∧ q → r, donde p = Llueve, q = hay
sol y r = se ve el arcoiris.
2.1.3.- Formalización de proposiciones universales y particulares
Todas las oraciones-proposiciones anteriores tienen sujeto monario, es decir, se refieren a un sólo
sujeto. Cuando el sujeto de la oración no es singular, es decir, se trata de un sujeto polinario, hay dos
posibilidades: el sujeto alude a todos los elementos de un conjunto o alude sólo a una parte de ellos.
Cuando el sujeto polinario se refiere a todos los elementos de un conjunto, se dice que se trata de
proposiciones de tipo universal. Cuando el sujeto no agota todos los elementos del conjunto, se trata de
proposiciones particulares. Estas proposiciones requieren de unos operadores llamados
cuantificadores: el cuantificador universal (∀, que se lee para todo) para las proposiciones universales,
y el cuantificador existencial (∃, que se lee existe al menos uno) para las proposiciones particulares. En
ambos casos, el sujeto, que designa a los miembros del conjunto, será identificado por un variable, por
ejemplo, x.
Por ejemplo, la proposición Todos los hombres somos mortales se codifica:
∀x: Hx → Mx
Que se lee: Para toda x, si x es hombre, entonces x es mortal. Es decir, Hx se lee hombre x y Mx se lee
mortal x.
La proposición Algunos hombres son ingratos se codifica:
∃x: Hx ∧ Ix
Que se lee: Existe al menos una x, tal que si x es hombre, x es ingrato. Es decir, Ix se lee ingrato x.
Observa el uso de la implicación en el caso de proposiciones universales y de la conjunción en el caso
de las proposiciones particulares.
Por ejemplo, la frase Todo lo que brilla es oro, se codificaría así:
∀x: Bx → Ox
que se lee: Para toda x, si x brilla, entonces x es oro.
La frase No todo lo que brilla es oro, se codifica así:
~∀x: Bx → Ox
2.1.4.- Lenguajes P y Ps
Hasta ahora hemos visto dos formas de codificar proposiciones. Para codificar proposiciones simples,
usamos la forma Ps (predicado-sujeto), conocida como lenguaje Ps. Para proposiciones compuestas
propusimos representar cada proposición simple como una literal, una letra minúscula. Esto de conoce
como lenguaje P. En general, el lenguaje P se recomienda para formalizar proposiciones compuestas y
el lenguaje Ps se recomienda para codificar proposiciones cuantificadas.
Oración-Proposición
Codificación
Mario juega fútbol.
Jm
donde J = juega fútbol y m= Mario (en lenguaje
Ps).
Si no llueve, voy al cine.
~l → c
donde l= Llover y c= ir al cine (en lenguaje P).
Estoy contento si no voy a la escuela pero no ~v ∧ ~e → c
estoy enfermo.
donde v = ir a la esuela, e = estar enfermo y c =
estar contento (en lenguaje P).
Si gano las elecciones, reduciré los impuestos.
g→r
donde g = ganar las elecciones y r = reducir
impuestos.
Si está nublado, pero no llueve, entonces el sol n ∧ ~l → b
está brillando.
donde n = está nublado, l = llueve y b = el sol
brilla.
Luis es inteligente o estudia todos los días.
i∨e
donde i = Luis es inteligente y e = Luis estudia
todos los días.
Don Quijote es feliz si y sólo si, Dulcinea esta q ↔ d
feliz.
donde q = Don Quijote está feliz y d = Dulcinea
está feliz.
Nadie es profeta en su tierra.
~∃x: Px ∧ Tx
donde Px = x es profeta y Tx = x está en su tierra
(en lenguaje Ps)
Algunos científicos creen en la creación.
∃x: Cx ∧ Bx
donde Cx = x es científico y Bx = x cree en la
creación.
Las palomas son blancas.
∀x: Px → Bx
donde Px = x es paloma y Bx = x es blanca
Algunos políticos son honestos
∃x: Px ∧ Hx
donde Px = x es político y Hx = x es honesto
Todos los nacidos en México son mexicanos
∀x: Nx → Mx
donde Nx = x nació en México y Mx = x es
mexicano.
Algunos mexicanos son rubios.
∃x: Mx ∧ Rx
donde Mx = x es mexicano y Rx = x es rubio.
Algunos futbolistas no juegan limpio
∃x: Fx ∧ ~Jx
donde Fx = x es futbolista y Jx = x juega limpio.
2.1.5.- Interpretación de fórmulas lógicas
El complemento de la formalización es la interpretación. Por interpretación entendemos traducir una
fórmula lógica a lenguaje natural. Esto es importante para poder interpretar los resultados que arroja la
manipulación de las fórmulas que representan una situación dada. Es decir, para aplicar la lógica a
algún problema o escenario dado, debemos primero formalizar o codificar el problema. Las fórmulas
lógicas obtenidas se manipularán por medio de las reglas de la Lógica Proposicional, que estudiaremos
más adelante, y los resultados de esa manipulación deberán ser interpretados para regresar al lenguaje
del problema o circunstancia en estudio.
Vamos a ilustrar la interpretación por medio de algunos ejemplos: Sean p, q y r las siguientes
proposiciones:
p = llueve
q = el sol brilla
r = el cielo está nublado
Y sean las siguientes proposiciones:
a) (p ∧ q) → r
b) ~p ↔ (q ∨ r)
c) ~( q ∨ p) ∧ r
d) ~(p ↔ (q ∨ r))
Algunas posibles interpretaciones de las proposiciones anteriores son:
a) Si llueve y el sol brilla, entonces el cielo está nublado.
a) El cielo esta nublado si llueve y el sol brilla.
b) El sol brilla o el cielo está nublado, si y sólo si no llueve.
b) Es falso que llueve, si y sólo si está nublado o el sol brilla.
b) No llueve si y sólo si el sol brilla o el cielo está nublado.
c) El cielo está nublado, pero es falso que el sol brilla o llueve.
c) Es falso que el sol brilla o llueve, pero el cielo está nublado.
c) El falso que el sol brilla o llueve y el cielo está nublado.
d) Es falso que, llueve si y sólo si está nublado o el sol brilla.
d) Llueve si y sólo si está nublado o el sol brilla, es falso.
d) No es cierto que, llueve si y sólo si está nublado o el sol brilla.
Resumen
En esta sección vimos la formalización y la interpretación dentro de la Lógica Proposicional. A
continuación te presento una tabla que ilustra los diferentes conectivos lógicos y algunas oraciones que
los interpretan.
Conectiva
Representación
Ejemplos de oraciones que la interpretan
Negación
~p
Conjunción
p∧q
P y q,
p pero q,
p sin embargo q,
p no obstante q,
p a pesar de q.
Disyunción
p∨q
ó p ó q ó ambos,
al menos p ó q,
como mínimo p ó q.
Implicación
p→q
Si p entonces q,
p sólo si q,
q si p,
q cuando p,
q es necesario para p,
para p es necesario q,
p es suficiente para q,
para q es suficiente p,
no p a menos que q.
Bicondicional
p↔q
P es necesario y suficiente para q,
q si y sólo si q.
No p,
es falso p,
no es cierto p.
Espero que con estos ejemplos estés listo para la primera tarea de este segundo módulo del curso:
Tarea 3.- Formalización e Interpretación de algunas proposiciones. ¡Suerte y a trabajar realizando
estos ejercicios!